Hệ tiên đề của hình học LOBACCHEVSKY và lý thuyết về đường song song

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN MẠNH CƯỜNG HỆ TIÊN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC LOBACHEVSKY VÀ LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG SONG SONG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Mạnh Cường HỆ TIÊN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC LOBACHEVSKY VÀ LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG SONG SONG Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS.NGUYỄN THỊ TRÀ Hà Nội – Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Hệ tiên đề hình học Euclid 1.1.1 Nhóm I gồm tiên đề liên thuộc 1.1.2 Nhóm II gồm tiên đề thứ tự 1.1.3 Nhóm III gồm tiên đề 1.1.4 Nhóm IV gồm tiên đề liên tục 1.1.5 Nhóm V gồm tiên đề song song Phép nghịch đảo đường tròn 10 Hệ tiên đề hình học Lobachevsky lý thuyết đường song song 12 2.1 Hệ tiên đề 12 2.2 Đường song song đường phân kỳ Lobachevsky 15 2.3 Các tính chất đường thẳng song song 17 2.4 Phân biệt đường phân kỳ với đường song 20 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.5 Nguyễn Mạnh Cường Góc song song hàm số Lobachevsky Một số đối tượng khác hình học Lobachevsky 3.1 3.2 3.3 3.4 28 34 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 34 3.1.1 Đường thẳng cắt mặt phẳng 34 3.1.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng 34 3.1.3 Đường thẳng phân kỳ với mặt phẳng 34 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 35 3.2.1 Hai mặt phẳng cắt 35 3.2.2 Hai mặt phẳng song song 35 3.2.3 Hai mặt phẳng phân kỳ 36 Các chùm đường thẳng mặt phẳng Lobachevsky 36 3.3.1 Chùm đường thẳng hội tụ 36 3.3.2 Chùm đường thẳng phân kỳ 36 3.3.3 Chùm đường thẳng song song 37 Quỹ đạo trực giao chùm đường thẳng mặt phẳng 37 3.5 Các bó đường thẳng không gian Lobachevsky 38 3.6 Các mặt trực giao bó đường thẳng 39 Mơ hình hình học Lobachevsky 40 4.1 Xây dựng mơ hình Poincare 40 4.2 Nghiệm tiên đề hình học Lobachevsky 41 4.2.1 Nhóm I (Các tiên đề liên thuộc) 41 4.2.2 Nhóm II (các tiên đề thứ tự) 41 4.2.3 Nhóm IV (tiên đề liên tục) 42 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường 4.2.4 Nhóm III (các tiên đề nhau) 42 4.2.5 Nhóm V (tiên đề Lobachevsky) 47 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy tổ mơn Hình học thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Trà, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình giúp đỡ để tơi hồn thành khóa luận Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tơi, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 27/4/2018 Sinh viên Nguyễn Mạnh Cường Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn thành sau q trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn ThS.Nguyễn Thị Trà Trong khóa luận tơi có tham khảo số cơng trình nghiên cứu nhà khoa học ngồi nước Tơi xin cam đoan kết khóa luận khơng chép từ khóa luận khác Hà Nội, ngày 27/4/2018 Sinh viên Nguyễn Mạnh Cường Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học lĩnh vực khó quan trọng người nghiên cứu từ sớm Đến kỷ thứ III trước cơng ngun, hình học Euclid hệ thống hóa hình thức tiên đề mang tên ơng Các tiên đề Euclid dường hiển nhiên theo trực quan trực giác mà định lý rút từ chúng theo nghĩa tuyệt đối Hơn hai nghìn năm qua, hình học Euclid mặc định thứ hình học tồn bước đầu tiếp xúc, nghiên cứu vấn đề hình học làm việc với Trong trình phát triển, hình học Euclid thu nhiều cơng trình nghiên cứu đáng kể gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học Tuy nhiên, phận không nhỏ khác nghiên cứu tiên đề Euclid nghi ngờ định đề V (định đề song song) suy từ nhóm tiên đề trước đó, từ họ bỏ nhiều cơng sức để chứng minh với hy vọng xóa bỏ định đề khỏi hệ thống tiên đề Euclid Nhưng họ tìm cách chứng minh lâm vào vòng luẩn quẩn đến thất bại Đến kỉ XIX, có hai nhà tốn học Janos Bolyai (1802-1860) Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) nghiên cứu độc lập với tìm lời giải độc đáo, đầy sáng tạo giữ nguyên tiên đề khác Euclid thay định đề V tiên đề khác phủ nhận định đề V: “Trong mặt phẳng, qua điểm nằm ngồi đường thẳng có nhiều đường thẳng khơng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường cắt đường thẳng ấy” Janos Bolyai công bố cơng trình ba năm sau lần xuất thứ Lobachevsky (ơng khơng biết xuất Lobachevsky) tất nhiên giống Lobachevsky, lý thuyết ông không nhà khoa học đương thời công nhận Chỉ sau Lobachevsky Bolyai mất, giới khoa học đánh giá cơng trình hai nhà tốn học Chính Lobachevsky đặt sở cho tổng quát hóa quan niệm việc hình thành hình học trừu tượng, từ xây dựng nên thứ hình học khơng mâu thuẫn phát triển thành mơn hình học mới, giải phóng hình học khỏi trực giác, mở rộng hiểu biết phạm vi áp dụng hình học Mặc dù nghiên cứu đồng thời độc lập song cơng trình Lobachevsky cơng bố trước nên mang tên “Hình học Lobachevsky” Hình học Lobachevsky khởi xướng dựa sở bác bỏ tiên đề đường thẳng song song Lobachevsky giả thiết từ điểm đường thẳng ta vẽ đường thẳng khác, nằm mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà khơng giao với đường thẳng gốc Từ đó, ơng lập luận tiếp từ điểm đó, xác định vô số đường thẳng khác song song với đường thẳng gốc, từ xây dựng nên hệ thống lập luận hình học logic Hình học Lobachevsky sở toán học thuyết tương đối Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học khơng gian nhiều chiều Mặt khác, ứng dụng nhiều nội dung khác học lượng tử hay vật lý thiên văn Mặc dù Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường ứng dụng nhiều hình học Lobachevsky lại không nghiên cứu bậc phổ thông bậc đại học mức độ trừu tượng đặc biệt khơng tồn thực tế sống Ngay từ lần tiếp xúc với hình học Lobachevsky, tơi cảm thấy vơ thích thú mong muốn tìm hiểu sâu Càng sâu vào nghiên cứu, tơi thấy nhiều điều thú vị loại hình học Chính lý trên, tơi chọn đề tài “Hệ tiên đề hình học Lobachevsky lý thuyết đường song song” làm đề tài nghiên cứu khóa luận Trong đề tài nêu lên phần nhỏ hình học mong thơng qua người đọc phần hiểu biết hình học Lobachevsky Mục đích nghiên cứu - Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu hình học Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Hệ tiên đề hình học Lobachevsky - Phạm vi nghiên cứu: Hình học Lobachevsky Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày hình học Lobachevsky lý thuyết đường song song - So sánh tính chất hình học tương ứng hình học Euclid hình học Lobachevsky, tìm mối quan hệ hai loại hình học Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.3 Nguyễn Mạnh Cường Hai mặt phẳng phân kỳ Hai mặt phẳng phân kỳ hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng kể từ đường vng góc chung xa dần phía hai mặt phẳng phân kỳ xa dần mãi 3.3 3.3.1 Các chùm đường thẳng mặt phẳng Lobachevsky Chùm đường thẳng hội tụ Tập hợp đường thẳng mặt phẳng đồng quy điểm O gọi chùm đường thẳng hội tụ hay chùm đường thẳng eliptic 3.3.2 Chùm đường thẳng phân kỳ Tập hợp đường thẳng mặt phẳng vng góc với đường thẳng d chung gọi chùm đường thẳng phân kỳ hay chùm đường thẳng hypebolic 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3.3 Nguyễn Mạnh Cường Chùm đường thẳng song song Tập hợp đường thẳng mặt phẳng song song với theo hướng gọi chùm đường thẳng song song hay chùm đường thẳng parabolic 3.4 Quỹ đạo trực giao chùm đường thẳng mặt phẳng Ta gọi quỹ đạo trực giao chùm đường thẳng tập hợp đường cong mà tiếp tuyến đường cong vng góc với đường thẳng chùm điểm tiếp xúc Đối với chùm đường thẳng nói ta có: a Quỹ đạo trực giao chùm đường thẳng hội tụ đường tròn đồng tâm b Quỹ đạo trực giao chùm đường thẳng phân kỳ đường cách c Quỹ đạo trực giao chùm đường thẳng song song đường 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường cực hạn 3.5 Các bó đường thẳng khơng gian Lobachevsky Trong không gian tập hợp đường thẳng: - Nếu qua điểm O gọi bó đường thẳng hội tụ hay bó đường thẳng eliptic - Nếu vng góc với mặt phẳng gọi bó đường thẳng phân kỳ hay bó đường thẳng hypebolic - Nếu song song với theo hướng gọi bó đường thẳng song song hay bó đường thẳng parabolic 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường Chú ý Bất kỳ hai đường thẳng bó nằm mặt phẳng 3.6 Các mặt trực giao bó đường thẳng Ta gọi mặt trực giao bó đường thẳng mặt cong mà mặt phẳng tiếp xúc với mặt ln vng góc với đường thẳng bó tiếp điểm Đối với bó đường thẳng ta có: - Mặt cầu mặt trực giao bó hội tụ - Mặt cách mặt trực giao bó phân kỳ - Mặt cực hạn mặt trực giao bó song song 39 Chương Mơ hình hình học Lobachevsky 4.1 Xây dựng mơ hình Poincare Trong mặt phẳng Euclid, ta lấy đường thẳng x nằm ngang chia mặt phẳng làm hai miền: nửa nửa Ta quy ước: a "Điểm" điểm thông thường nửa không kể điểm x b "Đường thẳng" nửa đường trịn thơng thường nửa trực giao với x (có tâm nằm x) tia thông thường thuộc nửa trực giao với x Ta coi tia nửa đường trịn có bán kính lớn vơ Mỗi cung đoạn "đoạn thẳng Lobachevsky" c "Góc hai đường thẳng" góc hai tia Euclid tiếp xúc với nửa đường tròn trực giao với x điểm d."Điểm A" gọi "thuộc" "đường thẳng a" A nằm nửa đường trịn a tia vng góc với x e Cho ba điểm A, B, C đường thẳng a, ta nói rẳng điểm B "ở điểm A điểm C" nửa đường tròn a điểm B điểm 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường A điểm C 4.2 4.2.1 Nghiệm tiên đề hình học Lobachevsky Nhóm I (Các tiên đề liên thuộc) Ta thấy tiên đề I1 , I2 , I3 nghiệm Thật vậy: Tiên đề I1 nghiệm qua hai điểm A, B nửa có nửa đường trịn (hoặc tia) trực giao với x Tiên đề I2 nghiệm hai nửa đường trịn thuộc nửa trực giao với x có khơng có q điểm chung Tiên đề I3 hiển nhiên nghiệm 4.2.2 Nhóm II (các tiên đề thứ tự) Ta thấy hiển nhiên tiên đề II1 , II2 , II3 nghiệm Bây ta xét tiên đề Pasch: Cho tam giác cong ABC, nửa đường tròn (m) cắt cung AB M Nếu nửa đường trịn (m) khơng cắt cung BC cắt cung AC N Thật vậy: Nếu (m) không cắt cung AC tức xảy hai trường hợp 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường TH1: (m) kết thúc điểm Q thuộc miền tam giác cong ABC tức x qua miền tam giác cong ABC vô lý TH2: (m) cắt AB điểm thứ hai nửa đường trịn (m) cung nửa đường trịn qua A, B có hai điểm chung Điều vô lý Vậy tiên đề Pasch nghiệm 4.2.3 Nhóm IV (tiên đề liên tục) Đối với nhóm tiên đề liên tục, đường thẳng Lobachevsky biểu thị tia tia tiên đề Dedekind nghiệm Còn đường thẳng Lobachevsky biểu diễn nửa đường trịn tâm O x ta vẽ đường thẳng d song song với x điểm M nửa đường tròn ứng với điểm M d cho tâm O M , M thẳng hàng Ta chuyển việc xét liên tục nửa đường tròn tâm O xét liên tục đường thẳng d song song với x ta thấy tiên đề Dedekind nghiệm 4.2.4 Nhóm III (các tiên đề nhau) Để xét khái niệm "bằng nhau" ta phải dùng đến phép nghịch đảo ta quy ước xét phép nghịch đảo đường trịn trực 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường giao với x Với phép nghịch đảo điểm nằm nửa mặt phẳng biến thành điểm Ta nói "đoạn AB đoạn A B " có dãy phép nghịch đảo cho tích chúng biến cung AB thành cung A B với A thành A B thành B Cũng vậy, "góc (h, k) góc (h , k )" có dãy phép nghịch đảo cho tích chúng biến cạnh góc thứ thành cạnh góc thứ hai Chú ý Các góc theo định nghĩa khơng theo nghĩa mà ta hiểu Hình học Euclid góc cong Trái lại cung trịn biểu diễn đoạn Lobachevsky hồn tồn khơng theo nghĩa Euclid phép nghịch đảo giữ ngun góc khơng giữ ngun kích thước hình Định lí 4.2.1 Phép nghịch đảo đường trịn (C) theo nghĩa Euclid phép đối xứng qua đường thẳng theo nghĩa Lobachevsky Chứng minh Giả sử AB cung tròn biểu diễn đoạn thẳng Lobachevsky Hai điểm A, B tương ứng qua phép nghịch đảo nửa đường 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường tròn (C) tâm O Ta dựng tiếp tuyến OI cung AB Ta có: OA.OB = OI nên phép nghịch đảo nửa đường trịn (C) tâm O bán kính OI biến A thành B, B thành A I bất biến Vậy cung AI biến thành cung BI, cung BI biến thành cung AI Vì hai cung BI AI nghịch đảo nên chúng biểu diễn hai đoạn thẳng Lobachevsky hay I trung điểm đoạn AB Mặt khác: Nửa đường tròn (C) trực giao với nửa đường tròn qua A, I, B Vậy A B đối xứng với qua đường thẳng (C) Nói cách khác: "Đường thẳng (C) đường trung trực đoạn AB" Bây ta xét đến tiên đề III1 Giả sử có "đoạn AB" tia "A x " Ta dựng "đường trung trực d" đoạn AA "Phép đối xứng qua đường trung trực biến điểm A thành A biến đoạn AB thành đoạn A B1 Tia Lobachevsky A B1 tia A x tạo nên góc Lobachevsky Ta dựng đường phân giác Lobachevsky d góc B1 A x Phép đối xứng qua đường thẳng d biến 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường B1 thành B nằm tia A x đoạn thẳng Lobachevsky A B1 thành đoạn thẳng Lobachevsky A B Ta có hai phép đối xứng qua đường thẳng d d mà tích chúng biến A thành A B thành B nên biến đoạn AB thành đoạn A B Như tia A x có điểm B cho AB ≡ A B Xét phép đối xứng qua đường trung trực AB biến A thành B biến B thành A nên biến đoạn AB thành đoạn BA nên AB ≡ BA Vậy tiên đề III1 nghiệm hoàn toàn Tiên đề III2 hiển nhiên nghiệm Thật vậy: Ta có: A B ≡ AB A”B” ≡ AB Theo tiên đề III1 AB ≡ A”B” Gọi dãy phép nghịch đảo f biến cung A B thành cung AB dãy phép nghịch đảo g biến cung AB thành cung A”B” Như dãy phép nghịch đảo g f biến cung A B thành cung A”B” hay hai cung A B A”B” biểu diễn hai đoạn thẳng Lobachevsky bẳng Vậy A B ≡ A”B” Với tiên đề III3 ta thấy sau: Vì AB ≡ A B nên tồn dãy phép nghịch đảo f biến cung AB 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường thành cung A B A thành A , B thành B Vì BC ≡ B C nên tồn dãy phép nghịch đảo g biến cung BC thành cung B C B thành B , C thành C Ta thấy có hai dãy phép nghịch đảo f g biến B thành B nên f ≡ g Như dãy phép nghịch đảo f biến A thành A , C thành C nên f biến cung AC thành cung A C hay hai cung AC A C biểu diễn hai đoạn thẳng Lobachevsky Vậy AC ≡ A C Xét tiên đề III4 Cho góc Lobachevsky (Oh, Ok) tia O h Dựng đường trung trực d đoạn OO Phép đối xứng qua đường trung trực biến tia Oh thành tia O h1 Hai tia O h O h1 tạo thành góc Lobachevsky Dựng tia phân giác Lobachevsky d góc (O h , O h1 ) Phép đối xứng qua đường phân giác biến tia O h1 thành tia O h Ta có tích hai phép đối xứng qua đường thẳng d d biến tia Oh thành tia O h Gọi f tích hai phép đối xứng Tương tự ta tìm ảnh tia Ok qua f tia O k tia O k Ta có: f biến tia Oh thành tia O h tia Ok thành tia O k nên f biến góc (Oh, Ok) thành góc (O h , O k ) Vậy ta có tia O k cho (Oh, Ok) ≡ (O h , O k ) Xét phép đối xứng qua đường phân giác góc Lobachevsky (Oh, Ok) biến tia Oh thành tia Ok tia Ok thành tia Oh nên biến góc (Oh, Ok) thành góc (Ok, Oh) Do (Oh, Ok) ≡ (Ok, Oh) Vậy tiên đề III4 nghiệm hoàn tồn 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường Tiên đề III5 hiển nhiên nghiệm Thật vậy: Ta có: AB ≡ A B AC ≡ A C từ chứng minh tiên đề III2 tồn dãy phép nghịch đảo f biến A thành A , B thành B , C thành C Nên f biến góc ABC thành góc A B C Suy ABC ≡ A B C Tương tự: ACB = A C B 4.2.5 Nhóm V (tiên đề Lobachevsky) Gọi A điểm không thuộc đường thẳng a đường thẳng Au, Av song song với a hai nửa đường trịn qua A trực giao với x tiếp xúc với nửa đường tròn a U V Au, Av không cắt a U , V khơng phải "điểm Lobachevsky" Đường thẳng AH vng góc với a nửa đường trịn qua A trực giao với nửa đường tròn a Như người ta dùng "vật liệu" hình học Euclid để xây dựng nên mơ hình Poincare nghiệm hồn tồn hệ tiên đề hình học Lobachevsky Nếu ta giả thiết hình học Euclid khơng mâu thuẫn việc xây dựng thành cơng mơ hình Poincare chứng tỏ rẳng hình học Lobachevsky khơng 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường mâu thuẫn Vậy ta nói: Hình học Lobachevsky khơng mâu thuẫn hình học Euclid khơng mâu thuẫn 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Mạnh Cường KẾT LUẬN Trong khóa luận này, tổng kết kiến thức liên quan tới hình học Lobachevsky Sau q trình nghiên cứu, tơi tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Tôi hy vọng điều tơi trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận cịn nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong q thầy bạn sinh viên góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện 49 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mộng Hy (1997), Xây dựng hình học phương pháp tiên đề, Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Mộng Hy (1996), Các phép biến hình mặt phẳng, Nhà xuất giáo dục [3] James W Anderson (2000), Hyperbolic Geometry, Spinger Undergradute Mathematics Series 50 ... Chương Hệ tiên đề hình học Lobachevsky lý thuyết đường song song 2.1 Hệ tiên đề Hệ tiên đề gồm tất tiên đề nhóm I, II, III, IV hình học tuyệt đối tiên đề Lobachevsky (tiên đề V’) Tiên đề Lobachevsky... tiên đề hình học Lobachevsky lý thuyết đường song song 12 2.1 Hệ tiên đề 12 2.2 Đường song song đường phân kỳ Lobachevsky 15 2.3 Các tính chất đường thẳng song song... 2: Hệ tiên đề hình học Lobachevsky lý thuyết đường song song Chương 3: Một số đối tượng khác hình học Lobachevsky Chương 4: Mơ hình hình học Lobachevsky Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ tiên đề