Trong cuốn Quang học, Euclide đưa ra tiên đề rằng các “tia thị giác” phát ra từ mắt chiếu thẳng vào tất cả những gì mà cái nhìn chạm vào.. Mỗi một tia đi đến đầu bên kia chỉ tới một điểm[r]
(1)EUCLIDE VÀ PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ TRONG HÌNH HỌC
1 Tiểu sử Euclide
EUCLIDE (330-275 Tr.C.N)
(2)Ptolémée Đệ I, tức 323 285 Tr C.N Nơi tụ họp nhiều nhà bác học tiếng giới Nơi có thư viện lớn tập trung nhiều sách giới Đông - Tây Ơclit đến nghiên cứu, học tập, bổ sung kiến thức toán học
2 Cuộc đời nghiệp toán học Euclide
(3)có lợi nhuận từ học được" Đóng góp vĩ đại Euclide cho toán học việc xếp tổ chức lại hình học thành mơn học quy củ Ơng đơn giản hóa xếp lại tác phẩm riêng lẻ bậc bối, hệ thống định lý chứng minh thành chuỗi có lơgic Ơng sửa lại cách chứng minh cũ nghĩ cách chứng minh để bổ sung điều cịn thiếu sót
Các nhà hình học mà Euclide bổ sung cho tác phẩm họ Thales Pythagore Ai nhớ định lý Pythagore: Trong tam giác vng bình phương cạnh huyền tổng bình phường cạnh góc vng
Khác với Thales, Ơclit để lại nhiều viết cung cấp nhìn cho nhà tốn học Trong đặc biệt phải kể đến phát biểu đường conic, sai số hình học, ứng dụng toán học vào nhạc 13 sách ngun tắc tốn học Ngồi ra, người ta cịn nhắc đến ơng qua phép chia Ơclit, khoảng cách Ơclit, khơng gian véctơ Ơclit…
Ngồi ông tham gia nghiên cứu luật xa gần, đường cơ-nic, lý thuyết số tính xác Bằng cách chọn lọc, phân biệt loại kiến thức hình học có, bổ sung, khái quát xếp chúng lại thành hệ thống chặt chẽ, dùng tính chất trước để suy tính chất sau Vào cuối kỷ XIX, sai sót nhỏ bộ: Cơ bản định nghĩa sai hay thiếu hoàn chỉnh tiên đề ông bỏ dịch lại Tuy nhiên Cơ bản
vẫn không thay đổi giá trị nó.Tác phẩm Euclide : Cơ bản
được dịch nhiều thứ tiếng dùng sách giáo khoa hình học từ 2.000 năm
(4)phẩm học trị ơng soạn phần hướng dẫn ông Chúng ta nhớ tiên đê mà người công nhận không cần phải chứng minh: Qua điểm nằm mít phẳng ta vẽ đường thẳng song song với đường thong thứ hai mà Vào kỷ XIX, nhà toán học người Nga Lobachevsky cho qua điểm P khơng gian có vơ số đường thẳng song song Ông can đảm thành lập mơn hình học Phi Euclide Một người Đức Riemann Bầu dã đóng góp nhiều việc phát triển hình học Phi Euclide
Có thể nói hầu hết kiến thức hình học cấp trung học sở đề cập cách có hệ thống, xác Bộ sách Cơ bản đồ sộ Euclid đặt móng cho mơn hình học tồn tốn học cổ đại Bộ sách gồm 13 quyển: sáu đầu gồm kiến thức hình học phẳng, ba có nội dung số học trình bày dạng hình học, thứ mười gồm phép dựng hình có liên quan đến đại số, cuối nói hình học khơng gian Cụ thể:
- Quyển 1: Nêu lên phép dựng bản, phép tính đoạn thẳng góc, tính chất hình tam giác, hình chữ nhật, hình bình hành, vấn đề so sánh diện tích hình Kết thúc định lý Pitago thuận đảo
Trong thứ nhất, Euclid đưa định đề:
1.Qua hai điểm bất kì, ln ln vẽ đường thẳng Đường thẳng kéo dài vơ hạn
3 Với tâm bán kính bất kì, ln ln vẽ đường trịn
4 Mọi góc vng
(5)Và tiên đề:
1 Hai thứ ba
2 Thêm vào
3 Bớt từ
4 Trùng Toàn thể lớn phần
Với định đề tiên đề đó, Euclid chứng minh tất tính chất hình học Con đường suy diễn hệ thống chặt chẽ làm cho tập sách chép tay truyền nước Tuy nhiên, định đề tiên đề Euclid cịn q ít, đặc biệt khơng có tiên đề liên tục, nên nhiều chứng minh, ông phải dựa vào trực giác thừa nhận điều mà ông không nêu thành tiên đề
- Quyển 2: Nghiên cứu tương quan diện tích hình chữ nhật diện tích hình vng Những hẹ thức dược lựa chọn để chúng trở thành cơng cụ hình học chung nhằm giải thích đẳng thức đại số để giải tốn quy phương trình bậc hai, sách đại số - hình học Quyển ngắn 13 quyển, gồm định nghĩa 14 mệnh đề
- Quyển 3: Đề cập tới tính chất hình trịn đường trịn, dây cung tiếp tuyến, góc tâm góc nội tiếp Trong này, phép quy nạp Aristotle dùng để chứng minh định lý số đo góc nội tiếp
- Quyển 4: Bao gồm tính chất đa giác nội tiếp ngoại tiếp, cách dựng đa giác 3; 5; 15 cạnh
(6)- Quuyển 6: Nêu ứng dụng lý thuyết tỉ số vào hình học phẳng Trong cịn có nhóm định lý việc ứng dụng diện tích để tìm đoạn thẳng, kể ứng ụng thiếu (eliptic) ứng dụng thừa (hypebolic).Các định lý cho ta phương pháp hình học để giả
toán dẫn đến phương trình bậc hai dạng
2
a +x bx S
c (với a, b, c là đoạn thẳng cho, S diện tích cho x đoạn thẳng phải tìm) Đó kết quen biết mơn đại số - hình học
- Quyển 7: Bắt đầu nằng thuật toán trừ liên tiếp (thuật tốn Ơclit) Sau mệnh đề lý thuyết chia hết Cuối lý thuyết tỉ số với số hữu tỉ
- Quyển 8: Khảo sát “tỉ số liên tiếp” nghĩa tỉ thức dạng:
0
1
n n
n n
a a a a
a a a a
Tỉ số số hạng tỉ lệ liên tiếp hình thức cổ điển ố luỹ thừa, ta thấy có số trung tỉ phương pháp tìm cấp số nhân
- Quyển 9: Viết lý thuyết số nguyên tố, có chứng minh số nguyên tố nhiều vô hạn mà phương pháp chứng minh giống chứng minh ngày (phản chứng) Có trình bày đầy dủ tính chất
tiếng sau: “Nếu số S có dạng
n k k
số nguyên tố số
n
S S số
hoàn hảo.” (số hoàn hảo số tổng tất ước nó, kể đơn vị trừ nó) Về vấn đề số có dạng nói có phải tất ố hồn hảo hay khơng đến chưa giải
(7)biểu thức dạng a b với a, b nnhững đoạn thẳng thơng ước Ngồi ra, cịn trình bày bổ đề “phương pháp vét cạn”, phương pháp tìm số vô hạn ba số nguyên Pitago, tìm hiểu tiêu chuẩn thơng ước hai đại lượng, tìm số đo chung lớn đại lượng thông ước
- Quyển 11: Một số định nghĩa liên quan đến không gian hàng loạt định lý vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng khơng gian góc đa diện Ngồi cịn đề cập tỉ số thể tích hình hộp, hình lăng trụ
- Quyển 12: Nghiên cứu tỉ số thể tích tất vật thể sơ cấp khác (chóp, trụ, nón, cầu) nhờ “phương pháp vét cạn”
- Quyển 13: Trình bày cách dựng năm khối đa diện đều: Khối mặt (tứ diện), sáu mặt, tám mặt, mười hai mặt hai mươi mặt chứng minh khơng cịn loại đa diện khác
Một số phần tài liệu chắn cơng trình riêng Euclid, ông thừa nhận công khai ông thừa kế phần khác phân định xác riêng ơng thừa kế khó biết Tuy nhiên, kể ơng khơng có đóng góp chút vào nguyên tác, Cơ không giảm sút ý nghĩa vốn có cố gắng thành công bậc để xếp lại tồn kiến thức tốn học vào hệ thống diễn dịch logic tảng tiên đề đơn giản
Người đời sau hết lời ca ngợi “Cơ bản” cách suy luận độc đáo Ơclýt Ông sử dụng tiên đề định đề, 125 định nghĩa để xây dựng thành công 465 mệnh đề toán học Cho đến ngày nay, nội dung “Cơ bản” dạy trường phổ thông nước giới
(8)Ngoài viết chứng minh định lý hình học - tượng đài trí tuệ hùng vĩ tới mức chấp nhận hoàn toàn suốt hai mươi hai kỷ sau, Euclide quan tâm đến vấn đề thị giác Và quan tâm hồn tồn có sở: ơng thấy lĩnh vực lý tưởng để áp dụng ý tưởng hình học thân thiết ơng Ơng chấp nhận cách tự nhiên quan niệm “tia thị giác” Empédocle: số ba lý thuyết mà bậc tiền bối đưa ra, lý thuyết “tia thị giác” phù hợp với cách xử lý toán học chặt chẽ Ông đưa nhiều lập luận xác đáng để ủng hộ giả thuyết Chẳng hạn, ông lập luận lúc tri giác vật, nhìn bặt gặp chúng: chưa bạn nhận thấy kim rơi xuống đất nằm tầm nhìn bạn; đó, thị giác phụ thuộc vào ánh sáng kim phản xạ đến mắt bạn, chắn bạn phải nhìn thấy Ngược lại, lý thuyết “tia thị giác” phát từ “ngọn lửa” bên mắt bạn giải thích rõ điều đó: kim nhìn thấy vào lúc tia phát từ mắt bắt gặp
(9)Tất nhiên, cịn nhiều câu hỏi mà quang hình học Euclide chưa thể đưa câu trả lời: tỉ có “tia thị giác” “mặt nón thị giác”, nhân tố định số lượng chúng? Cịn vấn đề coi gót chân Achille lý thuyết “tia thị giác” chưa giải quyết: nhìn mờ ánh sáng ban ngày giảm, hoàn tồn khơng nhìn đêm tối? Hơn nữa, khơng thấy Euclide tính đến yếu tố sinh lý (như vai trò mắt), tâm lý (như vai trò não) hay vật lý liên quan đến chất ánh sáng màu Euclide giới hạn vai trò nhà tốn học Quang học Euclide khơng mà khơng có ảnh hưởng lịch sử to lớn Lần tốn học (ở hình học) áp dụng cho tượng tự nhiên lần thực thể trừu tượng xuất phát từ trí tưởng tượng người, đường thẳng, tam giác hay vòng tròn, sử dụng để làm sáng tỏ tình thực tế: mắt, ánh sáng thị giác Đó khởi đầu nhận thức ngơn ngữ tự nhiên tốn học Mặt khác, quan niệm “mặt nón thị giác” đóng vai trò định phát triển ý tưởng quang học có sức sống đặc biệt lâu dài Nó cịn kéo dài lâu sau người nhận ánh sáng giới bên ngồi vào mắt người, ngược lại, nhiều khía cạnh chế thị giác làm sáng tỏ Vào thời kỳ gần với chúng ta, tức vào năm 1800, nhiều nhà vật lý tin chùm ánh sáng cấu thành từ nhiều “tia thị giác”, chùm sáng sáng chứa nhiều “tia thị giác” Còn người cho ánh sáng cấu thành từ nhiều hạt hình dung hạt chúng di chuyển “tia thị giác” tựa xe ô tô chạy nối đuôi đường nhựa
(10) (tiếng Hy Lạp: tiếng Việt nhà toán học thời cổ Hy Lạp, kỉ thứ TCN đường nic, lý thuyết số hình học