Xác định tọa độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm cạnh CD.. Tìm tọa độ tâm O của hình bình hành ABCD..[r]
(1)www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ mặt phẳng PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc mặt phẳng y x′Ox ⊥ y′Oy Vộc tơ đơn vị e ∈ x′Ox Vộc tơ đơn vị e ∈ y′Oy e1 = e = ;e ⋅ e = M Q e2 O II TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM x e1 P M ( x, y ) ⇔ OM ( x, y ) ⇔ OM = x ⋅ e1 + y ⋅ e 2 Tọa độ các điểm đặc biệt A ( x1 , y1 ) x + x y1 + y , Cho B ( x , y ) ⇒ Trung điểm AB có tọa độ là: I C ( x , y ) 3 JA = k ⇔ Tọa độ: J x1 − kx2 , y1 − ky Điểm chia AB tỉ số k là điểm thoả mãn 1− k 1− k JB x + x + x y1 + y + y Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: G , 3 III TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ a = ( a1 , a ) ⇔ a = a1 e1 + a e A ( x1 , y1 ) ĐN: Nếu thì AB = ( x2 − x1 , y − y1 ) B ( x2 , y2 ) b = ( b1 , b2 ) ⇔ b = b1 e1 + b2 e Phép toán: a ± b = ( a1 ± b1 , a ± b2 ) ; α ⋅ a ± β ⋅ b = ( α ⋅ a1 ± β ⋅ b1 , α ⋅ a ± β ⋅ b2 ) IV TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI a ⋅ b = a ⋅ b cos ( a , b ) a ⋅ b = a1b1 + a b2 a = a 12 + a 22 ; b = b12 + b 22 a + b ≤ a + b a − b ≤ a + b a + b ≥ a − b 10 a − b ≥ a − b 11 a ⋅ b ≤ a ⋅ b 23 Lop10.com (2) www.VNMATH.com Phần Hình giải tích − Trần Phương a + b = a − b = AB = ( a1 + b1 ) ( a1 − b1 ) ( x − x1 ) + ( a + b2 ) + ( a − b2 ) + ( y − y1 ) 12 cos ( a , b ) = 13 sin ( a , b ) = a1b1 + a b2 a12 + a 22 b12 + b22 ; a1b2 − a b1 a12 + a 22 b12 + b22 V SỰ THẲNG HÀNG a det ( a , b ) = b1 a2 = a1b2 − a b1 ; b2 a // b ⇔ det ( a , b ) = a1b2 − a b1 = A, M, B thẳng hàng ⇔ det ( AB, AM ) = VI DIỆN TÍCH TAM GIÁC x − x1 A ( x1 , y1 ) ; B ( x , y ) ; C ( x , y ) S ∆ABC = det ( AB, AC ) = 2 x − x1 y − y1 y − y1 VII BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 3; −1) ; B (1; ) ; C ( 5;5 ) Tìm tọa độ điểm D cho: AD = AB − AC Giải Cách 1: Đặt D(x; y) suy ra: AD = ( x − 3; y + 1) ; AB = ( −2;3) ; AC = ( 2; ) x − = −8 − x = −11 Ta có: AD = AB − AC ⇔ ⇔ y + = 12 − 18 y = −7 Vậy tọa độ điểm D là (−11; −7) Cách 2: AD = AB − AC ⇔ AD − AB = ( AB − AC ) ⇔ BD = −3 ⋅ BC Do BC = ( 4;3) nên BD = ( −12; −9 ) suy tọa độ điểm D là D(−11; −7) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 3; ) ; B ( −1; ) ; I ( 4; −1) Xác định tọa độ các điểm C, D cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm cạnh CD Tìm tọa độ tâm O hình bình hành ABCD Giải 24 Lop10.com (3) www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ mặt phẳng Cách 1: Do I(4; −1) là trung điểm CD nên đặt C ( − x; −1 − y ) và D ( + x; −1 + y ) ⇒ CD = ( x; y ) Để tứ giác ABCD là hình binh hành thì CD = BA = ( 4; ) ⇔ x = 2; y = Vậy tọa độ các điểm C, D là C ( 2; −2 ) ; D ( 6; ) 9 Tâm O hình bình hành là trung điểm AD suy O ; 2 Cách 2: Gọi C ( x; y ) , đó IC = AB = ( −2; −1) Vậy C ( 2; −2 ) ; D ( 6; ) Cách 3: Lập phương trình đường thẳng AB Qua I dựng đường thẳng (d) song song với (AB) Khi đó C và D là điểm nằm trên đường thẳng (d) thỏa mãn IC = ID = AB Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 3;1) ; B (1; −3) Xác định tọa độ các điểm C, G cho điểm G là trọng tâm tam giác ABC Biết C nằm trên đường thẳng x = và G cách trục hoành đơn vị Giải Cách 1: Điểm C nằm trên đường thẳng x = nên có tọa độ (2; y) Điểm G cách trục hoành đơn vị nên có tọa độ (x; 1) Điểm G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: x A + xB + xC = xG 3 + + = x x = ⇔ ⇔ y A + yB + yC = yG 1 + ( −3) + y = y = Vậy tọa độ các điểm C và G là: C ( 2; ) ; G ( 2;1) Cách 2: Trung điểm M AB có tọa độ M ( 2; −1) nên M thuộc đường thẳng x = Trọng tâm G nằm trên trung tuyến CM đó có hoành độ là Vậy G(2; 1) suy C(2; 5) 25 Lop10.com (4) www.VNMATH.com Phần Hình giải tích − Trần Phương Bài Cho ∆ABC với A (1, −3) ; B ( 3, −5 ) ; C ( 2, −2 ) Tìm tọa độ M, N là giao các đường phân giác và ngoài góc A với đường thẳng BC Xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Giải AM là phân giác tam giác ABC suy ra: ( ) MB AB 2 =− = −2 ⇔ M + 2.2 ; −5 + −2 ⇔ M ; −3 = − 1+ 1+ AC MC ( ) ( ) AN là phân giác ngoài tam giác ABC suy ra: ( ) NB AB = ⇔ N − 2.2 ; −5 − −2 ⇔ N (1;1) = − − AC NC ( ) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC suy BI là phân giác ∆ABM + ⋅ −3 + ( −3) IA BA 2 5 ; =− = − ⇔ I = − ⇔ I ( − 5; −3) 10 BM IM + 1+ 3 5 Bài Cho A ( 6, 3) ; B ( −3, ) ; C (1, −2 ) a Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I b CMR: H, G, I thẳng hàng Giải a Tọa độ trọng tâm G: xG = ( ) x A + x B + xC y + y B + yC = ; yG = A = ⇒ G 4;7 3 3 3 i H là trực tâm ∆ABC nên ta có: AH BC = x − ) − ( y H − 3) = AH ⊥ BC ( H x H = ⇔ H ( 2;1) ⇔ ⇔ ⇔ BH ⊥ AC BH AC = −5 ( x H + 3) − ( y H − ) = y H = i I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nên: IA = IB = IC ⇔ ( x I − ) + ( y I − 3) = ( x I + 3) + ( y I − ) = ( x I − 1) + ( y I + ) 2 2 2 ⇔ −12 x I − y I + 45 = x I − 12 y I + 45 = −2 x I + y I + ⇔ x I = 1; y I = ⇔ I (1;3) 26 Lop10.com (5) www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ mặt phẳng y −1 ⇔ 2x + y − = b Phương trình đường thẳng IH là: x − = 1− −1 Ta có: x G + y G − = + − = suy G ∈ (IH) suy G, H, I thẳng hàng 3 Bài Cho ∆ABC với A ( 3; ) ; B ( 2;1) ; C ( −1; −2 ) a Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC b Tìm điểm M trên đường thẳng BC cho diện tích S∆ABM = S ∆ABC Giải a Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇔ IA = IB = IC ⇔ IA = IB = IC ⇔ ( − x I ) + ( − y I ) = ( − x I ) + (1 − y I ) = ( −1 − x I ) + ( −2 − y I ) 2 2 2 ⇔ −6 x I − y I + 25 = −4 x I − y I + = x I + y I + ⇔ x I = −5; y I = ⇔ I ( −5;5 ) b Do hai tam giác ABM và ABC có cùng đường cao nên để S∆ABM = S ∆ABC thì BC = 3.BM Gọi M ( x; y ) suy BM = ( x − 2; y − 1) ; BC = ( −3; −3) x = 1; y = Ta có: BC = 3.BM ⇔ BM = ± ⋅ BC ⇔ x − = y − = ±1 ⇔ x = 3; y = Vậy có điểm M thỏa mãn là M1 (1; ) , M ( 3; ) Bài Cho A ( 3; ) , B (1; −2 ) Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành cho tam giác ABM vuông Giải Gọi tọa độ điểm M là M ( x ; ) suy AM = ( x − 3; −4 ) , BM = ( x − 1; ) Để ∆ABM vuông M thì AM ⋅ BM = ⇔ ( x − 3) ( x − 1) − = ⇔ x − x − = ⇔ ( x − ) ( x + 1) = ⇔ x = ∨ x = −1 Để ∆ABM vuông A thì AM ⋅ BA = ⇔ ( x − 3) − 24 = ⇔ x = 15 Để ∆ABM vuông B thì BM ⋅ BA = ⇔ ( x − 1) + 12 = ⇔ x = −5 Vậy có điểm M trên trục hoành thỏa mãn ∆ABM vuông là M1 ( 5; ) , M ( −1; ) , M1 (15; ) , M ( −5; ) 27 Lop10.com (6) www.VNMATH.com Phần Hình giải tích − Trần Phương Bài Cho A(1; 0), B(0; 3), C(−3; −5) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn các điều kiện sau: a ( MA − 3MB ) ( MA − MB ) = c MB + MC = 3MB.MC b ( MA − 3MB )( MA + MB + MC ) = BC d MA + MB = 2MC Giải Gọi M ( x; y ) suy MA (1 − x; − y ) , MB ( − x; − y ) , MC ( −3 − x; −5 − y ) a MA − 3MB = ( x + ; y − ) và MA − MB = ( x + 1; y − ) ( 2MA − 3MB ) ( MA − 2MB ) = ( ⇔ x+3 ) () ( − 2 + y − 15 ⇔ ( x + ) ( x + 1) + ( y − )( y − ) = ) () − ( =0 ⇔ x+ ) ( + y − 15 ) ( Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm −3 ; 15 bán kính 2 ) 10 = 10 b MA + MB + MC = ( −2 − x ; −2 − y ) ( 2MA − 3MB )( MA + MB + MC ) = BC ( ⇔ −3 x + ) ( − y − 25 ) ⇔ ( x + ) ( −2 − 3x ) + ( y − )( −2 − y ) = 73 ( + 857 = 73 ⇔ x + 12 ) ( + y − 25 ) + 19 = 36 Phương trình trên vô nghiệm nên không có điểm M nào thỏa mãn yêu cầu c MB + MC = 3MB.MC ⇔ ( MB − MC ) = MB.MC ⇔ BC = MB.MC ( ) + ( y + 1) = 3654 365 Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( −3 ; −1) bán kính 2 ⇔ − x ( −3 − x ) + ( − y )( −5 − y ) = 73 ⇔ x + 2 2 2 d MA + MB = 2MC ⇔ (1 − x ) + y + x + ( − y ) = ( + x ) + ( + y ) ⇔ x + y − 16 x − 26 y − 57 = ⇔ ( x − ) + ( y − 13) = 290 2 Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( 8;13) bán kính 28 Lop10.com 290 (7) www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài Giả sử M ( −1, 3) ; N ( 2, ) chia AB thành đoạn có độ dài Tìm tọa độ A, B Giải Gọi tọa độ các điểm A, B là A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) Cách 1: Ta có: AM = MN = NB hay M là trung điểm AN, N là trung điểm MB x1 = xM − xN = −4 ; y1 = yM − y N = ⇒ x2 = xN − xM = ; y1 = y N − yM = −3 Vậy tọa độ các điểm A, B là A ( −4; ) , B ( 5; −3) −1 − x1 = − (−1) = x2 − x1 = −4 ; x2 = Cách 2: Ta có: AM = MN = NB ⇔ ⇔ y1 = ; y2 = −3 3 − y1 = − = y2 − Vậy tọa độ các điểm A, B là A ( −4; ) , B ( 5; −3) Bài 10 Cho ∆ABC cạnh a Gọi M là điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ∆ABC Chứng minh rằng: MA + MB + MC = const Giải Xét MB ⋅ MC = ( MA + AB ) ( MA + AC ) = MA + AB ⋅ AC + MA ( AB + AC ) ⇔ MB ⋅ MC = MA2 + a cos 60° + MA ( AM + MB + MC ) a ( ) ⇔ MB ⋅ MC = − MA2 + + MA MB + MC Tương tự ta có: a ( ) a ( ) MC ⋅ MA = −MB2 + + MB MC + MA ; MA ⋅ MB = − MC + + MC MA + MB 2 Cộng các vế đẳng thức trên ta được: 3a MB ⋅ MC + MC ⋅ MA + MA ⋅ MB = MA2 + MB + MC − 3a ⇔ ( MB + MC + MA) = MA2 + MB2 + MC + MA2 + MB + MC − ⇔ ( ⋅ MO ) = ( MA2 + MB + MC ) − 3a (với O là trọng tâm tam giác ABC) ⇔ MA2 + MB + MC = 3MO + a 29 Lop10.com (8) www.VNMATH.com Phần Hình giải tích − Trần Phương Ta có tam giác ABC suy O là tâm đường tròn ngoại tiếp, đó MO chính là bán kính và MO = MA2 + MB + MC = ⋅ a Vậy ta có: a2 + a = 2a = const (đpcm) Bài 11 Cho A ( 2, −3) ; B ( −3, 7) ; C ( −5, 4) Gọi M, N, P là các điểm chia các đoạn AB, BC, CA theo các tỉ số: −3 , , −4 Chứng minh rằng: 2 M, N, P thẳng hàng và M chia đoạn NP theo tỉ số −7 Giải Cách 1: Ta có: AB = ( −5;10 ) ; BC = ( −2; −3) ; CA = ( 7; −7 ) NB PC MA = − ; = ; = − ⇔ AM = ⋅ AB ; BN = − BC ; CP = ⋅ CA NC PA MB N1 ⇔ AM = ( −3; ) ; BN = ( 2; 3) ; CP = ( 4; −4 ) ⇔ M ( −1; 3) ; N ( −1;10 ) ; P ( −1; ) Vậy M, N, P cùng thuộc đường thẳng x = −1 Ta có: MN = ( 0; ) ; MP = ( 0; −3) MN −7 ⇒ = (đpcm) MP Cách 2: Ta có: C B M A P MA NB PC = ; = ; = MB NC PA Gọi N1 là giao điểm MP và BC Ta có: S MN1C S MN1 A = S AMN1 AM S MPC PC = = và = = ⇒ S MN1C = ⋅ S BMN1 S MPA PA S BMN1 MB ⇒ CN1 = 2.BN1 ⇔ N1 B NB ⇒ N ≡ N1 Vậy M, N, P thẳng hang (đpcm) = = N1C NC 30 Lop10.com (9) www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài 12 Cho tứ giác ABCD có A(0; 1), B(−2; −1), C(−1;−4), D(1; 0) a Chứng minh rằng: Các tam giác ABD và BCD là tam giác vuông b Tính diện tích tứ giác ABCD c Tìm M trên Oy để diện tích ∆MBD và diện tích ∆BCD Giải a Ta có AB = ( −2; −2 ) , AD = (1; −1) ⇒ AB ⋅ AD = ⇒ AB ⊥ AD BC = (1; −3) , BD = ( 3;1) ⇒ BC ⋅ BD = ⇒ BC ⊥ BD Vậy ∆ABD vuông A và ∆BCD vuông B (đpcm) b S ABD = AB ⋅ AD = ; S BCD = BC ⋅ BD = ⇒ S ABCD = S ABD + S BCD = 2 c Gọi M ( 0; y ) ∈ Oy Sử dụng công thức S MBD = MB MD − ( MB ⋅ MD ) suy để S MBD = S BCD thì MB MD − ( MB ⋅ MD ) = 10 2 ⇔ + ( y + 1) (1 + y ) − −2 + (1 + y ) y = 10 ⇔ ( y + y + )( y + 1) − ( y + y − ) = 100 ⇔ y + y − 99 = ⇔ ( y − 3)( y + 11) = ⇔ y = ∨ y = −11 ( Vậy có điểm M thỏa mãn là M ( 0;3) M 0; − 11 ) Bài 13 Cho A (1, −3) ; B ( −3,1) ; C ( 4; ) Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số (−1) và N là điểm chia AC tỉ số Tìm I = BN ∩ CM MA NA Ta có: = −1; MB NC Giải AB = ⋅ AM AM = ( −2; ) M ( −1; −1) ⇔ ⇔ = ⇔ CN = (1;3) N ( 5; ) AC = ⋅ CN 31 Lop10.com (10) www.VNMATH.com Phần Hình giải tích − Trần Phương Cách 1: Ta có: BN = ( 8;8 ) , CM = ( −5; −7 ) Gọi tọa độ điểm I là ( x0 , y0 ) suy ra: BI // BN x0 + y0 − x0 − y0 − y0 − = x0 + x0 = ; = = ⇔ ⇔ ⇔ 8 −5 −7 CI // CM 5 y0 − 30 = x0 − 28 y0 = 13 Vậy tọa độ điểm I là I ( 9;13) Cách 2: PT đường thẳng BN là (BN): y − = PT đường thẳng CM là (CM): y − = −1 ( x + 3) ⇔ y = x + − (−3) −1 − ( x − 4) ⇔ y = x + 5 −1 − y = x + x = I = BN ∩ CM nên tọa độ I là nghiệm hệ ⇔ y = 13 y = x + Cách 3: Ta có: S BCN CN = = Mặt khác: S BCA CA + SCNB SCNI S S S = CAI = CBI = CNI SCNB SCAB SCAB 3.S BCN Suy ra: SCNB = 2.SCNI ⇒ xI = BN ⇒ =2 NI B M N C A I xN − xB y − yB = ; yI = N = 13 2 Vậy tọa độ điểm I là I ( 9;13) Bài 14 Chứng minh rằng: a − 2a + + a + 2a + ≥ (1) Giải Cách 1: (1) ⇔ (a − 1) + 2 + (a + 1) + 2 ≥ Đặt a = (1 − a; ) , b = ( a + 1; ) ⇒ a + b = ( 2; ) Ta có: (a − 1) + 2 + (a + 1) + 2 = a + b ≥ a + b = 2 + = (đpcm) Dấu xảy ⇔ a ↑↑ b ⇔ − a = a + ⇔ a = 32 Lop10.com (11) www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ mặt phẳng Cách 2: a − 2a + + a + 2a + ≥ ⋅ ( a − 2a + )( a + 2a + ) = ⋅ (a + 5) − 4a = ⋅ a + 6a + 25 ≥ ⋅ 25 = (đpcm) a − 2a + = a + 2a + ⇔ a=0 Dấu xảy ⇔ a = Bài 15 Giải phương trình: (4 − x) x − + − x = 85 − 57 x + 13 x − x (1) Giải Ta có: (1) ⇔ (4 − x) x − + − x = ( − x ) ( x − x + 17 ) ⇔ (4 − x) x − + − x = ( − x ) ( − x ) + 1 (ĐK: x ∈ 2; 72 ) Xét a = ( − x;1) , b = ( x − 2; − x ) ⇒ a ⋅ b = ( − x ) x − + − x và a = ( − x ) + 1; b = ( x − ) + ( − x ) = − x 4−x Khi đó (1) ⇔ a ⋅ b = a ⋅ b ⇔ cos ( a ⋅ b ) = ⇔ = x−2 − 2x ⇔ ( − x ) ( − x ) = x − ⇔ −2 x + 23x − 89 x + 114 = ⇔ ( − x ) ( x − 17 x + 38 ) = Do x ∈ 2; 72 nên x − 17 x + 38 > Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 16 CMR: x + xy + y + y + yz + z ≥ z + zx + x , ∀x, y, z ∈ Giải Ta có: x + xy + y = 2 ( ) y+ x ( 2 x ; + y + yz + z = 2 ( y+ z ) z + ) 3( Xét a = y + x ; x,b = − y + z ; z ⇒ a + b = x − z ; x + z) 2 2 ( x − z )2 3( x + z)2 ⇒ a+b = + = z + zx + x 4 33 Lop10.com (12) www.VNMATH.com Phần Hình giải tích − Trần Phương Do a + b ≥ a + b nên x + xy + y + y + yz + z ≥ z + zx + x (đpcm) Dấu xảy ⇔ a ↑↑ b ⇔ x = z = 2y + x −y −y − x x x −2 y − x ⇔ = ⇔ xy + yz + zx = =− ⇔ = z 2y + z z 2y y+z y Hay là x = z = ∨ x = kz , y = −k z 1+ k ( k ≠ −1) Cách 2: Trong số x, y, z có ít A số cùng dấu, giả sử là x và y C2 Lấy các điểm O, A, B, C 1, C2 cho |x| OA = x , OB = y , OC1 = OC2 = z và O =C BOC 1OA = 120° ; AOC2 = C2 OB = 60° |y| B |z| Ta có: AB = x + y − xy cos120° ⇔ AB = x + y + xy Tương tự suy ra: C1 BC1 = y + z + yz , C1 A = z + x + zx và BC = y + z − yz , C A = z + x − zx Nếu z cùng dấu với x, y thì sử dụng AB + BC1 ≥ C1 A suy (đpcm) Nếu z cùng dấu với x, y thì sử dụng AB + BC2 ≥ C2 A suy (đpcm) Dấu xảy ⇔ Trong điểm A,B,C có ít điểm trùng O ⇔ số x, y, z có ít số Trong trường hợp x, z cùng dấu và khác dấu với y thì dấu xảy độ dài đường là phân giác từ đỉnh O tam giác OAC chính là OB 34 Lop10.com (13) www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ mặt phẳng VIII BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Dạng 1: Xác định tọa độ điểm Bài Cho A (1, −2 ) ; B ( 0, ) ; C ( 3, ) Tìm D với: a CD = AB − AC b AD + BD − 4CD = Bài Cho A (1, −2 ) ; B ( 2,1) ; C ( −3, ) Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Bài Cho A(1, −2) Tìm trên Ox điểm M để đường trung trực AM qua gốc O Bài Cho A ( −1, −3) ; B ( 3,3) Tìm M, N để chia AB thành đoạn có độ dài Bài Giả sử M (1, ) ; N ( 0, ) chia AB thành đoạn có độ dài Tìm tọa độ A, B Bài Cho A ( −2, −6 ) ; B (10, ) ; C ( −11, ) Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số (−3) và N là điểm chia AC tỉ số (−2) Tìm I = BN ∩ CM Bài Cho A( −1, −1) ; B ( 2, 4) ; C ( 6,1) Gọi M, N, P là các điểm chia các đoạn AB, BC, CA theo các tỉ số: −1, 2, −1 Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng Bài Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, tâm đường tròn nội tiếp I a A ( 6, ) ; B ( −4, ) ; C ( 0, −1) b A ( −2, ) ; B ( 5, ) ; C ( 6, −2 ) c A ( 3, ) ; B ( 6, 3) ; C ( 8, −1) Bài Cho ∆ABC cân A Gọi D là trung điểm AB; E là trọng tâm ∆ACD; I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACD CMR : IE ⊥ CD Bài 10 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (I, R) Gọi M là điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC CMR: MA + MB + MC = const 35 Lop10.com (14) www.VNMATH.com Phần Hình giải tích − Trần Phương Dạng 2: Sự thẳng hàng Bài Cho A ( 2; −2 ) , B ( 4; −1) , C ( 7; ) , E ( 5;1) a Chứng minh rằng: B, C, E thẳng hàng b Tìm tọa độ điểm D trên Oy cho ABCD là hình thang đáy AB, CD Bài Cho A(−3, 12); B(2, −4); C(5, −4); D(5, 5) Tìm AC ∩ BD Bài Cho A(1, 3); B(5, −5) Tìm M ∈ Ox để ( MA + MB ) Min Bài Cho A(1, 2); B(3, 4) Tìm M ∈ Ox để ( MA + MB ) Min Bài Cho A (1; ) , B ( −3; −4 ) Tìm M∈(∆): x − y − = để ( MA + MB ) Min Bài Cho A ( x1 , y1 ) ; B ( x , y ) Tìm M∈(∆): ax + by + c = để ( MA + MB ) Min Bài Chứng minh rằng: a − 2a + + a − 6a + 10 ≥ 2 Bài Cho 3a − b + = CMR: Bài Chứng minh rằng: a + b − 2a − 12b + 37 + a + b + 6a − 6b + 18 ≥ a − 2a + + a − 12a + +136 ≥ 13 Bài 10 Cho a, b, c > và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a + 2b b + 2c + + ab bc c + 2a ≥ ca ( ) Bài 11 Cho ( ∆) :2x − y −1 = và điểm: A ( 0, −1) ; B ( 2,3) ; C , ; E (1, 6) ; F ( −3, −4) a Tìm D ∈ (∆) cho (A, B, C, D) là hàng điểm điều hòa b Tìm M(x, y) ∈(∆) cho: EM + FM là nhỏ 36 Lop10.com (15)