Các thầy cô giáo hoặc các em học sinh có những câu thơ hay về nội dung công thức trong bài xin góp ý giùm.. Mong nhận được góp ý![r]
(1)CÔNG THỨC LƯỢNG
CÔNG THỨC LƯỢNG
GIÁC
GIÁC 1.Công thức cộng:
1.Công thức cộng:
( )
1 .
tga tgb tg a b
tga tgb
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa
( )
1 .
tga tgb tg a b
tga tgb
Nhớ :
cos thời cos cos, sin sin
sin thời sin cos, cos sin
tg tổng tổng tg ta
phép chia trừ thừa tg
Cụ thể : VT VP ngược dấu
VT VP dấu
( )
1
tg tg tg
tg tg
tg hiệu hiệu tg
phép chia cộng thừa tg vô ( )
tg tg tg
tg tg
(2)cos cotg tg O + -1 -1 1 B A A’ B’ M P Q sin K α N E F β
Vận dụng kiến thức học :
cos ;
u v u v u v
. .
u p i q j 1
i j
ON OM ; k2
j
i
0 x
y
1
1;0
i
0;1
j
( ; )
u p q 2
u p q
;
v a b
. . .
u v p a q b Xét M , N mp tọa độ Oxy :
x y
cos ;sin
OM
cos ;sin
ON
.cos ;
OM ON OM ON OM ON
(3)
cos cos sin sin 1.cos k2
cos cos sin sin cos2 sin2 cos2 sin2 . cos k2
cos cos sin sin cos
cos cos
cos cos cos sin sin
cos cos sin sin
sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin
tg
sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos
sin sin cos cos sin sin cos cos tg tg tg tg tg tg tg tg tg
tg tg
tg tg tg tg
(4)Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào nhớ cotg nghịch đảo tg
Ví dụ : Tính cos150 cotg2150
0
cos15 cos 45 300 cos 45 cos300 sin 45 sin 300
2
sin 15 1 cos 15
2
4 2
6 2
1 1
4 16 4
2 2
sin 15
4
sin150 2 2
4
2
2
15
sin 15
cotg
4 2
1 2
1
2 2 2 2 2
4
(5)Ví dụ : Tính sin
2
cos cos sin
4 8
sin2 sin2
8
2 cos 2sin
4
2 cos 2 sin
8
2 sin
8
cos cos cos sin sin
8 8 8
Giải
0
8
(6)2 Công thức nhân đôi :
2 Công thức nhân đôi :
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α – sin2α
= 2cos2α –
= – 2sin2α
2
2
1
tg tg
tg
Nhớ :
sin cặp cặp sin
cos hai lấy hiệu bình sin bình
thêm hai cos bình trừ
duy trừ hai sin bình
tg nhị nhị tg anh
phép chia trừ bình tg thơi
Chứng minh : Vận dụng công thức sin(α+β), cos(α+β) tg(α+β) Cụ thể :
cos 2 cos( ) cos cos sin sin cos2 sin2
sin 2 sin( ) sin cos sin cos 2sin cos
2
2 2
1 1
tg tg tg tg
tg tg tg
(7)a Hệ
a Hệ
1:
1:
2
2
2
1 cos cos
2 cos sin
2 cos cos
tg
Các công thức sau cho phép tính cosα, sinα tgα
theo ,
2
t tg k
2 2 2 sin 1 cos t t t t t tg t
Chứng minh :
Chứng minh :
Vận dụng công thức nhân đôi ta hệ qủa
b Hệ 2: b Hệ 2:
cos bình chi ? mẫu hai, tử tổng cos hai
(8)sin 2sin cos 2 2 2sin cos 2 sin cos 2 2 2 2sin cos 2 cos sin cos 2 cos cos 2 2 2sin cos 2 sin cos 2 2 sin tg tg 2 sin t t 2 cos tg tg 2
2 2 2
2
2 2
2
cos sin
2
cos sin cos sin cos cos
2 2 2
cos cos sin
2 cos sin cos sin
2 2
cos cos 2 2 1 cos 1 t t
(9)Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau :
2
5 cos 2 7sin
x M
x
1
2 2
x
tg
2
5 sin 4 sin
2 7sin 7sin
x x
M
x x
2
1
2 2
sin
1 1
1
2
t x
t
2 4
58
4 95
5
M
Giải
Áp dụng hệ qủa : đặt 1
2 2
x
(10)3 Công thức biến đổi :
3 Công thức biến đổi :
a Cơng thức biến đổi tích hàm số lượng giác a Cơng thức biến đổi tích hàm số lượng giác
thành tổng : thành tổng :
1
sin sin cos cos
2
cos cos cos cos
2
sin cos sin sin
2
Nhớ :
tích sin tích nửa âm
đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ
Chứng minh : Vận dụng công thức cộng cộng
(11)Ví dụ : Tính cos cos
5
M
1 2
cos cos
2 5 5
M
1 3
cos cos cos cos
2 5 5
M
3
2sin cos cos
1 5 5 5
2 2sin M
2sin cos 2sin cos
1 5 5 5 5
2 2sin
1 2
sin sin sin
5 5
4sin
M
(12)b Công thức biến đổi tổng hàm số lượng giác b Công thức biến đổi tổng hàm số lượng giác
thành tích : thành tích :
cos cos 2cos cos
2
cos cos 2sin sin
2
sin sin 2sin cos
2
sin sin 2cos sin
2
sin
cos cos sin
cos cos
tg tg
tg tg
Nhớ :
cos ‘+’ cos cos cos
cos ‘-’ cos ‘-’ sin sin
sin ‘+’ sin sin cos
sin ‘-’ sin cos sin
Cụ thể :
Chữ cuối lên giọng VT tổng, xuống giọng VT hiệu
(13)Chứng minh :
sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb
Đặt :
α = a + b β = a – b
2
a b
sin sin 2sin cos
2 2 2
sin sin 2sin cos
2
(14)Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau M = sinx – sin2x + sin3x
M = sin3x + sinx – sin2x 2sin cos – sin2x
2
x x x x
= Giải
2
2cos 2cos sin
2
x x x x
M x
M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx)
3 4sin cos cos
2
x x
M x
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau N = tg750 – tg150
Giải
0 0
0 0
sin 75 15 sin 60
cos 75 cos15 cos 75 cos15
(15)Mở rộng cho công thức sau :
Mở rộng cho công thức sau :
sin cos sin cos
4
sin cos sin cos
4
i ii
iii sin3α = 3sinα – 4sin3α
iv cos3α = 4cos3α – 3cosα
Vận dụng công thức : cos cos cos cos
Với α = 750 , β = 150 vào ta kết :
0
0 0
sin 60
cos 75 15 cos 75 15
N
0
0
2sin 60
cos 90 cos 60
0
0
2sin 60
2 60
cos 60
(16)Chứng minh :
sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α = 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α
sin3α = 3sinα – 4sin3α
Tương tự cho cos3α
VT 2
2 sin cos 2
2
sin cos
2
2 cos sin sin cos
4
VT
2 sin 4
2 sin sin cos cos
4
VT
cos
Tương tự cho sinα - cosα i
ii iii
(17)Bài tập củng cố : Bài tập củng cố :
1 Tính: A = sin100sin300sin500sin700
A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300
0 0
.cos10 sin 20 cos 20 cos 40
2
A
A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200)
A = sin100sin300 cos400cos200
0 0
.cos10 sin 40 cos 40
4
A
0
.cos10 sin 80
8
A
0 0
.cos10 sin(90 80 )
A
0
.cos10 cos10
8
A 1
8
A
(18)2 Tính : B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800
B = (cos200 + cos1600 ) + (cos400 + cos1400 ) + (cos600 + cos1200 ) +
(cos800 + cos1000 ) + cos1800
B = [cos200 + cos(1800 - 20)] + [cos400 + cos(1800 - 400 )] + [cos600 +
cos(1800 - 600 )] + [cos800 + cos(1800 - 800 )] +cos1800
B = (cos200 – cos200 ) + (cos400 – cos400 ) + (cos600 – cos600 ) +
(cos800 – cos800 ) + cos1800
B = cos1800 = cos(1800 – 00) = – cos00 = -1 3.Ví dụ :CMR :
tgA tgB tgC tgA tgB tgC
Theo giả thiết, A,B,C góc tam giác, ta có: A + B + C = π A + B = π – C
tg(A + B) = tg(π – C)
(19)
tgA tgB tgC tgA tgB
tgA tgB tgC tgC tgA tgB
tgA tgB tgC tgA tgB tgC
1
tgA tgB
tgC tgA tgB
(đpcm)
4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân B khi:
sin
2 cos sin
B
A
C
sin B 2sin cosC A 2.1 sin sin
2 C A C A
Mà : A + B + C = π C + A = π – B
sin C A sin B sin B
sin C A 0
A C
(1)
Giải :
(1)
sin B sin B sin C A Do :
(20)Một vài cảm nghĩ:
Để việc học dễ dàng nên phần trình bày cơng thức có bổ sung số câu thơ
Các thầy cô giáo em học sinh có câu thơ hay nội dung cơng thức xin góp ý giùm
Mong nhận góp ý !