Phương pháp tiên đề trong hình học

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình M U Lý chn ti Trong toỏn núi chung cng nh hỡnh hc núi riờng, nh ngha mt khỏi nim no ú ta phi da vo nhng khỏi nim ó cú trc ú; nhng nh ngha cỏc khỏi nim ó cú trc y thỡ li phi da vo nhng khỏi nim ó cú sm hn c nh vy m i mói lờn thỡ khụng cựng Bi vy, phi cú mt s nhng khỏi nim u tiờn khụng nh ngha gi l cỏc khỏi nim c bn Tng t nh vy, chng minh mt mnh ta cn da vo nhng mnh ỳng ó cú trc ú, nhng chng minh nhng mnh ó cú trc ú thỡ li phi da vo nhng mnh ỳng ó cú sm hn c nh vy m i ngc lờn thỡ cng mói khụng cựng Vy phi cú mt s mnh m tớnh ỳng n ca chỳng c tha nhn m khụng chng minh, gi chỳng l cỏc tiờn Cỏc khỏi nim c bn ta khụng nh ngha, nhng mt s tớnh cht ca chỳng c bc l qua cỏc tiờn Khi xõy dng toỏn hc, c bit l xõy dng hỡnh hc ngi ta dựng suy din lụgic c th l phng phỏp tiờn Theo phng phỏp ú, xut phỏt t mt s nhng i tng c bn v mt s quan h c bn v cỏc tiờn ri dựng cỏc quy tc lụgic nh ngha cỏc khỏi nim khỏc v chng minh cỏc mnh khỏc õy l mt phng phỏp quan trng Phng phỏp ny ó i cỏch õy hn hai nghỡn nm v ó hon thin cựng vi s phỏt trin ca hỡnh hc clit v s i ca cỏc mụn hỡnh hc khỏc Ngy phng phỏp tiờn ó t hỡnh hc lan rng phỏt huy nh hng sang nhiu nghnh toỏn hc khỏc, k c tin hc v nhiu b mụn khoa hc xó hi khỏc Vi nhng lý trờn v cựng vi s giỳp ch bo ca thy Bựi Vn Bỡnh tụi ó chn ti Phng phỏp tiờn hỡnh hc lm ti khúa lun cho mỡnh Nguyễn Thị Xuân K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu nhng c bn ca mt h tiờn v a mt s h tiờn c bn ca hỡnh hc i tng nghiờn cu, phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: Mt s h tiờn - Phm vi nghiờn cu: Hỡnh hc clit Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu, nghiờn cu cỏch xõy dng hỡnh hc bng phng phỏp tiờn qua cỏc h tiờn HinBe, h tiờn Pụgụrelov, h tiờn Võy Phng phỏp nghiờn cu Tỡm hiu lý thuyt, nghiờn cu, phõn tớch cỏc ti liu tham kho Cu trỳc khúa lun M u Ni dung Chng 1: S lc lch s Chng 2: Nhng c bn ca phng phỏp tiờn Chng 3: H tiờn HinBe ca hỡnh hc clit Chng 4: Mt s h tiờn khỏc ca hỡnh hc clit Kt lun Nguyễn Thị Xuân K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình NI DUNG CHNG 1: S LC LCH S 1.1 S i ca c s hỡnh hc v tỏc phm Nguyờn lý ca clit Trong lch s loi ngi, nhng ý nim u tiờn v hỡnh hc ó phỏt sinh v gn lin vi nn húa c Babilon v Ai cp thi kỡ ú, ngi ta ó bit cỏch tớnh din tớch cỏc hỡnh n gin nh hỡnh tam giỏc, hỡnh thang v hỡnh trũn v ó bit tớnh th tớch mt s vt th n gin nh hỡnh hp ch nht, hỡnh chúp ỏy vuụng T th k VII n th k III trc cụng nguyờn, cỏc nh hỡnh hc Hy Lp ó cú nhng úng gúp quan trng vic phỏt trin mụn hỡnh hc u th k III trc cụng nguyờn h ó cú nhng hiu bit sõu sc v hỡnh hc, khụng nhng ch v lng kin thc m c v cỏc phng phỏp chng minh hỡnh hc Tt c nhng vic lm ú ó t nn múng cho s i ca mụn c s hỡnh hc m m ni dung ch yu ca nú l nghiờn cu s sp xp cỏc kin thc hỡnh hc theo mt trỡnh t suy lun hp lụgic Cụng lao y thuc v cỏc trng phỏi toỏn hc v trit hc ca Talột, Pitago, Aristt, ờmụcret V mt s ngi Hy Lp ó vit nhng tỏc phm ú cú trỡnh by nhng kin thc bc u v c s hỡnh hc Tuy nhiờn ngi cú cụng ln u tiờn c s hỡnh hc l clit Cụng lao ú c th hin tỏc phm Nguyờn lý ni ting ca ụng Tỏc phm Nguyờn lý ca clit khụng nhng hp c hu ht cỏc kin thc toỏn hc ng thi m giỏ tr ch yu ca nú l phng phỏp trỡnh by cỏc kin thc ú mi sỏch tỏc phm Nguyờn lý clit ó bt u bng vic a cỏc khỏi nim (s dựng n) sau ú a mt s khng Nguyễn Thị Xuân K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình nh xem nh chõn lý (gi l tiờn hay nh ) v cỏc khỏi nim ó nờu Phn ch yu ca mi sỏch l cỏc kin thc c bn ca mụn hc bao gm cỏc khỏi nim, thuc tớnh v quan h gia chỳng c phỏt trin thnh cỏc nh lý Tt c cỏc khỏi nim ny u c nh ngha v tt c cỏc nh lý u c chng minh Nh vy, qua tỏc phm Nguyờn lý, clit ó th hin rừ ý mun toỏn hc tr thnh b mụn khoa hc tru tng v suy din, c lp vi ý nim vt lý v khụng gian vt cht xung quanh clit mun nh ngha mi khỏi nim, mun chng minh mi chõn lý Khi bt tay thc hin mi thy rng khụng th l c vỡ chng minh iu ny li phi da vo iu v nh vy l khụng cựng V ú dn n ý tng phi tha nhn mt s khỏi nim khụng nh ngha, tha nhn mt s chõn lý lm c s cho cỏc suy din tip theo Phng phỏp trỡnh by ca clit ó cú nh hng n s phỏt trin ca hỡnh hc nhiu th k tip theo v ca toỏn hc núi chung Vi tỏc phm Nguyờn lý, clit l ngi t nn múng cho vic xõy dng c s ca toỏn hc, dn dt cỏc nh toỏn hc, theo nhng phng hng nghiờn cu khỏc nhau, lm cho toỏn hc tr thnh mt khoa hc tru tng, suy din v a dng Cú th núi clit v tỏc phm Nguyờn lý ca mỡnh tr thnh ngi thy ca cỏc th h toỏn hc sau ny Tuy nhiờn tỏc phm Nguyờn lý cng cú mt s thiu sút, song chớnh vic khc phc cỏc thiu sút ú ca cỏc nh toỏn hc th h sau ó thỳc y toỏn hc phỏt trin 1.2 Ni dung ca phng phỏp tiờn Mi mụn hc cha ng nhng khỏi nim, nhng mi quan h gia chỳng v nhng thuc tớnh ca cỏc khỏi nim Mun xõy dng mt mụn toỏn hc núi chung v mụn hỡnh hc núi riờng tt nhiờn ngi ta phi cú cỏc khỏi nim c bn l nhng khỏi nim u tiờn khụng c nh ngha ú l nhng khỏi nim xut phỏt dựng nh ngha cỏc khỏi nim khỏc Cỏc khỏi nim c Nguyễn Thị Xuân K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình bn gm cú cỏc i tng c bn v cỏc tng quan c bn Trong toỏn hc ngi ta thng dựng ba i tng c bn sau õy: im, ng thng, mt phng Gia cỏc i tng c bn ny li cú cỏc mi liờn h gi l cỏc tng quan c bn nh thuc, gia, bng Ngi ta hiu cỏc tớnh cht ca cỏc khỏi nim c bn ú thụng qua cỏc tiờn Tiờn l mt mnh toỏn hc c cụng nhn l ỳng, lm im xut phỏt suy cỏc nh lý bng lp lun lụgic cht ch trỡnh by mụn hỡnh hc theo phng phỏp tiờn , ngi ta lm nh sau: 1) Khụng nh ngha mt s khỏi nim nh: im, ng thng, mt phng, im nm gia hai im, di on thng, ln gúc Cỏc khỏi nim nh vy gi l cỏc khỏi nim c bn Cỏc khỏi nim khỏc s c nh ngha da vo nhng khỏi nim c bn chng hn nh s bng ca cỏc tam giỏc c nh ngha da vo s bng ca cỏc on thng v s bng ca cỏc gúc 2) Nờu mt s mnh c tha nhn l ỳng m khụng chng minh Cỏc mnh nh th c gi l cỏc tiờn Chng hn ta tha nhn tiờn : Cú mt v ch mt ng thng i qua hai im phõn bit cho trc hoc tiờn : Cú mt v ch mt mt phng i qua ba im khụng thng hng cho trc Mi mnh khỏc u phi c chng minh da vo cỏc tiờn v cỏc mnh ó c chng minh trc ú Chỳng ta cn chỳ ý rng im, ng thng, mt phng khụng c nh ngha, nhng chỳng buc phi tha cỏc tiờn Cho nờn cú th núi chỳng c nh ngha mt cỏch giỏn tip qua cỏc tiờn Nh vy, xõy dng hỡnh hc bng phng phỏp tiờn l quỏ trỡnh a mt h tiờn , sau ú dựng cỏc quy tc lụgic nh ngha cỏc khỏi nim mi v chng minh cỏc nh lý Nguyễn Thị Xuân K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình Cỏc i tng c bn v cỏc tng quan c bn cú th c hiu theo nhng cỏch hiu c th khỏc chỳng phi tha nhng yờu cu nờu cỏc tiờn Nhng hỡnh nh c th ca cỏc khỏi nim c bn tha tt c nhng tiờn ca mt h tiờn c gi l mụ hỡnh ca h tiờn ú 1.3 Mụ hỡnh ca mt h tiờn Vỡ cỏc khỏi nim c bn khụng c nh ngha, nờn nu cú th gỏn cho mi khỏi nim c bn ca h tiờn mt khỏi nim ó cú ca mt mụn hc no ú cho mi tiờn ca h tiờn c dch sang ngụn ng ca mụn hc ú u l chõn lý, thỡ ngi ta coi l ó tỡm c mt th hin (hay mt mụ hỡnh) ca h tiờn mụn hc ú iu ú cú th vớ nh ý tng ca ngi c th hin bng mt th ngụn ng Nh vy mt h tiờn cú th cú nhiu mụ hỡnh cỏc mụn hc khỏc hay thm cựng mt b mụn Khi mt h tiờn ó cú mụ hỡnh thỡ mi nh lý tru tng suy t h tiờn cho ta cỏc nh lý c th ca mụ hỡnh, tc l cỏc nh lý ca cỏc mụn hc m h tiờn c th hin ú l ý ngha thc tin quan trng ca phng phỏp tiờn Bng mụ hỡnh, ta cũn cú th xột xem mt h tiờn cú tha cỏc yờu cu c bn t nú hay khụng Ta bit rng cha cú khụng khng nh l khụng cú Vi mt h tiờn n cha tỡm c mõu thun thỡ hon ton cha núi rng nú phi mõu thun Tuy nhiờn, d thy rng mt h tiờn cú mõu thun m li cú mt s mụ hỡnh mt b mụn no ú thỡ bn thõn lý thuyt ú cng mõu thun Vỡ vy, mt h tiờn l phi mõu thun nu cú mt mụ hỡnh mt lý thuyt ó c chng minh (hay gi thuyt) l phi mõu thun Mt tiờn ca mt h tiờn phi mõu thun s l c lp nu thay nú bng mt khng nh ph nh nú ta nhn c mt h tiờn phi mõu Nguyễn Thị Xuân K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình thun Vỡ vy, mun chng minh mt tiờn ca mt h tiờn l c lp, ta ch cn tỡm mt mụ hỡnh ca h tiờn mt lý thuyt ó c xem l phi mõu thun cho tt c cỏc tiờn khỏc th hin thnh cỏc nh lý ca lý thuyt ú, cú tiờn ú th hin trờn mụ hỡnh l mt kt qu phi lý (trong lý thuyt ú) Bng mụ hỡnh ngi ta cng xem xột c mt cỏch tng i v tớnh y ca mt h tiờn Hai mụ hỡnh ca cựng mt h c gi l ng cu nu cú mt tng ng mt mt gia cỏc khỏi nim c bn ca h tiờn v bo tn nhng quan h c bn gia cỏc i tng Mt h tiờn c gi l y nu bt c hai mụ hỡnh no ca nú u ng cu Nh vy, nu mt h tiờn y thỡ t mt nh lý trờn mụ hỡnh bng cỏch dch ngc, ta s cú mt nh lý tru tng ca h tiờn ú Nguyễn Thị Xuân K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình CHNG 2: NHNG VN C BN CA PHNG PHP TIấN Khi nghiờn cu bt c mt h tiờn no chỳng ta s gp ba c bn sau õy: Vn khụng mõu thun Vn ti thiu (tc l c lp ca cỏc tiờn ) Vn y Mt h tiờn cho ta bit nhng tớnh cht xỏc nh ca cỏc tng quan gia mt i tng no ú T ú ta cú th suy cỏc tớnh cht khỏc ca cỏc i tng ú da vo cỏc tớnh cht nờu cỏc tiờn Ta cú th hiu cỏc i tng v cỏc tng quan gia cỏc i tng ú theo nhiu cỏch hiu c th khỏc nhau, cỏc i tng v tng quan c th ú tha cỏc yờu cu nờu cỏc tiờn Vi mi i tng v tng quan c th ta cú mt s th hin hay mt mụ hỡnh ca h tiờn Sau õy tụi s trỡnh by cỏc c bn ca phng phỏp tiờn 2.1 Vn khụng mõu thun ca mt h tiờn 2.1.1 nh ngha Mt h tiờn gi l khụng mõu thun nu t ú bng suy din logic, khụng bao gi ta suy c mt kt qu mõu thun vi cỏc tiờn hay hai kt qu mõu thun vi Chỳ ý: Nu mt h tiờn mõu thun thỡ mi mnh cú th suy c t nú v ú c cỏi ỳng v cỏi sai u c tha nhn Trong lụgic toỏn, ngi ta ó chng minh c rng mt lý thuyt c xõy dng da trờn mt h tiờn mõu thun thỡ ngi ta cú th chng minh c bt c mnh gỡ, ngha l lý thuyt ú khụng cú giỏ tr gỡ v mt khoa hc Vỡ vy, Nguyễn Thị Xuân K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình khụng mõu thun ca mt h tiờn l quan trng nht phng phỏp tiờn 2.1.2 Chng minh s khụng mõu thun ca mt h tiờn Quỏ trỡnh chng minh s khụng mõu thun v hon thin phng phỏp tiờn ó khụng din mt cỏch nhanh chúng sau t tng ca nú c hỡnh thnh m phi tri qua hng chc th k bt u t thi kỡ clit (ngi u tiờn gii thiu v h tiờn hỡnh hc) Cui th k 19 ngi ta mi chng minh c tớnh khụng mõu thun ca hỡnh hc phi clit xột s khụng mõu thun ca mt h tiờn , ta khụng th da vo s phỏt trin ca mụn hc kt lun vỡ khụng cú gỡ m bo rng nu c phỏt trin mói mụn hc ú ta s khụng gp mõu thun Mt c t i vi phng phỏp tiờn l cỏc i tng v quan h ó c tru tng húa cao lm th no cú th m bo rng ton b nhng mnh c khng nh khụng cha nhng mnh ph nh ln Phng phỏp thng dựng hin chng minh tớnh khụng mõu thun ca mt h tiờn l xõy dng c mụ hỡnh cho h tiờn ú Gi s T l mt lý thuyt xõy dng t h tiờn S m h S l khụng mõu thun Gi s T l mt lý thuyt xõy dng t h tiờn S Nu t lý thuyt T ta xõy dng c mt mụ hỡnh M ca h tiờn S, thỡ ú ta kt lun c h tiờn S cng khụng mõu thun Tht vy, nu nh S l h thng mõu thun, tc l lý thuyt T cha ng hai kt lun trỏi ngc nhau, iu ny s cho ta hai kt lun trỏi ngc trờn mụ hỡnh M, th thỡ húa lý thuyt T cú hai kt lun trỏi ngc (vỡ M c xõy dng t lý thuyt T); ngha l h S mõu thun, iu ny trỏi vi gi thit ca chỳng ta Vớ d chng minh s khụng mõu thun ca hỡnh hc Lobasepxki phng ngi ta dựng vt liu ca hỡnh hc clit xõy dng nờn mụ hỡnh Pongcare nghim h tiờn ca hỡnh hc Lobasepxki Nh mụ hỡnh ú, mi Nguyễn Thị Xuân K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình nh lý ca hỡnh hc Lobasepxki s cho ta mt nh lý ca hỡnh hc clit Thớ d t nh lý Tng cỏc gúc ca mt tam giỏc nh hn 1800 ca hỡnh hc Lobasepxki ta suy nh lý sau õy ca hỡnh hc clit Mt tam giỏc cong c to lờn bi ba na ng trũn cú tõm trờn cựng mt ng thng cú tng cỏc gúc nh hn 1800 Nu hỡnh hc Labosepxki cú hai nh lý mõu thun thỡ hai nh lý ú s cho ta hai nh lý ca hỡnh hc clit cng mõu thun Vỡ vy, nu ta gi thit rng hỡnh hc clit khụng mõu thun thỡ vic xõy dng thnh cụng mụ hỡnh Pongcarờ (Nghim cỏc tiờn ca hỡnh hc Lobasepxki) chng t rng hỡnh hc Lobasepxki khụng mõu thun Vy: Hỡnh hc Lobasepxki s khụng mõu thun nu hỡnh hc clit khụng mõu thun Nh vy, vic chng minh s khụng mõu thun ca mt lý thuyt toỏn hc khụng th gii quyt c bn thõn ca lý thuyt toỏn hc ú Ngi ta dựng vt liu ca mt lý thuyt khoa hc c gi thit l khụng mõu thun xõy dng mt mụ hỡnh ca tng Nu vic xõy dng ú thnh cụng thỡ h tiờn S khụng mõu thun chng minh s khụng mõu thun ca hỡnh hc clit ta dựng vt liu l cỏc s thc xõy dng nờn mụ hỡnh ca hỡnh hc clit Vớ d: i vi hỡnh hc phng ta quy c: im: l mt cp s thc sp th t (x, y) ng thng: l mt b cỏc t s ca ba s thc (u, v, w) vi iu kin l u, v khụng ng thi bng Thuc: Khi ta cú u.x + v.y + w = thỡ ta núi rng im (x, y) thuc ng thng (u, v, w) Ta cú th tip tc xõy dng khỏi nim gia, bngmt cỏch thớch hp v nh vy ta cú mt mụ hỡnh s hc ca hỡnh hc th hin Nguyễn Thị Xuân 10 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình Theo h qu ca tiờn II2, ng thng cha tia c ct cnh AB ca tam giỏc ABC thỡ ct cnh BC ca tam giỏc ABC Tng t i vi tam giỏc BCD t ú suy tia c ct on thng BC v cnh CD Tiờn III2: Mi gúc cú mt s o (s o theo ) ln hn khụng Cỏc gúc bt bng 1800 Nu tia c nm gia cỏc cnh ca gúc (ab) thỡ o ca gúc (ab) bng tng cỏc o ca cỏc gúc (ac) v (bc) Ta cú nh lý sau: nh lý 4.2: Nu ba tia a, b, c cú gc chung v hai tia b, c cựng nm mt na mt phng gõy bi ng thng cha tia a thỡ ú hoc tia c nm gia hai cnh ca gúc (ab) hoc tia b nm gia hai cnh ca gúc (ac) Trong c hai trng hp ta u cú (bc) = |(ac) (ab)| 4.1.4 Tiờn v s tn ti tam giỏc bng mt tam giỏc ó cho Nhúm ny ch cú mt tiờn kớ hiu l tiờn IV Trc ht ta cú nh ngha sau: nh ngha 4.1 i, Hai on thng c gi l bng nu chỳng cú di nh ii, Hai gúc c gi l bng nu o ca chỳng nh iii, Hai tam giỏc ABC v ABC c gi l bng nu chỳng = ảA'; B àC = C' v AB = AB; BC = BC; AC = AC = B'; cú A Tiờn IV: Gi s ABC l mt tam giỏc v a l mt tia Khi ú tn ti tam giỏc ABC bng tam giỏc ABC cho nh A trựng vi gc ca tia a, nh B nm trờn tia a, cũn nh C thỡ nm mt na mt phng ó cho trc to bi ng thng cha tia a nh lý 4.3: Trờn mt tia ó cho cú th t t gc ca nú mt on thng nht bng mt on thng ó cho Chng minh: Gi s a l tia ó cho v AB l on thng ó cho Nguyễn Thị Xuân 41 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình Ly C ngoi ng thng AB Theo tiờn IV, tn ti tam giỏc ABC bng tam giỏc ABC cho A l gc ca tia a cũn B thỡ nm trờn tia ú Suy on thng AB bng on thng AB k h' tớnh nht: Gi s trờn mt tia gc O cú th t c hai Chng minh on thng OX v OY cựngObng mt on thng ó cho v nh vy chỳng bng Trong s ba im O, X, Y cú mt im nm gia hai im h im ú khụng k' th l im O vỡ hai im X v Y ca tia khụng th b gc ca tia chia r Nu im ú l X thỡ OY = OX + XY Nhng iu ny khụng th xy vỡ OX = OY v XY > Tng t nh vy, im Y khụng th nm gia O v X Vy trờn mt tia ó cho cú th t t gc ca nú mt on thng nht bng mt on thng ó cho H qu p b q a Hỡnh 28 Nu (pq) l mt gúc ó cho v a l mt tia ó cho thỡ ú tn ti nht mt tia b chung gc vi a v nm mt na mt phng cho trc c to bi ng thng cha tia a cho gúc (ab) bng gúc (pq) 4.1.5 Tiờn v s tn ti on thng cú di ó cho Tiờn V: Vi mi s thc tựy ý d > u tn ti on thng cú di d T tiờn V cú th suy rng trờn mi tia bt kỡ cú th t t gc ca nú mt v ch mt on thng cú di ó cho bt kỡ.Tht vy: Nguyễn Thị Xuân 42 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình Theo tiờn V thỡ tn ti mt on thng AB no ú cú i ó cho Mt khỏc, trờn mi tia ó cho cú th t k t gc ca nú mt v ch mt on thng bng on AB 4.1.6 Tiờn v cỏc ng thng song song nh ngha 4.2: Hai ng thng trờn mt phng c gi l song song nu chỳng khụng ct Nhúm tiờn v cỏc ng thng song song ch gm mt tiờn sau: Tiờn VI: Qua mt im khụng nm trờn ng thng ó cho cú th v trờn mt phng khụng quỏ mt ng thng song song vi ng thng ó cho H qu i, Nu a//b b//c a c ii, Nu mt ng thng ct mt hai ng thng song song thỡ cng ct ng h'thng k 4.1.7 Cỏc tiờn v khụngOgian h Nhúm ny gm ba tiờn : k' Tiờn K1: i vi bt kỡ mt phng no cng u tn ti nhng im thuc mt phng v nhng im khụng thuc nú Tiờn K2: Nu hai mt phng khỏc cú im chung thỡ chỳng s ct theo mt ng thng p Tiờn K3: Nu hai b ng thng khỏc cú im chung thỡ qua chỳng cú mt v ch mt mt phng m thụi a q nh lớ 4.4: Qua mt ng thng v mt im khụng nm trờn nú cú mt v ch mt mt phng m thụi.(Hỡnh 28) b A a B Nguyễn Thị Xuân 43 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình Hỡnh 28 Gi s a l mt ng thng ó cho B l mt im bt kỡ khụng nm trờn a Ly mt im A no ú trờn ng thng a (Tn ti im nh vy theo tiờn I2) V qua cỏc im A v B ng thng b (theo tiờn I1) Cỏc ng thng a v b l khỏc bi vỡ im B ca ng thng b khụng nm trờn ng thng a Cỏc ng thng a v b cú im A chung V mt phng qua cỏc ng thng a v b (theo tiờn K3) Mt phng ny i qua ng thng a v im B Ta chng minh rng mt phng i qua ng thng a v im B l nht Gi s tn ti mt phng na cng i qua ng thng a v im B v khỏc vi Theo tiờn K2, mt phng v ct theo mt ng thng Nh vy bt kỡ im chung no ca v cng nm trờn mt ng thng Nhng im B v hai im ca ng thng a thỡ khụng th cựng nm trờn mt ng thng (mõu thun) nh lý c chng minh 4.2 H tiờn Võy (Weyl) ca hỡnh hc clit Võy (1885 1955) l nh toỏn hc c ễng cú rt nhiu cụng trỡnh v lý thuyt hm s, lý thuyt nhúm v cỏc ng dng ca chỳng vt lý Trong nhng thp niờn 40 50 h tiờn ca ụng c nhiu ngi tip nhn mt cỏch thớch thỳ xõy dng hỡnh hc clit i tng c bn ca h tiờn l: im v vộct Cỏc tng quan c bn ca h tiờn ny l: ur ur Cng hai vộct ( + : x+y ) ur Nhõn vộct vi s thc (.: k.x ) ur ur Tớch vụ hng ca hai vộct (.: x.y ) Nguyễn Thị Xuân 44 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình uuuur ur Hai vộct bng ( = : AB=x ) H tiờn Võy gm nhúm vi 17 tiờn 4.2.1 Nhúm tiờn v phộp cng vộct Cho khụng gian vộct V Xột ỏnh x : V x V V ur ur ur ur x,y a x + y ur ur Trong ú x y c gi l tng ca hai vộct nh x ny c gi l tng ca hai vect Phộp toỏn ny tha tiờn : ur ur I1: Phộp cng vộct cú tớnh cht giao hoỏn ngha l vi x, y V ta cú: ur ur uur ur x+y=y+x I2: Phộp cng vộct cú tớnh cht kt hp ngha l vi ur ur r ur ur ur ur r x, y, z V ta cú: r (x + y) + z = x +(y + z) r ur I3: Cú mt vộct (vộct khụng) cho x ur r V: ur x+0=x ur ur ur I4: Vi vộc t x bt kỡ ca V ta luụn cú vộct x' (vộct i ca vộct x ) cho: ur r ur x + x' = 4.2.2 Nhúm cỏc tiờn v phộp nhõn vộct vi mt s R Xột ỏnh x: V x R V Cho khụng gian vộct V, ur (x, ) a ur ur x ur Trong ú .x c gi l tớch ca vộc t x vi s thc nh x ny c gi l phộp nhõn vi mt s Phộp toỏn ny tha tiờn sau: II1: Phộp nhõn vộct vi s cú tớnh cht phõn phi i vi phộp cng vộct ngha l ur ur x, y V; R ta cú: ur ur ur ur (x + y) = x + y Nguyễn Thị Xuân 45 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình II2: Phộp nhõn vộct vi s cú tớnh cht phõn phi i vi phộp cng s, ngha l: ur x V; , R : uur ur ur + x = x + x II3: Phộp nhõn vộct vi s cú tớnh cht kt hp ngha l ur x V; , R ta cú: ur ur x = x II4: Phộp nhõn vộct vi s n v khụng lm thay i vộct ú ngha l ur x V: ur ur 1.x = x 4.2.3 Nhúm tiờn v tớch vụ hng Cho khụng gian vộct V Xột ỏnh x: V x V R ur ur ur ur x, y a x y ur ur ur ur Trong ú x.y c gi l tớch vụ hng ca vộct x, y nh x ny c goi l tớch vụ hng ca hai vect Phộp toỏn ny tha tiờn : III1: Tớch vụ hng ca hai vộct cú tớnh cht giao hoỏn ngha l vi ur ur x,y V ta cú: ur ur ur ur x y= y x III2: Tớch vụ hng ca hai vộct cú tớnh cht phõn phi i vi phộp cng vộct ngha l ur ur r x, y, z V ta cú: ur ur r ur r ur r x + y z = x z + y z ur ur ur ur III3: Tớch vụ hng ca hai vộct kx v y l s thc k.x.y vi ur ur x, y V; k R r r ur ur III4: x V : x x Nu x ur r thỡ x ur ur r Nu x= thỡ x ur x > ur x = 4.2.4 Nhúm tiờn v s chiu Nguyễn Thị Xuân 46 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình nh ngha 4.3 uur uur uur H vect uur uur x1, x , x , , x k c gi l c lp tuyn tớnh nu t ng uur uur r thc x1 + x + + k x k = ta suy Vi 1, 2,, H vect cỏc h s 1, 2= 1= = k R k uur uur uur uur x1, x , x , ,x k c gi l ph thuc tuyn tớnh nu 2,, k cú ớt nht mt h s khỏc cho: uur uur uur r x1 + x + + k x k = Nhúm tiờn IV gm tiờn : uur uur uur IV1: Cú ba vộct c lp tuyn tớnh e1 , e , e3 IV2: Bt kỡ bn vộct no cng ph thuc tuyn tớnh 4.2.5 Nhúm tiờn v t vộct uuuur Vi hai im A, B bt kỡ ta cú th t c vộct AB Gi E l hp im Xột ỏnh x: E x E V ur uuuur (A,B) a x = AB c gi l phộp t vect Phộp t vộct tha hai tiờn : ur V1: Vi mi A c nh thuc hp E, x V Khi ú B V2: A, B, C uuuur uuur uuuur ur E: AB = x uuuur E: AB + BC = AC (Tiờn tam giỏc) 4.2.6 Mt s khỏi nim c bn a, ng thng AB: Cho hai im phõn bit A, B khỏc nhau, hp uuuur uuuur nhng im M cho AM v AB ph thuc tuyn tớnh l ng thng AB AB = {M uuuur E | k AB , k R} = Tht vy: uuuur uuuur M ta cú: AM = k.AB uuuur uuuur AM - k.AB = uuuur uuuur AM , AB ph thuc tuyn tớnh M AB Nguyễn Thị Xuân 47 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình AB uuuur uuuur M AB ta cú: AM , AB ph thuc tuyn tớnh uuuur uuuur r m AM + b AB = (m2 + b2 0) uuuur Gi s m = r b.AB = uuuur r AB = b=0 (mõu thun vi gi thit m2 + b2 ) m0 uuuur AM = -b uuuur AB m M AB Vy AB = b, on thng AB Cho hai im A, B khỏc nhau, hp nhng im M uuuur uuuur cho AM = k AB vi k AB = { M uuuur [0,1] l on thng AB Kớ hiu l [AB] uuuur E | AM = k AB , k [0,1]} Nu M nm gia hai im A v B thỡ M c gi l im ca on AB Cho A, B uuuur E, A B im M nm gia hai im A v B nu: uuuur AM = t.AB (*) (0 < t < 1) T õy suy M nm trờn ng thng AB v M A, M B uuuur uuuuur uuuuur uuuur uuuur Theo tiờn V2 ta cú BA + AM = BM (**) T (*) v (**) ta cú: BM = (1 - t).BA (0 < t < 1) Suy M nm gia B v A Nh vy nu iờm M nm gia cỏc im A v B thỡ A, B, M l ba im phõn bit trờn mt ng thng v im M cng nm gia cỏc im B v A Nguyễn Thị Xuân 48 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình c) Tia AB: Cho hai im A, B khỏc Tp hp nhng im M cho uuuur uuuur AM = t.AB vi t c gi l tia AB Kớ hiu l [AB) AB = {M uuuur uuuur E | AM = t.AB , t 0} d, Mt phng (ABC) Cho ba im A, B, C khụng thng hng, hp uuuur uuuur uuuur nhng im M cho ba vộc t AB , AC , AM ph thuc tuyn tớnh l mt phng (ABC) e, Khụng gian clit l hp E gm cỏc im cựng vi hp cỏc vộct ca V tha cỏc tiờn ca nm nhúm I, II, III, IV, V Bng suy din v lp lun lụgic ta tỡm cỏc nh lớ t cỏc tiờn ó cho, ta xõy dng lờn hỡnh hc clit Nhn xột: Vic xõy dng hỡnh hc clit da vo khụng gian vect theo h tiờn Võy l mt phng phỏp hin i nht xõy dng hỡnh hc Nú cho phộp ta cú th m rng s chiu ca khụng gian mt cỏch d dng bng cỏch ch thay i tiờn v s chiu Ngoi vi h tiờn Võy nu ta loi b tiờn v tớch vụ hng v gi nguyờn cỏc nhúm tiờn khỏc thỡ ta c khụng gian Afin v xõy dng nờn mụn hỡnh hc Afin Cũn nu ta thay tiờn tớch vụ hng bng cỏc tiờn khỏc thỡ ta s c cỏc khụng gian gi clit v xõy dng c cỏc mụn hỡnh hc gi clit, na clit Tuy nhiờn xõy dng hỡnh hc clit bng h tiờn Võy khụng gn gi lm vi hc sinh ph thụng Nguyễn Thị Xuân 49 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình KT LUN Thụng qua khúa lun ny, tụi mun to iu kin giỳp bn c bc u tỡm hiu v Phng phỏp tiờn hỡnh hc T ú cú c hi cng c nhn thc v yờu cu cht ch, chớnh xỏc t lụgic nghiờn cu hỡnh hc theo phng phỏp tiờn ; ng thi cng giỳp cỏc thy cụ giỏo dy toỏn trng ph thụng hiu thờm v nhng phng phỏp khỏc vic xõy dng hỡnh hc bng phng phỏp tiờn : nh ngha, khỏi nim phi cú cn c, chng minh nh lý phi suy lun cht ch da vo nhng cỏi ó cú trc ú, ng trc giỏc chen ln vo quỏ trỡnh chng minh Mc dự cú nhiu c gng, nhng thi gian cú hn v cng l ln u lm quen vi nghiờn cu khoa hc nờn khúa lun ca tụi khú trỏnh nhng thiu sút Tụi rt mong nhn c s ch o, úng gúp ca cỏc thy cụ v cỏc bn tụi cú hng phỏt trin v sa cha ti ngy cng hon thin hn Mt ln na tụi xin gi li cm n sõu sc v lũng bit n chõn thnh nht ti thy Bựi Vn Bỡnh, cng nh s quan tõm, ch o gúp ý kin ca cỏc thy, cụ giỏo t hỡnh ó giỳp tụi hon thnh khúa lun tt nghip Nguyễn Thị Xuân 50 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình TI LIU THAM KHO Bựi Vn Bỡnh, Nguyn Vn Vn (1993), Giỏo trỡnh hỡnh hc s cp 1, 2, HSP H Ni 2 Vn Nh Cng (1977), Lch s hỡnh hc, H Ni Nguyn Vn onh, Phm V Khuờ (1995), Hỡnh hc s cp, HSP Trng c Hinh, o Tam (2000), Giỏo trỡnh c s hỡnh hc v hỡnh hc s cp, Trng i hc Hu Nguyn Mng Hy (1997), Xõy dng hỡnh hc bng phng phỏp tiờn , NXB Giỏo Dc Nguyn Mng Hy (1992), Giỏo trỡnh c s hỡnh hc, Trng HSP Thnh ph H Chớ Minh Nguyn Cnh Ton (1969), C s hỡnh hc, NXB Giỏo Dc H Ni V Tun, Nguyn Vn onh , Toỏn s cp, NXB i hc S phm Argunụv B.I., Balc M.B.(1977), Hỡnh hc s cp, NXB Giỏo Dc, H Ni, (dch t ting Nga) 10 Pụgụrelụv A.V.(1984), Hỡnh hc, NXB Khoa Hc, Maxcva (Ting Nga) Nguyễn Thị Xuân 51 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình LI CM N Trong quỏ trỡnh thc hin khúa lun ny, tụi ó nhn c s quan tõm, giỳp , ng viờn kp thi t phớa gia ỡnh, thy cụ giỏo, bn bố v c bit l s ch bo tn tỡnh ca thy giỏo Bựi Vn Bỡnh Tụi xin by t lũng bit n v s quan tõm giỳp thõn tỡnh ú Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti thy giỏo Bựi Vn Bỡnh ngi ó trc tip hng dn tn tỡnh tụi hon thnh khúa lun ny Qua õy tụi xin gi li cm n chõn thnh ti cỏc thy cụ t hỡnh ó giỳp v to iu kin thun li khúa lun ca tụi c hon thnh Tụi xin chõn thnh cm n ! H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Nguyn Th Xuõn Nguyễn Thị Xuân 52 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình LI CAM OAN hon thnh khúa lun ny, ngoi s l lc ca bn thõn, s giỳp tn tỡnh ca thy giỏo Bựi Vn Bỡnh, tụi ó s dng mt s ti liu tham kho ghi mc ti liu tham kho.Nhng tụi xin cam oan nhng kt qu nghiờn cu khúa lun ny l thnh qu ca riờng tụi Nú khụng trựng khớt vi bt kỡ cụng trỡnh no ó cụng b trc ú Nu sai tụi xin hon ton chu trỏch nhim H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Nguyn Th Xuõn Nguyễn Thị Xuân 53 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình MC LC LI CM N LI CAM OAN M U NI DUNG CHNG 1: S LC LCH S 1.1 S i ca c s hỡnh hc v tỏc phm Nguyờn lý ca clit 1.2 Ni dung ca phng phỏp tiờn 1.3 Mụ hỡnh ca mt tiờn CHNG 2: NHNG VN C BN CA PHNG PHP TIấN 2.1 Vn khụng mõu thun ca mt h tiờn 2.2 Vn ti thiu ca mt tiờn .(Hay l c lp ca mi tiờn ca h) 11 2.3 Vn y ca mt h tiờn 12 2.4 Mt s cn lu ý thờm 14 CHNG 3: H TIấN HINBE CA HèNH HC CLIT 3.1 Nhúm I: Cỏc tiờn v liờn thuc 16 3.2 Nhúm II: Cỏc tiờn v th t 19 3.3 Nhúm III:Cỏc tiờn v bng 25 3.4 Nhúm IV: Cỏc tiờn v liờn tc 32 3.5 Nhúm V: Tiờn v song song 33 CHNG 4: MT S H TIấN KHC CA HèNH HC CLIT 4.1 H tiờn Pụgụrelov ca hỡnh hc clit 38 4.1.1 Cỏc tiờn v liờn thuc 38 Nguyễn Thị Xuân 54 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình 4.1.2 Cỏc tiờn v th t 38 4.1.3 Cỏc tiờn v o on thng v o gúc 40 4.1.4 Tiờn v s tn ti tam giỏc bng mt tam giỏc ó cho 41 4.1.5 Tiờn v s tn ti on thng cú di ó cho 42 4.1.6 Tiờn v cỏc ng thng song song 42 4.1.7 Cỏc tiờn v khụng gian 43 4.2 H tiờn Võy (Weyl) ca hỡnh hc clit 44 4.2.1 Nhúm tiờn v phộp cng vộct 44 4.2.2 Nhúm tiờn v phộp nhõn vộct vi mt s 45 4.2.3 Nhúm tiờn v tớch vụ hng 46 4.2.4 Nhúm tiờn v s chiu 46 4.2.5 Nhúm tiờn v t vộct 47 4.2.6 Mt s khỏi nim c bn 47 KT LUN 50 TI LIU THAM KHO 51 Nguyễn Thị Xuân 55 K33B - Toán [...]... vi A Ngc li mi chõn lý A trong M s cho ta mt chõn lý A tng ng trong M iu ú chng t M v M ng cu vi nhau Vy nu S l mt h tiờn y theo nh ngha 1 thỡ tt c cỏc mụ hỡnh ca nú ng cu vi nhau Ngc li, gi s tt c cỏc mụ hỡnh ca S u ng cu vi nhau Ta hóy ly mt chõn lý A trong mụ hỡnh M no ú ca S Nu nh chõn lý A ú khụng th suy din lụgic t h S ra c thỡ trong cỏc mụ hỡnh ca S s cú nhng mụ hỡnh trong ú A khụng nghim v... vi a v b nhng gúc so le trong bng nhau Khi ú a v b khụng cú im chung no Chng minh(Hỡnh 22): Gi s ng thng c ct a v b ti A v B chng minh a v b khụng cú im chung, ta gi s ngc li chỳng cú im chung l O Khi ú tam giỏc AOB cú mt gúc ngoi bng mt gúc trong khụng k vi nú (Vụ lớ vỡ trong c a A b h' B O O k Hỡnh 22 mt tam giỏc gúc ngoi ln hn gúc trong khụng k vi nú) h k' Vy a / b H qu: Trong mt phngA hai ng thng... thụng qua nhiu th thỏch trong thc tin Nguyễn Thị Xuân 15 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình CHNG 3: H TIấN HINBE CA HèNH HC CLIT Nh toỏn hc Hinbe (ngi c) l ngi thnh cụng nht trong lch s ci thin h tiờn hỡnh hc ca clit Trong tỏc phm C s hỡnh hc xut bn nm 1889, Hinbe ó a ra mt h tiờn hon thin v trỏnh c cỏc thiu sút ca h tiờn do clit a ra Cỏc khỏi nim c bn trong h ny gm: im, ng thng,... h ging nhau trong nhng tng quan tng ng Nh vy: Mt h tiờn c gi l y nu tt c cỏc mụ hỡnh ca nú u ng cu vi nhau Hai nh ngha trờn l tng ng Tht vy: Gi s ta cú h tiờn S y theo nh ngha 1 Ta ly mụ hỡnh M v M bt kỡ ca S Gi A l mt chõn lý phỏt hin ra trong M Vỡ S l h tiờn y nờn dựng suy din lụgic t S ta chng minh c chõn lý A l mt nh lý nh lý ú tt nhiờn ỳng trong mi mụ hỡnh ca S, do ú nú ỳng trong M v õy... tng cỏc gúc trong mi tam giỏc bng hai vuụng A d N C B M Hỡnh 25 Chỳ ý: Khi ó cú thờm tiờn V ta cú th chng minh c nhiu nh lý quan trng m trc ú cha th chng minh nh l: a A Trong mt hỡnh bỡnh hnh thỡ hai gúc i bng nhau, cũn tng hai gúc O thỡ bng hai vuụng b B Qua ba im khụng thng hng cú duy nht mt ng trũn Trong mt ng trũn thỡ gúc ni tip bng na gúc tõm cựng chn mt cung Qu tớch cỏc im trong mt Aphng... thuc mt ng thng vi A v C sao cho C gia A v B II3: Trong bt kỡ ba im no cựng thuc mt ng thng khụng bao gi cú quỏ mt im gia hai im kia nh ngha 3.1: Mt cp im A v B c gi l mt on thng kớ hiu l AB hay BA Cỏc im gia A v B c gi l im trong ca on thng AB, hay thuc on thng AB Cỏc im A va B c gi l hai u mỳt ca on thng ú Tt c cỏc im thuc ng thng AB m khụng phi l im trong v cỏc im u mỳt ca on AB c gi l im ngoi ca... k v h' , k' Nu xut phỏt t gc O ca gúc h , k ã ta cú mt tia l nm trong gúc A ú sao cho Oh , l ã , k') thỡ ta núi rng gúc (h' B ã , k) ã , l) ln hn gúc (h' ã , k') hay gúc (h' ã , k') bộ hn (h (h ã , k) hay (h ã , k) > (h' ã , k') Ta kớ hiu l ãh', k' < (h D nh lý 3.20 x i, Gúc ngoi ca mi tam giỏc ln hn mi gúc trong khụng k vi gúc ú ii, Trong mt tam giỏc, i din vi cnh ln hn cú gúc ln hn v ngc li i din... bit cựng nm trong mt mt phng v khụng cú im chung c gi l hai ng thng song song vi nhau Kớ hiu l a b hoc b a 3.5.1 Tiờn V: (Tiờn v ng song song) Trong mt phng xỏc nh bi mt ng thng a v mt im A khụng thuc nú, cú khụng quỏ mt ng thng thuc A v khụng ct a Nguyễn Thị Xuân 33 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp 3.5.2 GVHD: Bùi Văn Bình nh lý nh lý 3.22: Cho a, b, c, l ba ng thng phõn bit cựng nm trong mt mt... toỏn hc nh mt m ký hiu khụng cú ni dung v ph nhn ngun gc thc t ca toỏn hc Thc ra cỏc i tng toỏn hc khụng phi y nguyờn l nhng s vt trong thc t m ch l nhng kt qu ca s tru tng húa cỏc s vt ú trong thc t Vn tru tng húa khụng cú ngha l lm mt ht ni dung c th ca cỏc i tng ú trong thc t m trỏi li nú mang li cho con ngi mt thc t phong phỳ v a dng hn 2.4.3 S khụng mõu thun ca mt h tiờn chng minh s khụng... hc Ngy nay, trong toỏn hc, nhng lý thuyt toỏn hc xõy dng trờn nhng h tiờn khụng y ó l rt ph bin v cú u th ln Nguyễn Thị Xuân 13 K33B - Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Văn Bình 2.4 Mt s vn cn lu ý thờm 2.4.1 c trng ca phng phỏp tiờn Tt c cỏc khỏi nim c bn nờu ra trong h tiờn u khụng nh ngha Cỏc khỏi nim c bn v cỏc tiờn c hiu mt cỏch tru tng Ngi ta cú th tỡm nhng hỡnh nh c th trong thc t ... ngoi ln hn gúc khụng k vi nú) h k' Vy a / b H qu: Trong mt phngA hai ng thng cựng vuụng gúc vi mt ng thng th ba thỡ song song vi nh lý C' 3.23: Trong mt phng, qua mt im A khụng thuc ng thng a luụn... ú cha th chng minh nh l: a A Trong mt hỡnh bỡnh hnh thỡ hai gúc i bng nhau, cũn tng hai gúc O thỡ bng hai vuụng b B Qua ba im khụng thng hng cú nht mt ng trũn Trong mt ng trũn thỡ gúc ni tip... tiờn khỏc th hin thnh cỏc nh lý ca lý thuyt ú, cú tiờn ú th hin trờn mụ hỡnh l mt kt qu phi lý (trong lý thuyt ú) Bng mụ hỡnh ngi ta cng xem xột c mt cỏch tng i v tớnh y ca mt h tiờn Hai mụ