Khi diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?. Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp SB[r]
(1)Vấn đề CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 111 Cho hình chóp S ABC có SA a , SB a , SC a Tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho A Vmax a B Vmax a3 C Vmax a3 D Vmax a3 Câu 112 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài đường chéo AC ' 18 Gọi S là diện tích toàn phần hình hộp đã cho Tìm giá trị lớn Smax S A Smax 36 B Smax 18 C Smax 18 D Smax 36 Câu 113 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC Tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho 40 80 B Vmax A Vmax 3 C Vmax 20 D Vmax 24 Câu 114 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác và có SA SB SC Tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho A Vmax B Vmax 12 C Vmax 12 D Vmax 12 Câu 115 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD Các cạnh bên và Tìm thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho A Vmax 130 B Vmax 128 C Vmax 125 D Vmax 250 Câu 116 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh 1; SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC Tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho A Vmax B Vmax C Vmax 27 D Vmax 27 Câu 117 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD a Các cạnh bên hình chóp và a Tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho 8a A Vmax B Vmax a C Vmax 8a D Vmax a Câu 118 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông C , AB Cạnh bên SA và vuông góc với mặt phẳng đáy ABC Tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho A Vmax B Vmax C Vmax 12 D Vmax (2) Câu 119 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC Biết SC 1, tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho A Vmax 12 B Vmax 12 C Vmax 27 27 D Vmax Câu 120 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và AB Các cạnh bên SA SB SC Tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho A Vmax B Vmax C Vmax D Vmax Câu 121 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA y y 0 và vuông góc với mặt đáy ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM x 0 x a Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết x y2 a2 A Vmax a3 a3 B Vmax C Vmax a3 24 D Vmax 3a 3 Câu 122 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 4, SC và mặt bên SAD là tam giác cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho A Vmax 40 B Vmax 40 C Vmax 80 Câu 123 Cho hình chóp S ABC có SA x D Vmax 80 0 x , tất các cạnh còn lại Tính thể tích lớn Vmax khối chóp đã cho A Vmax B Vmax C Vmax 12 D Vmax 16 Câu 124 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn B x C x D x 14 A x Câu 125 Trên ba tia Ox , Oy, Oz vuông góc với đôi, lấy các điểm A, B, C cho OA a, OB b, OC c Giả sử A cố định còn B, C thay đổi luôn luôn thỏa OA OB OC Tính thể tích lớn Vmax khối tứ diện OABC A Vmax a3 B Vmax a3 C Vmax a3 24 D Vmax a3 32 Câu 126 Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC a, SB b, SC c Tính thể tích lớn Vmax khối tứ diện đã cho A Vmax abc abc B Vmax C Vmax abc 12 D Vmax abc 24 Câu 127 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a và vuông góc với mặt đáy ABCD Trên SB, SD lấy hai điểm M , N cho (3) SN SM n Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S AMN biết m 0, SD SB 2m 3n A Vmax a3 B Vmax a3 72 C Vmax a3 24 D Vmax a3 48 Câu 128 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông Biết tổng diện tích tất các mặt khối hộp 32 Tính thể tích lớn Vmax khối hộp đã cho 56 80 A Vmax B Vmax 9 C Vmax 70 D Vmax 64 Câu 129 Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác Khi diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ thì độ dài cạnh đáy bao nhiêu? B V C 2V D 6V A 4V Câu 130 Cho hình chóp S ABCD có SA x x , tất các cạnh còn lại và Với giá trị nào x thì thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất? A x B x C x D x Câu 131 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi là góc hai mặt phẳng SBC và ABC , tính cos thể tích khối chóp S ABC nhỏ A cos B cos C cos 2 D cos Câu 132 Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân B Khoảng cách từ SCB 90 Xác định độ dài cạnh AB để A đến mặt phẳng SBC a 2, SAB khối chóp S ABC có thể tích nhỏ a 10 B AB a C AB 2a D AB 3a Câu 133 Cho tam giác OAB cạnh a Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy điểm M cho OM x Gọi E , F là hình chiếu A AB vuông góc A trên MB và OB Gọi N là giao điểm EF và d Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ a a a C x D x 12 2 Câu 134 Cho tam giác ABC vuông cân B , AC Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ABC lấy các điểm M , N khác phía so với mặt phẳng A x a B x ABC cho AM AN Tính thể tích nhỏ Vmin khối tứ diện MNBC A Vmin B Vmin C Vmin 12 D Vmin (4) Câu 135 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông C , SA AB Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC Gọi H , K là hình chiếu vuông góc A lên SB và SC Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S AHK A Vmax B Vmax C Vmax D Vmax Câu 136 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB x , AD 3, góc đường thẳng A C và mặt phẳng ABB A 30 Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn 15 A x B x C x 3 D x Câu 137 Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt 36 và độ dài đường chéo Tính thể tích lớn Vmax khối hộp chữ nhật đã cho A Vmax 16 B Vmax 12 C Vmax D Vmax 6 Câu 138* Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c Dựng hình lập phương có cạnh tổng ba kích thước hình hộp chữ nhật trên Biết thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật Gọi S là tỉ số diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật Tìm giá trị lớn Smax S A Smax 10 B Smax 16 C Smax 32 D Smax 48 Câu 139* Cho hình chóp S ABC có SA 1, SB 2, SC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng qua trung điểm I SG cắt các cạnh SA, SB, SC M , N , P Tính giá trị nhỏ Tmin biểu thức T A Tmin B Tmin C Tmin 18 1 2 SM SN SP D Tmin Câu 140* Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB cho SN NB ; mặt phẳng di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD hai điểm phân biệt K , Q Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S MNKQ A Vmax V B Vmax V C Vmax 3V D Vmax 2V (5) Vấn đề CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 111 Gọi H là hình chiếu A trên mặt phẳng SBC AH SBC Ta có AH AS A Dấu '' '' xảy AS SBC SB.SC SSBC SB.SC sin BSC 2 S Dấu '' '' xảy SB SC 1 1 Khi đó V SSBC AH SB SC AS SA.SB.SC 3 B H Dấu '' '' xảy SA, SB, SC đôi vuông góc với C a3 Vậy thể tích lớn khối chóp là Vmax SA.SB.SC Chọn D 6 Câu 112 Gọi a, b, c là ba kích thước hình hộp chữ nhật Khi đó S ab bc ca Theo giả thiết ta có a b c AC '2 18 Từ bất đẳng thức a b c ab bc ca , suy S ab bc ca 2.18 36 Dấu '' '' xảy a b c Chọn D Câu 113 Đặt cạnh BC x Tam giác vuông ABC , có AC 16 x S Tam giác vuông SAC , có SA SC AC 20 x Diện tích hình chữ nhật S ABCD AB.BC x Thể tích khối chóp VS ABCD S ABCD SA x 20 x 3 A B Áp dụng BĐT Côsi, ta có x 20 x x2 20 x 2 x C D 10 40 Suy VS ABCD 10 3 Dấu " " xảy x 20 x x 10 Vậy Vmax Cách Xét hàm số f x 40 Chọn A x 20 x trên 0;2 Câu 114 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S ABC là hình chóp SO ABC Đặt AB x Diện tích tam giác SABC x2 S A C O M (6) Gọi M là trung điểm BC AM x x OA AM 3 Tam giác vuông SOA, có SO SA OA x2 1 x2 3 x2 Khi đó VS ABC SABC SO x x 3 12 Xét hàm f x x x trên 0; , ta max f x f 12 0; Cách Ta có x x x x 6 x 16 Chọn A 2 x x x Câu 115 Gọi O AC BD Vì SA SB SC SD suy hình chiếu S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy SO ABCD Đặt AB x Tam giác vuông ABC , có S AC AB BC x 16 Tam giác vuông SOA, có SO SA AO SA 2 AC 128 x 1 128 x Khi đó VS ABCD S ABCD SO x 3 1 128 x 128 x x 128 x 3 x B O C Dấu '' '' xảy x 128 x x Suy VS ABCD A D 128 Chọn B Câu 116 Đặt OA OC x Tam giác vuông AOD, có S OD AD OA x Suy BD x Diện tích hình thoi S ABCD OA.BD x x Tam giác vuông SOC , có A B 2 SO SC OC x Thể tích khối chóp VS ABCD S ABCD SO x x x x 1 x 3 O C Xét hàm f x x 1 x trên 0;1 , ta max f x f 3 0;1 Suy Vmax Chọn D 27 Cách Áp dụng BDT Côsi, ta có x D (7) x 1 x 2 x 1 x 1 x 3 2 x x x 27 Câu 117 Do SA SB SC SD a nên hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng ABCD trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật Gọi H AC BD , suy SH ABCD Đặt AB x Ta có S 2 AC AD AB x 16a Tam giác vuông SHA, có AC 8a x 1 S ABCD SH AB AD.SH 3 Khi đó VS ABCD D A SH SA H B C a a 8a x 8a x a x 8a x x 8a x Chọn A 3 3 Câu 118 Đặt AC x S Suy CB AB CA x 2 x 4 x2 AC CB 2 1 Khi đó VS ABC SABC SA x x 2 x x Chọn A Diện tích tam giác SABC C Câu 119 Giả sử CA CB x S Suy SA SC AC x 1 Diện tích tam giác SABC CA.CB x 2 1 Khi đó VS ABC SABC SA x x Xét hàm f x Cách Ta có x x 1 x 2 1 x B A A B x x C trên 0;1 , ta max f x f Chọn D 0;1 27 x x x x x 2 x 2 Câu 120 Gọi I là trung điểm BC Suy IA IB IC I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo giả thiết, ta có SA SB SC suy I là hình chiếu S trên mặt phẳng ABC SI ABC (8) Đặt AC x Suy BC AB AC x 15 x Tam giác vuông SBI , có SI SB BI x Diện tích tam giác vuông SABC AB AC 2 1 x 15 x Khi đó VS ABC SABC SI 3 2 2 1 x 15 x Chọn A x 15 x 12 12 S C B I A Câu 121 Từ x y a y a x BC AM a x Diện tích mặt đáy S ABCM AB a Thể tích khối chóp VS ABCM S S ABCM SA x a a x a a x a x a x y A a B a M C D a 3a Xét hàm f x a x a x trên 0;a , ta max f x f 0;a Suy Vmax a3 Chọn B Câu 122 Gọi H là trung điểm AD SH AD Mà SAD ABCD SH ABCD S Giả sử AD x Suy HC HD CD x2 16 Tam giác vuông SHC , có SH SC HC 20 Khi đó VS ABCD A x2 1 S ABCD SH AB AD.SH 3 B H C D x2 1 80 4.x 20 x 80 x x 80 x Chọn D 3 Câu 123 Ta có tam giác ABC và SBC là tam giác cạnh Gọi N là trung điểm BC Trong tam giác SAN , kẻ SH AN 1 Ta có ● SN SN là đường cao tam giác SBC ● BC AN BC SAN BC SH BC SN 2 (9) Từ 1 và 2 , suy SH ABC S Diện tích tam giác ABC là SABC x Khi đó VS ABC SABC SH C A 1 3 SABC SN 3 H Dấu '' '' xảy H N Chọn B N B Câu 124 Hình vẽ Cách làm tương tự bài trên Tam giác BCD cạnh BN VABCD lớn H N Khi đó ANB vuông A x C B Trong tam giác vuông cân ANB , có AB BN H Chọn A N D Câu 125 Từ giả thiết ta có a b c Do OA, OB, OC vuông góc đôi nên VOABC a3 1 b c abc a.bc a. 6 24 a Dấu '' '' xảy b c Chọn C x y a 2 Câu 126 Đặt AB x , AC y, AS z Ta có x z b 2 y z c 2 xy 2 yz 2 zx xyz Khi đó V V 288 x y y z z x 288 S Mặt khác mn a S M N mna 2.m 3.n C B a3 VS AMN SM SN mn VS ABD SB SD VS AMN mnV S ABD y x Dấu '' '' xảy x y z a b c Chọn D Ta có b A a2b c abc V 288 24 Câu 127 Thể tích khối chóp S ABD là VS ABD c z B A 2m 3n 2 D C 2m 3n 1 a3 Dấu '' '' xảy Suy Chọn B m ; n V S AMN 2m 3n 72 Câu 128 Đặt a là độ dài cạnh hình vuông đáy, b là chiều cao khối hộp với a, b (10) 16 Theo giả thiết ta có 2a ab 32 2a a 2b 32 a a 2b 16 b a 2 a Do b 16 a a a 16 Khi đó thể tích khối hộp V a a a 8a 2 a Xét hàm f a a 8a trên 0;4 , ta max f a 0;4 64 f Chọn D Câu 129 Gọi h là chiều cao lăng trụ; a là độ dài cạnh đáy Theo giả thiết ta có V Sday h 4V a2 h h a Diện tích toàn phần lăng trụ: S S2 day S xung quanh Áp dụng BĐT Côsi, ta có S toan phan 4V a2 3a 2 a a 3V a a 3V 3V a 2 3V 3V 33 3 2V 2 a a a a Dấu '' '' xảy a 3V 3V a 4V Chọn A a a Câu 130 Gọi O là tâm hình thoi ABCD OA OC 1 Theo bài ra, ta có SBD CBD OS OC 2 Từ 1 và 2 , ta có OS OA OC Suy OA AC SAC vuông S AC x x 1 3 x2 và OB AB OA 2 S A B H C Diện tích hình thoi S ABCD 2.OA.OB O D x 13 x Ta có SB SC SD , suy hình chiếu vuông góc H đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD H AC SA.SC x Trong tam giác vuông SAC , ta có SH 2 SA SC x 1 (11) Khi đó VS ABCD x 13 x x x 1 1 x x x x 6 Chọn C Suy VS ABCD Dấu '' '' xảy x x x Câu 131 Gọi M là trung điểm BC , kẻ AH SM H SM 1 Tam giác ABC cân suy BC AM Mà SA ABC SA BC Suy BC SAM AH BC 2 Từ 1 và 2 , suy AH SBC nên d A, SBC AH S Tam giác vuông AMH , có AM sin Tam giác vuông SAM , có SA AM tan cos Tam giác vuông cân ABC , BC AM A 9 Diện tích tam giác SABC BC AM AM sin cos Khi đó V SABC SA 1 cos .cos H Xét hàm f x 1 cos x .cos x , ta f x 3 Suy V C M B 27 Chọn B Cách Đặt AB AC x ; SA y Khi đó VS ABC x y Dấu " " xảy và cos Vì AB, AC , AS đôi vuông góc nên Suy x y 81 VSABC 1 1 1 33 d A, SBC x x y x y 27 x y Dấu " " xảy và x y 3 cos Câu 132 Gọi D là điểm cho ABCD là hình vuông AB AD Ta có AB SAD AB SD 90 AB SA SAB Tương tự, ta có BC SD Từ đó suy SD ABDC (12) Kẻ DH SC H SC DH SBC S Khi đó d A, SBC d D, SBC DH Đặt AB x Trong tam giác vuông SDC , có 1 1 1 2 2 2 DH SD DC SD x a Suy SD ax x 2a H C D A B a x3 1 ax Thể tích khối chóp VS ABC VS ABCD x 2a x 2a Xét hàm f x x3 x 2a trên a 2; , ta f x f a 3a a ; Chọn B a Câu 133 Do tam giác OAB cạnh a F là trung điểm OB OF AF OB M Ta có AF MOB AF MB AF MO Mặt khác, MB AE Suy MB AEF MB EF Suy OBM ∽ ONF nên OB ON OB.OF a2 ON OM OF OM 2x Ta có VABMN VABOM VABON O F a a2 a3 SOAB OM ON x 12 x 12 Đẳng thức xảy x A E B N a2 a Chọn B x 2x Câu 134 Đặt AM x , AN y suy AM AN x y Tam giác vuông ABC , có AB BC Diện tích tam giác vuông SABC AC M AB Ta có VMNBC VM ABC VN ABC SABC AM AN 1 Cosi x y xy 3 Dấu " " xảy và x y Chọn D A N C B (13) Câu 135 Đặt AC x 0 x 2 S Tam giác vuông ABC , có BC AB AC x 2 Tam giác SAB cân A , có đường cao AH suy H SH là trung điểm SB nên SB Tam giác vuông SAC , có K A H SK SA SC SC x2 SH SK SB SC x 4 x 4 C SA SK SC Ta có VS AHK VS ABC VS AHK B 1 x 4 x2 2 V S SA ABC S ABC x x2 x x 4 x2 trên 0;2 , ta max f x Xét hàm f x 0;2 x 4 f Chọn A Câu 136 Vì ABCD A B C D là hình hộp chữ nhật suy BC ABB A Khi đó A B là hình chiếu A C trên mặt phẳng ABB A C , ABB A B Suy 30 A A C , A B CA Đặt BB h h 0 D' C' B' A' h C D A x B Tam giác vuông A B B, có A B A B BB x h BC B Tam giác vuông A BC , có tan CA tan 30 x h 27 2 AB x h Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A B C D là V BB .S ABCD xh x h 27 81 81 Áp dụng BĐT Côsi, ta có xh Vmax 2 x h 27 Dấu " " xảy x2 x Chọn B x h 27 2 Câu 137 Giả sử a, b, c là các kích thước hình hộp chữ nhật Độ dài đường chéo hình chữ nhật là a2 b2 c Tổng diện tích các mặt là ab bc ca 2 ab bc ca 36 ab bc ca 18 Theo giả thiết ta có 2 2 2 a b c a b c 36 (14) Ta cần tìm giá trị lớn V abc Ta có a b c a b c ab bc ca 72 a b c 2 18 a a a Khi đó V abc a 18 a b c a 18 a a a 2a 18a Xét hàm số f a a 2a 18a với a 0;4 , ta Ta có b c 4bc a max f x f f 4 0;4 Chọn C a b c Nhận xét Nếu sử dụng V abc 16 thì sai vì dấu '' '' không xảy Câu hỏi tương tự Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất ác cạnh 32 và độ dài đường chéo Tính thể tích lớn Vmax khối hộp chữ nhật đã cho ĐS: Vmax 16 Câu 138* Theo giả thiết ta có cạnh hình lập phương a b c ● Hình hộp chữ nhật có: V abc và S ab ac bc ● Hình lập phương có: V ' a b c và S ' a b c Suy S a b c S1 S2 ab bc ca Ta có a b c 32abc a b c a3 b c b c bc 32 1 32 a a a a a b x x y 1 a Đặt x y 1 32 xy xy c 32 y a Khi đó S x y 1 x y xy x y 1 t2 t x y 11 S 96 3 t 32t 32 x y 1 xy 32 Ta có x y 1 32 xy x y t t 1 t 8t 16t 2 t 3 Xét hàm f t t2 trên đoạn 2;3 , ta max f t f 4 10 t 32t 32 2;3 Chọn D Câu 139* Do G là trọng tâm ABC SG SA SB SC SG SB SC SA SA SB SC SI SM SN SP SI SM SN SP SI SN SP SN SP SM SM SA SB SC SA SB SC Do I , M , N , P đồng phẳng nên 1 SM SN SP SM SN SP Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có (15) SA SB SC 2 1 2 SB SC SA SM SN SP SM SN SP 36 18 Chọn C Suy T 2 SA SB SC Cách trắc nghiệm Do đúng với hình chóp nên ta chọn trường hợp đặc biệt SA, SB, SC đôi vuông góc và tọa độ hóa sau: S O 0;0;0 , A 1;0;0 , 1 1 1 I ; ; B 0;2;0 và C 0;0;3 Suy G ; ;1 3 Khi đó mặt phẳng cắt SA, SB, SC M a;0;0, N 0; b;0, P 0;0; c x y z 1 và T a b c a b c 1 1 1 1 Vì I ; ; : a b c : 1 1 1 1 11 1 18 Ta có 12 . T a b c a b c SK Câu 140* Gọi a 0 a 1 SC Vì mặt phẳng di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD hai điểm phân biệt K , Q nên ta có đẳng thức SA SC SB SD SM SK SN SQ SQ SD 2a 2 a SQ SD a S N M Q P D A B Ta có VS MNKQ VS ABCD C SM SN SK SM SK SQ a 2a SA SB SC SA SC SD a a Xét hàm f a 2a 1 trên đoạn 0;1 , ta max f a f 1 Chọn B 0;1 a 2 (16)