Một số vấn đề của hình học lồi và ứng dụng chúng trong việc giải toán hình học ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -&@& LÊ BÁ HOÀNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC LỒI VÀ ỨNG DỤNG CHÚNG TRONG VIỆC GIẢI TỐN HÌNH HỌC Ở PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN, THÁNG 8/2016 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tập lồi, bao lồi không gian vectơ n 1.1 Định nghĩa 1.2 Ví dụ 1.3 Định lý 1.4 Định lý 1.5 Mệnh đề 1.6 Mệnh đề Một số định lý hình học lồi 2.1 Định lý Carathéodery 2.2 Định lý Radon 2.3 Định lý Helly CHƯƠNG II VẤN ĐỀ BAO LỒI VÀ ĐỊNH LÝ HELLY HÌNH HỌC Ở PHỔ THƠNG Một vài nhận xét vai trò bao lồi định lý Helly việc giải tốn phổ thơng Đa giác bao (bao lồi) tập hợp điểm mặt phẳng 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Khái niệm hình lồi 2.1.2 Đa giác bao (bao lồi) tập hợp điểm mặt phẳng 2.2 Một số toán ứng dụng đa giác bao để giải tốn hình học phổ thơng Định lý Helly không gian n (n =1, 2, 3) 3.1 Cơ sở lý thuyết 3.1.1 Định lý Helly đường thẳng 3.1.2 Định lý Helly mặt phẳng 3.1.3 Định lý Helly khơng gian 3.2 Một số tốn hình học phổ thông giải phương pháp ứng dụng Định lý Helly KẾT LUẬN DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 6 6 10 10 12 12 12 13 15 15 16 16 16 17 19 30 30 30 31 33 38 52 53 LỜI NĨI ĐẦU Hình học lồi mơn khoa học nghiên cứu tính lồi hình hình học khơng gian véctơ thực Về lý thuyết, hình học lồi sở lý luận cho nhiều ngành toán học khác (như Đại số, Giải tích, Lý thuyết tối ưu, Toán kinh tế,…) Về ứng dụng, cấu trúc lồi hình hình học xuất nhiểu tốn thực tế Nói riêng, chương trình hình học phổ thơng chủ yếu nghiên cứu hình lồi Trong trường hợp hình cần xét khơng lồi, người ta tìm cách nghiên cứu phương pháp xấp xỉ với họ tập lồi Điều cho thấy kiến thức hình học lồi bổ ích học sinh phổ thông, học sinh trung học phổ thông Việc cung cấp cho học sinh giỏi kiến thức hình học lồi làm tảng cho em sau Ở trường phổ thơng, tơi nhận thấy hình học lồi đóng vai trò tương đối quan trọng đề thi học sinh giỏi Các tốn hình học lồi gần gũi với thực tiễn góp phần quan trọng việc hình thành tri thức tốn phổ thơng cho người học Tuy vậy, cách thức trang bị kiến thức hình học lồi cho học sinh trung học phổ thông (THPT) điều Với mục đích đưa vài chủ đề mơn hình học lồi cho học sinh THPT học tập, nghiên cứu cách độc lập, chủ động, tơi trình bày đề tài luận văn với tiêu đề: “MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC LỒI VÀ ỨNG DỤNG CHÚNG TRONG VIỆC GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHỔ THÔNG” Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Một số vấn đề hình học lồi Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm hình học lồi tính chất chúng Chương sở lý thuyết soi sáng vấn đề hình học lồi khơng gian với số chiều bé mà muốn ứng dụng để dạy cho học sinh phổ thông chương sau Chương 2: Vấn đề bao lồi định lý Helly hình học phổ thơng Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày nhận xét vai trị bao lồi định lý Helly việc giải tốn hình học phổ thơng Sau chúng tơi trang bị hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh cho học sinh phổ thông, bao gồm: - Chỉ rõ cấu trúc bao lồi phẳng, tức bao lồi tập hợp điểm mặt phẳng - Chứng minh Định lý Helly không gian véc tơ n với n =1, 2, - Trình bày số tốn hình học phổ thông giải phương pháp bao lồi phẳng số tốn hình học phổ thông giải phương pháp sử dụng định lý Helly Luận văn hoàn thành vào tháng năm 2016 Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội nhiệt tình hướng dẫn tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo thuộc chun ngành Hình học - Tơpơ, thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ thời gian học tập hoàn thành luận văn Tác giả CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tập lồi, bao lồi không gian vectơ n Trong luận văn này, xét không gian cộng (+) nhân (.), n n lập thành gọi điểm Trên Nếu x = (x1, x2, , xn)  n n n Với hai phép tốn: - khơng gian vectơ Mỗi vectơ ta định nghĩa tích vơ hướng sau: , y = (y1, y2, , yn)  n x, y = n  xi yi , x = i 1 (xi), y = (yi) Ta nói x y trực giao với vng góc với x, y = Chuẩn x  n , ký hiệu x , xác định x   x,x  1.1 Định nghĩa a) Cho hai vectơ x, y , tập hợp vectơ z = x + (1-)y,    gọi đoạn thẳng có mút x, y, ký hiệu [x, y]; ký hiệu đơn giản xy b) Cho tập A  n Tập A gọi tập lồi từ x, y  A kéo theo [x, y]  A c) Giả sử A  n , tập lồi nhỏ V chứa A gọi bao lồi tập A, ký hiệu bao lồi tập A co(A) Dễ thấy co(A) giao tất tập lồi chứa A d) Cho hữu hạn vectơ x1, x2, , xk tập hợp A Tổng k  ixi , i  0, i 1 k  i = 1; i = 1, 2, , n gọi tổ hợp lồi x1, x2, , xn i 1 1.2 Ví dụ 1.2.1 Hình cầu: B(O, r) = x  : x   r  tập lồi Thật vậy, lấy x, y  B(O, r),   [0, 1] ta phải chứng minh x + (1-)y  B(O, r),   [0, 1] Xét x + (1-)y  x+(1-)y = .x+1-.y  r + (1- )r = r Vậy hình cầu khơng gian tập lồi 1.2.2 Cho A = x  : x = (x1, x2) : x1 + x2  2 tập lồi Lấy x, y  A ta chứng minh x + (1-)y  A,   [0, 1] Ký hiệu x = (x1, x2), y = (y1, y2) Khi (x1 + x2) + (1- )(y1 + y2)  2 + (1- )2 = Suy x + (1-)y  A,   [0, 1] Vậy A lồi 1.2.3 Các nửa không gian lồi Với a  n ,   , xét B = x : a, x  a C = x : a, x  a D = x : a, x < a E = x : a, x > a Khi B, C, D, E tập lồi Chứng minh Với (x, y)  B   [0, 1] Khi ta có a, x + (1-)y = a, x + a, (1-)y = a, x + (1- )a, y   + (1- ) =  Vậy nửa không gian B đóng tập lồi Ta chứng minh tương tự C, D, E Khi C, D, E tập lồi 1.2.4 A = (x, y)  R2 : x2 + y2 < 1 tập lồi Với x,y  A,   [0,1], ta cần chứng minh x + (1-)y  A Thật vậy, ta có x = (x1, y1), y = (x2, y2)  ( x1 , y1 )  (1   )(x2 , y2 )   ( x12  y12 )  (1   )(x22  y22 ) <  + (1-) = Khi x + (1-)y  A Vậy A tập lồi 1.3 Định lý Tập hợp A lồi tổ hợp lồi hữu hạn điểm thuộc A thuộc A Chứng minh Giả sử tổ hợp lồi hữu hạn điểm thuộc A thuộc A, nghĩa với x1, x2 , , xm  A m x=  i xi , i  0, i 1 m  i = x  A i 1 Ta thấy với m hữu hạn, rõ ràng m = A tập lồi (theo định nghĩa) Ngược lại, giả sử A lồi ta cần chứng minh với x1, x2 , , xm  A, m hữu hạn m x=  i xi , i  0, i 1 m  i = i 1 Ta chứng minh theo quy nạp Với m = ta kết luận (theo định nghĩa) Giả sử mệnh đề với m ta cần chứng minh với m +1 Thật vậy, với x1, x2 , , xm+1  A, xét m 1 m 1 z=   x , i  0,   i i 1 i i = i 1 Ta có m z =  i xi + m+1xm+1 = (1 - m+1) i 1 Đặt  i  m i 1  i 1 xi + m+1 xm+1 m 1 i   m1 m Khi x = 1  m1   i xi  m1 xm1 i 1 m 1 (vì i  0,  i  , nên i  i 1 m y=  x  A i 1 i i m   i  1) Theo giả thiết quy nạp i 1 Từ ta suy A lồi  1.4 Định lý Giả sử A  n Khi co(A) tập hợp tất tổ hợp lồi điểm thuộc A Chứng minh Ta ký hiệu B tập tất tổ hợp lồi điểm thuộc A Vì co(A) tập lồi nên co(A) chứa tất tổ hợp lồi nên B  co(A) (1.4.a) Ta chứng minh co(A)  B, nghĩa chứng minh B tập lồi A  B Thật vậy, lấy x, y  B chứng minh z = x + (1- )y  B,   [0, 1] Giả sử x = n n  ixi xi  A, i  [0, 1],  i = 1, i = 1, 2, , n i 1 i 1 n y= n  jyj yj  A, j  [0, 1],  j = 1, j = 1, 2, , n j 1 j 1 Khi đó: n n i 1 j 1 z =  (  ixi) + (1- )(  jyj) n = (  i)xi + i 1 Đặt n  ’i = i 1 n  i  0; i 1 n  ’j = j 1 n  (1- )jyj j 1 n  (1- )j  0, ta có j 1 n n n n i 1 j 1 i 1 j 1  ’i +  ’j =   i + (1- )  j =  + (1- ) = Do z  B, suy B tập lồi Lấy a bất kỳ, a  A ta có a = 1.a, nên a  B Vậy A  B Từ suy co(A)  B (1.4.b) Từ (1.4.a) (1.4.b)  10 1.5 Mệnh đề a) Giao họ tuỳ ý tập lồi tập lồi b) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) tập lồi tập lồi Chứng minh a) Giả sử A  I họ tập lồi n Đặt A =  A Khi ta  I cần chứng minh A tập lồi Thật vậy, với x, y  A ta có x, y  A, với   I Do A tập lồi nên [x, y]  A với   I Từ suy [x, y]  A Vậy A tập lồi b) Giả sử Ai tập lồi i  ℝ (i = 1, 2, , n) Đặt A = n  iAi, cần chứng tỏ A tập lồi i 1 Khi với x, y  A    (giả sử x = 1x1 + 2x2 + + nxn; y = 1y1 + 2y2 + + nyn, xi, yi  Ai, i = 1, 2, , n) x + (1- )y = [1x1 + 2x2 + + nxn] + (1- )[1y1 + 2y2 + + nyn] = 1[x1 + (1- )y1] + 2[x2 + (1- )y2] + + n[xn + (1- )yn]  A (vì Ai tập lồi nên xi + (1- )yi  Ai, i = 1, 2, , n) Vậy A tập lồi 1.6 Mệnh đề a) Nếu A, B tập lồi co(A  B) =  A + (1- )B   1 b) Nếu x  co(A) co(A  x) = co(A) Chứng minh a) Đặt C =  A + (1- )B   1 Để chứng minh co(A  B) = C, ta chứng minh co(A  B)  C C  co(A  B) Khi đó, với a  A, b  B    a + (1- )b  co(A  B) (vì a, b  A  B) Vậy C  co(A  B) (1.6.a) 11 Ngược lại, ta chứng minh co(A  B)  C, nghĩa lấy phần tử thuộc co(A  B), chứng minh thuộc C Thật vậy, lấy x thuộc co(A  B) , x = n  iai + i 1  A, bj  B; i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) với - Nếu n  i = i = nên x = i 1 n m i 1 j 1 m  jbj (trong j 1  i +  j = m  jbj, tổ hợp phần tử j 1 thuộc B Vì B tập lồi nên x  B Vậy x  0.A + 1.B - Nếu chứng minh tương tự Giả sử n  i = , <  < Khi i 1 n x = (  i 1 m  j = -   [0, 1], j 1 m  i j ai) + (1- )(  b j)  j 1   = a + (1- )b  A + (1- )B với    Vậy x  C hay x  A + (1- )B (1.6.b)   1 Từ (1.6.a) (1.6.b) suy co(A  B) =  A + (1- )B    1 b) Giả sử x  co(A), suy x  A  co(A) Do co(x  A) = co(co(A))  co(A) Ngược lại A  x  A nên co(A)  co(x  A) Vậy co(x  A) = co(A)  12 đường thẳng d với đường tròn (C) IK với I thuộc cung A1 A2 suy IK đường kính đường trịn (C) (Hình 30) B1 A2 (C) I A1 K A2 Hình 30 Do (C) đường trịn đơn vị nên chu vi đường tròn (C) 2 Ta có: cung A1B1  2 2 2 , cung A2 B2   cung A1 A2  3  cung KA1  cung KA2  Giả sử n i 1 2 Ai Bi phủ kín đường trịn (C) Vì hai cung có điểm chung nên tồn cung Ai Bi chứa cung KA1 điều mâu thuẫn cung Ai Bi bé 2 Do hợp cung cho khơng phủ kín đường trịn (C), nên đường trịn (C) tồn điểm không thuộc cung cung cho, giả sử điểm K Trong mặt phẳng chứa đường tròn (C) cắt đường tròn (C) K, trải chu vi đường tròn (C) thành đoạn thẳng đoạn thẳng CD, cung Ai Bi trở thành đoạn thẳng Ci Di tương ứng song ánh 1-1 (Hình 31) 40 K A i Bi D C C i Hình 31 D i Vì hai cung Ai Bi , Ak Bk (i  k , i, k  1, n) cắt nên hai đoạn thẳng Ci Di Ck Dk (i  k , i, k  1, n) cắt Do theo định lý Helly ta có: n i 1 Ci Di   suy giao cung Ai Bi (i  1, n) khác rỗng  Bài toán Trong mặt phẳng cho tập hợp A gồm đa giác cho hai đa giác A có điểm chung đường thẳng d Chứng minh tồn đường thẳng song song với d cắt tất đa giác A Chứng minh Giả sử A tập gồm đa giác lồi Pi , i  1, n Xét hệ trục tọa độ Đềcác vng góc cho trục Oy trùng với đường thẳng d Với đa giác Pi ta chiếu lên trục hồnh Ox ta đoạn  , bi  Như ta có tương ứng 1-1 (Hình 32) 41 y Pj Pi O a j a b i j bi x d Hình 32 Do Pi Pj có điểm chung suy giao  , bi   a j , b j  khác rỗng với i  j (i, j  1, n) Do theo định lý Helly ta có a n i 1 n i 1  , bi    Gọi  , bi  đường thẳng x = a cắt tất đa giác lồi cho  Bài tốn Trong mặt phẳng cho đường trịn C tập hợp A gồm số hình trịn có tính chất: Cứ hình A, dịch chuyển C đến vị trí để C cắt ba hình trịn Chứng minh có vị trí đặt C để C cắt tất hình trịn A Chứng minh Hình 32 Gọi Si hình trịn tâm Ai bán kính ri (i  1, n) , i hình trịn tâm Ai , bán kính ri  r , i  1, n (r bán kính đường trịn C) Như tâm hình trịn có bán kính r mà cắt Si nằm i 42 Xét n tập lồi: i , i  1, n Khi đó: với i, j ,k tuỳ ý mà i, j, k 1, , n có hình trịn tâm Oi , j ,k bán kính r cắt hình trịn Si , S j , Sk Tức Oi , j ,k i   j  k Theo định lý Helly suy giao n hình trịn i , i Như dịch chuyển đường ( i  1, n ) khác rỗng Tức tồn O*  i 1, n tròn C cho tâm trùng O* vị trí cần tìm  Nhận xét: Từ toán ta suy toán sau: Trong khơng gian R3 cho hình cầu C tập hợp A gồm số hình cầu có tính chất: Cứ hìnhcầu A, dịch chuyển C đến vị trí để C cắt hình cầu Chứng minh có vị trí đặt C để C có điểm chung tất hình cầu A Chứng minh tốn tương tự chứng minh ví dụ Bài tốn Trong mặt phẳng có họ hữu hạn hình chử nhật có cạnh tương ứng song song với hai trục toạ độ Chứng minh hai hình chúng có giao khác rỗng họ có giao khác rỗng Chứng minh Lấy hệ trục toạ độ có trục song song với cạnh hình chử nhật Chiếu hình lên trục Ox, Oy Ta có tương ứng 1-1 sau:  a ; b   Ox  Fi   i i   ci ; di   Oy (Hình 33) y di Fi ci Fj x bi Hình 33 43 Như vậy: họ đoạn thẳng  ; bi   Ox , ci ; di   Oy , với i Do Fi  Fj  ; i  j  ; bi   a j ; b j   ; i, j 1, 2, , n  ; bi  Khi theo định lý Helly đường thẳng ta có a*  1i  n ci ;di  Tương tự ta có: b*  1i  n Fi  Điều ta chứng minh (a* , b* )  1i  n Nhận xét: Từ ví dụ ta suy tốn sau: Trong hệ tọa độ Oxyz có họ hữu hạn hình hộp chử nhật có cạnh tương ứng song song với ba trục tọa độ Chứng minh ba hình chúng có giao khác rỗng họ có giao khác rỗng Bài toán Trong mặt phẳng cho tập hợp điểm Biết tồn số dương r cho lấy điểm chúng tồn hình trịn bán kính r chứa điểm Chứng minh tồn hình trịn bán kính r chứa tất điểm cho Chứng minh Gọi điểm cho A1 , A2 , , An Dựng đường tròn C ( Ai ; r ) có tâm điểm Ai với bán kính r Khi ba đường trịn C ( Ai ; r ) , C ( Aj ; r ) , C ( Ak ; r ) có điểm chung tâm đường trịn có bán kính r chứa điểm Ai , Aj , Ak Vậy họ đường tròn C ( Ai ; r ) thoả mãn điều kiện định lý Helly Do tồn O n C ( Ai , r ) , ta có độ dài OAi  r; i  1, 2, , n Do điểm A1 , A2 , , An i 1 nằm đường trịn tâm O bán kính r  44 Bài toán Trong mặt phẳng cho n hình trịn ( n  ) Biết hình trịn tùy ý, ln tồn hình trịn bán kính R chứa hình trịn Chứng minh tồn hình trịn bán kính R chứa n hình trịn cho Chứng minh Gọi i hình trịn có tâm Oi (Hình 34,35) bán kính Ri , tức i =  Oi ; Ri  , i  1, n Gọi Fi hình trịn có tâm Oi bán kính R  Ri , tức Fi =  Oi ; R  Ri  , i  1, n Lấy i, j, k tùy ý cho  i  j  k  n , 1 2 O 3 i , j ,k ; R ta chứng minh Fi  Fj  Fk   Hình 34 Thật vậy, theo tồn hình trịn O i , j ,k ; R  phủ i ,  j , k , tức i   j  k   Oi , j ,k ; R  , i   Oi , j ,k ; R  nên OiOi , j ,k  R  Ri hay  Oi ; R  Ri  chứa Oi , j ,k Oi i O i , j ,k ; R Oi , j ,k  Fi Lập luận tương tự ta có Oi , j ,k  Fj , Oi , j ,k  Fk từ ta suy Fi  Fj  Fk   Hình 35 Áp dụng định lý Helly suy F1  F2   Fn   ta giả sử O*  F1  F2  Xét hình tròn  O* ; R  , O*  n  Fn Fi  O*  Fi , i  1, n i 1 Vì  O* ; R  chứa  Oi ; Ri  , i  1, n nói cách khác  O* ; R   n i i  1, n  i 1 Nhận xét: Bài toán không gian chiều ( ) 45 Trong không gian cho n hình cầu ( n  ) Biết hình cầu tùy ý, ln tồn hình cầu bán kính R chứa hình cầu Chứng minh tồn hình cầu bán kính R chứa n hình cầu cho Bài tốn Trong mặt phẳng cho n hình trịn ( n  ) Biết hình trịn tùy ý, ln tồn hình trịn bán kính R nằm hình trịn Chứng minh tồn hình trịn bán kính R nằm n hình trịn cho j Chứng minh: Gọi i =  Oi ; Ri  , i  1, n (Hình 36) Gọi Fi =  Oi ; Ri  R  , i  1, n Lấy i, j, k tùy ý cho  i  j  k  n , i   O; R  Oj Oi ta chứng minh: Fi  Fj  Fk   Ok Thật vậy, theo tồn hình tròn    O; R   i   j  k (1) Ta chứng minh Fi  Fj  Fk   (2) k Hình 36 Thật vậy, theo (1) hình trịn  nằm trọn i nên O  Fi Tương tự, O  Fj , O  Fk O  Fi  Fj  Fk với i, j, k (  i  j  k  n ) Theo định lý Helly, ta có F1  F2   Fn   nên tồn O*  n Fi  O*  Fi , i  1, n i 1 Xét hình trịn  O* ; R  , O*  n Fi  O*  Fi , i  1, n i 1 Vì  O* ; R  nằm trọn hình trịn  Oi ; Ri  , i  1, n nói cách khác O ; R  nằm trọn n hình trịn cho  * Nhận xét: Bài tốn không gian chiều ( ) Trong khơng gian cho n hình cầu ( n  ) Biết hình cầu tùy ý, ln tồn hình cầu bán kính R nằm hình cầu Chứng minh tồn hình cầu bán kính R nằm n hình cầu cho 46 Bài tốn Trong mặt phẳng cho đường trịn C bán kính R di động tập hợp A gồm hữu hạn đường thẳng xếp ln tìm vị trí đặt C để C cắt ba đường thẳng A Chứng minh rằng: có vị trí đặt C cho C cắt tất đường thẳng A Chứng minh Gọi d1 , d2 , , dn đường thẳng tập A Với đường thẳng di (i  1, n) ta xét Fi hình tạo hai đường thẳng , bi song song với di cách di khoảng cách R (Hình 37) (C) R O R Fi di R bi Hình 37 Tâm O đường trịn (C) bán kính R mà cắt di O thuộc Fi Rõ ràng Fi hình lồi với i  1, n Như có họ hữu hạn hình lồi F1 , F2 , , Fn Lấy i, j, k tùy ý cho  i  j  k  n Theo giả thiết với ba đường thẳng ln tìm vị trí đặt C để C cắt đường thẳng di , d j , dk , tức tâm đường trịn (C) bán kính R thuộc Fi Fj Fk Điều chứng tỏ Fi Fk   với i, j, k tùy ý thuộc 1, 2, Fj ta có: n i 1 Fi   nên tồn O*  n , n Nên theo định lý Helly Fi  O*  Fi , i  1, n i 1 Xét hình trịn  O* ; R  , đường trịn cắt tất đường thẳng cho 47 Bài toán Trong mặt phẳng cho n hình tam giác ( ) hình trịn C di động Biết với hình tam giác tùy ý số tam giác cho, ln tồn vị trí đặt hình trịn C cho C cắt tam giác Chứng minh tồn vị trí đặt C cho C cắt tất n hình tam giác cho Chứng minh Từ cạnh tam giác DEF, phía ngồi ta dựng hình chữ nhật có cạnh cạnh tam giác DEF cịn cạnh có độ dài r, bán kính C Dựng đường tròn (D, r), (E, r), (F, r) có tâm tương ứng D, E, F bán kính r Gọi VD, VE, VF hình rẻ quạt tương ứng tạo (D, r), (E,r), (F, r) với cạnh ba hình chữ nhật Gọi H hình hợp hình tam giác DEF, hình chữ nhật EDMN, DIGF, EFQP rẻ quạt VD, VE, VF (Hình 38) M I VD r r D G N r VE r E F r P r Hình 38 VF Q Ta chứng minh đường trịn (C) có tâm O bán kính r cắt hình tam giác DEF tâm O nằm hình H * Giả sử tâm O nằm hình T ta chứng minh hình trịn (C) cắt hình tam giác DEF Thật vậy, O nằm trịn hình H - Nếu O nằm (hoặc cạnh) tam giác DEF hiển nhiên (C) có điểm chung với hình tam giác DEF 48 - Nếu O nằm hình chữ nhật EDMN, DHGF, EFQP rẻ quạt VD, VE, VF (Hình 39) dễ có đường đường trịn (O, r) cắt cạnh tam giác DEF nên hình trịn (C) hình tam giác DEF có điểm chung M I VD r (C) r D r O G N r VE r E F r P r Hình 39 VF Q - Ngược lại giả sử hình trịn (C) hình tam giác DEF có điểm chung ta chứng minh tâm O đường trịn (C) nằm hình H Thật vậy: Giả sử O không thuộc H, O thuộc phần mặt phằng (I), (II), (III), (IV), (V), (VI) khơng thuộc hình H (Hình 40) - Nếu O thuộc phần mặt phẳng (I) OD  MD  r nên đường trịn (O; r) khơng cắt tam giác DEF tức (C) tam giác DEF khơng có điểm chung điều mâu thuẫn với giả thiết nên O thuộc hình H Chứng minh tương tự O thuộc phần mặt phẳng (III) (V) ta có O thuộc hình H - Nếu O thuộc phần mặt phẳng (VI) OD, OF  MI  GF  r nên đường trịn (O; r) khơng cắt tam giác DEF tức (C) tam giác DEF khơng có điểm chung điều mâu thuẫn với giả thiết nên O thuộc hình H Chứng minh tương tự O thuộc phần mặt phẳng (II) (IV) ta có O thuộc hình H 49 (I) (C) (C) r O I M r (II) (VI) r VD O r D G N r VE (III) r E F r r VF (V) P (IV) Q Hình 40 Vậy hình trịn (C) hình tam giác DEF có điểm chung tâm O thuộc hình H Gọi  i ( i  1, n ) hình tam giác cho, hình Hi ( i  1, n ) hình tạo hình tam giác  i Theo chứng minh tâm Oi tất hình trịn có bán kính r mà cắt  i Oi nằm hình H i Xét n tập lồi H1 , H , , H n Lấy i, j, k tùy ý cho  i  j  k  n Theo giả thiết hình trịn  Oi , j ,k ; r  cắt i ,  j , k , tức Oi , j ,k  Hi H j H k Điều chứng tỏ Hi H j H k   với i, j, k tùy ý thuộc 1, 2, , n Nên theo định lý Helly ta có: nên tồn O*  n n i 1 Hi   H i  O*  H i , i  1, n i 1 50 Xét hình trịn  O* ; r  , hình trịn cắt tất tam giác cho Hồn tồn tương tự ta có tốn tổng qt: Trong mặt phẳng, cho n hình lồi (n≥4) hình trịn C di động Biết với hình tùy ý số hình cho, ln tồn vị trí đặt hình trịn C cho C cắt hình Chứng minh tồn vị trí đặt C cho C cắt tất n hình cho Bài tốn 10 Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng cho khoảng cách chúng không vượt Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa tất điểm cho Chứng minh Giả sử n điểm cho M1 , M , , M n , khoảng cách điểm tùy ý M i , M j d  M i , M j   d  M i , M j    i  j | i, j  1, n  Xét hình trịn tâm M i bán kính    Fi   M i ;  i  1, n 3  Lấy điểm tùy, giả sử M1 , M , M Khi ta có trường hợp sau xảy ra: Tam giác M1M M tam giác không tù Xét đường trịn ngoại tiếp tam giác M1M M có tâm O bán kính R,(O nằm tam giác, tam giác khơng tù (Hình 41) Ta có M1OM  M 2OM  M 3OM1  3600 nên góc M1OM , M 2OM , M 3OM1 tồn góc lớn 1200 Không tổng quát giả sử M 3OM1  1200  R   OM1  OM  OM   O  F1 0,5M1M 0,5   sin 600 3 F2 F3  F1 F2 F3   51 M1 M1 R O M3 M2 M3 I M2 Hình 42 Hình 41 Nếu tam giác M1M M tam giác tù Giả sử M góc tù Xét đường trịn đường kính tiếp M M phủ tam giác M1M M (Hình 42) Gọi I trung điểm M M ta có:  IM  IM  IM1 , IM  1 M1M    I  F1 2 Do theo định lý Helly ta suy n i 1 F2 F3  F1 F3   Fi   n Giả sử O*  Fi , xét hình trịn tâm O* bán kính i 1 O* M i  F2 Vì O*  Fi nên Vậy hình trịn tâm O* bán kính chứa tất điểm cho 52 KẾT LUẬN Luận văn thực nội dung sau: Trình bày tóm tắt vấn đề hình học lồi khơng gian véctơ n Trình bày cách chứng minh định lý bao lồi hệ điểm hữu hạn mặt phẳng kiến thức hình học phổ thơng Trình bày hệ thống số tốn hình học phổ thơng giải phương pháp ứng dụng tính chất bao lồi Trình bày cách chứng minh định lý Helly không gian n với n =1, 2, kiến thức hình học phổ thơng Đóng góp phần chứng minh Định lý Helly khơng gian chiều Trình bày hệ thống số tốn hình học phổ thơng giải phương pháp ứng dụng định lý Helly 53 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Vũ Hữu Bình (2001), Các tốn hình học Tổ hợp, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Quý Di, Nguyễn Văn Nho, Vũ Dương Thụy (2005), Tuyển tập 200 toán thi vơ địch tốn, NXB Giáo dục [3] Vũ Đình Hồ (2000), Lý thuyết tổ hợp toán ứng dụng, NXB Giáo dục [4] Vũ Ngọc Lân (2003), Một số tính chất tập lồi khơng gian vectơ tôpô, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Vinh [5] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [6] Phan Huy Khải (2007), Các tốn hình học tổ hợp, NXB Giáo dục [7] Đặng Thị Thanh Ngọc (2009), Một số định lý hình học lồi ứng dụng, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Vinh [8] Nguyễn Thị Thuỷ (2004), Một số vấn đề tập lồi Rn ứng dụng, Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Vinh Tiếng anh [9] F A Valentine (1964), Convex set, McGraw-Hill, New York, San Francisco Toronto London [10] Jan Van Tiel (1984), Convex analysis an introductory text, John Wiley and Sons 54 ... với tiêu đề: “MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC LỒI VÀ ỨNG DỤNG CHÚNG TRONG VIỆC GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHỔ THÔNG” Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Một số vấn đề hình học lồi Trong chương chúng tơi... niệm hình học lồi tính chất chúng Chương sở lý thuyết soi sáng vấn đề hình học lồi khơng gian với số chiều bé mà muốn ứng dụng để dạy cho học sinh phổ thông chương sau Chương 2: Vấn đề bao lồi. .. CHƯƠNG II VẤN ĐỀ BAO LỒI VÀ ĐỊNH LÝ HELLY HÌNH HỌC Ở PHỔ THƠNG Một vài nhận xét vai trò bao lồi định lý Helly việc giải tốn phổ thơng Hiện THPT hình học sách giáo khoa phổ thơng (Hình học thống)