GIẢI ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP C1

Bài giải ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP C1 08-09 Bài 1 arctgx ln x acrtgx  lim arctgx ln x  lim L lim  x a) I  lim x �0 x �0 x �0 x �0 1  ln x ln x x ln x ln x x  lim ln x I   lim lim L  lim C1 x �0  x x � x �0 x�0 1  x x x I L lim x  lim  2 x   x �0 x �0  x 1 ln x ln x ln x x  lim x  lim 2 x  L  lim L lim C2 I   lim x �0 x �0 x �0 x �0 x �0  x 1 x  1 x  1 x x x x b) 1� x  sin x  cos x sin x �1 I  lim �  � lim L lim L lim 0 x �0 sin x x � x �0 x sin x x �0 sin x  x cos x x�0 cos x  cos x  x sin x � Bài Vẽ hình Diện tích hình phẳng:   S � cos x  sin x dx  sin x  cos x      1 0 Bài Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: � � �  cos x 2sin x dx dx  dx  2 � � � 1 x 1 x  x2 0 �  dx  arctgx  (hội tụ) �  x2 Theo tiêu chuẩn so sánh 1, suy tích phân cho hội tụ Bài Khảo sát hội tụ chuỗi số tg � � 1 n  a) �tg Ta có lim phân kì � n �� n n 1 n 1 n n � Theo tiêu chuẩn so sánh 2, �tg phân kì n n 1 � Mà: � b) 2 n �n ln n n2 un 1 2 n1 n ln n n ln n   Xét n un n  ln  n  1  n  1 ln  n  1 u n ln n n ln n lim n 1  lim  lim lim  Suy n �� u n �� n  ln  n  1 n�� n  n�� ln  n  1 n Theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi số cho hội tụ Bài Khảo sát hội tụ chuỗi lũy thừa 2n � x  2  a) � 2n n 1 Đặt X   x   , chuỗi cho trở thành Xn � n 1 2n � Bán kính hội tụ R 1 2n lim n ��  n  1 Suy ra, miền hội tụ X  �  x    � x   �  x  Khi x = 1, chuỗi cho trở thành chuỗi số 2n �  1  � : chuỗi phân kì � � 2n n 1 n 1 2n Khi x = 3, chuỗi trở thành chuỗi số: 2n �  1  � : chuỗi phân kì � � n 1 2n n 1 2n Miền hội tụ chuỗi lũy thừa  x  � xnnn b) � n2 n 1   n  Bán kính hội tụ R  lim n n �� nn  1 n n  lim n �� nn  1 n n n �� � 1� e 1 � � � n�  lim n  1 Miền hội tụ   x  e e Khi x  , chuỗi trở thành chuỗi số e � e n nn e 1 n n   , hội tụ Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, lim � n n n �� n 1   n   1 n e Khi x   chuỗi trở thành chuỗi số e  e  n n � n n 1   n  � n 2  e  n n � n n 1   n  � Xét chuỗi trị tuyệt đối n 1 Vậy miền hội tụ chuỗi lũy thừa  �x � e e 2 � e n nn n 1  1 n � n2 hội tụ