35 bài tập tích phân biến đổi file word có lời giải chi tiết image marked

Bài 1: Tính tích phân sau  /3 1) I= cos x dx  sin x − sin x +  /6  /3 2) I=   /6 3) I=  Đs: I = ln sin x dx + cos x Hd: Đặt t = cos x Đs: I = sin x dx sin x + cos x Hd: Đặt t = sin x + cos x Đs: I = ln Hd: Đặt t = x + Đs: I = ln 2 Hd: Đặt t = + x Đs: I = 141 10 Hd: Đặt t = ln x Đs: I = dx Hd: Đặt t = + e x Đs: I = ) Hd: Đặt t = − x Đs: I = 168 4) I= x x +1 5) I=  x3 1+ x2 dx dx + ln x dx x e 6) I = 7) I= ln  + ex ( 8) I =  x − x dx Hd: Đặt 9) x I = dx x + x +1 10) I= t = x ;t + = tan u 2 Đs: I = x 11) I=   /6 12) I=  I= I=  Hd: Đặt t = cos x Đs: I = 1 − ln 2 cos x dx − sin x + sin x Hd: Đặt t = sin x Đs: I = ln Hd: Đặt t = sin x Đs: I = Hd: Đặt t = 1+ ln x Đs: I = x (2 − )( + ) (2 + )( − ) sin x cos x dx + cos x 14) ln 848 105  e Đs: I =  /2 13) 5 + ln Hd: Đặt t = + x + x dx  /2 ( ) 5(4 − ) 36− Hd: Đặt t = sin x cos x + cos x − 2ln x 1+ 2ln x dx dx 10  10 − 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  /4 15)  I= − sin x dx + sin x Hd: Đặt t = 1+ sin 2x Đs: I = sin x dx − cos x Hd: Đặt t = − cos x Đs: I = ln dx Hd: Đặt t = e x + Đs: I = − dx Hd: Đặt t = x + Đs: I = ln Hd: Đặt t = x + Đs: I = 11 − ln Hd: Đặt t = 1+ ln x Đs: I = 116 135 Hd: Đặt t = e x − Đs: I = 20 Hd: Đặt t = x + Đs: I = 3 + ln Hd: Đặt t = + x Đs: I = 3−2 Hd: Đặt t = x + Đs: I = 2 −1  /4 16)  I= ln 17) I= ex  (e x 18)  I= x x +4 19) x I = 1+ x +1 I = ln 21)  I= ln 22) I= dx + ln x ln x dx x e 20) ) +1 e2x e −1 x 1+ dx x3 x4 +1 dx 23) I =  x 2 + x dx 24) I =  x x + 1dx ln 2 Bài 2: Tính tích phân sau 1/ 1)  I= x2 1− x2 dx Hd: Đặt x = sin t Đs: I = Hd: Đặt x = sin t Đs: I = 2) I =  x − x dx 2/ 3) I=  4) I=  1 x x −1 dx + 3x dx x2 Hd: Đặt x = sin t Hd: Đặt x = tan t Đs: I =   − + 24  Đs: I = − + 2+ ln 32− ( http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ) 1+ x dx 1− x 5) I=  −1 I = (a  0) a+x dx a−x 6)  −a Đs: I = − Hd: Đặt x = a cos 2t   Đs: I = a1 −  4  Hd: Đặt x = tan t Đs: I = Hd: Đặt x = sin t Đs: I =  + Hd: Đặt x = cos t Đs: I = 7) I =  x x + 1dx  Hd: Đặt x = cos 2t 2 −1 3 8) I=  − x dx −1 9)  I= −3 2 10) I=  (9 − x ) x x2 − dx dx Hd: Đặt x = sin t Đs: I = 11) dx + x I = Hd: Đặt x = tan t Đs: I = 3+ 27  36  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1: Tính tích phân sau 1)  /3 cos x dx / sin x − sin x +   I= LG Đặt sin x = t  cosxdx = dt Đổi cận: x   t 3  I= dt = t − 5t + Vậy I = ln 2)  /3 I=   = ( ln t − − ln t − ) −3 = ln − ln −2  dt  ( t − 2)( t − 3) =   t − − t −  dt 2 = ln t −3 t −2 2 ( ( −3 6− 3−6 = ln − ln = ln 3−4 4− −2 ) ) ( ) 5(4 − ) 36− sin3 x dx = + cos x  /3  − cos2 x sin xdx + cos x LG: Đặt cosx = t  sin xdx = −dt Đổi cận: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x  t 1 2 1− t −t +   (−dt ) =  dt =   −t + − dt + t t + t +   1 I = 1 2  t2  5    =  − + 2t − 3ln t +  =  − + − 3ln3 −  − + 1− 3ln  2    1  2 = 5 − 3ln3 − + 3ln = + 3ln 8 Vậy I = 5 + 3ln 3)  /6 I=  sin2x dx = 2sin x + cos2 x  /6  2sin x cos x dx 2sin2 x + cos2 x LG: Đặt 2sin2 x + cos2 x = t  ( 4sin x cos x − 2cos x sin x) dx = dt  2sin x cos xdx = dt Đổi cận: x  t 5 dt I =  = ln t t Vậy: I = ln 5 = ln − ln1 = ln 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 4) 8  x x2 + 1dx = I= x x dx x2 + LG: x2 + = t  x2 = t − Đặt  xdx = tdt Đổi cận: x t 3 tdt dt  1  t −1 = =  − dt = ln  2 t +1 t − t ( t − 1)( t + 1) 2  t − t +  I = ( ) 1 1 =  ln − ln  = ln 2 3 2 Vậy: I = ln 2 5) I= x3  1+ x2 dx =  x2 1+ x2 xdx LG Đặt 1+ x2 = t  x2 = t − 1, 2xdx = 3t 2dt Đổi cận: x t 2 t − 3t  t5 t2   32  33 I = dt =  t − t dt =  −  =  −  = t 20 2  2  Vậy I = ( ) 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 6) + ln x dx x e I = LG dx = dt x Đặt ln x = t  Đổi cận: I = x e t 1  t3  1+ t dt =  + t  =  0 ( ) Vậy I = 7) ln I=  + ex dx LG: + ex = t  + ex = t  dx = Đặt 2tdt t2 − Đổi cận: x ln2 t 2 dt dt = 2 = t −2 t+ 3 t− I = 2 I= = ln ln (2 − (2 + t− t+ ( )( )( + ) )( − ) = )    t − −   dt t+ 2 1  2− −   −  −  − ln ln   ln =    + +   +   +  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 8) ( I =  x 1− x ) dx =  x (1− x ) x dx 3 LG: Đặt − x3 = t  x2dx = dt , x = 1− t −3 Đổi cận: x t 1 1 1  t t8  I =  (1− t )t dt =  (t − t )dt =  −  30 30 3  1 1 =  − =   168 Vậy I = 9) I = 168 x dx x + x2 +1 LG Đặt x2 = t  2xdx = dt Đổi cận: x t 1 dt dt I = 2 = 2 t + t +1 1 0  t +  2 +   Đặt t + 3 = tan u  dt = tan u 2 Đổi cận: t u   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word    3 du 33 33  I = 2 = du = 3    cos u tan2 u + 6 ( = )     3 − =   Vậy I = 3 10)  I= ( ) x5 1+ x2 dx =  x2 1+ x2 xdx LG: Đặt 1+ x2 = t  1+ x2 = t , xdx = tdt Đổi cận: x t ( ) 2 I =  t − t.tdt =  1 (  t7 t5 t3  t − 2t + t dt =  − +  1 7 )  27 25 23   17 15 13  848 =  −2 + − −2 +  = 3 7  105  Vậy I = 11)  /2 I=  848 105 sin x.cos3 x dx = + cos2 x  /2  cos2 x.sin x cos x dx + cos2 x LG http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đặt + cos2 x = t  −2cos x sin x = dt Đổi cận: x  t 1 I = −1 2 dt t −1  1 =  dt =   1− dt = ( t − ln t ) t 21 t 1 t  ( t − 1) = Vậy I = 1 ( − ln2) − (1 − ln1)  = 1 − ln2 2 1 − ln 2 12)  /6  I= cos x dx − sin x + sin x LG Đặt sin x = t  cosxdx = dt Đổi cận: x  t 2 2 dt dt   = =  − dt t − 5t + ( t − 3)( t − 2)  t − t −  I = t −3 = ln t −2 Vậy I = ln −3 −3 10 = ln − ln = ln − ln = ln −2 2 −2 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 13)  /2 I=  /2 cos x  + cos2x  dx = cos x − 2sin2 x dx =  /2  cos x − sin2 x dx LG Đặt sin x = t  cosxdx = dt Đổi cận: I= x  t 1 dt  − t2 Đặt t = 2sin u  dt = 2cosudu Đổi cận: t u   I=   2 2cosudt Vậy I = 14) e I= x − sin u =  du =   u =  − 2ln x 1 1+ 2ln x dx LG: Đặt + 2ln x = t  + 2ln x = t ; dx = tdt x Đổi cận: t e u http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 11 t2 −1 tdt = I = t 3− 2 I=  (  t3  − t dt =  4t −  1  )  2   10 − 11 = 4 −  −  −  =    3  Đs: I = 15)  /4 I=  10 − 11 − 2sin2 x dx = + sin2x  /4 cos2x  1+ sin2xdx LG Đặt 1+ sin2x = t  2cos2xdx = dt Đổi cận: t  u 2 dt ln2 I =  = ln t = 21 t 2 Vậy: I = 16)  /4 I=  ln 2 sin x dx − cos x LG Đặt − cos2 x = t  2cos x sin xdx = dt Đổi cận: x  t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 12 7 7 = ln − ln3 = ln ) dx dt = ln t t I = Vậy I = ln 17) ln I= ex  (e x +1 LG ex + = t  ex + = t ; ex dx = 2tdt Đặt Đổi cận: x 3ln t 2 2tdt dt −2 I =  = 2 = t t t 2 2 = −1+ 2 Vậy I = − 18) I=  x x +4 dx =  x x x2 + dx LG x2 + = t  x2 + = t ; xdx = tdt Đặt Đổi cận: t u 4 I = = tdt  1  t −2 =  + dt = ln  t+2 t −4 t 3 t −2 t +2 ( ) 1 1 ln − ln  = ln  4 5 Vậy I = ln http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 13 19) x I = x +1 1+ dx LG x + = t  x + = t ; dx = 2tdt Đặt Đổi cận: x t 3  t3 t2  t −1 I = 2 tdx =  t − t dx =  −  1+ t 3 2 2 ( )    2  =  −  −  − 1  = −1+ −   2  3    Vậy: I = −1 + − + ln x ln x dx x e I = 20) LG Đặt + 3ln x = t  + 3ln x = t ; dx = tdt x Đổi cận: x e t 2 t2 −1 2  t5 t3  I =  t tdt =  t − t dt =  −  3 91 9 1 = ( )  25 23   1   116  −  − −  =      135 Vậy I = 116 135 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 14 21) ln e2x  I= ex −1 ln dx LG ex − = t  ex = t + 1; ex dx = 2tdt Đặt Đổi cận: x 2ln 5ln t 2  23  t3    13   20 t2 + I = 2 tdt = 2 t + dt =  + t  =  +  −  + 1  = t  1    1  ( Vậy: I = ) 20 22) I= 1+ x3 x4 +1 dx LG Đặt x4 + = t  x4 + = t 3; x3dt = t dt Đổi cận: x t 2 2  t 2dt    t2 I=  =   t − 1+ dt =  − t + ln t +   1+ t  1+ t  4 1 =   12    22  3 − + ln +   −  − + ln +   =  ln3 + − ln2 = ln +  2   2   Vậy: I = 23) 3 + ln I =  x 2 + x dx LG http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 15 + x3 = t  + x3 = t ; x2dx = Đặt tdt Đổi cận: x t 3 2 I =  t.tdt = t 3 Vậy I = 24) = ( 3−2 ) 3−2 I =  x x + 1dx LG x2 + = t  x2 + = t ; xdx = tdt Đặt Đổi cận: x t 2 t3 2 I =  t dx = = − 3 1 Vậy I = 2 −1 Bài 2: Tính tích phân sau 1) 1/ I= x2 x2 dx LG Đặt x = sin t  dx = costdt §ỉi cËn: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 16 x 2 t      sin t 14 1 4 I = costdt =  sin2 tdt =  (1 − cos2x)dt =  t − sin2x  cost 20 2 0 0 = 1 1 −   1 1 VËy I =  −  2 2 2) I =  x − x dx LG Đặt x = 2sin t  dx = 2costdt Đổi cận: x t       2 I =  4sin t.2cost.2costdt = 4 sin 2tdt =  t − sin4t      2 2 6    3     =  −  −  − = 2 +        3    3 Vậy I =  +  3  3) 2/ I=  1 x x2 −1 dx LG Đặt x = − cost − cot t  dx = dt = dt sin t sin t sin t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 17 Đổi cận: x  t     sin t − cot t dt =  dt = t 2 cot t sin t  3 I =  =  −  Vậy I =   + 3x2 dx = x2 I= =   3 + x2 dx x2 LG Đặt x = tan t  dx = dt cos2 t Đổi cận: 4) x t   I=  5) I=  −1 3 + x2 dx x2 1+ x dx 1− x LG http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 18 Đặt x = cos2t  dx = sin2tdt Đổi cận: -1 x t −    I = −2  −   1+ cos2t + cost sin2tdt = −2  sin2tdt = 1− cos2t − cos2t  − 2 6) I =  −a a+x dx a−x (a  0) LG Đặt x = acos2t  dx = −2asin2tdt Đổi cận: x -a t     I = −  a + a cos2t 2a sin2tdt = −4a a − a cos2t  2   4 2cos2 t sin t cos tdt = − a cos tdt = − a   (1+ cos2t )dt 2sin2 t   2     2        a = 2a  t + sin2t  = 2a  +  −  +   = 2a  −  = −a       2  7) I =  x x + 1dx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 19 8) I=  − x dx −1 LG Đặt x = 2sin t  dx = 2costdt Đổi cận: -1   x t I= −    3 − 4sin2 t 2costdt =  2cos2 tdt =  (1 + cos2t )dt  − −  −      3    3  3 =  t + sin2t  =  + −− − = 2 +     = +     2    −        I= (9 − x ) −3 2 9) dx LG Đặt x = 3sin t  dx = 3costdt Đổi cận: x t −3 2   −  I=  −  3costdt ( − 9sin t ) =  − 3costdt 3cos3 t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 20  =  dt = tan t +1  = − cos t  − 10)  I= x x2 − dx 11) dx + x I = LG Đặt x = 2tan t  dx = 2(tan2 t + 1)dt Đổi cận: x t   1 4  2(tan t + 1) dt = t = + 4tan2 t I = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 21 ... Website chuyên đề thi – tài liệu file word LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1: Tính tích phân sau 1)  /3 cos x dx / sin x − sin x +   I= LG Đặt sin x = t  cosxdx = dt Đổi cận: x   t 3  I= dt = t −... 2xdx = dt Đổi cận: x t 1 dt dt I = 2 = 2 t + t +1 1 0  t +  2 +   Đặt t + 3 = tan u  dt = tan u 2 Đổi cận: t u   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  ... file word 10 13)  /2 I=  /2 cos x  + cos2x  dx = cos x − 2sin2 x dx =  /2  cos x − sin2 x dx LG Đặt sin x = t  cosxdx = dt Đổi cận: I= x  t 1 dt  − t2 Đặt t = 2sin u  dt = 2cosudu Đổi