Bài 1: Tính các tích phân sau
x x
x
3
/
6
/
2 5 sin 6 sin
cos
4 3 5
3 6 3 ln
I
x
x
I
3
/
0
3
cos 2
sin
Hd: Đặt t cos x Đs:
6
5 ln 3 2
5
I
x x
x
6
/
0
2
2 cos sin
2
2 sin
Hd: Đặt t 2 sin 2x cos 2x Đs:
4
5 ln
I
x x
8
3 2 1
1
Hd: Đặt 2 1
2
3 ln 2
1
I
x
x
7
03 2
3
10
141
I
x
x I
e
1
2
ln 1
Hd: Đặt t lnx Đs:
3
4
I
e
I
x
2
ln
0 2
1
2 2 3 2
2 3 2 2 ln 8
1
I
8) I x x dx
1
0
6 3
168
1
I
x x
x
1
0
2
2
3 2
1
; 2
3 6
I
10) Ix x dx
3
0
2
105
848
I
x
x x
2
/
0
2
3
cos 1
cos sin
2
1 2
1
I
x x
x
6
/
0
2
sin sin 5 6
cos
Hd: Đặt t sinx Đs:
9
10 ln
I
x
x
2
/
0 7 cos 2
cos
Hd: Đặt t sinx Đs:
2 6
I
14)
1
3 2 ln
1 2 ln
e
x
3
11 2
10
I
x
x
I
4
/
0
2
2 sin 1
sin 2 1
Hd: Đặt t 1 sin 2x Đs: ln 2
2
1
I
x
x
I
4
/
0
2
cos 4
2 sin
Hd: Đặt t 4 cos 2 x Đs:
6
7 ln
I
17)
e I
x
x
3
ln
Trang 218) dx
x x
3
2
1
Hd: Đặt 2 4
3
5 ln 4
1
I
x
x
I
2
3
11
I
x
x x I
e
1
ln ln 3 1
Hd: Đặt t 1 3 lnx Đs:
135
116
I
e
e I
x
x
5
ln
2
ln
2
3
20
I
x
x
4 7
0 3 4
3
1
3 4 1
x
2
3 ln 4
3 8
3
I
23) I x x dx
1
0
3
9
2 2 3
I
24) I x x dx
1
0
3
1 2
I
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
x
x
2 /
1
2
4
1
8
I
2) I x x dx
2
1
2
24
3
6
I
x x
3 /
2
1
Hd: Đặt
t
x
sin
1
6
I
x
x
I
3
1
2
2
3 9
Hd: Đặt x 3 tant Đs: 32 2
2 2 ln 2
3 6 3 2
I
x
x
0
1 1
1
Hd: Đặt x cos 2t Đs:
4
1
I
x a
x a I
a
0
a 0 Hd: Đặt xa cos 2t Đs:
4
a I
7) I x x dx
1
0
3
1 2
I
3
1
2
4 Hd: Đặt x 2 sint Đs: I 3
9)
x dx
2
3
2
2
3 9 2 3
1
Hd: Đặt x 3 cost Đs:
27
3
3
I
x x
6
2
1
Hd: Đặt
t
x
sin
3
36
I
Trang 311) dx
x
I
2
0
2
4
1
Hd: Đặt x 2 tant Đs:
8
I
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)
dx x x
x
3
/
6
/
2 5 sin 6 sin
cos
LG
Đặtsin xt cos xdxdt
Đổi cận:
x
6
3
2
3 2
2
Trang 4
2 1
1 2
2
3
2
t
t
2
2 2
3 6 3 ln
5 4 3
5
3 6 3 ln
I
2)
sin
LG:
Đặt cosx t sinxdxdt
Đổi cận:
x 0
3
2
1
2
1
1 2
1 2
3 ln 3 3 ln 3 ln
t
Vậy 5 3 ln5
I
Trang 52 sin cos 2 sin cos
LG:
2 sin xcos x t 4 sin cosx x 2 cos sinx x dxdt 2 sin cosx xdxdt
Đổi cận:
x 0
6
4
5
4 1 1
ln ln ln1 ln
dt
t
Vậy:
4
5 ln
I
4)
1
x
LG:
x t x t
xdx tdt
Đổi cận:
3
2
ln
1
Vậy:
2
3 ln 2
1
I
Trang 6LG
1x t x t 1, 2xdx3t dt
Đổi cận:
2
4
2
t
Vậy 33
5
I
6)
dx x
x I
e
1
2
ln 1
LG
Đặt ln x t 1dx dt
x
Đổi cận:
1
2
4 1
t
I t dt t
Vậy
3
4
I
7)
dx e
I
x
2
ln
0 2
1
LG:
2
2
2
t
Trang 7Đổi cận:
2
2 2 3 2
2 3 2 2 ln 8
1
I
2
3
t t
8)
Ix x dxx x x dx
LG:
3
dt
Đổi cận:
1
t t
I t t dt t t dt
1 1 1 1
3 7 8 168
Vậy
168
1
I
x
1
0
2
LG
Đặt 2
2
x t xdxdt
Trang 8Đổi cận:
2 2
I
t t
t
Đổi cận:
u
6
3
2
2
6
2
3
4
du
u
u
4 3 2 3
Vậy 2 3
9
10)
2
Ix x dxx x xdx
LG:
1x t 1x t xdx, tdt
Đổi cận:
Trang 9
2
I t t tdt t t t dt
Vậy
105
848
I
11)
sin cos cos sin cos
LG
Đặt 2
1 cos x t 2 cos sinx xdt
Đổi cận:
x 0
2
2
1
1 1
t
1 2 ln 2 1 ln1 11 ln 2
2
1 2
1
I
x x
x
6
/
0
2
sin sin 5 6
cos
LG
Đặt sinx t cosxdxdt
Đổi cận:
x 0
6
2
Trang 10
2
1 2
0
1 3
1
2 2
t t
Vậy
9
10 ln
I
13)
LG
Đặt sinx t cosxdxdt
Đổi cận:
x 0
6
1
2 0
1
dt I
t
Đặt t2 sinu dt2 cosudu
Đổi cận:
6
2
0
udt
u
Vậy
2 6
I
Trang 111
3 2 ln
1 2 ln
e
x
LG:
1 2 lnx t 1 2 lnx t ;dx tdt
x
Đổi cận:
2
2
2
1
3 2
3
t
t
t
4 2 2 2 4 1 10 2 11
Đs:
3
11 2
10
I
15)
1 2 sin cos 2
1 sin 2 1 sin 2
LG
Đặt 1 sin 2 x t 2 cos 2xdxdt
Đổi cận:
t 0
4
2 2
1 1
ln
dt
t
Vậy: ln 2
2
1
I
16)
dx x
x
I
4
/
2
cos 4
2 sin
Trang 12Đặt 2
4 cos x t 2 cos sinx xdxdt
Đổi cận:
x 0
4
2
7
2 3 3
ln ln ln 3 ln
dt
t
Vậy
6
7 ln
I
17)
e dx
e I
x
x
3
ln
LG
e t e t e dx tdt
Đổi cận:
2
2
2
tdt dt I
1 2
Vậy I 2 1
18)
1
x
LG
x t x t xdxtdt
Đổi cận:
t 5 3 2
Trang 13
2
ln
4
1 ln1 ln1 1ln5
Vậy
3
5 ln 4
1
I
19)
dx x
x
I
2
LG
x t x t dx tdt
Đổi cận:
3
2
1
t
2 3 3 2 2 1 1 2 3 4 2
Vậy: 1 2 3 4 2
3
I
20)
dx x
x x I
e
1
ln ln 3 1
LG
1 3 ln 1 3 ln ;
3
x
Đổi cận:
2
4 2
I t tdt t t dt
Trang 142 2 2 1 1 116
Vậy
135
116
I
21)
dx e
e I
x
x
5
ln
2
ln
2
1
LG
e t e t e dx tdt
Đổi cận:
2
2
t
Vậy:
3
20
I
22)
dx x
x
4 7
0 3 4
3
1 1
LG
4
x t x t x dt t dt
Đổi cận:
7
2
Vậy:
2
3 ln 4
3 8
3
I
Trang 15dx x x
1
0
3
2 2
LG
3
Đổi cận:
3 3
3 2 2
I t tdt t
Vậy
9
2 2 3
I
24)
dx x
x
1
0
2 1
LG
x t x t xdxtdt
Đổi cận:
2
2
2 2 1
t
It dx
Vậy
3
1 2
I
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1)
dx x
x
2 /
1
2
1
LG
§Æt xsint dxcostdt
Trang 16§æi cËn:
2
4
2
2
t
t
1 1
2 4 2
I
2)
dx x x
I
2
1
2
2 4
LG
Đặt x2 sint dx2 costdt
Đổi cận:
t
6
2
6
1
4 sin 2 cos 2 cos 4 sin 2 2 sin 4
4
3)
dx x
x
3 /
2
1
LG
Trang 17Đặt 1 cos2 cot
Đổi cận:
3 t
2
3
2 3
sin cot
cot sin
2 3 6
Vậy
6
I
4)
LG
cos
t
Đổi cận:
t
6
4
2 1
3 3 x
x
5)
dx x
x
0
1 1
1
LG
Trang 18Đặt cos 2 1sin 2
2
x t dx tdt
Đổi cận:
t
2
4
6)
dx x a
x a I
a
0
a 0
LG
Đặt xacos 2t dx2 sin 2a tdt
Đổi cận:
t
2
4
2
2 2
2
4
a
7) I x x dx
1
0
2 1
8)
dx x
3
1
2
4
LG
Trang 19Đặt x2 sint dx2 costdt
Đổi cận:
t
6
3
4 4 sin 2 cos 2 2 cos 2 1 cos 2
3
6
9)
3
2
3 2
3 2
2
1 9
x
LG
Đặt x3sint dx3costdt
Đổi cận:
x 2 3
2
2 t
4
6
3 3
2
3cos
9 9 sin
I
t t
6
6 2
4 4
1
dt
t t
x x
6
2
1
11)
dx x
I
2
0
2
4
1
Trang 202 tan 2(tan 1)
x t dx t dt
Đổi cận:
4
4
0
2(tan 1)
t