Chuyên đề tích phân đặng thành nam file word có lời giải chi tiết image marked

CHUYÊN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm nguyên hàm hàm số: Hàm số f (x) xác định liên tục khoảng D Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) F ' ( x) = f ( x), " x Î D Và nguyên hàm f (x) xác định theo công thức, thực chất ký hiệu nguyên hàm hàm số: F ( x) = ò f ( x)dx Để tìm ngun hàm hàm số ta dựa vào nguyên hàm số hàm bản: Nguyên hàm số hàm bản: a ò x dx = ò xa + + c, a ¹ - a+1 dx = ln x + c x Khái niệm tích phân hàm số: Tích phân hàm số f ( x ) xác định đoạn [a, b ]là giá trị F (b) - F (a) ký b hiệu ò f ( x)dx = F (b) - F (a ) a MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN Dưới trình bày số tốn tích phân, cách thức tiến hành đưa biểu thức dấu tích phân dạng ò f (u)du Bài Tính tích phân I = ò (2 x - 1)( x - 1) 100 dx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải: Ta có I = ò (2 x - 1)( x - 1) 100 ò (2( x - 1) + 1)( x - 1) 100 dx = 0 = 2ò ( x - 1) d ( x - 1) + ò ( x - 1) 100 dx = 2ò ( x - 1) dx + 100 1001 d ( x - 1) = ò ( x - 1) 100 dx 1 152 ( x - 1)102 + ( x - 1)100 = 101 5151 51 0 2 (2 x + 1) - 1 x + 1dx = ò (2 x + 1) dx - ò (2 x + 1) dx Bài Tính tích phân I = ò x x + 1dx = ò 2-1 2-1 - - = 0 3ö 1 1ổ - ỗ 2ữ 2 ÷ x + d x + x + dx x + = x + x + ( ) ( ) ò( ) ( ) ( ) - ỗỗ - 1= ữ ũ ữ 4-1 4-1 10 6è 15 ø 2 2 Bài Tính tích phân I = ò x4 + dx x+ Lời giải: Ta có I = ò = x4 + dx = x+ ò ò (x - x + x - 1)+ ò Bài Tính tích phân I = x4 - 1+ dx = x+ dx = x+ ò é ù ê údx x x + + ( ) ( ) ò êë x + 1ú û æ1 x ử1 - ỗỗ x - x + ữ - x÷ + 6ln x + = ÷ ÷ çè 12 ø0 dx x + 1+ x- Lời giải: Ta có I = ò dx = ò x+ 1+ x- Bài Tính tích phân I = ò + 4x ( x + 1- ) x - dx = 1 3 (x + 1) (x - 1) + c 3 x + ex dx xe x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải: ò Ta cú I = ổ 1ử ỗỗ + xữ ữ ữ dx = ỗố x e ø Bài Tính tích phân I = ỉ ũ ỗỗỗố2 + e- x ữ ữ ÷dx = ø x ( x - e- x ) = 1+ 1e - e4 cos5 x ò 1- sinx dx Lời giải: cos5 x dx = Ta có I = ò 1- sinx = cos3 x (1- sin x) ò 1- sinx dx = ò cos xdx + ò cos x sinx dx = ò (13 ò cos sin x)d (sinx )- x (1 + sinx )dx ò cos xd (cosx) 3 sin x - cos x + c = sinx- p Bài Tính tích phân I = ò x sinx+ (x+ 1) cosx dx x sinx+ cosx Lời giải: p ò Ta có I = p = x 4+ p ò x sinx+ (x+ 1) cosx dx = x sinx+ cosx p ò ( x sinx+ cosx) + x cosx dx = x sinx+ cosx p p x cosx ò dx + ò x sinx+ cosx dx 0 p d ( x sinx+ cosx) p p p+ = + ln x sinx+ cosx = + ln x sinx+ cosx 4 Bài Tính tích phân I = tan x ò cos x dx Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word tan x I= ò dx = cos x Ta có: = = tan x ò cos2 x - sin xdx = ỉ tan x - tan x÷ d (tan x) = ữ ữ ứ tan x ũ ỗỗỗố1- ũ 1- tan x ò cos2 x (1- tan x)dx = tan x d (tan x) tan x tan x ò 1- tan xdx(tanx) ò tan xd (tan x) - d (1- tan x) 1 - tan x = - ln 1- tan x - tan x + c ò 1- tan x 2 2 Bài Tính tích phân I = ò (x , x )dx Lời giải: Xét x - x³ 0Û x ( x x - 1) ³ Û x ³ Vậy với £ x £ Þ min(x , x ) = x Với £ x £ Þ min( x , x ) = Vậy I = ò min( x , = ò min( x , x )dx = x )dx + ò x dx + ò 2 x xdx = ò min( x , x )dx 2- 1 31 x + x x = 3 p Bài 10 Tính tích phân I = ò (tan x, x)dx - p Lời giải: é- p p ù Xét hàm số f ( x) = tan x - x đoạn ê ; ú êë 4 úû Ta có f ' ( x) = é p pù é p pù - ³ 0, " x ẻ ờ- ; ỳị f ( x) l hàm số đồng biến đoạn ê- ; ú êë 4 ú êë 4 ú cos x û û Ta có f (o) = Từ suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word é p ù f (x) £ f (0) = 0, x Ỵ ê- ;0úÛ tan x £ x, x Ỵ êë ú û é p ù ê- ;0úÞ min(tan x, x) = tan x, x Ỵ êë û ú é p ù ê- ;0ú êë û ú é pù é pù é pù f (x) ³ f (0) = 0, x Ỵ ê0; úÛ tan x ³ x, x Ỵ ờ0; ỳị min(tan x, x) = x, x ẻ ờ0; ú êë ú êë ú êë ú û û û p Vậy I = p ò (tan x, x)dx = ò (tan x, x)dx + I = ò (tan x, x)dx p - - p p p = ò tan xdx + ò xdx = x + p 0 0 sinx p2 p2 òp cosx dx = 32 - ln cosx - p = 32 + ln 4 Bài 11 Tính tích phân I = ò x 1- x dx Lời giải: Với £ x £ Þ 1- x ³ Þ 1- x = 1- x Với £ x £ Þ 1- x £ Þ 1- x = x - Vậy I = ò x 1- x dx = I = ò x(1- x)dx + I = 0 ò x( x - 1)dx ổ1 ử1 ổ 1 ử2 = ỗỗ x - x3 ữ + ỗỗ x3 - x ữ ữ ữ ữ ữ1 = ỗố ç ø è3 ø ò Bài 12 Tính tích phân I = x2 - x x2 + dx Lời giải: Ta có I = ò x2 - x x2 + 3 dx + ò x2 - x x2 + dx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word =- ò x2 - x dx + x2 + Xét K = - ò ò x2 - x dx = x2 + = - + ln + Đặt x = x2 - x dx x2 + ỉ x ò çççè1- x2 + - x2 + ÷ dx = ÷ ø 3÷ 1 d ( x + 3) dx + ò ò x2 + + 0 òx dx +3 3dx +3 òx tan t Þ dx = Khi K = - + Tương tự: L = ò dt p ; x = Þ t = 0; x = Þ t = cos t 4 ln + ò dt = - + ln + 3 x2 - x dx = - ln x - Vậy I = K + L = + ln 3p 3p Bài 13 Tính tích phân I = ò x + e x + x 2e x dx + 2e x Lời giải: Ta có I = ò x + e x + x 2e x dx = + 2e x ò x (1 + 2e x )+ e x + 2e x 1 ex dx = ò x dx + ò dx + 2e x 0 x 1 1 1 d (1 + 2e ) 1 = x + ò = + ln + 2e x = + ln (1 + 2e)- ln x 3 + 2e 2 e Bài 14 Tính tích phân I = ò x( ln xdx + ln x + - ln x ) Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đặt t = ln x Û dt = Vậy I = ò x( = dx ; x = Þ t = 0; x = e Þ t = x tdt 2+ t + 2- t ) = òt 1 3 (2 + t ) + (2 - t ) = 3 3+ + t + 2- t dt = ò ( + t + 2t 2 - t ) dt + 3 xn Bài 15 Tính tích phân I = ò dx, (n Ỵ N * ) n x x x 1+ x + + + + 2! 3! n! Lời giải: Đặt f n ( x) = + x + Vậy I = x x3 xn x x3 xn - + + + Þ f 'n (x) = 1+ x + + + + = f n- ( x) 2! 3! n! 2! 3! (n - 1)! ỉ f n- ( x) ỉ f ' n ( x) ö n !( f n ( x) - f n- ( x) ữ ữ ỗỗ1ỗỗ1ữ ÷ dx = n ! dx = n ! dx ữ ữ ũ ũ ũ ỗ ỗ ữ ữ f n ( x) f n ( x) ø f n ( x) ø è è æ x x3 xn ö ÷+ C = n ! x - n !ln f n ( x) + C = n !ln ỗỗ1 + x + + + + ữ ỗố ữ 2! 3! n! ÷ ø Bài 16 Tính tích phân I = ò 1+ x + x dx - + x + 3x + Lời giải: 1 (1+ x + x2 )- x4 + 3x2 + 1+ x + x2 I= ò dx = ò dx - ò 2 + x + x x + x + x + x ( ) ( ) ( ) - - - 1 Ta có x + 3x + dx x (1 + x ) ỉ p ÷ çç ÷ ỉ ÷ ÷ 1+ x + x 1ỗ p ỗ1 ữ ữ ữ Xột tớch phõn M = ũ dx = ũ ỗỗ + dx = ỗỗỗln x + arctant = ữ ữ 2 ữ ữ ỗố x (1 + x )ữ - pữ ỗỗ x (1 + x ) ứ - - 1ỗ - ữ ữ ỗỗố ữ 4ứ http://dethithpt.com Website chuyên đề thi – tài liệu file word N= x + 3x + dx, đặt x = - t Þ dx = - dt ; x = Þ t = - 1; x = - Þ t = x (1 + x ) ò - - Khi N = (- t ) + 3(- t ) + (- dt ) = 2 (- t )(1 + (- t ) ) ò Vậy I = M - N = - ò (- t ) + 3(- t ) + dt = - N Þ N = 2 (- t )(1 + (- t ) ) p Bài 17 Tính tích phân I = dx ò (1+ x ) n n 1+ xn Lời giải: Ta có dx ò (1+ x ) n - 1- ổ 1ử = ũ ỗỗ1 + n ữ ữ ỗố x ữ ứ n n 1+ xn x - n- = ò dx = ỉ 1 x n ỗỗ1 + n ữ x n 1+ n ữ ỗố x ữ ứ x - 1- ổ 1ử dx = - ũ ỗỗ1 + n ữ ữ ứ n ỗố x ữ n ũ x- n- 1dx 1+ ổ 1ữ ỗỗ1 + n ữ ỗố x ữ ứ n - ổ 1ử ổ 1ữ ửn ỗỗ1 + ữ + C d ỗỗ1 + n ữ = ữ ỗố x ữ ứ ỗố x n ữ ứ ổ ửn 1 = T ú suy I = ỗỗ1 + n ữ ữ n ữ ỗố x ứ Bình luận: ví dụ ta khơng trực tiếp tính I ln, phép biến đổi khơng thể thực với x Ỵ [0,1]nên thơng qua ngun hàm sau tính tích phân sau (kỹ thuật giấu cận) p Bài 18 Tính tích phân I = ò (e p cosx+ sinx dx sinx+ 1)sinx x Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word p p cosx+ sinx Ta có I = ò x dx = p (e sinx + 1)sinx e x (cosx+ sinx ) ò (e sinx+ 1)e x sinx x p 6 Đặt t = e x sinx Þ dt = e x (sinx+ cosx )dx; x = p p p p Þ t = e6 ; x = Þ t = e2 2 p p ỉp ữ t p ỗỗỗe + ữ ữ dx = ln ln ỗ ữ p = ữ ữ t (t + 1) t + 1 çç p2 e çè e + ÷ ø e2 e2 Vậy I = dx ò p e ln Bài 19 Tính tích phân I = ò (x + 2)e2 x + x (1- e x )e2 x - e x + ex dx Lời giải: ln Ta có I = ò (x + 2)e2 x + x (1- e x )- ex e2 x - e x + ln dx = I = ln ò x dx + ò 2e x - e x dx e2 x - e x + ln ln ln 2x x = x - ln e - e + = 2+ 0 3 Bài 20 Tính tích phân I = ò xdx ( 1+ x2 + 1+ x2 ) Lời giải: Ta có I = ò x 1+ x2 1 dx = 1+ 1+ x2 ò ( ) ( d 1+ 1+ x2 = 1+ 1+ x2 1+ 1+ x2 )0= 2- ỉ ln x ÷ dx Bài 21 Tính tớch phõn I = ũ ỗỗ ữ ỗố + ln x ÷ ø Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ỉ ln x + ÷ ç ÷ dx = I = ò çç12÷ ÷ ÷ ç + ln x ( ) ø è e = ổ ũ d ỗỗỗốx 4x ln x + ÷ ÷ ÷= 2ø ỉ (ln x + 2)- x (ln x + 2)' ư÷ ç ÷ ÷ ò èççç1÷dx ln x + ( ) ứữ ổ 4x ỗỗx ốỗ ln x + e e ÷ = ÷ ÷1 2ø BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Tính tích phân I = ò x (1- 100 x) dx Bài Tính tích phân I = 100 ò (2 x + 1)(x - 1) dx 0 Bài Tính tích phân I = 100 ò (x - 1) (x + 1) dx - Bài Tính tích phân I = ò (3x + 4) x + 1dx - Bài Tính tích phân I = ò (x - 1) x + 1dx - Bài Tính tích phân I = òx x - 1dx p Bài Tính tích phân I = ò (cos x - 1)sin xdx p Bài Tính tích phân I = ò max (sinx, cosx )dx p Bài Tính tích phân I = ò x cosx+ (x - 2)sinx dx x cosx- sinx 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b Vx = p ò f ( x) - g ( x) dx a BÀI TẬP MẪU Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = (e + 1) x y = (1 + e x ) x Lời giải: Hoành độ giao điểm hai đường nghiệm phương trình (e + 1) x = (1+ e x ) x Û x(e x - e) = Û x = x = Vậy diện tích cần tính S= ò = 1 x2 x(e - e) dx = ò x(e - e )dx = e ò xdx - ò xe dx = e 0 0 æ ççxe x çç è e x x ÷ ò e dxø÷÷÷= x x ò xd (e x ) e e - e - e x = - (dvdt) 2 ( ) Bài Tính diện tích hình bình hành giới hạn đường cong y = x ln x với trục hoành đường thẳng x = e Lời giải: Giao điểm đường cong y = ln x với trục hồnh nghiệm phương trình x ln x = Û ln x = Û x = (do điều kiện x > ) Vậy diện tích cần tính e S= ò x ln xdx 92 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ìï ïï ï u = ln x Đặt ïí Þ ïï dv = xdx ïï ïỵ ìï dx ïï du = ï x í ïï ïï v = x ïỵ e e e 1 e2 e2 Vậy S = x ln x - ò xdx = - x = + 2 4 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = - - x y = - x Lời giải: Hoành độ giao diểm hai đường cong nghiệm phương trình - - x2 = - x Û - x = x Û 9(4 - x ) = x Û ( x - 3)( x + 12) = Û x = ± Vậy diện tích cần tính S= ò - x 3 - x dx = æ ũ ỗỗỗố- x + - 3 - x2 ÷ dx = x + ÷ ÷ ø - 3 ò - - x dx = - 3 +I 3 Tính I = ò - - x dx é p pù Đặt x = 2sin t , t ẻ ờ- ; ỳị dx = cos tdt êë 2 ú û Khi x = - 3Þ t= p Vậy I = 2ò - Vậy S = p p ;x= 3Þ t= p p p p æ ö3 4p - 4sin t cos tdt = 4ò cos tdt = 2ò (1 + cos 2t )dt = ỗỗt + sin 2t ữ = + ữ ữ p ỗố ứ p p - - 3 4p + 3 93 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = x 2e x y = - x3e x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y + x = 16 y - 24 x = 48 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = x ln x với trục hoành đường thẳng x = e Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = x3 y = (2 - x)3 Bài Xác định số dương a cho diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y= x + 2ax + 3a a - ax y = lớn 1+ a4 1+ a4 Bài Tính thể tích giới hạn đường cong y = ( x - 1)e x đường thẳng x = e quay quanh trục hồnh Bài Tính thể tích giới hạn đường cong y= sin x + cos6 x hai đường thẳng x = x = quay quanh trục hồnh Bài Tính thể tích giới hạn đường cong y = - x y = x + quay quanh trụ hồnh Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y= x ; y = 0; x = 0; x = p + sin x Bài 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ba đường sau Elip ( E ) : x2 + y = ; đường thẳng (d ) : x - y - = trục hoành Bài 11 Cho ( H ) hình phẳng giới hạn đường cong y = log xe2 x , trục Ox đường thẳng có phương trình x = e Tính thể tích vật thể xoay tròn ( H ) quay quanh Ox 94 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word p xe x Bài 12 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục e +1 hoành đường thẳng x = quay quanh trục hoành Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x sin x; y = x; x = p x Bài 14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e x2 + ; trục Ox hai đường thẳng x = 0; x = Bài 15 Tính thể tích vật tròn xoay sinh hình phẳng ( H ) quay quanh Ox Biết ( H ) giới hạn Ox, Oy đồ thị hàm số y = đường thẳng x = e + e- x x Bài 16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x ln(2 + x) - x2 trụ hồnh Bài 17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - đường thẳng y = x + Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x - x + đường thẳng y = x + Bài 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x2 x2 4và y = 4 Bài 20 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e - ln x , trục hoành đường thẳng x = x MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP ( x + x + 2)e x 1.1 I = ò dx x2 + 4x + Đáp số: I = e ; dùng phương pháp tích phân phân 95 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1.2 I = ò (ln(3x + x ) - 2ln x)dx Đáp số: I = ln + ln p - + ; dùng phương pháp tích phân phân kết hợp đổi biến số 3 1.3 I = ò x+ x+ x2 - 1 1.4 I = ò ( x + 1) Đặt t = dx dx x2 + 2x + x2 + x + đặt x + = t p 1.5 I = x2 ò ( x sin x + cos x) dx 2012 - x 1.6 I = ò dx (2012 + x )2 1.7 I = ò ( x + 1) {3 , - x}dx x p 1.8 I = cos x + cos x + ò 1+ cos x + cos x - cos x dx p Viết lại I = ò (1+ cos x - cos x - cos x )dx p 1.9 I = ò p ỉ x (1 + cos x) ỗỗ1- tan tan( x + sin x) tan( x - sin x)÷ ÷ ÷ çè ø dx tan( x + sin x) 96 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word p Viết lại I = ò p p 1.10 I = p 2(cos x + cos x.cos(2sin x)) sin dx = ln(sin x + sin(2sin x)) p2 = ln sin x + sin(2sin x) + sin x.sin x dx x ò cos - p e 1.11 I = (1- ( x - 1)e x ) ln x ò (1+ e x )2 dx p 1.12 I = ò p 12 sin x - cos x - x(sin x + cos x) + dx x - x(sin x + cos x) + sin x cos x p Viết I = ò [(ln(sin x - x)) - (ln(cos x - x)) ]dx p 12 p 1.13 I = é tan x ù ò êêëtan x(ln(sin x)) + ln(cos x) úúûdx p 1.14 I = 7x + dx ( x + 1)5 ò Viết lại I = ò 1.15 I = òx x- 1 ỉx+ 1 ÷ =- ũ d ỗỗ ữ ỗố7 x + 1ữ 5 ø ỉx+ ÷ ỉx+ ữ ỗỗ ỗỗ (7 x + 1) ữ ữ ữ ốỗ7 x + 1ữ ứ ốỗ7 x + 1ứ dx x2 - x + dx x(2 x - 1) Viết lại I = ò 2 2 x - x - (2 x - x + 1) x2 2x2 - 2x + dx = ò 2x - 2x + x2 x2 - x + æ 2x2 - 2x + ữ ỗ ữ d ữ ũ ỗỗỗố ữ x ữ ứ dx = 97 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word p cos3 x 1.16 I = ò dx sin x + cos3 x p 1.17 I = ò tan xdx p Đặt t = tan x 1.18 I = ò ln(1 + x) dx 1+ x2 Đặt x = tan t p 1.19 I = æ ũ cos x(sin x - 1) ỗỗỗốsin p e 1.20 I = - 1÷ dx ÷ ÷ x ø x + 1(1 + ln x) + x ò x x2 + 1 p 1.21 I = dx x( x sin x + x ) - sin x dx x- ò e 1.22 I = ln x + ln x ò (ln x + x + 2) dx 1.23 I = ln x - ln( x + 15) dx ỉ x ÷ ÷ x + 15 ỗỗỗ1 + ữ ỗố ứ x + 15 ÷ ò Đặt t = x x + 15 Þ dt = 15dx ( x + 15)3 98 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word p 1.24 I = (esin x - e2sin x + x ) x cos x - esin x dx òp x - e2sin x p 1.25 I = ò tan x dx - cos x e 1.26 I = - x + ( x + 1) ln x - ln x dx ò (1 + x ln x ) 1.27 I = 2(1 + xe x ) + x 2e x ò x2 (2 + xe x )2 dx p 1.28 I = ò p 1.29 I = ò p ( x - 1)sin(ln x) + xcos(ln x) dx x xcos (p - x) dx 3p ö 3p ửữ 4ổ 4ổ ữ ỗ ỗ cos ỗx ữ ữ+ sin ốỗỗx + ứữ ữ- ỗố 2ứ e 1.30 I = - x + ( x - 1) ln x - ln x ò (1 + x ln x)2 p 1.31 I = cos x(2 x - cos x) òp ( x + sin x cos x)2 dx p 1.32 I = ò p 1.33 I = ò ln(sin x + cos x) dx cos x tan x ln(cos x) dx cos x 99 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word p 1.34 I = ò cos x dx + sin x p sin x - x cos x - x sin x 1.35 I = ò dx ( x sin x + sin x) p p 1.36 I = 16 x - ò (sin x + cos x) dx e 1.37 I = ò p 1.38 I = ò p p 1.39 I = ò p x (4ln x + 1) + (2 x + 1) ln x + x ln x dx x ln x( x + ln x) x cos x - x sin x - cos x dx ( x + sin x cos x)2 ỉ pư sin ỗỗx + ữ ữ ỗố ứữ dx 2sin x cos x - 3p 1.40 I = cot x + cot x dx òp ex 2 1.41 I = ( x + 2)(1 + xe x ) + dx x ò x (1 + xe ) 1 1.42 I = ò (2 x + x + 1)e x + x+ dx p ỉ cos x ữ 1.43 I = ũ ỗỗ ữ ữ dx ỗốsin x + cos x ø 100 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word p ỉcos x + sin x ÷ 1.44 I = ũ ỗỗ ữ ữ dx ỗố cos x ø p 1.45 I = 1- sin x ò (1+ sin x) dx p 1.46 I = sin x - cos x ò (1+ cos x)(1+ sin x) dx p 1.47 I = ổ sin x ũp ỗỗỗỗố x + ö x ÷ cos x÷ dx ÷ ÷ sin x ø p 1.48 I = ò (sin x + cos x + p 2- 1.49 I = ò p 1.50 I = ò 1+ x2 ổ 1+ ln ỗỗ ỗố11- x dx sin x cos x ) sin x cos x xư ÷ ÷dx ø x÷ sin x + cos x ln(2 + sin x)dx 1- sin x 1.51 I = (1- x)e x + (1 + x)e- x dx ò (e x + e- x )3 p 1.52 I = x2 òp (1+ x tan x)( x - tan x) cos2 x dx 1.53 I = ò (1 + x + x ) cos ln( x + + x ) - + x sin ln( x + + x ) (1 + x ) + x dx 101 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1.54 I = ò 3p 1.55 I = ò p x {(2x + 1) } x - x + + (2 x - 1) x + x + x4 + x2 + dx 11 + cos x + cos x dx 1- cos x 1.56 I = sin x + sin x + ò e- x + sin x + dx p 1.57 I = ò p ò 1.58 I = x + sin x - cos x - dx x + e x + sin x sin x + p p 1.59 I = ò 1.60 I = ò cos x + 3( sin x sin x cos x ) cos x dx + sin x + 3sin x + 5cos x dx sin x + cos x + e x ( x - 2) dx x( x + e x ) 2 2 x 2e x - x 2e2 x - xe x + e x - 1.61 I = ò dx x2 xe + e 1.62 I = ò e 1.63 I = xe x + x ln x + x + dx x(e x + ln x + 1) ổ ũ ỗỗỗố11 1ử + ÷ ÷ ÷ln( x - 1+ x ln x)dx x x2 ø ỉ 1ư ỉ ln x çç1- + ÷ ln ÷ ò çè x x2 ø÷ ốỗỗỗ1- x2 - x ứữữữdx e 1.64 I = 102 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word e 1.65 I = ò x + 1- x ln x cos [ln( x + 1)]dx x3 + x 1.66 I = ò (e 2x - e- x )2012 e x - e- x dx 1.67 I = xa x ò ( x ln a + 1)2 dx a x ( x ln a + 1) 1.68 I = ò x dx (a + x ln a + 2)2 1.69 I = x 2011 dx x 2013 + 2012 ò 1.70 I = ũ dx ổ ữ x ỗỗỗ1 + x x x x n x ÷ ÷ ÷ çè ø 1.71 I = x 2012 - ò ( x - 1)( x2013 - 1) dx p 1.72 I = òe - x cos x dx + 2(sin x + cos x) p 1.73 I = x n + 6(sin x + cos x) ò x x x3 e + sin x + + x + + e 1.74 I = ò x (1 + (ln x)2 (1 + (ln x) ) x (1 + (ln x) dx 103 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi ti liu file word mi nht ổ ỗỗ ç x 1.75 I = ò ççç tan p ç çç ç è p 1.76 I = ò ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷dx x÷ ÷ tan ÷ ÷ ÷ 2ø x4 + - x2 dx x4 + Đặt x = tan t p 1.77 I = ò sin x sin xdx Đặt t = p - x 104 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 105 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 106 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... x - a ø ❖ é( x - b) - ( x - a) ù ö 1 ổ 1 ữ ỗ ỳ = = ữ ỗ ữ ỗ ( x - a)2 ( x - b) (a - b) êë ( x - a)( x - b) ú û ( a - b) è x - b x - a ø = ( a - b) ộ ửự ổ ỗỗ - ÷ ê ú + ÷ 2 ÷ú êë( x - a) ( x -. .. ( x - b) a - b ỗố x - b x - a ø û Bài Tính tích phân I = ò x3 + dx x3 - x + x Lời giải: Ta có Giả sử x3 + 5x2 - x + = + x3 - 5x + x = x( x - 2)( x - 3) 3 x - 5x + x x - 5x + x 5x2 - x + A B C... Website chuyên đề thi – tài liệu file word N= x + 3x + dx, đặt x = - t Þ dx = - dt ; x = Þ t = - 1; x = - Þ t = x (1 + x ) ò - - Khi N = (- t ) + 3 (- t ) + (- dt ) = 2 (- t )(1 + (- t ) ) ò