Giải toán tích phân bằng nhiều cách nguyễn thành long file word có lời giải chi tiết image marked

GIẢI TỐN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I = x2 dx x2 +  Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt x = tan t  dx = (1 + tan t )dt  x =  Đổi cận   x =   t =   t = Khi I=     3 3 0 0 2  tan tdt =  tan t (tan t + − 1)dt =  tan t (tan t + 1dt ) −  tan tdt     d (cos t )  tan t =  tan td (tan t ) +  = + ln cos t  = ln cos t  0 0 3  Nhận xét: Đối với tích phân dạng I =  R(u, u + a )du, u = u ( x) ta đặt u = a tan t  Cách 2: Phương pháp tích phân toàn phần  u = x2  Đặt  xdx  dv = x +1   du = xdx   ln( x + 1) v =   − Khi I = x ln( x + 1)  x ln( x + 1)dx = 3ln −  ln( x + 1)d ( x + 1) J Tính J =  ln( x + 1)d ( x + 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  d ( x + 1) u = ln( x + 1)  du = Đặt   x2 + dv = d ( x + 1)   v = x +  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 Khi I = 3ln − ( x + 1) ln ( x + 1) −   d (x  + 1)  = − ln  Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng phương pháp Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I = P( x)  Q ( x) dx =  n f ( x)Q '( x) dx Q n ( x) u = f ( x) du  Đặt  Q '( x)   dv = Q n ( x) dx v  Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số Nhận xét: Ta có x3 = x x ( x + 1) = x từ ta định hướng giải sau Phân tích I =  x3 dx = x2 +  x2 x dx x2 +  x2 = t −1  Đặt t = x +   dt  xdx =   x = t =  Đổi cận   x = t = Khi I = 4 (t − 1)  1 dt = 1 −  dt = ( t − ln t ) = − ln   21 t 1 t 2 Cách 4: Phân tích đưa vào vi phân I= =  x2 d ( x + 1) = x +1  d (x + 1) −   (x + 1) − x +1 d ( x + 1) =   1 − x   d ( x + 1) = +1  d ( x + 1) x 3 = − ln ( x + 1) = − ln 2 x +1 2 Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản I= x3 dx = x2 + x  x2  x − dx = − 0  x2 +  2 3  d ( x + 1) x +1 = 3 − ln ( x + 1) = − ln 2 2 Nhận xét: Đây tích phân hàm phân thức mà có bậc tử lớn bậc mẫu ta chia đa thức để tách thành tổng tích phân phương pháp tối ưu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất chia đa thức) Ta có x = x ( x + 1) − x Khi I =  x3 dx = x2 + x  x2  0  x − x2 +  dx = − 3  d ( x + 1) x +1 = 3 − ln ( x + 1) = − ln 2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 2: Tính tích phân bất định: I = 3x3 3x3  x2 − 3x + dx =  ( x −1)( x − 2) dx Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x3 = x ( x − 3x + ) + ( x − 3x + ) + ( x − 1) + Khi x ( x − 3x + ) + ( x − 3x + ) + ( x − 1) + 3x3 dx =  dx I = x − 3x + x − 3x +   x2 =   x + + + dx = + 3x + ln x − +  dx  x − x − x − 2 x − x − ( )( ) ( )( )   x2 x2 = + 3x + ln x − + ln x − − ln x − + C = + 3x + 8ln x − − ln x − + C 2 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích x3 = x ( x − 3x + ) + ( x − 1)( x + 1) − ( x − 3) = x ( x − 3x + ) + ( x − 1) ( x − ) + 3 − ( x − 3) = x ( x − 3x + ) + ( x − 1)( x − ) + ( x − 1) − ( x − ) Khi x ( x − 3x + ) + ( x − 1) ( x − ) + 3 − ( x − 3) 3x3 dx =  dx I = x − 3x + x − 3x +  2x − x2  =  x +3+ dx − dx = + 3x + 9ln x − − ln x − 3x + + C   x−2 x − 3x + 2  Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x3 = x ( x − 3x + ) + ( x − 3x + ) + x + x ( x − 3x + ) + ( x − 3x + ) + x + 3x3 dx =  dx Khi I =  x − 3x + x − 3x + =  ( x + 3) dx +  7x + x2 dx = + 3x + I1 x − 3x + 2 Tính I1 phương pháp đồng thức… Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3x3 9x −  9x −  I = dx =   x + + dx  dx =  ( x + 3) dx +  x − 3x + x − 3x +  x − 3x +  I1 Tính I1 phương pháp đồng thức… x3 x3 Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I =  dx =  dx x + 2x +1 ( x + 1) Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word du = dx Đặt u = x +    x = u −1 ( u − 1) Khi I =  u2 du =  u − 3u + 3u − 1 u2  du = u − + − du = − 3u + 3ln u + + C  2   u u u  u  với u = x +1 Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x3 = x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) + ( x + 1) − x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) + ( x + 1) − x3 dx =  dx Khi I =  x + 2x +1 x2 + 2x +   x2 =  x − + − dx = − x + 3ln x + + +C  x + ( x + 1)  x +1  Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật nhảy tần lầu Phân tích x3 = x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) − + x3 Khi I =  dx =  x + 2x +1 ( 2x + 2) x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) − + x2 + x + ( 2x + 2) dx  2x + x2  =  x − 2− dx = − ln x + + ln x + x + + C  dx +  x +1  x + 2x +1 2  Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x3 = x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) + 3x + x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) + 3x + x3 dx =  dx Khi I =  x + 2x +1 x2 + 2x + 3x + x2 =  ( x − ) dx +  dx = − x + I1 x + 2x +1 Tính I1 phương pháp đồng thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng tích phân đơn giản http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word I = =  x3 x3  dx = dx =   x − + −  dx 2  x + 2x + x + ( x − 1)2  ( x + 1)  x2 − x + 3ln x + + +C x +1 Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân phần u = x3 du = 3x dx   dx   Đặt  dv = ( x + 1)2 v = − x +1   Khi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x3 x2 x3 x2 −1 + + 3 dx = − + 3 dx x +1 x +1 x +1 x +1 I =− =−  x2  x3  x3  + 3  x − + dx = − +  − x  + ln x + + C  x +1 x +1  x +1    Bài 4: Tìm nguyên hàm: I =  x dx (1 − x ) 39 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Phân tích x = (1 − x ) − 1 = (1 − x ) − (1 − x ) + 2 (1 − x ) − (1 − x ) + = − +  = 39 39 37 38 39 (1 − x ) (1 − x ) (1 − x ) (1 − x ) (1 − x ) x2 I = (1 − x ) 37 dx − 2 (1 − x ) 38 dx +  (1 − x ) 39 dx = 1 1 − + +C 36 37 36 (1 − x ) 37 (1 − x ) 38 (1 − x )38 Cách 2: Đặt t = − x  x = 1− t  dx = −dt  I = − (1 − t ) t 39 dt = − 1 1 1 dt + 2 38 dt −  37 dt = − + +C 39 38 37 t t t 38 t 37 t 36 t 36 Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u = x du = xdx   dx   Đặt  v= 38 dv = (1 − x )39  38 ( x + 1)   Khi I = x 38 ( x + 1) 38 − x dx đến bạn tự làm  19 ( x + 1)38 Bài 5: Tìm nguyên thức: I =  x dx ( x − 1) 10 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Sử dụng đồng thức: x3 = ( x − 1) + 1 = ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) −  x3 ( x − 1) 10 = ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) 10 Khi I = =− dx ( x − 1) − 3 dx ( x − 1) + 3 dx ( x − 1) − dx ( x − 1) 10 = 1 3 1 + − + +C ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)9 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10   1  13 dx Khi I =  cos x + sin x  +  4  sin x + cos x I1  dx sin x + cos x Tính: J =   13 I1 =  20  x  = ln tan  +    2 6 sin  x +  3  dx  1 3ln − x  I =  cos x + sin x + ln tan  +   = 8 2 60 4 Cách 2: Tích phân liên kết  cos xdx Sử dụng tích phân liên kết J =  sin x + cos x  I − 3J = −1 3ln −  Giải hệ  ln  I =  I + J =  Tổng quát: I =    cos2 xdx sin xdx tích phân liên kết thường J =  A sin x + B cos x  A sin x + B cos x  cos x Bài 17: Tính tích phân sau: I =  dx  sin x Giải: Cách 1: Đưa vào vi phân Phân tích cos6 x cos2 x.cos x   dx = dx = 1 +  tan x = tan x + tan x 4 sin x sin x tan x   Khi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 66  I =     cos x 4 dx = tan x + tan x dx = tan xdx + ( )    tan xdx sin x 2 4 I1 I2 Tính      I1 =  tan xdx =  ( tan x + tan x ) − ( tan x + 1) + 1 dx =  tan ( tan + 1) dx −  ( tan x + 1) +  dx 2 2      4 4   =  tan xd ( tan x ) − tan x     +x  =    Tính I =  ( tan x + 1) − 1 dx =  ( tan x + 1) dx −  dx = ( tan x − x ) tự giải  2    4 4 Cách 2: cos6 x cos x (1 − sin x )  cos x − cos x sin x + cos x sin x = = = cot x − cot x + cos x Phân tích 4 sin x sin x sin x sin x Khi   2  2 I =  cot x dx −  cot xdx +  cos xdx sin x    4    12   = −  cot xd ( cot x ) −   − 1 dx +  (1 + cos x ) dx 2     sin x 2 4   cot x 1 sin x   5 23 = − − ( − cot x − 1) +  x + −   = 2 12     Cách 3: Nhận xét: Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn sin cos nên ta đặt t = tan x cách dài phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé! http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 67  Bài 18: Tính tích phân sau: I =  − cos3 x sin x.cos5 xdx Giải:  I =  − cos3 x cos3 x.sin x.cos xdx  cos x = − t Đặt − cos3 x = t  − cos3 x = t    sin x.cos xdx = 2t dt   t = x = Đổi cận   t =  x = 1  t t13  12 Khi I = 2 t − t t 5dt =  t − t12 dt =  −  =  13  91 0 ( ) ( ) Hoặc : Đặt − cos3 x = t Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân   I =  − cos3 x cos3 x.sin x.cos xdx = I =  − cos3 x cos3 xd (1 − cos3 x ) = 2 0  = −  − cos3 x (1 − cos3 x ) − 1 d (1 − cos3 x )   = −  − cos3 x (1 − cos3 x ) d (1 − cos3 x ) +  − cos3 xd (1 − cos3 x ) 2 0  sin x.cos x dx + cos x Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I =  Giải: Cách 1: Đổi biến số Phân tích   sin x.cos x sin x.cos x I= dx =  dx + cos x + cos x 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 68 dt = − sin xdx Đặt t = + cos x   cos x = t −   t = x = Đổi cận   t =  x = Khi I = −2 ( t − 1) t 2  t2 1  dt = 2  t − +  dt =  − 2t + ln t 2 1 2 t  = ln − 1 Cách 2:   2  2 (1 − cos x ) − 1 sin x.cos x sin x.cos x   d cos x I= dx =  dx =  ( ) + cos x + cos x + cos x 0     cos x   =  1 − cos x − d cos x = sin x − − ln + cos x  = ln − ( )   + cos x   0 0 Chú ý: d ( cos x ) = d (1 + cos x ) ta đặt t = cos x  Tổng quát: I =   a sin x.cos x dx ta đặt t = b + c.cos x t = cos x b + c.cos x Bài tập tự giải có hướng dẫn:  ( ) tan x 10 dx = ln + − cos x Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau: I =  HD: Cách 1: Biến đổi cos x = cos x − sin x = (1 − tan x ) cos x Đặt t = tan x Hoặc sử dụng công thức cos x = − tan x + tan x Tổng quát:  a tan x với a, b  b cos x  I =  * Biến đổi b cos x = b ( cos x − sin x ) = b (1 − tan x ) cos x đặt t = tan x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 69 Mở rộng  a tan x dx với a, b, c, d  2  b sin x + c sin x cos x + d cos x I = * Biến đổi b sin x + c sin x cos x + d cos x = ( b tan x + c tan x + d ) cos x đặt t = tan x  dx cos x Bài 2: (ĐH AN – 1998): Tính tích phân sau: I =  Cách 1:     dx dx I = = = + tan x ) d ( tan x ) = ( tan x + tan x ) = ( 2   cos x cos x cos x 0 4 Cách 2: Biến đổi số    dx dx dx = = + tan x ) ( 2   cos x cos x cos x cos x 4 I= Đặt t = tan x Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần  u =   cos x  dv = dx  cos x   Bài 3: (Đề 84.Iva) Tính tích phân sau: I =   dx sin x   d ( cot x )    dx cot x  = − = −  1 + cot x d ( cot x ) = −  cot x +  =   sin x  sin x   4 4 I =  Bài 4: Tính tích phân sau: I =  cos x.cos 2 xdx =  HD: C1: Hạ bậc biến đổi tích thành tổng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 70 C2: Tích phân liên kết  Bài 5: Tính tích phân sau: I =  − 2sin x ( sin x + cos x ) dx   HD: − 2sin x = cos x = ( cos x + sin x )( cos x − sin x ) ( sin x + cos x ) = (1 + sin x ) = cos  x −  4  Từ ta có cách sau Cách 1:  Biến đổi I =   − 2sin x ( sin x + cos x ) 4 cos x dx =  (1 + sin x ) dx đặt t = + sin 2x t = sin 2x biến đổi vi phân trực tiếp   − 2sin x I = ( sin x + cos x )  4 cos x dx =  (1 + sin x ) dx =  d (1 + sin x ) (1 + sin x ) dx đặt t = tan x cách 2:  Biến đổi   ( cos x + sin x )( cos x − sin x ) dx = ( cos x − sin x ) dx I = dx = 4 0 0 ( sin x + cos x )4 ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) − 2sin x Đặt t = sin x + cos x hoặc biến đổi vi phân trực tiếp Cách 3:  Biến đổi I =  Đặt t = x −  − 2sin x ( sin x + cos x ) 4 dx =  cos x dx  4 cos  x −  4    Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân: I =   sin x dx cos x HD: Ta có sin x 1 dx = tan x dx = tan x (1 + tan x ) d ( tan x ) cos x cos x cos x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 71 Đs: 42 − 15  Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân: I =   sin x − cos x dx sin x + cos x HD:  I =         d cos  x −   sin  x −       4   dx = −   dx = − ln cos  x −           cos  x −  cos  x −  4 4    = ln   Bài 8: Tính tích phân sau: I =  tan xdx HD: Đặt t = tan x  dt = ( tan x + 1) dx x =  t =  Đổi cận:    x =  t =    t5 t3  t dt  13   =   t − t + −  dt =  − + t  −  du = − Vậy I =  tan xdx =  t +1  t +1  15 5 0 0  Bài 9: Tính tích phân sau: I =  cos5 xdx = 15  sin x cos3 x dx + cos x Bài 10: Tính tích phân sau: I =  HD:  2 − ln 2 cos x t −1 I =−  d + cos x = dt = t − ln t = ( ) ( ) + cos x 1 t 2 Bài 11: Tính tích phân sau: I =  tan xdx HD: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 72   I =  tan xdx =  tan x sin xd ( tan x ) =  tan x (1 − cos x ) d ( tan x ) =  tan x 1 − d tan x )  (  + tg x  =  tan xd ( tan x ) −  tan x + − 1 d ( tan x ) = tan x − tan x + x + C + tan x  3sin x + cos x dx 3sin x + cos x Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân sau: I =   Đs: I = + ln V BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ Bài tập giải mẫu:  Bài 1: (ĐH TL2001) Tính tích phân sau: I =  ln (1 + tan x ) dx Giải: Cách 1: dx = −dt  Đặt x = − t   − tan t   1 + tan x = + tan  − t  = + + tan t = + tan t        x =  t = Đổi cận  x =   t =     4 0 Khi I =  ln (1 + tan x ) dx =  ln 2dt −  ln (1 + tan t ) dt = ( ln )  −I  I =  ln Cách 2: Ta có      sin x + cos x  I =  ln (1 + tan x ) dx =  ln   dx =  ln ( sin x + cos x ) dx −  ln ( cos x ) dx = cos x   0 0 4 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 73     =  ln cos  − x  dx −  ln ( cos x ) dx 4  0 4 J      1        Tính J =  ln cos  − x  dx = ln  dx +  ln cos  − x  dx = ln x +  ln cos  − x  dx = ln + K 2 4  4  4  0 0 4 K Đặt t =  − x  −dt = dx   4 0 Khi K =  ln ( cos t ) dt =  ln ( cos x ) dx Khi I =  ln Cách 3: Tích phân phần u = ln (1 + tan x ) Đặt  Bạn đọc tự giải  dv = dx Bài 2: Tính tích phân: I =  ln (1 + x ) + x2 dx HD:  Đặt x = tan t ta I =  ln (1 + tan t ) dt;    4 đặt t = − x ta I =  ln du = ln  du − I + tan u 0 Bài 3: Tính tích phân sau: I =  ln ( ) dx x −1 +1 x −1+ x −1 Giải: Cách 1:  dt = x − dx  ( t − 1) dt = dx Đặt t = x − +    x = ( t − 1)2 +  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 74  x = t =  Đổi cận   x = t = Khi 3 t − 1) ln t ( ln t I = 2 dt = 2 dt =2 ln td ( ln t ) = ln t = ln − ln 2 2 t ( t − 1) + t − 2 Cách 2: Đặt t = x − bạn đọc tự giải  xdx + sin x Bài 4: Tính tích phân sau: I =  Giải: Cách 1: Đặt t =  −x     Cách 2: Biến đổi + sin x = + cos  x −  = cos  x −  , tích phân phần 2 4    I =  x.sin x.cos xdx = − =  +     1 3 xd cos x = − x cos x −  cos3 xdx  ( )   0 30 3    1 sin x    − sin x d sin x = + sin x − ( ) ( ) 3  = 0  0 Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau:  I = (1 + sin x ) e + cos x  x dx =   e x cos  e x sin x dx = e + cos x x dx +  Giải: Cách 1:      + sin x x e dx sin x e dx sin x e dx =  + e x dx =  + e x dx x + cos x + cos x + cos x cos + cos x 0 I2 Ta có: I =  x 2 x I1  e x dx x cos 2 Tính: I1 =  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 75 u = e x du = e x dx    Đặt: dv = dx   x v = tan x   cos    Áp dụng cơng thức tính tích phân phần      2 dx x x x x x I1 =  = e tan −  tan e dx = e −  tan e x dx cos x 2 0   2 sin x Tính: I =  e x dx =  + cos x 0  x x 2sin cos 2 e x dx = tan x e x dx 0 x cos 2  Vậy I = e Cách 2:     e x sin x x x  Ta có: I =  dx +  dx =  e x d  tan  +  e x tan dx x + cos x 2  cos 0 2  ex     2 x x x x = e x tan −  e x tan dx +  e x tan dx = e x tan = e 2 2 0 0 Sử dụng định nghĩa: Ta có (1 + sin x ) e x + cos x x x ' ' e x 2sin cos ex x x  x x x x x  x 2 = + = + tan e =  tan  e + tan ( e ) ' =  e tan  2 2 x x x   cos cos cos 2 ex Hoặc ta biến đổi x x  sin + cos   x x 2 1 =  = 1 + tan + tan  x + cos x 2 2 cos (1 + sin x )    12 x x Vậy I =  1 + tan  dx +  tan e x dx 0 2 20 2 I1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 76  x Tính I1 =  tan e x dx e2   Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I =   −  dx ln x ln x  e  Cách 1: Đặt f ( x ) = 1 − ln x ln x 1 − ln x ( − x ) ln x − ( − x )( ln x ) −x = =  F ( x) = Ta có f ( x ) = − ln x ln x ln x ln x ln x ' ' Khi e2  − x e2 e2  I =  − dx = = e −  ln x ln x  ln x e e  Cách 2: e2 2 2 e e e e  dx x e2 dx dx    I =  − =− + −  dx =  xd  −  ln x ln x  ln x e e ln x e ln x  ln x  e ln x e  e  Bài 7: Tính tích phân sau I =  x.sin x cos xdx Giải:  I=  1 x.sin x cos xdx =  x ( sin x + sin x ) dx  20 40 du = dx  u = x  Đặt:    dv = ( sin x + sin x ) dx v = − ( cos 3x + cos x )   −1   1  Khi I = x  cos x − cos x  +   cos x + cos x  dx =  3  03     x  −1 1 1   =  cos 3x + cos x  −  sin 3x − sin x  = − 2   18 0 Cách 2: Đặt x =  − t bạn đọc tự giải Chú ý: Qua toán ta có nhận xét http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 77 Dựa vào đạo hàm ta tính Ngun hàm dạng đặc biệt Dạng 1: Nguyên hàm hàm số dạng tích thương Dạng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm Tổng f ( x ) = u ' + v' = (u + v ) ' F ( x) = u + v Hiệu f ( x ) = u ' − v' = (u − v ) ' F ( x) = u − v Tích f ( x ) = u 'v + v 'u = ( uv ) ' F ( x ) = uv Thương u ' v + v 'u  u  f ( x) = =  v2 v ' F ( x) = u v Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa ex Đặc trưng Nguyên hàm Hàm số (đạo hàm) ex F ( x ) = u ( x ) ex F ' ( x ) = u ' ( x ) + u ( x )  e x = f ( x ) e− x F ( x ) = u ( x ) e− x F ' ( x ) = u ' ( x ) − u ( x )  e − x = f ( x ) e ax +b F ( x ) = u ( x ) eax+b F ' ( x ) = u ' ( x ) + au ( x )  e − ax +b = f ( x ) e( F ( x) = u ( x) e ( v v) v v) Ví dụ: Tính tích phân sau: I =  x 2e x ( x + 2) F ' ( x ) = u ' ( x ) + v ' ( x ) u ( x )  e v( x ) = f ( x) dx Giải: Cách 1: Tích phân phần u = x e x du = xe x ( x + e ) dx   Đặt  dx   du = ( x + )2 v = − x+2   Khi I = − x2e x +  xe x dx x+2 0 I1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 78 u = x du = dx Tính I1 =  xe x dx Đặt   x x dv = e dx v = e Khi I1 = xe x 1 −  e x dx = ( xe x − e x ) 1 x 2e x + ( xe x − e x ) = Vậy I = − x+2 Cách 2: Phân tích x2 = ( x2 + x + 4) − ( x + 2) + = ( x + ) − ( x + ) + Khi I =  x2 ( x + 2) e dx =  x ( x + 2) − ( x + 2) + ( x + 2) 1 ex e dx =  e dx − 4 dx + 4 dx x+2 x+2 0 x x J Tính J làm xuất tích phân mà làm triệt tiêu tích phân Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau: I =  x 2e2 x ( x + 1) dx HD: Sử dụng tích phân phần   dx = −  x 2e2 x d    x +1 ( x + 1) I = =− = x 2e2 x 1 x 2e2 x 1 e2 e2 + d ( x e2 x ) = − +  xe x dx = − +  xd ( e x ) x +1 0 x +1 2 e2 e2 x e2  e2  − = − −  = 2  2   x 2  2 x  tan Bài 2: Tính tích phân sau: I =   x tan + x 1 + tan   = 2  8   Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I =  (x + 1) e x ( x + 1) dx = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 79  Bài 4: Tính tích phân sau: I =  esin x (1 + x cos x ) dx =  e e2   Bài 5: (ĐHTN – 1996) Tính tích phân sau: I =   ln x +  = 2e − 2e ln x  e  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 80 ... liệu file word 23 Cách 2: Chia tử mẫu cho x đặt t = x + Bài 7: Tính tích phân sau: I =  −1 (x Hoặc đưa vào vi phân x xdx + 1) HD: Cách 1: Đặt x = tan t Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân. .. )  Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn giản Phân tích x = ( x + 1) − Khi I =  −1 x dx (x + 1) =  −1 (x dx + 1) − −1 (x dx + 1) II TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ Bài tập giải. .. xét: Mỗi cách giải có đặc thù riêng nên lựa chọn cách phù hợp hơn, tùy vào người, theo cách cách hiệu Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I =  x5 (1 − x3 ) dx = 168 Giải: 1 Ta có I =