GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH

Luyện Đề Thi THPTQG 2020 GIẢI TỐN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Các tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I = x2 dx x2 +  Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt x = tan t  dx = (1 + tan t )dt  x =  Đổi cận   x =   t =   t = Khi I=      3 3 0 0 2  tan tdt =  tan t (tan t + − 1)dt =  tan t (tan t + 1dt ) −  tan tdt    d (cos t )  tan t =  tan td (tan t ) +  = + ln cos t  = − ln cos t  0 0 3  Nhận xét: Đối với tích phân dạng I =  R (u , u + a ) du , u = u ( x ) ta đặt u = a tan t  Cách 2: Phương pháp tích phân tồn phần  u = x2  Đặt  xdx   dv = x +1   du = xdx   ln( x + 1) v =   − Khi I = x ln( x + 1)  x ln( x + 1) dx = 3ln −  ln( x + 1) d ( x + 1) J GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 1/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020  ln( x Tính J = + 1) d ( x + 1)  d ( x + 1) u = ln( x + 1)   du = Đặt   x2 +   dv = d ( x + 1) v = x +  1 Khi I = 3ln − ( x + 1) ln ( x + 1) −    d ( x + 1)  = − ln  Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng phương pháp vì: Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I = P( x) f ( x )Q '( x ) dx =  dx n ( x) Q n ( x) Q u = f ( x )  du  Đặt   Q '( x ) v  dv = Q n ( x ) dx  Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số Nhận xét: Ta có x = x x ( x + 1) = x từ ta định hướng giải sau Phân tích I =  x3 dx = x2 +  x2 x dx x2 +  x2 = t −1  Đặt t = x +   dt  xdx =  2 t =  x =  Đổi cận   x = t = 4 (t − 1)  1 dt =   −  dt = ( t − ln t ) = − ln Khi I =  21 t 1 t Cách 4: Phân tích đưa vào vi phân I= = 3  x2 d ( x + 1) = x +1  d ( x + 1) −  0  (x + 1) − x +1 d ( x + 1) =   1 − x   d ( x + 1) = +1  d ( x + 1) x 3 = − ln ( x + 1) = − ln 2 x +1 2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 2/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản I= x3 dx = x2 + x  x2  x − dx = − 0  x +  2  d ( x + 1) x +1 3 − ln ( x + 1) = − ln 2 2 = Nhận xét: Đây tích phân hàm phân thức mà có bậc tử lớn bậc mẫu ta chia đa thức để tách thành tổng tích phân phương pháp tối ưu Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất chia đa thức) Ta có x3 = x ( x + 1) − x Khi I =  x3 dx = x2 + x  x2  x − dx = − 0  x +  2 Bài 2: Tính tích phân bất định: I =  d ( x + 1) x +1 = 3 − ln ( x + 1) = − ln 2 2 3x3 3x3 dx =  x − 3x +  ( x − 1)( x − 2) dx Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x3 = x ( x − 3x + ) + ( x − x + ) + ( x − 1) + Khi x ( x − x + ) + ( x − x + ) + ( x − 1) + 3x3 dx =  dx I = x − 3x + x − 3x +   x2 =  x +3+ + dx = + x + ln x − +  dx    x − x − x − 2 x − x − ( )( ) ( )( )   x2 x2 = + x + ln x − + ln x − − ln x − + C = + x + 8ln x − − ln x − + C 2 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích x3 = x ( x − 3x + ) + ( x − 1)( x + 1) − ( x − 3) = x ( x − x + ) + ( x − 1) ( x − ) + 3 − ( x − ) = x ( x − x + ) + ( x − 1)( x − ) + ( x − 1) − ( x − ) Khi x ( x − x + ) + ( x − 1) ( x − ) + 3 − ( x − ) 3x3 dx =  dx I = x − 3x + x − 3x +  2x − x2  =  x +3+ dx − dx = + x + ln x − − ln x − + C   x − 3x + x−2  GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 3/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x3 = x ( x − x + ) + ( x − x + ) + x + x ( x − 3x + ) + ( x − 3x + ) + x + 3x3 dx =  dx Khi I =  x − 3x + x − 3x + =  ( x + 3) dx +  7x + x2 dx = + x + I1 x − 3x + 2 Tính I phương pháp đồng thức… Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản 3x3 9x −  9x −  dx =   x + + dx I =  dx =  ( x + ) dx +  x − 3x + x − 3x +  x − 3x +  I1 Tính I phương pháp đồng thức… x3 x3 Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I =  dx =  dx x + 2x +1 ( x + 1) Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số  du = dx Đặt u = x +   x = u −1 Khi I =  ( u − 1) u2 du =  u − 3u + 3u −  du =   u − + − 2 u u u  u2  du = − 3u + 3ln u + + C  u  với u = x + Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x3 = x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) + ( x + 1) − x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) + ( x + 1) − x3 dx =  dx Khi I =  x + 2x +1 x2 + x +   x2 =  x − + − dx = − x + 3ln x + + +C  x + ( x + 1)  x +1  Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật nhảy tần lầu GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 4/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 Phân tích x = x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) − + x3 Khi I =  dx =  x + 2x +1 (2x + 2) x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) − + x2 + x + (2x + 2) dx  2x + x2  =  x − 2− dx + dx = − x + 3ln x + + +C   x +1 x + 2x +1 x +1  Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x = x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) + x + x ( x + x + 1) − ( x + x + 1) + x + x3 dx =  dx Khi I =  x + 2x +1 x2 + 2x + =  ( x − ) dx +  3x + x2 dx = − x + I1 x2 + 2x + Tính I phương pháp đồng thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng tích phân đơn giản I =  x3 x3  dx = dx =   x − + −  dx 2  x + 2x +1 x + ( x − 1)  ( x + 1)  x2 = − x + 3ln x + + +C x +1 Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân phần u = x  du = x dx   dx   Đặt  dv = v=−   ( x + 1) x +1   Khi đó: x3 x2 x3 x2 −1 + +3 dx = − +3 dx I =− x +1  x +1 x +1  x +1 …………… Bài 4: Tìm nguyên hàm: I =  x dx (1 − x ) 39 Giải: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 5/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Phân tích x = (1 − x ) − 1 = (1 − x ) − (1 − x ) + 2 (1 − x ) − (1 − x ) + 1  = = − + 39 39 37 38 39 (1 − x ) (1 − x ) (1 − x ) (1 − x ) (1 − x ) x2 I = (1 − x ) dx −  37 (1 − x ) 38 dx +  (1 − x ) 39 dx = 1 1 − + +C 36 37 36 (1 − x ) 37 (1 − x ) 38 (1 − x )38 Cách 2: Đặt t = − x  x = − t  dx = − dt  I = − (1 − t ) t dt 39 = − 1 1 1 dt +  38 dt −  37 dt = − + +C 39 38 37 t t t 38 t 37 t 36 t 36 Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u = x  du = xdx   dx   Đặt  v= dv = 38 39   38 ( x + 1) (1 − x )   Khi I = x 38 ( x + 1) 38 − x dx đến bạn tự làm  19 ( x + 1)38 Bài 5: Tìm nguyên thức: I =  x dx ( x − 1) 10 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Sử dụng đồng thức: x3 = ( x − 1) + 1 = ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) −  x3 = ( x − 1) 10 ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) 10 Khi I = =− dx ( x − 1) − 3 dx ( x − 1) + 3 dx ( x − 1) − dx ( x − 1) 10 = 1 3 1 + − + +C ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)9 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 6/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t = x − ta có: x = t + nên dx = dt A=  == − ( t + 1) t 10 dt = (t + 3t + 3t + 1) dt t 10 =  t −7 dt + 3 t −9 dt +  t −10 dt 1 3 1 + − + +C ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)9 Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u = x  du = x dx   dx   Đặt  dv = v=− 10   ( x + 1) ( x − 1)   Khi x2 +  dx I = −x 9 ( x + 1) ( x + 1) I1 đến rùi ta tính I phương pháp tích phân phần phân tích x = ( x − 1) + = ( x + 1)( x − 1) + Nhận xét : - Đối với 3, mà ta sử dụng phương pháp đồng thức giải hệ thật nan giải phải khơng, thể mà lựa chọn phương pháp mà hiệu nhanh đích Qua 3, ta ý - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I = P( x)  ( x + a) n dx đặt t = x + a phương pháp hiệu - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I = f ( x )Q ' ( x ) P( x) dx =  dx ta sử n ( x) Qn ( x ) Q dụng phương pháp tích phân phần nên làm bậc ( x + a ) n = 1, u = f ( x )  du  Đặt   Q '( x ) v  dv = Q n ( x ) dx  GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 7/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I =  dx = x + x3  x (1 + x ) dx = ln x HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân tử mẫu cho x dx = x + x3 I= 3 dx xdx  x (1 + x )  x (1 + x ) = 2  x2 = t −1  Đặt t = + x   dt  xdx =  Cách 3: Biến đổi số Đặt x = tan u … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử = (1 + x ) − x Khi I =  dx − x x 0 + x dx =  dx − x 2 Bài 12: Tính tích phân sau: I = x  d (1 + x ) 1+ x − ln x + = ln 2 dx + x3 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích: = x + − x  x ( x + 1) = x2 + − x2 x ( x + 1) = 1 x2 + − x2 1 x − = − = 3− + 3 2 x x x x +1 x ( x + 1) x x ( x + 1) Khi I = 2 1 x 1  1 2 dx − dx + dx =  − − ln x + ln x +  = − ln + ln 3 2   x x x +1 2  2x 1 1 Cách 1.2: Phân tích = x + − x = x + (1 − x )(1 + x ) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 8/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020  x ( x + 1) x4 + − x4 = x ( x + 1) = x + (1 − x )(1 + x ) x ( x + 1) = x − x2 x + = + x −3 − x +1 x x +1 x Tự làm tiếp bạn ! Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích phương pháp biến đổi số Phân tích I =  x (x + 1) dx =  1 dx x x ( x + 1)  x=   t Đặt t =   x  dx = − dt  t2   x = t =  Đổi cận  x = t = 1 t3 t dt =  dx đến lại trở thành Bài 1, bạn mà làm Khi I = −  t 11  t +1  + 1 t2  t2  Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân tử phương pháp đổi biến số I=  x (x 2 + 1) dx =  Đặt t = x +  1 x (x + 1) dx dt = xdx  x = t =  Đổi cận  x = t = Khi I =  dt t ( t − 1) =  1 1 1 t 5 − + dt = − + ln     = − ln + ln  2  ( t − 1) t − t   t −1 t −1  2 Hoặc bạn đặt u = t − phân tích = t − ( t − 1) đồng thức Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân tử phương pháp đưa vào vi phân I = 1 x ( x + 1) dx =  1 x ( x + 1) dx = 1 d ( x + 1) =  2 x ( x + 1) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 9/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 2 2 ( x + 1) − x 1 1 =  d ( x + 1) =  d ( x + 1) −  2 d ( x + 1) = x ( x + 1) 21x x ( x + 1) = 1 dx −  dx ôi đến lại thành Cách rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… x x x + ( ) Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng thức x (x + 1) = A B C Dx + E đến đồng thức hai vế để giải hệ tìm I = A,B,C,D,E nhiên + + + x3 x x x +1 việc giải hệ phức tạp thể trường hợp ta nên làm theo cách 1, cách cách hiệu Cách 6: Đặt x = tan u  dx = ( tan + 1) dt bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau: I =  dx x +1 Giải: Nhận xét: x + = ( x + 1) ( x − x + 1) Cách 1: Dựa vào nhận xét ta sử dụng đồng thức: = x − ( x − 1) = x − ( x − 1)( x + 1) Khi I =  x2 x −1 dx −  dx = I1 − I x +1 x − x + 1 1 d ( x + 1) Tính I cách đặt t = x + I =  x3 + Tính I phân tích x − = 1 ( x − 1) − (kĩ thuật nhảy tầng lầu) 2 x −1 2x −1 dx dx =  dx −  Ta có I =  2 x − x +1 x − x +1 20 1 x −   + 2  1 Cách 2: Đồng thức Xét A Bx + C = +  = A ( x − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1) x +1 x +1 x − x +1 Đến ta đồng hệ số giải hệ tìm A, B, C cho số giá trị riêng GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 10/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020  Tổng quát: I =    cos xdx sin xdx tích phân liên kết thường J =  A sin x + B cos x A sin x + B cos x   cos x dx sin x Bài 17: Tính tích phân sau: I =   Giải: Cách 1: Đưa vào vi phân cos x cos x.cos x   dx = dx =  +  tan x = tan x + tan x 4 sin x sin x  tan x  Phân tích Khi  I=    2 4  cos x 4 dx = tan x + tan x dx = tan xdx + tan xdx ( )    sin x    4 I1 I2 Tính      2 2      4 4 I1 =  tan xdx =  ( tan x + tan x ) − ( tan x + 1) + 1 dx =  tan ( tan + 1) dx −  ( tan x + 1) +  dx   =  tan xd ( tan x ) − tan x    +x  =    2  Tính I =  ( tan x + 1) − 1 dx =  ( tan x + 1) dx −  dx = ( tan x − x ) tự giải     4 4 Cách 2: cos x  cos x (1 − sin x )  cos x − cos x sin x + cos x sin x = = = cot x − cot x + cos x Phân tích 4 sin x sin x sin x sin x Khi GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 63/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020   2 I =  cot x   2 dx − cot xdx +   cos xdx sin x 4    12   = −  cot xd ( cot x ) −   − dx + (1 + cos x ) dx  2      sin x 2 4   cot x 1 sin x   5 23 = − − ( − cot x − 1) +  x + −  = 2   12  Cách 3: Nhận xét: Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn sin cos nên ta đặt t = tan x cách dài phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé!  Bài 18: Tính tích phân sau: I =  − cos3 x sin x.cos xdx Giải:  I =  − cos x cos x.sin x.cos xdx Đặt 6  cos x = − t − cos x = t  − cos x = t    sin x.cos xdx = 2t dt 3   t = x = Đổi cận   t =  x = 1  t t 13  12 Khi I =  t (1 − t ) t dt =  ( t − t 12 ) dt =  −  =  13  91 0 Hoặc : Đặt − cos x = t Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân   2 I =  − cos x cos x.sin x.cos xdx = I =  − cos x cos xd (1 − cos x ) = 3 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 64/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020  = −  − cos x (1 − cos x ) − 1 d (1 − cos x )   2 0 = −  − cos x (1 − cos x ) d (1 − cos x ) +  − cos xd (1 − cos x )  sin x.cos x dx + cos x Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I =  Giải: Cách 1: Đổi biến số Phân tích   sin x.cos x sin x.cos x dx =  dx + cos x + cos x 0 I=  dt = − sin xdx Đặt t = + cos x   cos x = t −   t = x = Đổi cận   t =  x = Khi I = −2  ( t − 1) t 2  t2 2 1  dt =   t − +  dt =  − 2t + ln t  = ln − t 2 1 1 Cách 2:   2  2 (1 − cos x ) − 1 sin x.cos x sin x.cos x   d cos x I= dx =  dx =  ( ) + cos x + cos x + cos x 0     cos x   =   − cos x − d cos x = sin x − − ln + cos x  = ln − ( )   + cos x   0 0 Chú ý: d ( cos x ) = d (1 + cos x ) ta đặt t = cos x  Tổng quát: I =   a sin x.cos x dx ta đặt t = b + c.cos x t = cos x b + c.cos x GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 65/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 Bài tập tự giải có hướng dẫn:  Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau: I =  ( ) tan x 10 dx = ln + − cos x HD: Cách 1: Biến đổi cos x = cos x − sin x = (1 − tan x ) cos x Đặt t = tan x Hoặc sử dụng công thức cos x = − tan x + tan x Tổng quát:  I =   a tan x với a, b  b cos x * Biến đổi b cos x = b ( cos x − sin x ) = b (1 − tan x ) cos x đặt t = tan x Mở rộng  I =  a tan x dx với a, b, c, d  b sin x + c sin x cos x + d cos x * Biến đổi b sin x + c sin x cos x + d cos x = ( b tan x + c tan x + d ) cos x đặt t = tan x  Bài 2: (ĐH AN – 1998): Tính tích phân sau: I =  dx cos x Cách 1:   4   dx dx I= = = + tan x ) d ( tan x ) = ( tan x + tan x ) = ( 2   cos x cos x cos x 0 Cách 2: Biến đổi số   4 I=  dx dx dx = = + tan x ) ( 2   cos x cos x cos x cos x Đặt t = tan x Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 66/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020  u=   cos x   dv = dx  cos x   Bài 3: (Đề 84.Iva) Tính tích phân sau: I =   dx sin x    2  d ( cot x )  dx cot x  = − = −  1 + cot x d ( cot x ) = −  cot x +  = sin x   sin x    4 4 I=  Bài 4: Tính tích phân sau: I =  cos x.cos 2 xdx =  HD: C1: Hạ bậc biến đổi tích thành tổng C2: Tích phân liên kết  Bài 5: Tính tích phân sau: I =  − sin x ( sin x + cos x ) dx   HD: − 2sin x = cos x = ( cos x + sin x )( cos x − sin x ) ( sin x + cos x ) = (1 + sin x ) = cos  x −  4  Từ ta có cách sau Cách 1:   − sin x Biến đổi I =  ( sin x + cos x ) 4 dx =  cos x (1 + sin x ) dx đặt t = + sin x t = sin x biến đổi vi phân trực tiếp   − sin x I= ( sin x + cos x ) 4 dx =   cos x (1 + sin x ) dx =  d (1 + sin x ) (1 + sin x ) dx đặt t = tan x cách 2: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 67/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020  Biến đổi I =   − sin x ( sin x + cos x )  ( cos x + sin x )( cos x − sin x ) ( cos x − sin x ) dx = dx 4  ( sin x + cos x ) 0 ( sin x + cos x ) 4 dx =  Đặt t = sin x + cos x hoặc biến đổi vi phân trực tiếp Cách 3:  Biến đổi I =  Đặt t = x −  − sin x ( sin x + cos x ) 4 dx =  cos x dx  4 cos  x −  4    Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân: I =   sin x dx cos x HD: sin x 1 Ta có dx = tan x dx = tan x (1 + tan x ) d ( tan x ) 2 cos x cos x cos x Đs: 42 − 15  Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân: I =   sin x − cos x dx sin x + cos x HD:  I=         d  cos  x −   sin  x −      4    dx = −   dx = − ln  cos  x −           cos  x −  cos x −   4 4     = ln 2  Bài 8: Tính tích phân sau: I =  tan xdx HD: Đặt t = tan x  dt = ( tan x + 1) dx GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 68/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 x =  t =  Đổi cận:    x =  t =    t5 t3 1 t dt  13   Vậy I =  tan xdx =  =   t4 − t2 +1− dt = − + t   −  du = −  t +1  t +1 15 5 0 0  Bài 9: Tính tích phân sau: I =  cos xdx = 15  sin x cos x dx + cos x Bài 10: Tính tích phân sau: I =  HD:  2 − ln 2 cos x t −1 I =−  d + cos x = dt = t − ln t = ( ) ( ) + cos x 1 t 2 Bài 11: Tính tích phân sau: I =  tan xdx HD:   I =  tan xdx =  tan x sin xd ( tan x ) =  tan x (1 − cos x ) d ( tan x ) =  tan x 1 − d ( tan x )   + tg x  tan x + − 1 =  tan xd ( tan x ) −  d ( tan x ) = tan x − tan x + x + C + tan x  3sin x + cos x dx 3sin x + cos x Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân sau: I =  Đs: I =  + ln GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 69/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 V BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ Các tập giải mẫu:  Bài 1: (ĐH TL2001) Tính tích phân sau: I =  ln (1 + tan x ) dx Giải: Cách 1:  dx = − dt  Đặt x = − t   − tan t   1 + tan x = + tan  − t  = + + tan t = + tan t        x =  t = Đổi cận  x =   t =     4 Khi I =  ln (1 + tan x ) dx =  ln 2dt −  ln (1 + tan t ) dt = ( ln ) 0  −I  I =  ln Cách 2: Ta có      sin x + cos x  I =  ln (1 + tan x ) dx =  ln   dx =  ln ( sin x + cos x ) dx −  ln ( cos x ) dx = cos x   0 0 4  4    =  ln cos  − x  dx −  ln ( cos x ) dx 4  0 4 J      1        Tính J =  ln cos  − x  dx = ln  dx +  ln cos  − x  dx = ln x +  ln cos  − x  dx = ln + K 2 4  4  4  0 0 4 K Đặt t =  − x  − dt = dx GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 70/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020   4 0 Khi K =  ln ( cos t ) dt =  ln ( cos x ) dx Khi I =  ln Cách 3: Tích phân phần u = ln (1 + tan x ) Đặt  Bạn đọc tự giải  dv = dx Bài 2: Tính tích phân: I =  ln (1 + x ) + x2 dx HD:  Đặt x = tan t ta I =  ln (1 + tan t ) dt; đặt t =   − x ta I =   ln du = ln  du − I + tan u Bài 3: Tính tích phân sau: I =  ln ( ) dx x −1 +1 x −1+ x −1 Giải: Cách 1: Đặt t =   dt = x − dx  ( t − 1) dt = dx x −1 +1    x = ( t − 1) +   x = t =  Đổi cận   x = t = Khi 3 ( t − 1) ln t ln t dt = dt = ln td ( ln t ) = ln t = ln − ln 2   t ( t − 1) + t − 2 I = 2 Cách 2: Đặt t = x − bạn đọc tự giải GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 71/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020  xdx + sin x Bài 4: Tính tích phân sau: I =  Giải: Cách 1: Đặt t =  −x     Cách 2: Biến đổi + sin x = + cos  x −  = cos  x −  , tích phân phần 2 4       1 3 I =  x.sin x.cos xdx = −  xd ( cos x ) = −  x cos x −  cos xdx  0 30 3     1 sin x    = +  (1 − sin x ) d ( sin x ) = +  sin x −  = 30 3 0  Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau:  I= (1 + sin x ) e x + cos x  dx =   ex cos  e x sin x dx = e + cos x x dx +  Giải: Cách 1:      + sin x x e dx sin x e dx sin x x e dx =  + e dx =  + e x dx Ta có: I =  + cos x + cos x + cos x cos x + cos x 0 I2 2 x 2 x I1  Tính: I1 =  e x dx x cos 2 u = e x  du = e x dx    Đặt:  dv = dx   x v = tan x   cos    Áp dụng cơng thức tính tích phân phần GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 72/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020  I1 =     2 dx x x x x x = e tan − tan e dx = e − tan e x dx    cos x 2 0   2  x x sin cos sin x x x x 2 Tính: I =  e dx =  e dx =  tan e x dx x + cos x 0 cos 2  Vậy I = e Cách 2:  Ta có: I =      e sin x x x x x  dx +  dx =  e d  tan  +  e tan dx x + cos x 2  0 cos 2 e x  x    x x x x = e tan −  e x tan dx +  e x tan dx = e x tan = e 2 2 0 0 x Sử dụng định nghĩa: Ta có (1 + sin x ) e x + cos x x x ' ' e x sin cos ex x x  x x x x x  x 2 = + = + tan e =  tan  e + tan ( e ) ' =  e tan  2 2 x x x   cos cos cos 2 ex Hoặc ta biến đổi x x  sin + cos   (1 + sin x )  x x 2 1 = =  + tan + tan  x + cos x 2 2 cos  Vậy I =   12 x x + tan dx + tan e x dx     0 2 20 2 I1  x Tính I1 =  tan e x dx GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 73/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 e2   Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I =   −  dx ln x ln x  e  Cách 1: Đặt f ( x ) = 1 − ln x ln x 1 − ln x ( − x ) ln x − ( − x )( ln x ) −x = =  F ( x) = Ta có f ( x ) = − 2 ln x ln x ln x ln x ln x ' ' Khi e2  −x e e2  I =  − =e−  dx = ln x ln x  ln x e e  Cách 2: e2   I =  −  dx = ln x ln x   e e2 2 e e e dx x e dx dx   xd − = − + − e  ln x  e ln x ln x e e ln x e ln x  Bài 7: Tính tích phân sau I =  x.sin x cos xdx Giải:   1 I =  x.sin x cos xdx =  x ( sin x + sin x ) dx 20 40  du = dx u = x   Đặt:   dv = ( sin x + sin x ) dx v = − ( cos x + cos x )  −1   1  x  cos x − cos x  +   cos x + cos x  dx =  3  03   Khi I =   x  −1 1 1   =  cos x + cos x  −  sin x − sin x  = − 2   18 0 Cách 2: Đặt x =  − t bạn đọc tự giải Chú ý: Qua tốn ta có nhận xét Dựa vào đạo hàm ta tính Nguyên hàm dạng đặc biệt GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 74/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 Dạng 1: Nguyên hàm hàm số dạng tích thương Dạng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm Tổng f ( x ) = u ' + v' = (u + v ) ' F ( x) = u + v Hiệu f ( x ) = u ' − v' = (u − v ) ' F ( x) = u − v Tích f ( x ) = u 'v + v 'u = ( uv ) ' F ( x ) = uv Thương u ' v + v 'u  u  f ( x) = =  v2 v ' F ( x) = u v Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa ex Đặc trưng Nguyên hàm Hàm số (đạo hàm) ex F ( x) = u ( x) ex F ' ( x ) = u ' ( x ) + u ( x )  e x = f ( x ) e− x F ( x ) = u ( x ) e− x F ' ( x ) = u ' ( x ) − u ( x )  e − x = f ( x ) e ax + b F ( x ) = u ( x ) e ax +b F ' ( x ) = u ' ( x ) + au ( x )  e − ax +b = f ( x ) e F ( x) = u ( x) e v( v ) Ví dụ: Tính tích phân sau: I =  x 2e x ( x + 2) v( v ) v x F ' ( x ) = u ' ( x ) + v ' ( x ) u ( x )  e ( ) = f ( x ) dx Giải: Cách 1: Tích phân phần u = x e x  du = xe x ( x + e ) dx   dx   Đặt  du = v=−   ( x + 2) x+2   x 2e x Khi I = − +  xe x dx x+2 0 I1 u = x  du = dx  x  dv = e dx v = e Tính I1 =  xe x dx Đặt  x GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 75/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 Khi I1 = xe x 1 −  e x dx = ( xe x − e x ) 1 x 2e x + ( xe x − e x ) = Vậy I = − x+2 Cách 2: Phân tích x = ( x + x + ) − ( x + ) + = ( x + ) − ( x + ) + Khi I =  x2 ( x + 2) e dx =  x ( x + 2) − ( x + 2) + ( x + 2) 1 ex e dx =  e dx −  dx +  dx x+2 x+2 0 x x J Tính J làm xuất tích phân mà làm triệt tiêu tích phân Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau: I =  x 2e2 x ( x + 1) dx HD: Sử dụng tích phân phần 1   dx = −  x e x d    x +1 ( x + 1) I= =− = x 2e2 x 1 x 2e2 x 1 e2 e2 + d ( x e x ) = − +  xe x dx = − +  xd ( e x ) x +1 0 x +1 2 e2 e2 x e2  e2  − = − −  = 2  2   x 2  2 x  Bài 2: Tính tích phân sau: I =   x tan + x 1 + tan   = tan 2  8   Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I =  (x + 1) e x ( x + 1) dx =  Bài 4: Tính tích phân sau: I =  esin x (1 + x cos x ) dx = GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu  e Trang 76/77 Luyện Đề Thi THPTQG 2020 e2  Bài 5: (ĐHTN – 1996) Tính tích phân sau: I =   ln x + ln x e  GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu   = 2e − 2e  Trang 77/77 ... vào vi phân x xdx (x + 1) HD: Cách 1: Đặt x = tan t Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân phần u = x  Đặt  dv = xdx  x + ( )  Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn... )  = 135   Cách 4: t = ln x  dx = dt x Khi I =  + 3t tdt đến rùi ta làm nhiều cách biến đổi số đặt u = + 3t u = + 3t đưa vào vi phân cách phân tích t = e Bài 3: Tính tích phân sau: I =... nhanh đích Qua 3, ta ý - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I = P( x)  ( x + a) n dx đặt t = x + a phương pháp hiệu - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I = f ( x )Q ' ( x