giải toán tích phân bằng nhiều cách

1 (MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH) : Bỉm sơn. 13.03.2011 http://www.vietmaths.com 2 GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: 3 3 2 0 1 x I dx x    Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt   2 tan 1 tan x t dx t dt     Đổi cận 3 3 0 0 t x x t                 Khi đó     3 3 3 3 3 2 2 0 0 0 0 tan tan tan 1 1 tan tan 1 tanI tdt t t dt t t dt tdt                    2 3 3 0 0 cos tan 3 tan tan ln cos ln 2 3 cos 2 2 0 d t t td t t t                 Nhận xét: Đối với tích phân dạng     2 2 , ,I R u u a du u u x       thì ta có thể đặt tanu a t Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần Đặt   2 2 2 2 ln 1 1 2 du xdx u x x xdx dv v x                  Khi đó         3 3 2 2 2 2 2 0 0 1 13 ln 1 ln 1 3ln2 ln 1 1 2 2 0 J I x x x x dx x d x           Tính     3 2 2 0 ln 1 1J x d x    Đặt       2 2 2 2 2 1 ln 1 1 1 1 d x u x du x dv d x v x                     3 Khi đó       3 2 2 2 0 1 33 3ln 2 1 ln 1 1 ln 2 2 2 0 I x x d x                  Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng           ' n n P x f x Q x I dx dx Q x Q x     thì Đặt       ' n u f x du Q x v dv dx Q x           Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số Nhận xét: Ta có 3 2 . x x x  và   ' 2 1 2 x x   từ đó ta định hướng giải như sau Phân tích 3 3 3 2 2 2 0 0 1 1 x x x I dx dx x x       Đặt 2 2 1 1 2 x t t x dt xdx            Đổi cận 4 3 1 0 t x t x              Khi đó     4 4 1 1 1 4 1 1 1 1 3 1 ln ln 2 1 2 2 2 2 t I dt dt t t t t                 Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân               2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 21 1 1 1 1 33 3 1 ln 1 2ln 2 2 2 2 1 0 0 x x I d x d x d x x x x d x x d x x x                                   Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn     2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 3 1 33 3 ln 1 ln 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 d x x x x I dx x dx x x x x                        Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) Ta có   3 2 1 x x x x    Khi đó     2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 3 1 33 3 ln 1 ln 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 d x x x x I dx x dx x x x x                        4 Bài 2: Tính tích phân bất định:    3 3 2 3 3 1 2 3 2 x x I dx dx x x x x         Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức Phân tích       3 2 2 3 2 3 3 2 7 1 1x x x x x x x         Khi đó       2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 7 1 1 3 3 2 3 2 x x x x x x x I dx dx x x x x                       2 7 1 1 3 3 7ln 2 2 1 2 2 1 2 x x dx x x dx x x x x x                         2 2 3 7ln 2 ln 2 ln 1 3 8ln 2 ln 1 2 2 x x x x x x C x x x C                 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích         3 2 3 2 3 1 1 2 3x x x x x x x                          2 2 3 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 2 9 1 2 3x x x x x x x x x x x x x                      Khi đó         2 3 2 2 3 2 3 1 2 3 2 3 3 3 2 3 2 x x x x x x x I dx dx x x x x                    2 2 2 9 2 3 3 3 9ln 2 ln 3 2 2 3 2 2 x x x dx dx x x x x C x x x                         Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích     3 2 2 3 2 3 3 2 7 6x x x x x x x        Khi đó     2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 7 6 3 3 2 3 2 x x x x x x x I dx dx x x x x                  2 1 2 7 6 3 3 3 2 2 x x x dx dx x I x x            . Tính 1 I bằng phương pháp đồng nhất thức…. Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn   1 3 2 2 2 3 9 8 9 8 3 3 3 2 3 2 3 2 I x x x I dx x dx x dx dx x x x x x x                           Tính 1 I bằng phương pháp đồng nhất thức…. Bài 3: Tìm nguyên hàm sau:   3 3 2 2 2 1 1 x x I dx dx x x x        Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số 5 Đặt 1 1 du dx u x x u          Khi đó   3 3 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 1 1 3 3 3ln 2 u u u u u I du du u du u u C u u u u u                         với 1u x  Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức Phân tích       3 2 2 2 1 2 2 1 3 1 1x x x x x x x         Khi đó       2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x I dx dx x x x x                   2 2 3 1 1 2 2 3ln 1 1 2 1 1 x x dx x x C x x x                       Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu Phân tích       3 2 2 3 2 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x x x x         Khi đó       2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 x x x x x x x I dx dx x x x x                 2 2 2 1 3 2 2 3 2 2 ln 1 ln 2 1 1 2 2 1 2 2 x x x dx dx x x x x C x x x                         Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích     3 2 2 2 1 2 2 1 3 2x x x x x x x        Khi đó     2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 1 x x x x x x x I dx dx x x x x                  2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 x x x dx dx x I x x            . Tính I 1 bằng phương pháp đồng nhất thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản     3 3 2 2 2 2 3 1 2 12 1 1 1 1 2 3ln 1 2 1 x x I dx dx x dx xx x x x x x x C x                            Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt   3 2 2 3 1 1 1 u x du x dx dx dv v x x                   Khi đó 6 3 2 3 2 3 3 2 1 1 3 3 1 1 1 1 1 3 1 3 ln 1 1 1 1 2 x x x x I dx dx x x x x x x x x dx x x C x x x                                           Bài 4: Tìm nguyên hàm:   2 39 1 x dx I x    Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Phân tích       2 2 2 1 1 1 2 1 1x x x x                       2 2 39 39 37 38 39 1 2(1 ) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x                           37 38 39 36 37 38 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 36 37 38 1 1 1 1 1 1 I dx dx dx C x x x x x x                 Cách 2: Đặt 1 1t x x t dx dt          2 39 39 38 37 38 37 36 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 38 37 36 t dt I dt dt dt C t t t t t t t                 Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt     2 38 39 2 1 38 1 1 du xdx u x dx v dv x x                 Khi đó     2 38 38 1 1 19 38 1 1 x I x dx x x      …. đến đây các bạn có thể tự làm rồi Bài 5: Tìm nguyên hàm: 3 10 ( 1) x dx I x    Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Sử dụng đồng nhất thức:         3 3 2 3 1 1 1 3 1 3 1 1x x x x x             3 10 7 8 9 10 1 3 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x           Khi đó 7 8 9 10 6 7 8 9 3 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 3 1 3 1 1 1 6 7 8 9 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) dx dx dx dx I x x x x C x x x x                        7 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt 1t x  ta có: 1 x t   nên dx dt   3 3 2 7 8 9 10 10 10 1 ( 3 3 1) 3 3 t dt t t t dt A t dt t dt t dt t dt t t                     6 7 8 9 1 1 3 1 3 1 1 1 6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1) C x x x x           Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt     3 2 10 9 3 1 1 9 1 u x du x dx dx dv v x x                   Khi đó     1 2 3 9 9 1 1 3 9 1 1 I x I x dx x x        đến đây rùi ta có thể tính 1 I bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích       2 2 1 1 1 1 1x x x x       Nhận xét : - Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng     n P x I dx x a    thì đặt t x a  là một phương pháp hiệu quả nhất - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng           ' n n P x f x Q x I dx dx Q x Q x     thì ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của   x a  là 1,2n  Đặt:       ' n u f x du Q x v dv dx Q x           Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau:   3 3 3 2 0 0 1 dx dx I x x x x       HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân cả tử và mẫu cho 2 x     3 3 3 3 2 2 2 0 0 0 1 1 dx dx xdx I x x x x x x          8 Đặt 2 2 1 1 2 x t t x dt xdx            Cách 3: Biến đổi số Đặt tan x u  … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử   2 2 1 1 – x x   Khi đó   2 3 3 2 2 00 0 0 3 3 2 1 13 3 ln ln 1 2 1 1 6 ln 2 0 2 1 0 dx x dx I dx d x x x x x x x               Bài 12: Tính tích phân sau: 2 5 3 1 dx I x x    Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích: 2 2 1 1 x x      2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   Khi đó 2 2 3 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ln 3 1 5 ln 2 ln 8 ln 1 2 1 2 22 1 x I dx dx dx x x x x x x                     Cách 1.2: Phân tích:     4 4 4 2 2 1 1 1 1 x x x x x              4 2 2 4 4 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                     tự làm nhé Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số Phân tích     2 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 . 1 1 I dx dx x x x x x       Đặt 2 1 1 1 x t t x dx dt t             Đổi cận 1 2 2 1 1 x t x t              9 Khi đó 1 1 3 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 t t I t dt dx t t t              đến đây lại trở thành bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số     2 2 3 2 4 2 1 1 1 1 1 x I dx dx x x x x       Đặt 2 1 2 dt t x xdx    Đổi cận 2 5 1 2 x t x t            Khi đó     5 5 2 2 2 2 5 1 1 1 1 1 1 3 1 5 ln ln 2 ln 2 2 1 2 1 1 8 2 2 1 1 dt t I dt t t t t t t t                                Hoặc các bạn có thể đặt 1u t  hoặc phân tích   1 1t t   hoặc đồng nhất thức Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân                     2 2 2 2 3 2 4 2 4 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 x I dx d x x x x x x x x x d x d x d x x x x x x                            2 2 3 2 1 1 1 1 1 dx dx x x x      ôi đến đây lại thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức   3 2 2 3 2 1 1 1 A B C Dx E x x x x x x        đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm , , , ,I A B C D E tuy nhiên việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả nhất Cách 6: Đặt   2 tan tan 1 x u dx dt     … bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau: 1 3 0 1 dx I x    Giải: Nhận xét:     3 2 1 1 1x x x x     Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:       2 2 2 1 1 1 1x x x x x       Khi đó 1 1 2 1 2 3 2 0 0 1 1 1 x x I dx dx I I x x x           10 Tính 1 I bằng cách đặt 3 1t x  hoặc   3 1 1 3 0 1 1 3 1 d x I x     Tính 2 I phân tích   1 1 1 2 1 2 2 x x    (kĩ thuật nhảy tầng lầu) Ta có 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 1 1 2 21 1 1 3 2 4 x x dx I dx dx x x x x x                     Cách 2: Đồng nhất thức Xét      2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 A Bx C A x x Bx C x x x x x               Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là 1 2 1 1 ; 0 ; 1 3 3 3 x A x C x B           …Bạn tự giải tiếp nhé Kết quả ta được 1 ln2 3 3 3 I    Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”             1 1 1 3 22 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3 dx dx d x I x x x x x x x                     Đặt 1 x t dx dt     Đổi cận 0 1 1 2 x t x t                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 dt 1 3 3 3 1 dt 3 dt 3 3 3 3 3 3 3 3 t t t t t dt t t t t t t t t t                              2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 dt 1 3 3 3 dt 3 3 2 2 3 3 3 2 4 2 1 1 2 3 1 ln 3arctan ln 2 13 2 3 3 3 3 3 3 d t t t t t t t t t t                                     Bài 15: Tính tích phân bất định:   4 3 50 3 5 7 8 2 x x x I dx x       . Giải : Cách 1: Biến đổi số Đặt 2 2 x t x t dx dt          Khi đó         4 3 4 3 50 50 3 2 5 2 7 2 8 3 5 7 8 2 t t t x x x I dx dt t x               Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức [...]... HD: Phân tích x 4  2 x 3  5 x 2  4 x  4   x 2  x  2  2 Cách 1: Đồng nhất thức Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho x 2 và đặt t  x  0 Bài 7: Tính tích phân sau: I   1 2 Hoặc đưa vào vi phân x x 2 dx x 2 3  1 HD: Cách 1: Đặt x  tan t Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 17 u  x  Đặt dv  xdx 3   x2  1  Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián Phân. .. 2 2  e 116 1  3ln x  2  1  3ln x  2   5 9 3  1 135 dx Cách 4: t  ln x   dt x  1 Khi đó I   1  3t tdt đến đây rùi ta có thể làm bằng nhiều cách như biến đổi số đặt u  1  3t hoặc 0 u  1  3t hoặc đưa vào vi phân bằng cách phân tích t  e Bài 3: Tính tích phân sau: I   1 1 1 1  3t   3 3 1  ln x dx x Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Đặt t  1  ln x  t 2  1  ln x ... QN – 1999) Tính tích phân: I   x 1 3 3x  2 0 7 Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân: I   x2 3 x 1 0 3 Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân: I    1 2 4 Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính tích phân: I    1 28  3 3 4 10  231 10 x 3 2x  2  dx  2x  1 2x  1 0 1 3 Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân: I  3 1 x3 x 1  x  3  12 5 dx  2  ln 2 dx 25 III TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ...  Phân tích x  1  2 x  1     3 2 3 18 2 1  2 x  2  1  2 x  1  2 x     Hoặc đặt t  1  2 x Hoặc tích phân từng phần 1 x2  3 21 13 dx   ln 2  ln 3 Bài 10: Tính tích phân: I   4 2 4 4 1 x  x  3x  2  2 HD: Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt t  x 2 Cách 2: Phân tích mẫu x  x 4  3 x 2  2   x  x 2  1 x 2  2  và sử dụng đồng nhất thức 1 Bài 5: Tính tích phân: ...    0 0 2  cos x  sin x  3  sin x  cos x  dx I1  2  Tính I1 bằng cách biến đổi  sin x  cos x   2 cos 2  x   hoặc bằng cách đặt t  tan x 4  Cách 2: Sử dụng tích phân liên kết  2 Xét J   4 cos x 0  sin x  cos x  3 dx Khi đó I  J  4 và J  I  0 nên I  2 Cách 3: Đổi biến số theo cận 1 Phân tích I  2  2 4 sin x dx  3 0 cos  x   4   2   t  dx   dt 4 ... 0 Bài 21: Tính tích phân sau: I  2  x  x  1 9 dx 1 Giải: Cách 1: Biến đổi số Đặt t  x  1  dt  dx  x  1 t  0 Đổi cận   x  0 t  1 Khi đó 0 I 1 9 1 1 2 2 9 2 9 11 10 9  x  x  1 dx    t  1 t dt    t  2t  1 t dt   t  2t  t  dt 1 12 0 11 0 0 10 t 1 t t 1 1 2 1  2       11 10  0 12 11 10 660  12 Cách 2: Phương pháp phân tích 2 Phân tích x 2   x ...  4t  1 2 1 3 Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số Đặt t  4  x …bạn đọc tự giải Cách 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần u  8  3x   du  3dx Đặt  dx   v  2 4  x  dv  4  x  24 Khi đó I  2  8  3x  4  x 3 3  6 4  xdx  3 2 2 Bài 7: Tính tích phân sau: I  x 2 dx  (4  2 x  x 2 ) 2  2x  x 2  x 2 dx [3  ( x  1) 2 ] 3  ( x  1) 2 Giải: Cách 1: dx   3... Hoặc phân tích x theo  x  1 như sau 9 9   x 2  x  1   x 2  1  1  x  1  Nhận xét:  x  1  x  1  2  1  x  1   9 11 10   x  1  2  x  1   x  1 9 9 - Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển  x  1 hay phương pháp tích phân từng phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của  x  1 là lớn 1 Bài 22: Tính tích phân: ... dx         4 2 2 4  0 20  20 0 0 Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất 1 6 1 Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx  168 0 3 4 4 Giải: 1 6 1 6 Ta có I   x5 1  x3  dx   x 3 1  x 3  x 2 dx 0 0 Cách 1: Đổi biến số 13  dt 2   x dx Đặt t  1  x ...  2 x 2 2 1 Bài 7: Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1: Đổi biến và sử dụng tích phân từng phần dx Đặt t  ln x  et  x  dt  x x  2 t  ln 2  Đổi cận   x  1 t  0 ln 2 Khi đó I   0 t dt  et ln 2 e t tdt 0 u  t du  dt Đặt   t t dv  e dt v   e ln 2 ln 2  t ln 2  t ln 2 ln 2 1   e dt   e   Khi đó I  te  t 0 2 0 2 2 0 Cách 2: Tích phân từng phần 1 1   du . 2 GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: 3 3 2 0 1 x I dx x    Giải: . x x               Bài 12: Tính tích phân sau: 2 5 3 1 dx I x x    Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích: 2 2 1 1 x x      2 2 2 2 3 2 3 2.  4 Bài 2: Tính tích phân bất định:    3 3 2 3 3 1 2 3 2 x x I dx dx x x x x         Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức Phân tích       3 2