Giải toán tích phân bằng nhiều cách

cách này không khó nhưng khai triển phức tạp… chỉ tham khảo thôi Chú ý: Nếu ta đặt t  x3 cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo 2 2... Bài tập tự giải có hướng dẫn: [r]

GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I   x3 dx x2  Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt x  tan t  dx  1  tan t  dt    x  t  Đổi cận    x  t  Khi đó   0   0 I   tan tdt   tan t  tan t   1 dt   tan t  tan t  1dt    tan tdt     tan td  tan t    0 d  cos t  cos t   tan t    ln cos t   ln  0  Nhận xét: Đối với tích phân dạng I   R  u, u  a  du, u  u  x  thì ta có thể đặt u  a tan t  Cách 2: Phương pháp tích phân phần  du  xdx u  x   Đặt  ln  x  1 xdx   dv   v  x2    Khi đó I  x ln  x  1   x ln  x  1 dx  3ln  2  ln  x  1 d  x  1  J Tính J   ln  x  1 d  x  1  d  x  1 u  ln  x  1 du    Đặt  x2  dv  d x    v  x    Lop12.net 1 Khi đó I  3ln   x  1 ln  x  1    d x     ln   0  Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng phương pháp này là vì Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I   P  x Qn  x  dx   f  x  Q'  x  Qn  x dx thì u  f  x   du Đặt   Q'  x  dx v dv  n Q  x  Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số ' Nhận xét: Ta có x  x x và  x  1  x từ đó ta định hướng giải sau Phân tích I   x3 dx  x2   x2 x dx x2  x  t   Đặt t  x    dt  xdx    x  t  Đổi cận   t   x  4  t  1  1 dt  1   dt   t  ln t    ln   21 t 21 t Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân 3 x2 1  x  1  1   2   I   d  x  1   d x   1  d  x  1   x 1 x 1 x 1 0 Khi đó I  3 d  x  1 x2 3 0 d  x  1  0 x2    ln  x  1   ln Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản 3 x3 x  x d  x  1 3  I   dx    x      ln  x  1   ln dx  2 2 2 1 x x x    0   0  2 Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc tử lớn bậc mẫu chính vì ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) Ta có x  x  x  1  x Khi đó I   x3 dx  x2  x  x2  x  dx   0  x   2  d  x  1 x 1  3  ln  x  1   ln 2 2 Lop12.net Bài 2: Tính tích phân bất định: I   x3 x3 dx    x  1 x   dx x2  3x  Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x  x  x  x     x  3x     x  1  Khi đó x  x  3x     x  x     x  1  3x I  dx   dx x  3x  x  3x    x2 1 dx dx    x      x  ln x     x x x x x 2 2              x x2   x  ln x   ln x   ln x   C   3x  8ln x   ln x   C 2 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích x  x  x  x     x  1 x  1   x  3  x  x  x     x  1  x    3   x  3  x 2 x  x     x  1 x     x  1   x   Khi đó x  x  3x     x  1  x    3   x  3 3x I  dx   dx x  3x  x  3x   2x  x2    x 3    x  ln x   ln x  x   C dx dx   x x x 2      Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức và đồng thức Phân tích x  x  x  x     x  x    x  x  x  3x  2   x2  3x    x  x3 dx   dx Khi đó I   x  3x  x  3x  7x  x2    x  3 dx   dx   x  I1 x  3x  Tính I1 phương pháp đồng thức… Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản x3 9x   9x   I dx    x   dx dx    x  3 dx   x  3x  x  3x   x  3 x  2   I1 Tính I1 phương pháp đồng thức… x3 x3 Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I   dx   dx x  2x 1  x  1 Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số Lop12.net du  dx Đặt u  x     x  u 1 Khi đó I    u  1 u2 du    u  3u  3u  u2  du u du       3u  3ln u   C  2   u u u  u  với u  x  Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x  x  x  x  1   x  x  1   x  1  x  x  x  1   x  x  1   x  1  x3 dx   dx Khi đó I   x  2x 1 x2  2x 1  x2    x      x  3ln x   C dx  x   x  1  x 1  Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu Phân tích x  x  x  x  1   x  x  1    x   2 x x x x x 1         x  2     x dx   dx Khi đó I   x  2x 1 x2  x  1  2x  x2  dx dx   x  2    x  ln x   ln x  x   C   x 1  x  2x 1 2  Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức và đồng thức Phân tích x  x  x  x  1   x  x  1  3x  x  x  x  1   x  x  1  3x  x3  dx dx  x2  2x 1 x2  2x 1 x2 3x     x  dx   dx   x  I1 x  2x 1 Tính I1 phương pháp đồng thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản   x3 x3 I dx   dx x      dx  x  2x  x   x  1   x  1   x   x  3ln x   C x 1 Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân phần u  x du  3x dx   dx   Đặt  dv  v    x  1 x 1   Khi đó Khi đó I   Lop12.net x3 x2 x3 x2   dx   dx  3  3 x 1 x 1 x 1 x 1  x2  x3 x3     3  x      dx   x   ln x   C  x 1 x 1 x 1    I  Bài 4: Tìm nguyên hàm: I   x dx 39 1  x  Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 Phân tích x  1  x   1  1  x   1  x   1  x   2(1  x)       39 39 37 38 39 1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  x2 I 1  x  37 dx  2 1  x  38 dx   1  x  39 dx  1 1   C 36 37 36 1  x  37 1  x  38 1  x 38 Cách 2: Đặt t   x  x   t  dx   dt 1  t  dt 1 1 1  I      39 dt   38 dt   37 dt    C 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u  x du  xdx   dx   Đặt  v dv  38 39   38  x  1 1  x    x 1 Khi đó I  x   dx … đến đây các bạn có thể tự làm 38 19  x  138 38  x  1 Bài 5: Tìm nguyên hàm: I   x dx ( x  1)10 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 3 Sử dụng đồng thức: x   x  1  1   x  1   x  1   x  1  x3 3      10 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 Khi đó dx dx dx dx I   3  3   ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9 Lop12.net Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  x  ta có: x  t  nên dx  dt  t  1 (t  3t  3t  1)dt   t 7 dt  3 t 8dt  3 t 9 dt   t 10 dt t10 t10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9 Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u  x du  3x dx   dx   Đặt  dv  v 10    x  1  x  1   Khi đó 1 x2 I   x3  dx   x  19  x  1  A dt  I1 đến đây rùi ta có thể tính I1 phương pháp tích phân phần phân tích x   x  1    x  1 x  1  Nhận xét : - Đối với bài 3, bài và mà ta sử dụng phương pháp đồng thức thì giải hệ thật là nan giải phải không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu và nhanh đích Qua bài 3, bài và bài ta chú ý P  x - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I   dx thì đặt t  x  a là phương pháp hiệu n  x  a - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I   P  x Qn  x  dx   f  x  Q'  x  Qn  x dx thì ta sử dụng phương pháp tích phân phần nên làm bậc  x  a  là n  1, u  f  x   du Đặt:   Q'  x  dv  Q n x dx v    Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I   dx  x  x3 dx  x 1  x  HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân tử và mẫu cho x I  dx  x  x3 3 dx  xdx  x 1  x   x 1  x  2 Lop12.net x2  t   Đặt t   x   dt  xdx   Cách 3: Biến đổi số Đặt x  tan u … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử  1  x  – x Khi đó I   dx  x x 0  x dx   Bài 12: Tính tích phân sau: I   dx  x  d 1  x  1 x  ln x  ln  ln x  2 0 dx x  x3 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích:  x   x 1 1 x2   x2 1 x2   x2 x        3  2 x x 1 x ( x  1) x x( x  1) x x( x  1) x x x 1   Khi đó 2 1 x 1  1 2 I   dx   dx   dx     ln x  ln x     ln  ln x 2  2x 1 x 1 x 1 Cách 1.2: Phân tích:  x   x  x  1  x 1  x     2 x4   x x   x  x x  x2 x        x 3  x x ( x  1) x ( x  1) x 1 x x 1 x x 1   tự làm nhé Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số 2 1 dx   2 dx Phân tích I   x x x 1 x 1 x      x   t Đặt t    x dx   dt  t2   x  t  Đổi cận   x  t  Lop12.net 1 t3 t2 dt   dx đến đây lại trở thành bài 1, các bạn mà làm nhé Khi đó I    t 1 t    1   1 t2  t2  Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số 2 x I dx   dx x 1 x 1 x x     dt  xdx  x  t  Đổi cận   x  t  Đặt t  x   t 5  1 1 1 1 Khi đó I       ln   dt       ln  ln 2  2   t  1 t 1 t   t 1 t 1  2 t  t  1   Hoặc các bạn có thể đặt u  t  phân tích  t   t  1 đồng thức dt Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân 2 1 x I dx   d x2     2 x x 1 x 1 x 1 x x           2 2 x 1  x 1 1 2 d x 1   d x 1   2 d x2     2 x x 1 21x x x 1            1 dx   dx ôi đến đây lại thành cách rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… x x x 1   Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng thức A B C Dx  E đến đây thì đồng thức hai vế để giải hệ tìm I  A, B, C , D, E nhiên     x x x 1 x  x  1 x việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách và cách là hiệu Cách 6: Đặt x  tan u  dx   tan  1 dt … bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau: I   dx x 1 Giải: Nhận xét: x    x  1  x  x  1 Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng thức:  x   x  1  x   x  1 x  1 Khi đó I   x2 x 1 dx   dx  I1  I x 1 x  x 1 Lop12.net 1 d  x  1 Tính I1 cách đặt t  x  I1   x3  1  x  1  (kĩ thuật nhảy tầng lầu) 2 1 x 1 dx 2x  1 Ta có I   dx   dx   2 x  x 1 20 1 x  x 1 x   2  Cách 2: Đồng thức A Bx  C Xét     A  x  x  1   Bx  C  x  1 x 1 x 1 x  x 1 Đến đây ta có thể đồng hệ số giải hệ tìm A, B, C cho số giá trị riêng là x  1  A  ; x   C  ; x   B   …Bạn tự giải tiếp nhé 3  Kết ta I  ln  3 Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu” 1 dx dx d  x  1   I  0  x  1  x  12   x  1  3   x 1 x 1 x  x 1 Tính I phân tích x   Đặt x   t  dx  dt  x  t  Đổi cận   x  t  2 2   t  3t  3   t  3t   dt t 3 dt dt        2   31  t t  3t   t  t  3t  3 t t  3t  2   dt d  t  3t  3 dt        3  t t  3t  21 t     4   dt    t2  11 2t     ln  arctan   ln   t  3t  3 1 3 3x  x  x  Bài 15: Tính tích phân bất định: I   dx  x  50 Giải : Cách 1: Biến đổi số x  t  Đặt x   t   dx  dt 3 t     t  2  t    3x  x  x  Khi đó I   dx   dt 50 t 50  x  2 Cách 2: Đồng tử thức chứa nghiệm mẫu thức 10 Lop12.net Phân tích x  x  x   a  x    b  x    c  x    d  x    e … đồng để tìm a, b, c, d, e … Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo) Đặt P4  x   x  x3  x  Áp dụng khai triển taylor ta có     P4  2  P4 2  P4  2  P4  2   x  2   x  2   x  2   x  4 P4  x   P4  2   1! 2! 3! 4!  P4  x   66  149  x    48  x    29  x     x   66  149  x    48  x    29  x     x   I dx  x  50    66  x    66 49  x   49 50   149  x   149 48  x   48 49   48  x   48 47  x   47  48  29  x   29 46  x   1 Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I   46  47   x  2 45  x   45 46  dx C x2  dx x4  x  Giải: 1 Ta có  x 1 dx  x  x2  1  1 x2 x 1 x 1 dx   1   1   x   dx 1   x  x  1   1    dt  1   dx x x   x  t   Đổi cận    t   x   dt Đặt t  tan u  dt  1  tan u  du Khi đó I   1 t Đặt t  x  u  t   Đổi cận    t  u     dt  tan u  du   du  u   Khi đó I   2 1 t  tan u 0 Cách khác: 11 Lop12.net Ta có thể gộp hai lần đặt là x  1    tan u  1   dx  1  tan u  du … bạn đọc tự giải x x   x2 1 Bài 17: Tính tích phân: I   dx x 1 Giải: Cách 1: Chia tử và mẫu cho x  ta 1 1 2 x dx  x Biến đổi I   dx    x  x  2 x2 x  Đặt u  x  1    du  1   dx x x   Khi đó I  1 u du u  5/ 1 (5  2)(2  2) ln   ln 2 2 u 2 2 6 2    Cách 2: Phân tích x    x  1  x  x  x  x  x  và sử dụng đồng thức x2  Ax  B Cx  D   … đồng hệ số tìm A, B, C và D cách này dài và phức tạp x  x  2x  x  2x  nên không đưa Nhận xét: - Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực hiệu việc chuyển tích phân ban đầu thành tích phân đơn giản - Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là đa thức bậc hai P  x   x  còn mẫu là đa thức bậc 4: Q  x   ax  bx  cx  dx  e cho hệ số a  e  1      - Tích phân trên đưa dạng I   f  x     dx đặt t  x   dt     dx x x  x  x    Tương tự ta có thể giải bài toán này Tính tích phân sau I   x2 1 dx x4 1 1 1 2 1   x dx  x I dx Đặt u  x   du     dx  x x   1 x2   x   2   x x  1 (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau: 12 Lop12.net I x2  1 x2  5x    C dx ln x  3x   x  5x  1 x  3x  1 Bài 18: Tính tích phân sau: I   x3  x  1 dx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số dt Đặt t  x  1 dt  x dx  x3 dx  x  t  Đổi cận    x  t  1   31 t dt   t    41  20  20 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số dt  x3 dx Đặt t  x  x  t  Đổi cận    x  t  Khi đó I   x3  x  1 dx  1 1 1 t  31 4 Khi đó I   1  t  dt   1  4t  6t  4t  t dt   t  2t  2t  t    40 40 4  20 Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân 4 1  x  1 31 4 I   x  x  1 dx    x  1 d  x  1   40 20 Cách 4: Sử dụng phương pháp phân tích 4 Phân tích x  x  1  x  x16  x12  x8  x  1   x19  x15  x11  x  x  1  x 20 x16 x12 x x  31 Khi đó I   x  x  1 dx    x19  x15  x11  x  x  dx         2  20  20 0 Nhận xét: Mỗi cách giải có đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào người, theo tôi cách và cách là hiệu Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx  168 4 Giải: 6 Ta có I   x5 1  x3  dx   x 1  x  x dx 0 Cách 1: Đổi biến số 13 Lop12.net  dt   x dx Đặt t   x    x3   t  x  t  Đổi cận    x  t  1 6  t t8 t  t dt  t  t dt  t  t dt  1       3  1 0 0  Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân I  1    168 6 I   x5 1  x3  dx   x 1  1  x   1  x3  dx   x 1  x  dx   x 1  x  dx 0 0 1 1 1  x    1  x3  d 1  x    1  x3  d 1  x3    30 7  1  x  1   168 Cách 3: Khai triển 1  x  thành tổng các đa thức  x 1  x  cách này không khó khai triển phức tạp… tham khảo thôi Chú ý: Nếu ta đặt t  x3 dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo 2 Bài 20: Tính tích phân sau I   x  x  1 dx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Ta có x  x  1  x  x  x  1  x  x  x  x x x  34 Khi đó I    x3  x  x  dx       0  Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1 2 2 Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1  0 0  x  1 4   x  1 3  34 Cách 3: Đổi biến số x  t  Đặt t  x    dx  dt  x  t  Đổi cận    x  t  3  t t  34 Khi đó I    t  1 t dt    t  t  dt       1 1 Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần 14 Lop12.net du   x  1 dx u   x  1  Đặt   x2 v  dv  xdx   2  x x  34 x 2 Khi đó I   x  1   x  x  1 dx     x  x   dx       0 0  0 Bài 21: Tính tích phân sau: I   x  x  1 dx 1 Giải: Cách 1: Biến đổi số Đặt t  x   dt  dx  x  1 t  Đổi cận   x  t  Khi đó I 1 2 9 11 10  x  x  1 dx    t  1 t dt    t  2t  1 t dt   t  2t  t  dt 1 12 11 0 10 t t t 1  2       11 10  12 11 10 660  12 Cách 2: Phương pháp phân tích Phân tích x   x  1   x  1  Khi đó I 0 9 11 10  x  x  1 dx    x  1   x  1  1  x  1 dx    x  1   x  1   x  1  dx 1 1 12 1 11 10   x  1  x  1  x  1   2    11 10  1 660  12 Hoặc phân tích x theo  x  1 sau 9 x  x  1   x  1  1  x  1  Nhận xét:  x  1  x  1  2  1  x  1 11 10   x  1   x  1   x  1 9 - Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển  x  1 hay phương pháp tích phân phần bài 20 thì dài và phức tạp vì bậc  x  1 là lớn Bài 22: Tính tích phân: I   (1  3x )(1  x  3x )10 dx Giải: Cách 1: Đổi biến số Đặt t   x  x  dt  (2  x)dx  dt  2(1  x)dx  dt  (1  x)dx 15 Lop12.net  x  t  Đổi cận:   x  t  10 6t dt t 11 611 111 611 I   t10  dt     1 1 2 22 22 22 22 Cách 2: Đưa vào vi phân 1 10 ' 10 I   1  3x  1  x  x  dx   1  x  x  1  x  x  dx 20 11 1  x  x  611  10   1  x  x  d 1  x  x    1 22 20 22 Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (ĐHV – D 2000) Tính tích phân sau: I   3x dx x2  x  Đs: I  ln  Bài 2: Tính tích phân sau: I   x2  x  3x  1 x  x  1 dx HD: Chia tử và mẫu cho x ta 1 2 x I dx 1      x     x   1 x x    1   Cách 1: Biến đổi số đặt t  x   dt     dx x x   Cách 2: Biến đổi vi phân 1  dx  1 2 1   x    x I dx   dx   ln  x   1  ln  x     1  1  x  x 2      1    x    x     x    x   1 x x  x x       ln 10 Cách 3: Đồng thức x5 Bài 3: Tính tích phân sau: I   dx x 1 HD: 2 Đồng thức: x  x ( x  1)  x ( x  1)  x 16 Lop12.net 1 1 x   1   I    x3  x  dx   x  x  ln( x  1)]  ln  2 4  x 1 0 Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tính phân đơn giản Hoặc đặt x  tan t x dx Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau: I    x   HD:  x 1 1 1 ta I  Phân tích x  1  x  1     3 18 1  x   1  x  1  x   Hoặc đặt t   x Hoặc tích phân phần x2  21 13 dx   ln  ln Bài 10: Tính tích phân: I   4 x  x  3x   HD: Cách 1: Nhân tử và mẫu cho x đặt t  x Cách 2: Phân tích mẫu x  x  x    x  x  1 x   và sử dụng đồng thức Bài 5: Tính tích phân: I   2x  x  3x   x  x  12  dx  ln HD: Phân tích  x  x   x  x  12    x  1 x   x  3 x     x  x   x  x   Cách 1: Sử dụng đồng thức mẫu số là nghiệm đơn Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt t  x  x Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích x    x    x  x     x  x    x2  dx   Bài 6: Tính tích phân: I   44 x  x  5x  x  HD: Phân tích x  x  x  x    x  x   Cách 1: Đồng thức Cách 2: Chia tử và mẫu cho x và đặt t  x  Bài 7: Tính tích phân sau: I   1 Hoặc đưa vào vi phân x x dx x  1 HD: Cách 1: Đặt x  tan t Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân phần 17 Lop12.net u  x  Đặt dv  xdx   x    Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián Phân tích x   x  1  Khi đó I   1 x dx x  1   1 dx x  1  1 dx x  1 II TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân: I   x 1 3x  dx Giải: Cách 1: Biến đối số  u3   x  Đặt u  3x    dx  u du   u  x  Đổi cận  3 u   x  u3  1 2  46 1  u5 Khi đó I   u du    u   udu    u  2u  du    u   31 3 u  15 Cách 2: Biến đối số u 1   x  Đặt u  3x    dx  du   u  x  Đổi cận  3 u   x  18 Lop12.net u 1  53 1 2    46 18 8u2 18 3u  3   3u   Khi đó I   du   du    u  2u  du   31 91 91 9   15 u3 u   Cách 3: Đưa vào vi phân Phân tích x    x  1  3 Khi đó 7 7  3x  1  3 3 dx 23  dx  3x  dx  3 d  x  1 I 3 x d x x      3           3 3 9 x x x    3 0 0 7 1 46 3   3x  1   x  1  15 15 0 Cách 4: Tính phân phần u  x  du  dx   Đặt   1 dv dx  v x       3x   Khi đó I  x  1 x  1 2 7 x    13 dx   x  1 3x  1    3x  1 d  3x  1 bạn đọc tự giải   3x  60 Bài 2: Tính tích phân: I   1 x3 x2  dx  HD: C1: Đặt x  tan t C2: Phân tích x  x  x  1  x u  x  C3: Đặt  x dx dv  x 1  C4: Đặt x  t C5: Phân tích x dx  x xdx   x  1  1 d  x  1 Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân sau: I  x dx x2  Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số 19 Lop12.net sin tdt    dx  với t   0;  x  cos t sin t cos t  2   t  x    Đổi cận   x  t        sin t 3 sin t     dt   dt  t  Khi đó I   cos t dt   (vì t   ;   sin t  )  12 4 3  cos t   sin t  4 4 cos t Cách 2: Phương pháp biến đổi số Nhân tử và mẫu cho x ta 2 dx xdx I    2 x2  x x 1 x Đặt x  x2  t  Đặt x   t    xdx  tdt  x  t   Đổi cận   x  t  Khi đó I  tdt  t t  1  dt du   tan u  1 du Đặt t  tan u  dt  cos u t 1   u  t   Đổi cận  t  u     tan u   Khi đó I   du   du  u   12  tan u   3 Cách 3: Phương pháp biến đổi số x2  t   Đặt x   t   … tương tự cách  xdx  dt  Cách 4: Phương pháp biến đổi số 1 dx Đặt x    t    dt t x x   20 Lop12.net  t   x   Đổi cận    x  t   2 Khi đó I    dt  t2  dt   t2 Đặt t  sin x  dt  cos xdx     dx   du  u    Khi đó I    12    sin u 6 2 Cách 5: Phân tích    x  1  x   Khi đó I   cos u  2 x2  x  dx   dx … bạn đọc tự giải 2 x  x x 1 x 2   dx I1 I2 Bài 3: (ĐH – A 2003) Tính tích phân: I   dx x x2  Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số x2  t  Đặt t  x     xdx  tdt t   x  Đổi cận   t   x  4 dt dt  t   dt Khi đó I       ln   ln 43 t 2 t 2 t 2 3 t 4 Cách 2: Phương pháp biến đổi số 1 Đặt x   dx   dt t t 1/ 1/ 1/ d (2t ) 1 Khi đó I       ln 2t  4t   ln 1/ (2t )2  1/ 4t  1/ Cách 3: Phương pháp biến đổi số  Đặt x  tan t  dx  1  tan t  dt với  t  và x   cost dt 21 Lop12.net