Giải bài toán tích phân bằng nhiều cách

(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH) : http://www.vietmaths.com Bỉm sơn 13.03.2011 GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I   x3 dx x2  Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt x  tan t  dx  1  tan t  dt    x  t   Đổi cận   x  t  Khi   0   0 I   tan tdt   tan t  tan t   1 dt   tan t  tan t  1dt    tan tdt     tan td  tan t    0 d  cos t  cos t   tan t    ln cos t   ln  0  Nhận xét: Đối với tích phân dạng I   R  u, u  a  du, u  u  x  ta đặt u  a tan t  Cách 2: Phương pháp tích phân phần  du  xdx u  x   Đặt  ln  x  1 xdx    dv  v  x2    Khi I  x ln  x  1   x ln  x  1 dx  3ln  2  ln  x  1 d  x  1  J Tính J   ln  x  1 d  x  1  d  x  1 u  ln  x  1 du    Đặt  x2    dv d x   v  x    1 Khi I  3ln   x  1 ln  x  1    d x     ln   0  Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng phương pháp Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I   P  x Qn  x  dx   f  x  Q'  x  Qn  x dx u  f  x   du Đặt   Q'  x  dx v dv  n Q  x  Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số ' Nhận xét: Ta có x  x x  x  1  x từ ta định hướng giải sau Phân tích I   x3 dx  x2   x2 x dx x2  x  t   Đặt t  x    dt  xdx    x  t  Đổi cận   t   x  4  t  1  1 dt  1   dt   t  ln t    ln   21 t 21 t Cách 4: Phân tích đưa vào vi phân 3 x2 1  x  1  1   2   I   d  x  1   d x   1  d  x  1   x 1 x 1 x 1 0 Khi I  3 d  x  1 x2 3 0 d  x  1  0 x2    ln  x  1   ln Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản 3 x3 x  x d  x  1 3  I   dx    x      ln  x  1   ln dx  2 2 2 1 x x x    0   0  2 Nhận xét: Đây tích phân hàm phân thức mà có bậc tử lớn bậc mẫu ta chia đa thức để tách thành tổng tích phân phương pháp tối ưu Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất chia đa thức) Ta có x  x  x  1  x Khi I   x3 dx  x2  x  x2  x  dx   0  x   2  d  x  1 x 1  3  ln  x  1   ln 2 2 Bài 2: Tính tích phân bất định: I   x3 x3 dx    x  1 x   dx x2  3x  Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x  x  x  x     x  3x     x  1  Khi x  x  3x     x  x     x  1  3x I  dx   dx x  3x  x  3x    x2 1 dx dx    x      x  ln x     x x x x x 2 2              x x2   x  ln x   ln x   ln x   C   3x  8ln x   ln x   C 2 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích x  x  x  x     x  1 x  1   x  3  x  x  x     x  1  x    3   x  3  x 2 x  x     x  1 x     x  1   x   Khi x  x  3x     x  1  x    3   x  3 3x I  dx   dx x  3x  x  3x   2x  x2    x 3    x  ln x   ln x  x   C dx dx   x x x 2      Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x  x  x  x     x  x    x  x  x  3x  2   x2  3x    x  x3 dx   dx Khi I   x  3x  x  3x  7x  x2    x  3 dx   dx   x  I1 x  3x  Tính I1 phương pháp đồng thức… Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản x3 9x   9x   I dx    x   dx dx    x  3 dx   x  3x  x  3x   x  3 x  2   I1 Tính I1 phương pháp đồng thức… x3 x3 Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I   dx   dx x  2x 1  x  1 Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số du  dx Đặt u  x     x  u 1 Khi I    u  1 u2 du    u  3u  3u  u2  du u du       3u  3ln u   C  2   u u u  u  với u  x  Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x  x  x  x  1   x  x  1   x  1  x  x  x  1   x  x  1   x  1  x3 dx   dx Khi I   x  2x 1 x2  2x 1  x2    x      x  3ln x   C dx  x   x  1  x 1  Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật nhảy tầng lầu Phân tích x  x  x  x  1   x  x  1    x   2 x x x x x 1         x  2     x dx   dx Khi I   x  2x 1 x2  x  1  2x  x2  dx dx   x  2    x  ln x   ln x  x   C   x 1  x  2x 1 2  Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x  x  x  x  1   x  x  1  3x  x  x  x  1   x  x  1  3x  x3  dx dx  x2  2x 1 x2  2x 1 x2 3x     x  dx   dx   x  I1 x  2x 1 Tính I1 phương pháp đồng thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng tích phân đơn giản   x3 x3 I dx   dx x      dx  x  2x  x   x  1   x  1   x   x  3ln x   C x 1 Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân phần u  x du  3x dx   dx   Đặt  dv  v    x  1 x 1   Khi Khi I   x3 x2 x3 x2   dx   dx  3  3 x 1 x 1 x 1 x 1  x2  x3 x3     3  x      dx   x   ln x   C  x 1 x 1 x 1    I  Bài 4: Tìm nguyên hàm: I   x dx 39 1  x  Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 Phân tích x  1  x   1  1  x   1  x   1  x   2(1  x)       39 39 37 38 39 1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  x2 I 1  x  37 dx  2 1  x  38 dx   1  x  39 dx  1 1   C 36 37 36 1  x  37 1  x  38 1  x 38 Cách 2: Đặt t   x  x   t  dx   dt 1  t  dt 1 1 1  I      39 dt   38 dt   37 dt    C 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u  x du  xdx   dx   Đặt  v dv  38 39   38  x  1 1  x    x 1 Khi I  x   dx … đến bạn tự làm 38 19  x  138 38  x  1 Bài 5: Tìm nguyên hàm: I   x dx ( x  1)10 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 3 Sử dụng đồng thức: x   x  1  1   x  1   x  1   x  1  x3 3      10 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 Khi dx dx dx dx I   3  3   ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  x  ta có: x  t  nên dx  dt  t  1 (t  3t  3t  1)dt   t 7 dt  3 t 8dt  3 t 9 dt   t 10 dt t10 t10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9 Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u  x du  3x dx   dx   Đặt  dv  v 10    x  1  x  1   Khi 1 x2 I   x3  dx   x  19  x  1  A dt  I1 đến rùi ta tính I1 phương pháp tích phân phần phân tích x   x  1    x  1 x  1  Nhận xét : - Đối với 3, mà ta sử dụng phương pháp đồng thức giải hệ thật nan giải phải không, thể mà lựa chọn phương pháp mà hiệu nhanh đích Qua 3, ta ý P  x - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I   dx đặt t  x  a phương pháp hiệu n  x  a - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I   P  x Qn  x  dx   f  x  Q'  x  Qn  x dx ta sử dụng phương pháp tích phân phần nên làm bậc  x  a  n  1, u  f  x   du Đặt:   Q'  x  dv  Q n x dx v    Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I   dx  x  x3 dx  x 1  x  HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân tử mẫu cho x I  dx  x  x3 3 dx  xdx  x 1  x   x 1  x  2 x2  t   Đặt t   x   dt  xdx   Cách 3: Biến đổi số Đặt x  tan u … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử  1  x  – x Khi I   dx  x x 0  x dx   Bài 12: Tính tích phân sau: I   dx  x  d 1  x  1 x  ln x  ln  ln x  2 0 dx x  x3 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích:  x   x 1 1 x2   x2 1 x2   x2 x        3  2 x x 1 x ( x  1) x x( x  1) x x( x  1) x x x 1   Khi 2 1 x 1  1 2 I   dx   dx   dx     ln x  ln x     ln  ln x 2  2x 1 x 1 x 1 Cách 1.2: Phân tích:  x   x  x  1  x 1  x     2 x4   x x   x  x x  x2 x        x 3  x x ( x  1) x ( x  1) x 1 x x 1 x x 1   tự làm Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích phương pháp biến đổi số 2 1 dx   2 dx Phân tích I   x x x 1 x 1 x      x   t Đặt t    x dx   dt  t2   x  t  Đổi cận   x  t  1 t3 t2 dt   dx đến lại trở thành 1, bạn mà làm Khi I    t 1 t    1   1 t2  t2  Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân tử phương pháp đổi biển số 2 x I dx   dx x 1 x 1 x x     dt  xdx  x  t  Đổi cận   x  t  Đặt t  x   t 5  1 1 1 1 Khi I       ln   dt       ln  ln 2  2   t  1 t 1 t   t 1 t 1  2 t  t  1   Hoặc bạn đặt u  t  phân tích  t   t  1 đồng thức dt Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân tử phương pháp đưa vào vi phân 2 1 x I dx   d x2     2 x x 1 x 1 x 1 x x           2 2 x 1  x 1 1 2 d x 1   d x 1   2 d x2     2 x x 1 21x x x 1            1 dx   dx ôi đến lại thành cách rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… x x x 1   Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng thức A B C Dx  E đến đồng thức hai vế để giải hệ tìm I  A, B, C , D, E nhiên     x x x 1 x  x  1 x việc giải hệ phức tạp thể trường hợp ta nên làm theo cách 1, cách cách hiệu Cách 6: Đặt x  tan u  dx   tan  1 dt … bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau: I   dx x 1 Giải: Nhận xét: x    x  1  x  x  1 Cách 1: Dựa vào nhận xét ta sử dụng đồng thức:  x   x  1  x   x  1 x  1 Khi I   x2 x 1 dx   dx  I1  I x 1 x  x 1 1 d  x  1 Tính I1 cách đặt t  x  I1   x3  1  x  1  (kĩ thuật nhảy tầng lầu) 2 1 x 1 dx 2x  1 Ta có I   dx   dx   2 x  x 1 20 1 x  x 1 x   2  Cách 2: Đồng thức A Bx  C Xét     A  x  x  1   Bx  C  x  1 x 1 x 1 x  x 1 Đến ta đồng hệ số giải hệ tìm A, B, C cho số giá trị riêng x  1  A  ; x   C  ; x   B   …Bạn tự giải tiếp 3  Kết ta I  ln  3 Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu” 1 dx dx d  x  1   I  0  x  1  x  12   x  1  3   x 1 x 1 x  x 1 Tính I phân tích x   Đặt x   t  dx  dt  x  t  Đổi cận   x  t  2 2   t  3t  3   t  3t   dt t 3 dt dt        2   31  t t  3t   t  t  3t  3 t t  3t  2   dt d  t  3t  3 dt        3  t t  3t  21 t     4   dt    t2  11 2t     ln  arctan   ln   t  3t  3 1 3 3x  x  x  Bài 15: Tính tích phân bất định: I   dx  x  50 Giải : Cách 1: Biến đổi số x  t  Đặt x   t   dx  dt 3 t     t  2  t    3x  x  x  Khi I   dx   dt 50 t 50  x  2 Cách 2: Đồng tử thức chứa nghiệm mẫu thức 10 I  3 t tdt   t dt  t   8 3 3 Cách 3: Phương pháp biến đổi số  Ta có I     sin x  sin x cos x sin x  sin x cot xdx dx   sin x sin x  Nhận xét: Hàm dấu tích phân hàm lẻ cos Đặt t  sin x  dt  cos xdx   t   x    Đổi cận   x  t    3 1 3 t t t dt dt  Khi I    t3 t4 3 2 1 dt  u    u du  2 t t t t  u    Đổi cận   u   t   3   0 3 u4 Khi I   u du   2 3 3 3 Đặt u   3 Bài 15: ( Đề 104 IVa) Tính tích phân sau: I   sin  dx x cos x Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhờ đồng thức sin x  cos2 x  Khi 3 3 3 3 2 8 dx sin x  cos x     4 I  dx     dx   tan x  cot x  2 2   sin x   sin x cos x  sin x cos x   cos x 8 8 Cách 2: Sử dụng công thức nhân đôi 53 3 d  2x dx dx  4  2  2 cot 2 x 4 I  2 2   sin x cos x  sin x  sin x 8 8 Cách 3: Phương pháp biến đổi số 1  tan x  t dx Đặt t  tan x  dt    … sin x tan x cos x t 3 3 3  Bài 16: Tính tích phân sau: I   cos xdx sin x  cos x Giải: Cách 1: Đồng thức Ta phân tích: cos2 x   A sin x  B cos x  (sin x  cos x)  C  sin x  cos x   A    3B  C      ( 3B  C ) cos x  ( B  A) sin x cos x   A  C  sin x   B  A    B  A C     C    cos x cos x    sin x  4 sin x  cos x 4(sin x  cos x)   1  dx 13 sin x    Khi I   cos x   sin x  cos x 4   I1  Tính: J  dx  sin x   I1   20 cos x  x   ln tan      2 6 sin  x   3  dx  1 3ln  x  I   cos x  sin x  ln tan      8 2 60 4 Cách 2: Tích phân liên kết 54  Sử dụng tích phân liên kết J   cos xdx sin x  cos x  I  J  1 3ln   Giải hệ  ln  I   I  J    cos xdx sin xdx tích phân liên kết thường J   Tổng quát: I   A sin x  B cos x A sin x  B cos x    cos x dx Bài 17: Tính tích phân sau: I    sin x Giải: Cách 1: Đưa vào vi phân cos x cos x.cos4 x   4 Phân tích   1   tan x  tan x  tan x 4 sin x sin x  tan x  Khi     cos x dx    tan x  tan x  dx   tan xdx   tan xdx  sin x    4 4      I I1 I2 Tính           I1   tan xdx    tan x  tan x    tan x  1  1 dx   tan  tan  1 dx    tan x  1   dx   2   tan xd  tan x   tan x  x     4   Tính I    tan x  1  1 dx    tan x  1 dx   dx   tan x  x  … tự giải     4 4 Cách 2:    2 cos x  cos x 1  sin x  cos x  cos x sin x  cos x sin x Phân tích    cot x  2cot x  cos x 4 sin x sin x sin x sin x Khi 55    2 I   cot x dx   cot xdx   cos xdx sin x    4    4 12      cot xd  cot x      1 dx   1  cos x  dx 2     sin x   cot x 1 sin x   5 23      cot x  1   x     2   12  Cách 3: Nhận xét: Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn sin va cos nên ta đặt t  tan x cách dài phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé!  Bài 18: Tính tích phân sau: I    cos3 x sin x.cos5 xdx Giải:  I    cos x cos3 x.sin x.cos xdx cos x   t Đặt  cos x  t   cos x  t   sin x.cos xdx  2t dt   t  x  Đổi cận   t   x  3  t t13  12 Khi I   t 1  t  t dt    t  t12  dt       13  91 0 Hoặc : Đặt  cos3 x  t Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân   0 I    cos3 x cos x.sin x.cos xdx    cos x cos3 xd 1  cos3 x        cos x 1  cos x   1d 1  cos x    0     cos x 1  cos x  d 1  cos x     cos xd 1  cos x  56  sin x.cos x dx  cos x Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1: Đổi biến số Phân tích   sin x.cos x sin x.cos x dx   dx cos cos  x  x 0 I dt   sin xdx Đặt t   cos x   cos x  t    t  x  Đổi cận   t   x  Khi I  2   t  1 t 2  t2 1  dt    t    dt    2t  ln t t 2 1 2   ln  1 Cách 2:    1  cos x   1 sin x.cos x sin x.cos x  d cos x I dx   dx      x x x cos cos cos    0     cos x     1  cos x   ln  cos x   2ln   d  cos x    sin x   cos x   0 0 Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  ta đặt t  cos x  Tổng quát: I    a sin x.cos x dx ta đặt t  b  c.cos x t  cos x b  c.cos x Bài tập tự giải có hướng dẫn:  tan x 10 Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau: I   dx  ln   cos x HD: Cách 1: Biến đổi cos x  cos x  sin x  1  tan x  cos x   Đặt t  tan x Hoặc sử dụng công thức cos x   tan x  tan x Tổng quát: 57  a tan x dx với a, b    b cos x  I   Biến đối b cos x  b  cos2 x  sin x   b 1  tan x  cos x đặt t  tan x Mở rộng  a tan x dx với a, b, c, d    2  b sin x  c sin x cos x  d cos x I Biến đổi b sin x  c sin x cos x  d cos x   b tan x  c tan x  d  cos2 x đặt t  tan x  dx cos x Bài 2: (ĐH AN– 1998): Tính tích phân sau: I   Cách 1:        4 dx dx  I   1  tan x  d  tan x    tan x  tan x   cos x cos x cos x 0 Cách 2: Biến đổi số dx dx dx    1  tan x  2 cos x cos x cos x cos x Đặt t  tan x Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần  u  cos x  dv  dx  cos x I  Bài 3: (Đề 84.IVa) Tính tích phân sau: I     I   dx   sin x  dx sin x  cot x    1  cot x  d  cot x    (cot x  )   sin x  4 d  cot x    Bài 4: Tính tích phân sau: I   cos x.cos 2 xdx   HD: C1: Hạ bậc biến đổi tích thành tổng C2: Tích phân liên kết 58  Bài 5: Tính tích phân sau: I    sin x  sin x  cos x  dx   HD:  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x  sin x   sin x  cos x   1  sin x   4cos  x   4  Từ ta có cách sau Cách 1:  Biến đổi I     sin x  sin x  cos x  dx  cos x  1  sin x  dx đặt t   sin x t  sin x biến đổi vi phân trực tiếp  I   sin x  sin x  cos x  dx    cos x 1  sin x  dx   d 1  sin x  1  sin x  đặt t  tan x Cách 2:  Biến đổi I     sin x  sin x  cos x  dx    cos x  sin x  cos x  sin x   sin x  cos x    cos x  sin x  dx  sin x  cos x  dx   Đặt t  sin x  cos x biến đổi vi phan trực tiếp Cách 3:  Biến đổi I   Đặt t  x    sin x  sin x  cos x  dx   cos x dx   cos  x   4    Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân: I    sin x dx cos x HD: sin x 1 dx  tan x dx  tan x 1  tan x  d  tan x  2 cos x cos x cos x 42  Đs: 15 Ta có  Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân: I    sin x  cos x dx sin x  cos x HD: 59  I         d cos  x    sin  x        4   dx     dx   ln cos  x            cos  x   cos  x   4 4     ln   Bài 8: Tính tích phân sau: I   tan xdx HD: Đặt t  tan x  dt  (tan x  1)dx x   t   Đổi cận:    x   t    1 4 t t  t dt  13   dt   t4  t2  1  Vậy I   tan xdx      t    du    15 t 1 5 0 0 t 1 0  Bài 9: Tính tích phân sau: I   cos5 xdx  15  sin x cos x dx  cos x Bài 10: Tính tích phân sau: I   HD:  2 cos x t 1 1  ln I   d 1  cos x    dt   t  ln t   2  cos x 21 t 2 Bài 11: Tính tích phân sau: I   tan xdx HD:   I   tan xdx   tan x sin xd  tan x    tan x 1  cos x  d  tan x    tan x 1  d tan x      tg x  tan x   1 d  tan x   tan x  tan x  x  C   tan xd  tan x     tan x  3sin x  cos x dx 2 3sin x  cos x Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân sau: I   Đs: I    ln 60 V BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ Bài tập giải mẫu:  Bài 1: (ĐH TL2001) Tính tích phân sau: I   ln 1  tan x dx Giải: Cách 1: dx   dt   Đặt x   t    tan t   1  tan x   tan   t     tan t   tan t     x   t  Đổi cận  x    t          dt   ln 2dt   ln 1  tan t  dt  (ln 2)  I  I  ln Khi I   ln     tan t  0 Cách 2: Ta có      sin x  cos x  I   ln 1  tan x dx   ln   dx   ln  sin x  cos x  dx   ln  cos x  dx  cos x   0 0       ln cos   x  dx   ln  cos x  dx 4  0  J       1       Tính J   ln cos   x  dx  ln  dx   ln cos   x  dx  ln x   ln cos   x  dx  ln  K 2 4  4   0 0   K Đặt t    x   dt  dx   Khi K   ln  cos t  dt   ln  cos x  dx 0  Khi I  ln Cách 3: Tích phân phần 61 u  ln 1  tan x  Đặt  …Bạn đọc tự giải dv  dx Bài 2: Tính tích phân: I   ln 1  x   x2 dx HD:  Đặt x  tan t ta I   ln 1  tan t dt ;   đặt t   x ta I   4 0 ln  tan u du  ln 0 du  I Bài 3: Tính tích phân sau: I   ln( x   1) x 1 x 1 dx Giải: Cách 1:  dt  x  dx   t  1 dt  dx Đặt t  x   1   x   t  12   x  t  Đổi cận    x  t  Khi 3 (t  1) ln t ln t    I  2 dt dt td t t  ln  ln 2 2 ln ln ln     2 (t  1)  t  t Cách 2: Đặt t  x  bạn đọc tự giải  xdx  sin x Bài 4: Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1: Đặt t   x     Cách 2: Biến đổi  sin x   cos  x    2cos  x   , tích phân phần 2 4        1 3 I   x.sin x.cos xdx    xd  cos x     x cos x   cos xdx  30 3 0  62   sin x    1     1  sin x  d  sin x     sin x    30 3 0 Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau:  I 1  sin x  e x  cos x  dx   o  ex cos x  e x sin x dx  e  cos x dx   Giải: Cách 1:   x   x  e dx  sin x x sin x e dx sin x e dx   e x dx   e x dx   x x x x x cos cos cos cos     0 0 cos   I2  Ta có: I   I1  e x dx x 0 cos 2 u  e x  du  e x dx   Đặt: dv  dx   x v  tan x   cos   Áp dụng công thức tính tích phân phần      2 e x dx x x x  e x tan   tan e x dx  e   tan e x dx I1   x 20 2 cos 0    x x cos 2 sin sin x 2 e x dx  tan x e x dx Tính: I   e x dx   0 x  cos x cos 2 Tính: I1  Vậy I  e Cách 2:   Ta có: I    e 2cos   x x x   e sin x x x dx   e x d (tan )   e x tan dx  cos x 2 0 dx      x x x x2  e x tan   e x tan dx   e x tan dx  e x tan  e2 20 2 0 63 Sử dụng định nghĩa: Ta có 1  sin x  e x  cos x x x ' ' e x sin cos e ex x x  x x x x '  x x 2     tan e   tan  e  tan  e    e tan  x x x 2 2   cos 2 cos 2 cos 2 2 x Hoặc ta biến đổi: x x  sin  cos   1  sin x   x x 2 1   1  tan  tan  x  cos x 2 2 cos  Vậy I   x x  x   tan dx   tan e dx  0 2 20  I1  x Tính I1   tan e x dx e2   Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I      dx ln x ln x  e  Cách 1: 1 Đặt f  x    ln x ln x ' ' x 1  ln x   x  ln x    x  ln x  Ta có f  x       F  x  2 ln x ln x ln x ln x ln x Khi e2  x e2  e2     I    dx e  ln x ln x  ln x e e  Cách 2: e2 e2 e2 e2 e2 dx x e2 dx dx     I    dx   xd        ln x  ln x e ln x e ln x  ln x  e ln x e  ln x e e  Bài 7: Tính tích phân sau I   x.sin x cos xdx Giải:   1 I   x.sin x cos xdx   x  sin x  sin x  dx 20 40 du  dx u  x  Đặt:   dv   sin x  sin x  dx v    cos x  cos x   64  Khi I    1  1  x  cos x  cos x     cos 3x  cos x dx   3  03    1 1 x  1     cos x  cos x    sin x  sin x    2   18  Cách 2: Đặt x    t … bạn đọc tự giải Chú ý: Qua toán ta có nhận xét Dựa vào đạo hàm ta tính Nguyên hàm dạng đặc biệt Dạng 1: Nguyên hàm hàm số dạng tích thương Dạng Tổng Cấu trúc hàm số ' f  x   u '  v'   u  v  Nguyên hàm F  x  u  v Hiệu f  x   u '  v'   u  v  ' F  x  u  v Tích f  x   u ' v  v ' u   uv  ' F  x   uv Thương u ' v  v'u  u  f  x    v2 v ' F  x  u v Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa ex Đặc trưng ex Nguyên hàm F  x   u  x  ex Hàm số (đạo hàm) F  x   u '  x   u  x   e x  f  x  e x F  x   u  x  e x F '  x   u '  x   u  x   e  x  f  x  e ax b F  x   u  x  e ax b F '  x   u '  x   au  x   e  ax b  f  x  e F  x   u  x  ev  v  v x F '  x   u '  x   v '  x  u  x   e    f  x  v v Ví dụ: Tính tích phân sau: I   x2ex  x  2 ' dx Giải: Cách 1: Tích phân phần u  x e x du  xe x  x   dx   dx   Đặt  du  v    x  2 x2   65 Khi I   x2 e x  xe x dx x  0  I1 u  x du  dx Tính I1   xe x dx Đặt   x x dv  e dx v  e Khi I1  xe x 1   e x dx   xe x  e x  x Vậy I   xe   xe x  e x   x2 Cách 2: Phân tích x   x  x     x      x     x    Khi I   x2  x  2 x e dx    x  2   x  2   x  2 1 ex e x dx   e x dx   dx  4 dx  x  x  0    J Tính J làm xuất tích phân mà làm triệt tiêu tích phân Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau: I   x e2 x  x  1 dx HD: Sứ dụng tích phân phần 1 x e2 x   I dx   x e2 x d    x 1  x  1 1 1 x2 e2 x e2 e2 e2   d  x e x      xe2 x dx     xd  e x     xe2 x   e x dx x 1 0 x 1 2 e2 e2 x   2 e2  e        2  x x      Bài 2: Tính tích phân sau: I    x tan  x   tan    tan 2  8   Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I   x  1 e x  x  1 dx    Bài 4: Tính tích phân sau: I   esin x 1  x cos x  dx  e 66 e2   Bài 5: (ĐHTN – 1996) Tính tích phân sau: I    2ln x    2e  2e ln x  e  LỜI KẾT: Đây thực chưa phải toán cách giải hay, chưa có nhiều tập phong phú đa dạng, song góp phần nhỏ bé cho bạn Tôi hi vọng bạn thích thú tìm thêm tập hay cách giải đặc sắc hơn… Tuy nhiên lực kinh nghiệm thiếu Rất mong bạn học sinh bạn đồng nghiệp góp ý kiến, bổ sung thêm giúp bạn hoàn thiện … Xin chân thành cảm ơn Góp ý theo địa Email: Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa MỤC LỤC I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ……………………………………………… Trang II TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ……………………………………………………… Trang 18 III TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT…………………………………… Trang 26 IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Trang 35 67