Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp giải toán cực trị đại số 8

Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán cực trị đại số 8Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán cực trị đại số 8Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán cực trị đại số 8Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán cực trị đại số 8Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán cực trị đại số 8Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán cực trị đại số 8

Trang 1

''Phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề" Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp tục khẳng định "Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành

nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh''.

Định hướng này đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục

điều 24 mục II đã nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh"

Ở trưòng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hìnhthành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, cácđịnh lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặcbiệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạyhọc Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh THCS, có thể coiviệc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán

Nguyễn Thị Huệ 1 Trường THCS Hạc Trì

Trang 2

Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vữngchắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làmbài tập thì việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quantrọng của ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng.

Do đó việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quátrình giải toán là rất cần thiết và không thể thiếu được

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trườngTHCS tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tếdạy học tôi thấy: trong chương trình Toán THCS "Các bài toán vềcực trị trong đại số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ýnghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này.ỞTHPT để giải quyết các bài toán về cực trị đại số người ta thườngdùng đến "công cụ cao cấp" của toán học là: đạo hàm của hàm số

Ở THCS, vì không có (hay nói chính xác hơn là không được phépdùng) "công cụ cao cấp" của Toán học nói trên, nên người ta phảibằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữuhiệu và phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giảiquết các bài toán loại này Chính vì vậy, các bài toán cực trị đại

số ở THCS không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏingười học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợpkiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống

Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 những năm qua tôi nhậnthấy: phần "Các bài toán cực trị trong đại số" là một trong nhữngphần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trườngTHCS Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng tôi và nhữngtrường tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú với loạitoán này, bởi lẽ các bài toán về cực trị đại số ở trường THCS

Trang 3

không theo một phương pháp nhất định nên các em rất lúng túngkhi làm toán về cực trị, các em không biết bắt đầu từ đâu và đitheo hướng nào Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toáncực trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thếnào để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toánnày" Với trách nhiệm của người giáo viên tôi thấy mình cần giúpcác em học tốt hơn phần này.

Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảngdạy của bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thửnghiệm, được sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp Đặc biệt lànhững bài học sau những năm ở trường sư phạm Tôi mạnh dạnchọn nghiên cứu đề tài: "Hướng dẫn học sinh THCS giải các bàitoán cực trị trong đại số"

Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khigặp các bài toán cực trị đại số, giúp các em học tốt hơn Đồngthời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo,nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khảnăng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếpnghĩ khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quảcao nhất, tốt nhất

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

2.1 Đối với học sinh: Để Thống kê năng lực tiếp thu bàicủa học sinh tôi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ramột hiện tượng nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhưngmang tính chất học vẹt chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy

để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra một

Trang 4

số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết chứng minh như thếnào.

Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh trong 2 lớpc th c tr ng trên tôi ã i u tra h c sinh trong 2 l pực trạng trên tôi đã điều tra học sinh trong 2 lớp ạng trên tôi đã điều tra học sinh trong 2 lớp đã điều tra học sinh trong 2 lớp đã điều tra học sinh trong 2 lớp ều tra học sinh trong 2 lớp ọc sinh trong 2 lớp ớc thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh trong 2 lớptôi d y k t qu thu ạng trên tôi đã điều tra học sinh trong 2 lớp ết quả thu được: ả thu được: đã điều tra học sinh trong 2 lớpược:c:

Lớp Sỉ số Giỏi SL % Khá SL % TB Sl % Yếu- kém SL %

Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ

hồ, một sô học sinh làm được chỉ nằm vào một số học sinh giỏi Số còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giảithích bài toán như thế nào

khá-2.2 Đối với giáo viên :

Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vìngười giáo viên là người chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉtuân theo SGK mà dạy bài toán này đòi hỏi học sinh phải tư duytốt và phải thâu tóm được kiến thức đã học để tận dụng vào làmbài tập

Đôi khi giáo viên áp đặt gò bó các em phải thê này, phải thế

nọ mà không đưa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề

Về phí học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạngtoán mà các em rất ít được gặp chính vì lí do đó mà người thầyphải tìm ra PP phù hợp nhất để học sinh có hứng học, bước đầuhọc sinh làm quen với dạng bài toán “ Toán Cực Trị” nên cảmthấy mơ hồ phân vân tại sai lại phải làm như vậy Nếu khôngbiến đổi thì có tìm được kết quả không Từ những băn khoăn đócủa học sinh giáo viên khẳng định nếu không biến đổi như vậy thìkhông trả lời yêu cầu của bài toán

Trang 5

Sau đây tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm hướng dẫn họcsinh giải các bài toán cực trị trong đại số

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I - CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

1 Khái niệm về cực trị của một biểu thức

Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộcmiền S nào đó xác định Nếu với bộ giá trị của các biến(x0, y0, .z0)  S mà ta có: P(x0, y0, .z0)  P(x, y, ., z) hoặcP(x0, y0, .z0)  P(x, y, ., z) thì ta nói P(x, y, ., z) lớn nhấthoặc nhỏ nhất tại (x0, y0, z0) trên miền S

P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, z0)  S còn gọi

là P đạt cực đại tại (x0, y0, .z0) hoặc Pm a x tại (x0, y0, .z0).Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0, y0, z0)  S còn gọi

là P đạt cực tiểu tại (x0, y0, z0) hoặc Pm i n tại (x0, y0, z0)

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi làcác cực trị của P trên miền S

2 Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức

Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, ., z) trênmiền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:

Trang 6

- Chứng tỏ rằng P  k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị củacác biến trên miền xác định S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên.

VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:

Ta có x2  0 ; (x - 2)2  0 nên A  0

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0

Lời giải trên có đúng không?

Giải :

Lời giải trên không đúng Sai lầm của lời giải trên là mớichứng tỏ rằng A  0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy radấu đẳng thức Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồngthời:

Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:

Trang 7

a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bấtđẳng thức.

b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:

* a2  0, tổng quát: a2 k  0 (k nguyên dương)

11

 (Xảy ra dấu đẳng thức  a = b)

II - CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)

Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách thamkhảo) tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất vềcác bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hướng dẫn học sinhtìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó.Sau đây là một số dạng cơ bản thường gặp:

Trang 8

DẠNG 1 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ

LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.

Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

A(x) = x2- 4x+1

Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ

Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần

phải biến đổi về dạng A(x)k (k là hằng số) với mọi gía trị củabiến và chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng thức

Lời giải : A(x) = x2- 4x+1

biến đổi đưa B(x) về dạng B(x) k (k là hằng số) với mọi giá trịcủa biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy

ra đẳng thức

Trang 9

2 5

2 2

2 5

Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)=

5

9

, khi x =

-5 2

Ví dụ 3: (Tổng quát)

Cho tam thức bậc hai P = ax2 +bx + c

Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0

Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0

Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải

biến đổi sao cho P = a.A2(x) + k Sau đó xét với từng trường hợpa>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất

Trang 10

Lời giải :

P = a.A2(x) + k = a (x2 +

2 2

44

2 2

a

b c a

b a

b x x

DẠNG 2 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ

TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO:

Trang 11

(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 + x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất của A?

Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 + x + 1 bằng

4

3

với x = -

2 1

Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng

16

9 4

Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của

x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9

Hướng dẫn giải :

Gợi ý: - Hãy viết biểu thức dưới dạng A2(x) + B2(x)  0

- Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏnhất của biểu thức bằng bao nhiêu?

Đáp số : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

DẠNG 3 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ

TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ

TUYỆT ĐỐI

Trang 12

Ví dụ6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A =  x - 1 + x - 3

Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng

ta phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đốicủa một biểu thức

A Nếu A  0

A =

- A Nếu A  0

Cách 1 : Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A

trong các khoảng nghiệm So sánh các giá trị của A trong cáckhoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải

+ Trong khoảng x < 1 thì x - 2 = - (x -2) = 2 - x

x - 5 = - (x - 5) = 5 - x  A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x

Trang 13

Cách 2 : Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một

tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối Từ đó tìm giá

DẠNG 4 : BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của M =

5 4x

- 4x

11

 hoặc theo quy tắc so sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương

Lời giải:

Xét M =

5 4x

- 4x

Trang 14

Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B =

4 - x - 2x

1

2 = -

4 2x - x

Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập

luận rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất(nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)

Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân

Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra -

3

1

>

1 1

Vậy từ a < b chỉ suy ra được

DẠNG 5 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN

NHẤT CỦA PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC

Trang 15

Ví dụ 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2

2

) 1 (

x

2

) 1 (

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

1 2

1 0

y

 x + 1 = 2  x = 1

Đáp số : An h ỏ n h ấ t =

4

3

khi x = 1

Cách 2 : Gợi ý : Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với

một biểu thức không âm Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

2 2

2

2 2

2

1 4

1 2 3

6 3 1

4

1 4 4 1

x x

x x x

Trang 16

2 2

) 1 (

4

) 1 ( )

A

2

) 1 (

4

) 1 (

2

1 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

DẠNG 6 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ

DẠNG (2)

k

x A

 0 (HOẶC (2)

k

x A

Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M( x ) =

3 2

10 6 3

2 2

x x

(Với x thuộc tập hợp số thực)

Gợi ý : Từ M(x ) =

3 2

10 6 3

2 2

x

M( x ) =

3 2

1 9 6 3

2 2

x x

=

3 2

1 ) 3 2 ( 3

2 2

x x

(?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức

cho x 2 + 2x + 3 được không? Vì sao?

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	293,5 KB