Bài 45 mặt cầu ngoại tiếp

http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             MẶT CẦU NGOẠI TIẾP  Giáo viên: Vũ Văn Ngọc, Nguyễn Tiến Đạt    A KIẾN THỨC CƠ BẢN Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Định nghĩa: Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện (H ) gọi mặt cầu S ngoại tiếp hình đa diện (H ) (H ) gọi nội tiếp mặt cầu Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy đa giác nội tiếp đường tròn D Mọi tứ diện có mặt cầu ngoại tiếp O Mặt cầu nội tiếp hình chóp  Mặt cầu nội tiếp hình chóp mặt cầu nằm bên hình chóp tiếp xúc với với tất mặt hình chóp C  Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách tất mặt hình chóp Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Gọi R bán kính mặt cầu thì:  Diện tích mặt cầu: S = 4p R  Thể tích khối cầu: V = p R3 Một số phương pháp tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SC ABC = 90°, R = tâm trung điểm SC Loại 1: Cạnh bên SA vng góc đáy  A B S S I I A C A D B B C Loại 2: Cạnh bên SA vng góc đáy đáy hình gì, cần tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy RD , ta có cơng thức: SA2 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy RD , ta ý công thức Heron: abc RD = p nửa chu vi p ( p - a)( p - b)( p - c) R = RD2 + Đặc biệt: Nếu DABC vng A thì: R = AB + AC + AS ( ) S K I C A O B MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Loại 3: Chóp có cạnh bên nhau: SA = SB = SC = SD Khi bán kính SA2 mặt cầu ngoại tiếp: R = 2SO Đặc biệt:  ABCD hình vng, hình chữ nhật, O giao hai đường chéo  D ABC vng, O trung điểm cạnh huyền  D ABC đều, O trọng tâm, trực tâm Loại 4: Hai mặt phẳng (SAB) ( ABC ) vng góc với có giao tuyến S A D O B C S AB Khi ta gọi R1 , R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB ABC AB Ta có cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = R12 + R22 O I C A J H B B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB ^ BC , BC ^ CD, CD ^ AB A AB = a, BC = b, CD = c là: a + b2 + c B a + b2 + c2 Câu C abc D 2 a +b +c ( ) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B , AB = 1cm, BC = 3cm, SA = 4cm , SA ^ ( ABC ) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng: A 5cm Câu A 5cm C 2cm D 19 cm Cho tứ diện S ABC , đáy ABC tam giác vuông B , SA vng góc với mặt đáy Biết AB = 3a, BC = 4a, SA = 5a Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC có bán kính bằng: 5a Câu B B 5a C 5a D 5a Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B BC = a Cạnh bên SA vng góc với đáy ( ABC) Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên cạnh bên SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là: A pa 3 Câu B p a C p a3 D p a3 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi O trọng tâm tứ diện (S ) mặt cầu tâm O bán kính a Mặt phẳng (BCD) cắt mặt cầu (S ) theo đường trịn có bán kính bằng: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             A a B Câu A a C a D a Cho tứ diện ABCD cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng: p a3 B p a3 C p a3 6 D p a3 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi AH đường cao tứ diện S trung điểm đoạn thẳng AH Mặt cầu qua bốn điểm S , B, C, D có bán kính bằng: Câu A R = a B R = a C R = a D R = a Cho tứ diện ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng AB, AC, AD Câu điểm B, C, D Bán kính mặt cầu bằng: A R = a a C R = a D R = a B a C a D Câu 10 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số A a Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = a Cạnh bên SA = a , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là: Câu A B R = 12 B 24 C a a 21 Gọi h chiều cao R bằng: h D Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABC) trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác SAC , R bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng (SAB) Đẳng thức sau sai? ( ) A R = d G, (SAB) B 13R = SH C R2 SDABC = 39 D R = 13 a MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, SA ^ ( ABCD) Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: A Trung điểm cạnh SC C Giao điểm hai đường chéo AC BD B Trung điểm cạnh SD D Trọng tâm tam giác SAC Câu 13 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng: A a 21 B Câu 14 Cho hình chóp a S ABCD C có đáy a 30 ABCD D tứ giác có a 30 AB = a, BC = a 3, CD = a 2, AD = a 2, AC = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A R = 3a B R = a C R = a D R = a Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy ABCD SA = a Gọi E trung điểm CD Tính diện tích mặt cầu qua bốn điểm S , A, B, E A S = p a2 B S = 41p a 16 C S = 41p a D S = 2p a Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều, AB = BC = CD = a AD = 2a Cạnh bên SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: a 3a A R = B R = a C R = a D R = 2 Câu 17 Cho tam giác ABC vuông cân A BC = a Từ B C dựng đoạn BD, CE vng góc với mặt phẳng ( ABC ) phía ( ABC ) cho BD = CE = a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCED là: A S = 2p a B S = p a C S = 3p a D S = 4p a Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy lớn AD = 2a , AB = BC = CD = a Cạnh bên SA = 2a vng góc với đáy Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD R Tỉ số nhận giá trị sau đây? a A a B a C D MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy 450 Gọi N trung điểm SA , h chiều cao khối chóp S ABCD R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ R h là: A R = 5h B R = 4h C R = 5 h D R = 5 h Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA = a vng góc với đáy ( ABCD) Gọi M trung điểm SC , mặt phẳng (a ) qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB , SD E , F Bán kính mặt cầu qua năm điểm S , A, E, M , F nhận giá trị sau đây? A a B a C a D a Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc đáy ( ABCD) Gọi H hình chiếu A đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị sau đây? A a B a C a D a Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA = a vng góc với đáy ( ABCD) Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD ta được: A a B 8p a C 2a D 2p a Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: A 2p a3 B 11 11p a 162 C p a3 D p a3 Câu 24 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a cạnh bên a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: A p a B 2p a C 4p a D 6p a Câu 25 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là: 3 A 4p a B 2p a C 8p a D 8p a 27 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Câu 26 Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy cạnh bên a là: 7 7 A p a B C p a D p a2 p a2 12 36 Câu 27 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB = a , góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( ABC ) 60° Gọi G trọng tâm tam giác A ' BC Diện tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a bằng: 49 49 49 A p a B C D pa p a2 p a2 36 144 108 Câu 28 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AC = a , góc  ACB 300 Góc đường thẳng AB ' mặt phẳng ( ABC ) 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' ABC bằng: A 3a B a 21 C a 21 Câu 29 Thể tích khối cầu nội tiếp khối lập phương có cạnh a là: 2 A p a B p a C p a D a 21 D pa Câu 30 Một mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương cạnh a diện tích mặt cầu bằng: A p a B 2p a C 4p a D 2a Câu 31 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước cm , cm , cm Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật bằng: A R = 14cm B R = 14cm C R = 28cm D R = 14cm Câu 32 Một hình trụ có bán kính 1, thiết diện qua trục hình vng Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ là: A 6p B 3p C 4p D 8p Câu 33 Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón bằng: A 4p a3 27 B p a3 C 4p a D p a3 27 Câu 34 Người ta xếp bóng bàn có đường kính vào hộp hình trụ cho tất bóng bàn tiếp xúc với mặt đáy hình trụ, bóng nằm tiếp xúc với bóng xung quanh MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             bóng xung quanh tiếp xúc với đường sinh hộp hình trụ Biết diện tích đáy hình trụ ( 3600p mm2 Thể tích bóng bàn là: A 256000p mm3 ( ) ) B 32000p mm3 ( ) C 64000p mm3 ( ) D 128000p mm3 ( ) Câu 35 Trong hộp hình trụ, người ta bỏ vào ba banh tennis, biết đáy hình trụ hình trịn lớn banh chiều cao hình trụ lần đường kính banh Gọi S1 tổng diện tích ba banh, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số diện tích A B C S1 là: S2 D Câu 36 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác SBC vng cân B có diện tích 2a ? A R = a B R = 2a C R = a D R = a Câu 37 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có SA ^ ( ABCD) ABCD hình chữ 10 13p C S = nhật với AB = AD = 2a đồng thời cos BSD = A S = 4p B S = 6p D S = 8p Câu 38 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vuông A tam giác SBC cạnh a A R = a B R = a C R = a D R = a Câu 39 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác ABC cạnh a đồng thời (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc 60° A S = 43p B S = 43p 24 C S = 43p 16 D S = 43p 12 Câu 40 Tính bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2a góc cạnh bên mặt đáy 60° A R = 2a B R = a C R = a D R = a Câu 41 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác S ABCD tích diện tích xung quanh đạt giá trị nhỏ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             A R = B R = C R = D R = Câu 42 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA = SB = SC = a , tam giác ABC vng B có AC = 2a A R = 3a B R = a C R = 3a D R = a Câu 43 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc đáy đồng thời SA = a 3, SB = a A R = a B R = a C R = a D R = a Câu 44 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có đáy hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc đáy biết thể tích khối chóp cho A R = a 21 B R = a C R = 3a D R = 4a 3 a 21 Câu 45 Chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ^ ( ABCD) , góc (SBD) ( ABCD) 60° Gọi H hình chiếu A SB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp H ABCD A R = a B R = a C R = a D R = a Câu 46 Chóp S ABC có SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vuông B tam giác SAC vuông cân A Mặt phẳng (P) qua A , vng góc với SC cắt SB, SC M , N Xác định tỷ số thể A tích hai khối cầu ngoại tiếp tứ diện SAMN khối chóp A.BMNC 1 B C D Câu 47 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vuông BAC = 30° , góc hai mặt phẳng (SBC) ( ABC) 60° B , AB = a, A V = 7p a B V = 4p a3 C V = 13p a 39 54 D V = 16p a3 54 Câu 48 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a , đồng thời tam giác SAB vuông cân tam giác SCD MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             A R = a 21 B R = a 21 C R = a 21 D R = a Câu 49 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vng A có AB = 3a, AC = 4a khoảng cách hai đường thẳng SB AC 2a 147p a A S = 155p a B S = 161p a C S = 110p a D S = Câu 50 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA = SB = SC = 2a , tam giác ABC có AB = a, AC = 2a , trung tuyến AM = A R = 2a B R = a a C R = a D R = a Câu 51 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần ABCD có độ dài cạnh sau: AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c A R = ab + bc + ca B R = a + b2 + c 2 C R = a + b2 + c2 a2 + b2 + c2 D R = Câu 52 Trong mặt phẳng (P) cho đường trịn (C) đường kính AB = R Gọi M điểm di động đường trịn Kẻ MH vng góc với AB H với AH = x (0 < x < R) Dựng đường thẳng vng góc với (P) M Trên đường thẳng lấy điểm S cho MS = MH Xác định giá trị lớn bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM ? A R B R D R C R Câu 53 Chóp S ABCD có SA vng góc mặt phẳng đáy Đáy ABCD hình chữ nhật với AD = 2a AB = a Góc hai mặt (SBD) ( ABCD) 45° Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A R = 5a B R = 3a C R = a D R = 7a BAC = 120° , (SAB) , (SAC) vng góc với đáy Đáy ABC cân có  AB = AC = 2a , góc (SBC ) mặt đáy 60° Xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp Câu 54 Chóp S ABC có hai mặt A V = 3p a 18 19p a 19 B V = 10p a 20 C V = 13p a 13 D V = MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Câu 55 Tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu ngoại tiếp A V = a3 B V = a3 12 C V = a Xác định thể tích tứ diện a3 12 D V = a3 24 Câu 56 Lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vng cân cạnh a , khoảng cách AB B ' C ' 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ A R = a B R = a C R = a D R = a     Câu 57 Cho tứ diện ABCD Tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB + MC + MD = a mặt cầu có bán kính là: A R = a C R = B R = a a D R = a Câu 58 Hình thang vng ABCD vng A D có AB = AD = a, CD = 2a Gọi t ' Dt đường thẳng vng góc với ( ABCD) D Trên đường thẳng lấy M cho MD = 2a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MBCD A S = 8p a B S = 4p a C S = 6p a D S = 12p a Câu 59 Cho mặt cầu (S ) tâm O bán kính R Gọi V thể tích khối chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu cho Giá trị lớn V là? A V = 64 R 81 C ĐÁP ÁN B A B V = A A C 16 R3 81 D C C V = D B 128R 81 D V = R3 81 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D A A C B C C D A C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C B A B D C B B D B B D A B A A B C D A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 B C D D D A C B C A B A A B C B C A A 10 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Gọi O giao điểm BD ' B ' D Þ O tâm mặt cầu nội tiếp khối lập phương ( ) R = d O, ( ABCD) A' D' C' B' p a3 a = Þ V = p R3 = O D A B C Câu 30 Một mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương cạnh a diện tích mặt cầu bằng: A p a B 2p a C 4p a2 Hướng dẫn giải: Gọi O giao điểm BD ' B ' D , M trung điểm CD B' OC = OD Þ OM ^ CD Þ O tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương R = OM = D 2a A' D' C' O B 'C a = Þ S = 4p R = 2p a 2 D A B M C Câu 31 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2cm, 4cm, 6cm Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật bằng: A R = 14cm B R = 14cm C R = 28cm Hướng dẫn giải: Gọi O giao điểm BD ' B ' D Þ O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật D R = 14cm A' D' C' B' R = OB = BD ' = (BC + CD 2 ) + BB ' = 14 (cm) O D A B C Câu 32 Một hình trụ có bán kính 1, thiết diện qua trục hình vng Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ là: A 6p B 3p C 4p D 8p 15 Hướng dẫn giải: MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Gọi O tâm thiết diện qua trục Þ O tâm khối cầu ngoại tiếp hình trụ AB = Þ R = OA = A D 8p AC = Þ V = p R = 3 O B C Câu 33 Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón bằng: 4p a 3 p a3 4p a B C 27 Hướng dẫn giải: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón trọng tâm O tam giác A R = OA = a 4a 3 Þ V = p R3 = AM = 3 27 D p a3 27 A O B M C Câu 34 Người ta xếp bóng bàn có đường kính vào hộp hình trụ cho tất bóng bàn tiếp xúc với mặt đáy hình trụ, bóng nằm tiếp xúc với bóng xung quanh bóng xung quanh tiếp xúc với đường sinh hộp hình trụ Biết diện tích đáy hình trụ ( 3600p mm Thể tích bóng bàn là: ) 256000p 32000p mm3 mm3 B 3 Hướng dẫn giải: S d = p R = 3600p Þ Rt = 60 Þ rb = Rt = 20 32000p Þ Vb = p rb3 = mm3 3 A ( ) ( ) ( C 64000p mm3 ( ) D 128000p mm3 ( ) ) Câu 35 Trong hộp hình trụ, người ta bỏ vào ba banh tennis, biết đáy hình trụ 16 hình trịn lớn banh chiều cao hình trụ lần đường kính banh Gọi S1 tổng diện tích ba banh, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số diện tích S1 là: S2 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             A B Hướng dẫn giải: Giả sử đáy hình trụ có bán kính R Þ Bán kính banh R Chiều cao hình trụ h = 3.2 R = R C D S1 3.4p R 12p R = = =1 S 2p R.h 2p R.6 R R Câu 36 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác SBC vng cân B có diện tích 2a ? A R = a B R = a C R = a Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm SC S Þ SI = IC = IB = IA Þ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC S SBC = SB = 2a Þ SB = BC = 2a Þ SC = 2a 2 SC ÞR= =a A D R = a I C B Câu 37 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có SA ^ ( ABCD) ABCD hình chữ 10 13p C S = nhật với AB = AD = 2a đồng thời cos BSD = A S = 4p B S = 6p D S = 8p Hướng dẫn giải: 17 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD , I trung điểm SC S Þ OI ^ ( ABCD) Þ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Đặt SA = x Ta có: I SB = SA2 + AB = x + 4a ; SD = SA2 + AD = x + a BD = AC = A AB + AD = a BD = SB + SD - SB.SD.cos BSD 2 ( )( Û 5a = x + a + x + a ) Û x = a Û SA = a Þ R = SI = D O - x + 4a x + a 10 B C 1 a SC = SA2 + AC = 2 Þ S = 4p R = 6p Câu 38 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vuông A tam giác SBC cạnh a a a a B R = C R = 2 Hướng dẫn giải: Gọi G trọng tâm tam giác SBC , I trung điểm SA , M trung điểm BC A R = D R = A S Trong (SAM ) đường thẳng vuông góc với SM G đường thẳng vng góc với SA I cắt O Þ O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC BC a a SB = SC Þ AB = AC = ; AM = BC = = 2 2 BC a a SM = = ; SA = SM - AM = 2 IN SN DSIN DOGN ( g.g ) Þ = GN ON 1 SM SM GN SN a a Þ ON = = = Þ OI = IN AM a Þ R = SO = SI + OI = a I I S C G M N O G A M B O 18 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Câu 39 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác ABC cạnh a đồng thời (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc 60° 43p 43p 43p B S = C S = 24 16 Hướng dẫn giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC , I trung điểm S SAa , M trung điểm BC A S = D S = 43p 12 Trong (SAM ) đường thẳng vuông góc với AM G đường thẳng vng góc với SA I cắt O Þ O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC SB = SC Þ SM ^ BC üï SMA = 60° ý Þ (SBC ) , ( ABC ) = AM ^ BC ùỵ ( I O ) BC a 3a = Þ SA = AM tan 60° = AM = 2 a 3a OI = AG = ; OG = AI = SA = 43p a 129 Þ R = OA = AI + OI = Þ S = 4p R = 12 12 C A G M B Câu 40 Tính bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2a góc cạnh bên mặt đáy 60° 2a a B R = 3 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm DABC A R = C R = a D R = a S Þ SO ^ ( ABC ) Þ (SA, ( ABC )) = (SA, AO) =  SAO = 60° Þ AO = SA.cos 60° = a Þ SO = SA2 - AO = a Trong (SOA) , kẻ trung trực d đoạn SA cắt SO I M ị I ẻ d ị IS = IA, I ẻ SO ị IA = IB = IC Do IA = IB = IC = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Gọi M trung điểm SA , ta có DSMI DSOA nên R = SI = SM SA SA2 2a = = SO 2SO A I C O B 19 Câu 41 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác S ABCD tích diện tích xung quanh đạt giá trị nhỏ MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             A R = B R = C R = D R = Hướng dẫn giải: Gọi O tâm đáy ABCD Þ SO ^ ( ABCD) S Trong (SBC ) , kẻ trung trực d đoạn SC ct SO ti I ị I ẻ d ị IS = IA, I ẻ SO ị IA = IB = IC M Do IA = IB = IC = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC I Đặt AB = x Þ VS ABCD = AB SO = Þ SO = x Gọi N trung điểm CD ON = A N O B x 108 x + AD = Þ SN = SO + ON = 2 x4 D C 108 x 108 x Þ S xq = S SCD = .x + =2 + x x2 =2 54 54 x 54 54 x + + ³ =6 x2 x2 x2 x2 Þ S xq = Û 54 x = Ûx = x2 BD = 3; SO = Þ SD = SM SD SD DSOD Þ R = SI = = = SO SO AB = Þ OD = DSMI Câu 42 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA = SB = SC = a , tam giác ABC vuông B có AC = 2a A R = 3a B R = a Hướng dẫn giải: C R = 3a D R = a 20 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Gọi M trung điểm AC SA = SB = SC Þ SM ^ ( ABC ) S Trong (SAC ) , kẻ trung trực d đoạn SA cắt SM ti O ị O ẻ d ị OS = OA; O ẻ SM ị OA = OB = OC I O Do OA = OB = OC = OS nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC A C M SM = SA2 - AM = a DSOI DSAM Þ R = SO = SA.SI SA2 3a = = SM 2SM B Câu 43 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc đáy đồng thời SA = a 3, SB = a a a B R = Hướng dẫn giải: Kẻ SH ^ AB Þ SH ^ ( ABCD) A R = C R = a D R = a S Gọi N trung điểm AB SA = a 3; SB = a; AB = 2a Þ SA2 + SB = AB Þ DSAB vuông S Þ NS = NA = NB SH ^ ( ABCD) Þ SH ^ NO üï ý ị NO ^ (SAB) ùỵ NO ^ AB ị OA = OB = OS Mà OA = OB = OC = OD Do OA = OB = OC = OD = OS nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Þ R = OA = AC = a 2 A D N H B O C Câu 44 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có đáy hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc đáy biết thể tích khối chóp cho A R = a 21 a B R = Hướng dẫn giải: C R = 3a D R = 4a 3 a 21 21 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Gọi H trung điểm AB Þ SH ^ ( ABCD) S Gọi G trọng tâm DSAB Đặt AB = x Þ SH = x 1 x 3 4a 3 VS ABCD = S ABCD SH = AB SH = = Þ x = 2a 3 Trong (SHO) , kẻ đường thẳng vng góc với SH G , đường thẳng vng góc với HO O , cắt ti I ị I ẻ GI ị IS = IA = IB; I ẻ OI ị IA = IB = IC = ID G I A D H O B C Do IA = IB = IC = ID = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD SG = 2a a 21 SH = ; GI = AD = a Þ R = SI = SG + GI = 3 Câu 45 Chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ^ ( ABCD) , góc (SBD) ( ABCD) 60° Gọi H hình chiếu A SB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp H ABCD A R = a a B R = Hướng dẫn giải: Gọi O = AC Ç BD Þ OA = OB = OC = OD = Þ SO ^ BD; AO ^ BD üï ýÞ (SBD) ầ ( ABCD) = BD ùỵ C R = a D R = a 2 S SOA = 60° ((SBD) , ( ABCD)) = (SO, AO) =  H a a 10 AB a 10 2 ; SB = SA + AB = ; BH = Þ SA = OA.tan 60° = = 2 SB OH = BH + BO - 2.BH BO.cos SBO = BH + BO - 2.BH BO a A D O B C BO a = SB Þ R = OA = OB = OC = OD = OH = a 2 Câu 46 Chóp S ABC có SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vuông B tam giác SAC vuông cân A Mặt phẳng (P) qua A , vng góc với SC cắt SB, SC M , N Xác định tỷ số thể A tích hai khối cầu ngoại tiếp tứ diện SAMN khối chóp A.BMNC 1 B C D 22 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Hướng dẫn giải: SA ^ ( ABC ) Þ SA ^ BC üï ý Þ BC ^ (SAB) BC ^ AB ỵù S ỹù ý ị AM ^ (SBC ) SC ^ (SMN ) Þ SC ^ AM ùỵ ị AM ^ SB; AM ^ MC Gọi I , J trung điểm SA, AC Þ BC ^ AM N I M Þ I , J tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAMN khối chóp A.BMNC p IA3 ỉ V1 IA Þ = = çç ÷÷ = V2 p JA3 è JA ø A C J B Câu 47 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vng BAC = 30° , góc hai mặt phẳng (SBC) ( ABC) 60° B , AB = a, 4p a3 13p a 39 7p a B V = C V = 54 Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm SC S ü SA ^ ( ABC ) Þ SA ^ BC ï ý Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB BC ^ AB ỵù A V = D V = 16p a3 54 I Þ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC SBA = 60° ((SBC), ( ABC)) = (SB, AB) =  Þ SA = AB.tan 60° = a 3; AC = Þ R = SI = AB 2a = cos 30° C A 1 a 39 13p a 39 SC = SA2 + AC = Þ V = p R3 = 2 54 B Câu 48 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , đồng thời tam giác SAB vuông cân tam giác SCD A R = a 21 a 21 B R = Hướng dẫn giải: C R = a 21 D R = a 23 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Kẻ SK ^ HO Þ SK ^ ( ABCD) S S Trong (SHM ) , kẻ đường thẳng vng góc với SH H đường thẳng vng góc với HM O , cắt I Þ I Î HI Þ IS = IA = IB; I Î OI Þ IA = IB = IC = ID Do IA = IB = IC = ID = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD SH = O H A H D K O M K I M B C a CD a = AB = ; HM = AD = a, SM = 2 2 Þ SH + SM = HM Þ SH ^ SM ; SHM = 60° Þ HI = HO a = cos 30° Þ R = SI = SH + HI = a 21 Câu 49 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vng A có AB = 3a, AC = 4a khoảng cách hai đường thẳng SB AC 2a 147p a 155p a B S = Hướng dẫn giải: Kẻ AH ^ SB üï AC ^ AB ý Þ AC ^ (SAB) SA ^ ( ABC ) ị SA ^ AC ùỵ ị AC ^ AH üï ý Þ d (SB, AC ) = AH = 2a ị SA = AH ^ SB ỵù A S = C S = 161p a D S = S AB AH AB - AH = N 6a 5 Trong (SAM ) , kẻ đường trung trực d SA đường thẳng vng góc với AM M , cắt I ị I ẻ d ị IS = IA; I ẻ MI ị IA = IB = IC H I C A M Do IA = IB = IC = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD IM = 110p a B 3a 5a SA = ; AM = BC = 2 Þ R = IA = IM + AM = a 805 161p a Þ S = 4p R = 10 Câu 50 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết SA = SB = SC = 2a , tam giác ABC có AB = a, AC = 2a , trung tuyến AM = 24 a MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             A R = AM = 2a a B R = 3 Hướng dẫn giải: ( ) AB + AC - BC 2 Þ DABC vng B Gọi N trung điểm AC C R = a D R = a S Þ BC = a Þ AB + BC = AC P SA = SB = SC Þ SN ^ ( ABC) I Trong (SAC ) , kẻ đường trung trực d SA cắt SN I N Þ I Ỵ d Þ IS = IA; I Ỵ NS Þ IA = IB = IC Do IA = IB = IC = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC DSPI C A M B 2a SP.SA SA2 DSNA Þ R = SI = = = 2 SN SA - AN Câu 51 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần ABCD có độ dài cạnh sau: AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c A R = ab + bc + ca B R = a + b2 + c 2 C R = a + b2 + c2 D R = a2 + b2 + c2 Hướng dẫn giải: Gọi M , N , I trung điểm AB, CD, MN A Þ MN ^ AB, MN ^ CD Þ IA = IB, IC = ID AB = CD Þ DOIB = DOIC Þ IB = IC Do IA = IB = IC = ID nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần ABCD MC = ( AC + BC - AB ) Þ MN = MC - CN = 2 R = IC = CN + IN = = ( M I c2 + b2 - a 2 ) D B c2 + b2 - a 1 c2 + b2 - a Þ IN = MN = 2 2 a2 + b2 + c2 2 N C Câu 52 Trong mặt phẳng (P) cho đường trịn (C) đường kính AB = R Gọi M điểm di động đường tròn Kẻ MH vng góc với AB H với AH = x (0 < x < R) Dựng đường thẳng vng 25 góc với (P) M Trên đường thẳng lấy điểm S cho MS = MH Xác định giá trị lớn bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM ? MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             A R B R D R C R Hướng dẫn giải: Gọi N trung điểm AC Trong (SMN ) , kẻ đường trung trực d SM đường thẳng vng góc với MN N cắt ti I ị I ẻ d ị IS = IM ; I ẻ IN ị IA = IB = IM Do IA = IB = IM = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABM 1 IP = MN = R; IN = SM = MH 2 1 R r = MI = MN + IN = MN + MH £ MN + MN = 4 S P I B M H N A Câu 53 Chóp S ABCD có SA vng góc mặt phẳng đáy Đáy ABCD hình chữ nhật với AD = 2a AB = a Góc hai mặt (SBD) ( ABCD) 45° Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 5a 3a a B R = C R = 4 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD , I trung điểm SC A R = D R = 7a S Þ OI ^ ( ABCD) Þ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD AC = BD = AB + AD = a Þ AO = a AC = 2 I SOA = 45° ((SBD), ( ABCD)) = (SO, AO) =  A a 1 5a Þ SA = AO = Þ R = SI = SC = SA2 + AC = 2 D O B C BAC = 120° , (SAB) , (SAC) vng góc với đáy Đáy ABC cân có  AB = AC = 2a , góc (SBC ) mặt đáy 60° Xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp Câu 54 Chóp S ABC có hai mặt A V = 3p a3 18 B V = Hướng dẫn giải: 19p a 19 C V = 10p a 20 D V = 13p a 13 26 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             (SAB) ^ ( ABC), (SAC) ^ ( ABC) Þ SA ^ ( ABC) S Gọi M trung điểm BC , D điểm đối xứng A qua M Trong (SAD) , kẻ đường trung trực d SA đường N thẳng vng góc với AD D cắt ti I ị I ẻ d ị IS = IA; I ẻ ID ị IA = IB = IC I A Do IA = IB = IC = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC BC = AB + AC - AB AC.cos120° = 2a NI = AM = ( 2 AB + AC 2 ) - BC C M B D = a Þ AD = AM = 2a SMA = 60° ((SBC), ( ABC)) = (SM , AM ) =  1 a SA = AM tan 60° = 2 a 19 19p a 19 Þ R = AI = AD + ID = Þ V = p R3 = Þ ID = NA = Câu 55 Tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu ngoại tiếp a Xác định thể tích tứ diện a3 a3 a3 B V = C V = 12 12 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm CD , N trung điểm AB Đặt AB = a Gọi O giao điểm trung trực AB AG Þ OA = OB DBCD Þ G tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD B A V = SG ^ (BCD) , O ẻ SG ị OB = OC = OD Vậy O tâm đường trịn ngoại tiếp hình chóp AB AN AB x = = = R = OA = 2  AG AB - BG cos BAG AB a Þ x = a Þ AB = a Þ AG = AB - BG = 3 a Þ VABCD = S BCD AG = 12 D V = a3 24 A A N D O G M B C G M 27 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Câu 56 Lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vng cân cạnh a , khoảng cách AB B ' C ' 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ a a a B R = C R = 2 Hướng dẫn giải: BB ' ^ AB, BB ' ^ B ' C ' Þ BB ' = d ( AB, B ' C ') = 2a A' A R = Giả sử DABC vuông cân B Gọi I giao điểm AC ' A 'C Þ I tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ AC = AB + BC = a Þ R = D R = a C' B' I 1 a AC = AA '2 + AC = 2 A C N B     Câu 57 Cho tứ diện ABCD Tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB + MC + MD = a mặt cầu có bán kính là: A R = a B R = a C R = a D R = a Hướng dẫn giải: Giả sử A ( x1; y1; z1 ) ; B ( x2 ; y2 ; z2 ) ; C ( x3 ; y3 ; z3 ) ; D ( x4 ; y4 ; z4 )      æx + x + x + x y + y + y + y z + z + z + z ö Giả sử I ( x; y; z) thỏa mãn IA + IB + IC + ID = ị I ỗỗ ; ; ÷÷ 4 è ø            a a = MA + MB + MC + MD = 4MI + IA + IB + IC + ID = MI Þ R = MI = Câu 58 Hình thang vng ABCD vng A D có AB = AD = a, CD = 2a Gọi t ' Dt đường thẳng vng góc với ( ABCD) D Trên đường thẳng lấy M cho MD = 2a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MBCD A S = 8p a B S = 4p a Hướng dẫn giải: C S = 6p a D S = 12p a 28 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        http://hoc24h.vn/   Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan             Gọi I trung điểm MC M BD = BC = a 2; CD = 2a Þ DBCD vng B Þ I tâm đường trịn ngoại tiếp hình chóp 1 CD + MD = a Þ R = MC = 2 Þ S = 4p R = 8p a I D N A C B Câu 59 Cho mặt cầu (S ) tâm O bán kính R Gọi V thể tích khối chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu cho Giá trị lớn V là? 64 R 16 R3 128R A V = B V = C V = 81 81 81 Hướng dẫn giải: Gọi I tâm hình vng ABCD Þ SI ^ ( ABCD) R3 D V = 81 S Đặt OI = x (0 < x < R) Þ AI = R - x ( ( Þ AB = R - x Þ S ABCD = AB = R - x ) ( 2 ) ) R - x (R + x) Þ VABCD = S ABCD SI = = - x - Rx + R x + R 3 3 2 Xét hàm số f ( x) = - x - Rx + R x + R (0; R) ( éx = - R ê 2 f ' ( x) = -3x - Rx + R ; f ' ( x) = Û ê êx = R ë ỉ R 32 R ỉ R 64 R Þ f max = f ỗỗ ữữ = ị Vmax = f ỗỗ ữữ = è3ø 81 è ø 27 O ) D A I C B 29 MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |        ... kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB ABC AB Ta có cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = R12 + R22 O I C A J H B B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD... cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là: A pa 3 Câu B p a C p a3 D p a3 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi O trọng tâm tứ diện (S ) mặt cầu tâm O bán kính a Mặt phẳng (BCD) cắt mặt cầu. .. GC hay G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Bán kính mặt cầu R = GS = a SM = 3 Câu 10 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp