dđề cương luạn văn

Chủ đề phương trình hàm tuy cònmới mẻ đối với học sinh, nhưng để giải phương trình hàm ta không cần dùngđến những kiến thức vượt quá giới hạn chương trình PTTH mà chủ yếu đòihỏi phải có

Được coi là “ không chỉ liên quan đến việc nắm được những kĩ năng màcòn đến việc ứng dụng kiến thức ’’ học để làm nhằm làm cho người họcnắm được không những một nghề nghiệp mà còn có khả năng đối mặt đượcvới nhiều tình huống và biết làm việc đồng đội ”.

Tăng cường thực hành, tăng cường vận dụng kiến thức toán học vào thựctiễn rõ ràng là những yếu tố góp phần thể hiện những quan niệm đó, gópphần thực hiện “ học để làm ” trong dạy học Toán ở phổ thông

Nghị quyết của Quốc hội về đổi mới chương trình giáo dục phổ thôngtrong phần mục tiêu của đổi mới cũng có yêu cầu “ …tăng cường tính thựctiễn, kĩ năng thực hành ,năng lực tự học….”

Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả

trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học"

nổi tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất củaquá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học Ở nước ta các tác giả HoàngChúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ DươngThụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức,… đã có nhiều công trình giải quyết nhữngvấn đề về lý luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.Hay như luận văn Thạc sĩ của Từ Hữu Sơn - Đại học Vinh năm 2004 với

tiêu đề: "Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo lý

thuyết đồ thị" Phạm Xuân Chung năm 2001: "Khai thác sách giáo khoa hình học 10 THPT hiện hành qua một số dạng bài tập điển hình nhằm phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh" Tác giả Bùi Thị Hà - Đại học Vinh

năm 2003, trong luận văn của mình với đề tài: "Phát triển tư duy sáng tạo

cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân".

Như vậy, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt động dạyhọc toán được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

2 Năm 2001 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có quy định 11 chuyên đềbồi dưỡng học sinh giỏi toán thống nhất trong toàn quốc, trong đó có chuyên

đề Phương trình hàm Như vậy việc dạy học giải toán về phương trình hàmcho học sinh khá giỏi đang là một nhu cầu thực tế Tuy nhiên, cho đến nayviệc triển khai dạy học chủ đề này đang có những khó khăn vì nhiều lý donhư: trong chương trình Toán THPT nội dung này hầu như không được giáoviên và học sinh quan tâm nhiều có chăng mới chỉ dừng lại ở một vài ví dụđơn giản, thiếu tài liệu, sự mới mẻ và độc đáo của dạng toán này,

3 Đối với học sinh, hoạt động giải bài tập toán là một hoạt động cơbản và thường xuyên Hoạt động này có tác dụng phát triển trí tuệ và do vậycần được quan tâm nhiều trong dạy học Chủ đề phương trình hàm tuy cònmới mẻ đối với học sinh, nhưng để giải phương trình hàm ta không cần dùngđến những kiến thức vượt quá giới hạn chương trình PTTH mà chủ yếu đòihỏi phải có tư duy sáng tạo.Vì vậy chủ đề này chứa đựng tiềm năng pháttriển trí tuệ cho học sinh nếu biết khai thác trong dạy học

Từ những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài " Góp phần bồi dưỡng

tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải bài tập về chủ

đề phương trình hàm"

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Mục đích của tiểu luận là nghiên cứu, tìm hiểu một số phương phápgiải phương trình hàm và định hướng sử dụng trong dạy học nhằm góp phầnbồi dưỡng một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải bàitập chủ đề phương trình hàm

III GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Có thể bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi qua việc xâydựng và khai thác một hệ thống các bài tập về chủ đề phương trình hàm.

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1 Tìm hiểu khái niệm và cấu trúc tư duy,tư duy sáng tạo

2 Xây dựng và định hướng khai thác hệ thống các bài tập phươngtrình hàm nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi

3 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi vàhiệu quả của việc dạy học giải bài tập về phương trình hàm trong việc bồidưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

1 Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn

toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

- Các sách bài tập toán, các bài viết về chuyên đề Phương trình hàm

2 Quan sát Quan sát những khó khăn thường gặp phải ở học sinh

khi giải toán phương trình hàm và tìm ra biện pháp khắc phục

3 Thực nghiệm sư phạm Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh

giá tính khả thi của đề tài

VI CẤU TRÚC CỦA TIỂU LUẬN.

Mở đầu

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình hàm

và dạy học giải toán PTH

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Kết luận.

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chấtmối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng

trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đạicương - Nguyễn Quang Cẩn)

Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giớikhách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trongquá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thựctại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉtồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lờinói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của conngười được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quảcủa tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là nhữngquá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là nhữngvấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thiết,những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nàođó"

Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phảnánh tích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thểhiện qua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đốitượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt độngcủa con người nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau

từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là conngười

1.2 Tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giảiquyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung củasáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích(giá trị hơn cái cũ) Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nàocủa xã hội loài người Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phươngdiện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như mộtkiểu tư duy, như là một năng lực của con người

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sángtạo Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán lànhững điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về nhữngmặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét

ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo rakết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn

Bá Kim - Phương pháp dạy học bộ môn Toán)

Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạtnhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục"Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng,hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tínhchính xác

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi

là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Cóthể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải cácbài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có sốlượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duycàng cao, thí dụ: lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phươngthức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là

sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy khônggiải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệuquả".

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán:

"Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họđương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưatừng biết Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếucác thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hayhoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiếnhành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thểchuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạothì đó là tư duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến nhữngtri thức mới về thế giới về các phương thức hoạt động Lene đã chỉ ra cácthuộc tính sau đây của tư duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìmhiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biếtthành một phương thức mới)

- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưngphương thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)

1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … về cấu trúccủa tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:

Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanhchóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc

độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy cósẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong nhữngquan hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điềuphán đoán Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móccác kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó

có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm củanhững kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từtrước Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chứcnăng mới của đối tượng quen biết

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tưduy sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể chocác em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tưduy

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cáchnhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàncảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chấtlượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượngnhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khảnăng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh

ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìmđược nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứngtrước một vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanhchóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm đượcphương án tối ưu

- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau,

có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứkhông phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

1.3.3 Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bênngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mậtthiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạtđộng trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện

cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khácnhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khácnhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này

có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoànthiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng gópphần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ củacon người

1.3.4 Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa vàhành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ

đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ởhọc sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi Trong họctập Toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển,thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp,dùng phân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lờigiải Ở học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tưduy sáng tạo Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạyhọc thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ởcác em

1.4 Quan hệ giữa tư duy sáng tạo, tư duy độc lập và tư duy tích cực.

Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm "tư duy tích cực", "tư duy độclập" và "tư duy sáng tạo", V.A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn quan hệ

đó dưới dạng những vòng tròn đồng tâm (Xem hình biểu diễn dưới) Đó lànhững mức độ tư duy khác nhau mà mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đềcho mức độ tư duy đi sau Trong tư duy sáng tạo có tư duy tích cực và tưduy độc lập, nhưng không phải mọi tư duy tích cực đều là tư duy độc lập, vàkhông phải mọi tư duy độc lập là tư duy sáng tạo

- Một học sinh chăm chú nghe Tư duy tích cựcthầy giảng các chứng minh định lý, Tư duy độc lập

cố gắng để hiểu được tài liệu, ở đây Tư duy sáng tạo

có thể nói đến tư duy tích cực

- Tính độc lập thể hiện ở khả tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác địnhphương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kếtquả đạt được

1.5 Một số biện pháp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.

Ngày nay, các nhà khoa học đều cho rằng mọi người đều có khả năngsáng tạo, nhưng mức độ sáng tạo rất khác nhau và có thể có những biện pháp

để bồi dưỡng trí sáng tạo

Theo các tác giả Isen và Barron việc bồi dưỡng trí sáng tạo cần:

1 Phát triển một cái nền phong phú rộng rãi

2 Bồi dưỡng tính độc lập

3 Khuyến khích việc dùng các tương tự hay phép loại suy

4 Khuyến khích sự tò mò, ham hiểu biết

5 Tăng cường các xúc động dương tính

Tác giả Trần Thúc Trình, trong cuốn "Tư duy và hoạt động học toán",

đã nêu ra các biện pháp sau để phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh:

1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp hữu cơ với các hoạtđộng trí tuệ khác.

2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc bồidưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo và trang bịcho học sinh phương tiện, thủ pháp các hoạt động nhận thức

4 Quá trình bồi dưỡng tư duy sáng tạo là quá trình lâu dài, cần tiến hành quacác lớp trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

5 Vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lênlớp

Tác giả Trần Luận lại cho rằng có thể sử dụng các biện pháp sau đây

để bồi dưỡng, phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh:

1 Rèn luyện và bồi dưỡng học sinh theo những biểu hiện đặc trưng của hoạtđộng sáng tạo

2 Bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo

3 Bồi dưỡng các tham số có ý nghĩa lớn đối với sáng tạo theo mô hình củaJ.Guilford

4 Dựa vào phân loại tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo củaKrutecxki

5 Dạy học giải quyết vấn đề

6 Thông qua hệ thống bài tập

1.6 Tiềm năng phát triển tư duy sáng tạo thông qua việc giải toán phương trình hàm.

Phương trình hàm là một chủ đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy

phương trình hàm không được đưa vào học ở phổ thông nhưng giải phương trình hàm không cần sử dụng đến những kiến thức vượt ra ngoài giới hạn chương trình phổ thông, nhưng đòi hỏi một sự tập trung chú ý nhất định (đôi

khi rất cao) và những khả năng suy luận tốt Chủ đề này có tiềm năng rất lớntrong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Sau đây là một số khía cạnh được đề cập đến trong tiểu luận này:

-Giải toán phương trình hàm giúp học sinh hiểu đúng đắn, sâu sắc kiến thức cơ bản làm nền tảng vững chắc cho hoạt động toán học;

-Giải toán phương trình hàm giúp học sinh rèn luyện năng lực thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá, trừu tượng hoá

-Giải toán phương trình hàm giúp học sinh sáng tạo bài toán mới, phương pháp giải toán mới;

-Giải toán phương trình hàm giúp học sinh có được hứng thú học tập toán, trên cơ sở đó bồi dưỡng tư duy tích cực, yếu tố không thể thiếu của tư duy sáng tạo;

-Giải toán phương trình hàm giúp học sinh rèn luyện tư duy độc lập, rèn luyện tính linh hoạt, tính phê phán trong tư duy;

-Giải toán phương trình hàm góp phần quan trọng bồi dưỡng tư duy lôgic cho học sinh, đặc biệt là tư duy hình thức, tư duy dựa vào cú pháp là một dạng cao của tư duy logic

Ngoài các tiềm năng kể trên chắc chắn nếu biết khai thác chúng ta còn

có thể làm được nhiều điều bổ ích cho học sinh thông qua dạy học giải toán

về chủ đề phương trình hàm

Để minh hoạ một tiềm năng nói trên ta xét ví dụ sau:

Ví dụ : Tìm hàm số f: Z  Z sao cho f(x+y) = f(x) + f(y) (i)

và f(xy) = f(x).f(y), với mọi x, yZ (ii)

Để giải bài toán này sự thực chỉ cần đến kiến thức về tập hợp số nguyên và hiểu biết đơn giản về định nghĩa hàm số Tuy nhiên những kiến thức đó là gì thì phải có sự phân tích và nhìn nhận một cách hợp lý

Sau đây trình bày một cách tiếp cận bài toán để đi đến lời giải, qua đó phần nào làm rõ các tiềm năng bồi dưỡng tư duy sáng tạo qua bài toán.

-Đặc biệt hoá điều kiện (i) bằng cách cho x = y = 0 và sử dụng tính chất của phép cộng các số ta nhận được f(0) = 0

-Đặc biệt hoá điều kiện (ii) bằng cách cho x = y = 1 và sử dụng tính chất của phép nhân của các số ta có f(1) = 0 hoặc f(1) = 1

-Xem 0 là tổng của 1 và -1, sử dụng (i) và (ii), với chú ý f(0) = 0, ta cóf(-1) = -1

-Xét trường hợp f(1) = 0 Kết hợp với điều kiện (ii) và tính chất của số

1 và số 0 trong phép nhân các số nguyên ta có :

nZ, f(n) = f(1.n) = f(1).f(n) = 0.f(n) = 0 Vậy trường hợp này ta có f(n) =

0, nZ (a)

-Xét trường hợp f(1) = 1 Xem mỗi số nguyên dương là một tổng của các hạng tử bằng đơn vị 1, sử dụng điều kiện (i) ta có f(n) = n, nN (b) Xem mỗi số nguyên âm là tích của -1 với một số nguyên dương và áp dụng (ii), với chú ý f(-1) = -1, f(n) = n, nN, ta có f(n) = n, f(n) = n,n nguyên

âm (c)

-Tổng hợp kết quả (b) và (c) ta có f(n) = n, nZ (d)

-Tổng hợp kết quả (a) và (d), sau khi thử lại, ta có hàm số cần tìm là hàm hằng 0 hoặc hàm đồng nhất trên Z

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

VÀ DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM

2.1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số Giải phươngtrình hàm tức là tìm các hàm số chưa biết đó Sau đây là một số phươngpháp giải các phương trình hàm thường gặp

2.1.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ( ĐẶT ẨN PHỤ ).

Xét phương trình hàm số dạng: f( (x)) = g(x), trong đó  (x), g(x) lànhững hàm số biến số thực đã biết

Trong một số trường hợp nếu đặt  (x) = t, ta có thể giải ra x =  (t).Khi đó thế vào phương trình đã cho ta có f(t) = g ( (t)), từ đó ta có hàm sốf(x) = g ( (x))

Tuy nhiên nhiều khi vấn đề không hoàn toàn đơn giản trong trường hợp

đó cần sử dụng các phép biến đổi thích hợp, cố gắng đưa phương trình đãcho về dạng: f( (x)) = h( (x)) Khi đó hàm số cần tìm sẽ có dạng: f (x) =h(x)

Hàm f(x) sau khi tìm được cần ta phải tiến hành thử lại rồi đưa ra kếtluận nghiệm của phương trình

Ví dụ 1 Tìm hàm số f (x) biết rằng: f(x+1) = x2+2x +3, xR

Giải Ở đây  (x) = x + 1, g (x) = x2 + 2x + 3

Đặt t = x + 1 Giải ra x = t - 1 rồi thế vào phương trình đã cho ta được:

f (t) = g (t - 1) = (t -1)2 + 2(t -1) + 3 = t2 + 2

Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn yêu cầu bài toán

Tuy nhiên ở đây học sinh có thể nhìn nhận cách giải khác của bài toán

x

,  x R\  1 ,  2  (1)

1 2

2 3

4 1

Ví dụ 3 Tìm một hàm f(x) xác định với mọi x và có tính chất

 u,v : (u-v) f (u+v) – (u+v) f (u-v) = 4uv.(u2 - v2)

2

1 ), ( 2

1

y x v y x

giá trị thì x,y cũng lấy mọi giá trị Điều kiện bài toán trở thành :

y.f (x) – x.f (y) =(x+y).(x-y)

1

y x y



 3) ( (k là hằng số)  f(x) x3kx (2)Trong (1) cho x =0 và y= 1 ta được f (0) = 0 tức là (2) cũng đúng với cả x =0

Vậy f (x) = x3+kx với mọi x (k là 1 hằng số nào đó)

Ví dụ 4 Cho hàm số f(x) thoả mãn điều kiện : f(

1x

3x



) + f(

x1

x3



) = x.Với mọi x mà x 1 Tìm tất cả các hàm f(x) như thế

Giải Đặt t =

1x

3x



, ta có x= 13t t Khi đó phương trình đã cho có thể viết lại

thành: f(x) + f

t1

t31t

3t

t3

t

Cộng theo vế hai phương trình trên ta có:

3t

Dễ dàng kiểm tra được hàm này thoả mãn điều kiện bài toán

2.1.2 PHƯƠNG PHÁP THẾ ( PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ).

Lập dãy số liên quan đến một biểu thức thành phần của phương trìnhchứa hàm số cần tìm để đưa về một hệ phương trình mà hàm số cần tìm làmột trong các ẩn

Xét phương tình hàm dạng

a(x) f(x) + b(x) f (g(x)) = c(x) (*)Trong đó a(x), b(x), c(x), g(x) là những hàm số đã biết Giả sử miền xác địnhcủa hàm số f(x) là Df, với mỗi xDf ta xét dãy xác định bởi

x1 = x, xn+1 = g(xn), nN*

Định nghĩa : Dãy  x n được gọi là một dãy tuần hoàn nếu tồn tại một số nguyên dương k sao cho xn + k = xn, nN* (1)

Số nguyên dương k nhỏ nhất để dãy xn thoả mãn (1) được gọi là chu

kỳ cơ sở (còn gọi tắt là chu kỳ) của dãy

Nếu dãy xn được xác định như trên tuần hoàn với chu kỳ k, ta sẽ đưa (*) về hệ k phương trình với k ẩn hàm, giải hệ này ta tìm được f(x)

Ví dụ 1 Giả sử a   1 là một số thực, (x) là hàm số cho trước xác định

với mọi x1 Tìm hàm số f(x) xác định với mọi x  1 và thoả mãn điềukiện:

f (xx1

 ) = a f(x) + (x)

Giải: Cho x = 0 ta có f(0) = a f(0) + (0) Từ đó f(0) =

a1

)0(



 (1)

Với x  0, x  1, Xét dãy được xác định bởi x1 = x, xn+1 = g(xn), nN, trong

) ( ) ( ) (

2 2

1

1 1

2

x x

af x f

x x

af x f

a

x x

)x1

x()x(a

)x1

x()x(a

1x



) = 1,  x  -1 (1)

Giải Mỗi x 1, xét dãy được xác định bởi x1 = x, xn+1 = g(xn), trong đó g(x) = xx 11



, x5 = x Suy ra dãy xn

tuần hoàn với chu kỳ 4

Bằng phép thay thế x lần lượt bằng x1, x2, x3, x4 ta đưa (1) về hệ sau:

1 ) ( 2 ) (

1 ) ( 2 ) (

1 ) ( 2 ) (

1 4

4

4 3

3

3 2

2

2 1

1

x f x f x

x f x f x

x f x f x

x f x f x

Giải hệ trên với ẩn f(x1) ta được:

f(x1) =

) 1 ( 5

1 4

1 1 1

2 1







x x

x x

, (x1  -1, 0, 1)

Cho x = 0 từ (1) suy ra 2f(-1) = 1  f(-1) =

21Cho x = 1 từ (1) ta được f(1) + 2f(0) = 1

21

0xa

1x2

1

1,1,0x)

1x(x5

1xx

4 2

nÕunÕunÕu

nÕu

( a=f(0) )

Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm được thoả mãn điều kiện bài toán

Chú ý: Nếu dãy xn xây dựng như trên tuần hoàn với chu kỳ 2 thì phươngtrình hàm có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ như trong 2.1.1

Các phương trình hàm sau đây có thể giải bằng phương pháp đã nêu trên:

) = 2x ,  x  0

3 f (xx 11



) + x f(x) = x2 + 1,  x  1

2.1.3 PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC THAO TÁC TƯ DUY THƯỜNG XUẤT PHÁT

LÀ ĐẶC BIỆT HÓA ĐỂ THU NHẬN THÔNG TIN VỀ HÀM CẦN TÌM TỪ ĐÓ XÁC ĐỊNH HÀM (PHƯƠNG PHÁP THAY CÁC GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT)

Đây là một phương pháp thường được sử dụng trong giải các phươngtrình hàm.Học sinh cần biết khéo léo lựa chọn các giá trị đặc biệt của biến sốthay vào phương trình hàm đà cho để thu nhận thông tin về hàm cần tìm từ

đó xác định hàm.Phương pháp này thường được sử dụng kết hợp với cácphương pháp nêu trên

+Điều này đúng với n = 0,1,2

+ Giả sử (1) đúng với n = k  N*.Cần chứng minh (1) đúng với

1 1

1 1

2

1 2

2

4 5 2 4 2

1 2

2

bx x g

Dễ dàng kiểm tra f (x) thỏa mãn các điều kiện bài toán

2.1.4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN MỘT BIẺU THỨC CHỨA HÀM CẦN TÌM BẰNG HAI CÁCH SAU ĐÓ ĐỒNG NHẤT CÁC KẾT QUẢ ĐỂ SUY RA HÀM SỐ.

Ví dụ : Tìm hàm f xác định trên R thỏa mãn điều kiện :

f (x2 2 ) ( ).[ ( ) ( )]

y f x f y x



 (3) + Xét x = a và y = -1 (a  R) :

2.1.5 PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN QUA GIỚI HẠN.

Đối với một số phương trình hàm có kèm theo giả thiết liên tục, trongnhiều trường hợp, bằng cách xây dựng một dãy số và sử dụng phương phápchuyển qua giới hạn ta sẽ tìm được hàm f(x)

Ví dụ : Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định, liên tục trên R và thoả mãn:

6

1x3

3 2

3

1 3

1 3

1 1 6 1

3

1 1

x thoả mãn điều kiện bài toán

Bài toán tổng quát:Tìm hàm số f(x) xác định, liên tục trên R và thoả mãn

điều kiện: af(x) +f(bx) = cx, ở đây a,b,cR, 0<|b|<1, |a|  1 Cách giải hoàn

toàn tương tự ta được f(x) =

b a

cx



Ví dụ 2 Tìm hàm f: R  R liên tục và thoả mãn 3f(3x) = f(x)+ x.

Giải Ở ví dụ này nếu xét dãy: {xn}n  N*: x1 = x và xn + 1 = g(xn), ở đây g(x)

= 3x) thì {xn} không hội tụ Trong trường hợp này liệu có vận dụng đượcphương pháp trên không? Cách giải sau đây đòi hỏi một sự cải tiến về mặt

kỹ thuật biến đổi:

x

+ 9

x x

x x f

3

3 3 ) ( 3

3

2 2

1 1

3

1 1 3 ) (

.

3

1

n n

n

x x

1 1 3 ) ( 3 1

1

2

1 1

n

n n

x x f

1 1 8

1 ) ( 3

n

Lấy giới hạn cả 2 về khi n   và sử dụng tính liên tục của hàm số,

Thử lại ta thấy hàm số vừa được thoả mãn điều kiện bài toán

Bài toán tổng quát: Tìm hàm f(x) xác định, liên tục trên R và thoả mãn điều

kiện: f(x) + af(bx) = cx, với a,b,cR; |a|,|b| >1.Cách giải hoàn toàn tương tự

Nhận xét: + Phương pháp chuyển qua giới hạn thì trong phương trình hàm

thường có thêm giả thiết f(x) liên tục

2.1.6 ĐOÁN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM TÌM ĐƯỢC LÀ DUY NHẤT.

Cũng giống như cách giải phương trình thông thường Khi giải PTH ta

có thể đoán nhận các nghiệm của phương trình hàm và chứng minh rằngngoài các nghiệm đó ra PTH không có nghiệm nào khác Thông thường tahay thử các hàm số đặc biệt hàm hằng, hàm đồng nhất, hàm tuyến tính,

để xem chúng có phải là các nghiệm của PTH hay không?

Ví dụ 1 Tìm tất cả các hàm số f: [1, + )  [1, + ), sao cho:

f(xf(y) = yf(x), với mọi x, y thuộc [1, + )

Giải Ta nhận thấy f(x) = x là nghiệm của bài toán.

Ta sẽ chứng minh nghiệm đó là duy nhất:

Cho x = y = 1 thì f(f(1)) = f(1)

Cho y = f(1) thì f(xf(f(1))) = f(1) f(x)  f(xf(1) = f(1) f(x)

Mặt khác: f(x f(1)) = f(x) (gt)

 f(1) f(x) = f(x)  f(1) = 1, (f(x)  1, x)

Cho x = 1 ta được: f(f(y)) = y (i)

Nếu f(y) = 1  f(f(y)) = f(1) = 1,từ (i)  y = 1

Vậy: f(y) > 1, y > 1