Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện ra vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy. Tính chất sau này thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩ và tư tưởng của người khác và của bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đạt những câu hỏi "tại sao ?" "như thế nào?" Khi lỉnh hội kiến thức.
Vốn kiến thức thu được ở nhà trường chỉ sinh sôi nảy nở nếu người học sinh biết sử dụng nó một cách sáng tạo bằng hoạt động độc lập suy nghĩ của bản thân. Học sinh không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy độc lập. Nhiệm vụ rèn luyện kỷ năng hoạt động độc lập cho học sinh là rất quan trọng và có ý nghĩa giáo dục lớn lao. Trong dạy học giải bài tập về phương trình hàm, giáo viên cần thường xuyên quan tâm đến việc hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi nhằm định hướng khi giải toán và phát triển bài toán. Biết tự đặt câu hỏi tốt là một phần trong năng lực hoạt động độc lập của người học sinh. Giáo viên cũng có thể bồi dưỡng tính độc lập của tư duy cho học sinh bằng cách cho sẵn lời giải các bài tập (có thể có chỗ sai) và yêu cầu học sinh nhận xét.
Ví dụ 1. Hãy tìm một hàm số f(x) xác định với mọi x hữu tỉ, thoả mãn các điều kiện: f(1) = 2, f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y +1).
Giải. Dể thấy f(x) = x + 1 thoả mãn điều kiện bài toán.
Đến đây đặt câu hỏi liệu hàm số xác định như trên có duy nhất huy không? Hay là có vô số hàm số f(x) thoả mãn điều kiện bài toán ? Để trả lời câu hỏi này ta đi đến bài toán mới mà mức độ khó khăn hơn so với bài toán trên.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm số f(x), xác định với mọi x hữu tỉ, thoả mãn các điều kiện: f(x) = 2, f(xy) ≡ f(x) f(y) - f(x+ y) + 1 .
Giải. Cho trong đồng nhất thức giá trị y = 1 ta được:
f(x) ≡ f(x) - f (1) - f(x + 1) + 1, ∀ x ∈ Q, suy ra f(x + 1) = f(x) + 1 . Bằng phương pháp quy nạp ta được f (x + n) = f(x) + n, ∀ n∈Z,∀x∈ Q
⇒ f(n) = f(1) + n -1 = n + 1, ∀ n ∈ Z. Cho trong đồng nhất thức các giá trị x =
n 1 , y = n với n ∈ Z*, ta được: f(1) = f( n 1 ) f(n) - f( n 1 ) - n + 1 ⇒2 = f( n 1 ) (n+1) - f( n 1 ) - n + 1 ⇒ f( n 1 ) = 1 + n 1 .
Cuối cùng cho x = p, y =q1, với p ∈ Z, q ∈ N*
f(p.q1) = f (p) f(q1) - f(p + q1) + 1 ⇒ f(qp) = qp + 1 . Hay f(x) = x + 1 ∀ x ∈ Q.
Thử lại ta thấy f(x) = x + 1 là hàm số duy nhất thoả mãn các điều kiện bài toán.
Đến đây ta chưa thoả mãn: "Tại sao bài toán chỉ nói đến hàm f(x) xác định với x hữu tỷ, liệu có mở rộng cho mọi số thực x không ? Nếu mở rộng được thì ta có cần thêm điều kiện gì hay không ?"
Bằng sự không hài lòng với kết quả đạt được không hài lòng với lời giải hiện có ta có thể tự đặc vấn đề và tự mình giải quyết vấn đề phát sinh. Làm như vậy ta không chỉ gải được những bài toán mà có thể tự mình ra đề toán.