8. Nâng cao dần mức độ khó khăn và phức tạp.
4.3.2. Tiến trình thực nghiệm.
Đầu tiên nhắc lại một số tính chất cơ bản của đa thức. Giả sử f (x), g (x) là hai đa thức biến x.
1. f(x) ≡ g(x) khi và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau. 2. f(a) = 0, a ∈ Q suy ra phương trình f(x) =0 có nghiệm x = a.
3. Dư khi f(x) chia cho x - a là f(a).
Hệ quả: f(x) (x - a) khi và chỉ khi f(a) = 0. 4. f(x) f(x), deg f(x) < deg g(x) suy ra f(x) ≡ 0.
5. Số nghiệm của đa thức bậc n không quá n.
6. Đa thức f(x) có vô số nghiệm khi và chỉ khi f(x) ≡ 0.
7. Đa thức bậc n có n + 1 nghiệm phân biệt thì đa thức đó là đa thức không.
8. Hai đa thức bậc n bằng nhau tại n + 1 điểm nguyên phân biệt thì hai đa thức đó bằng nhau.
Một số bài tập áp dụng:
Bài toán 1. Hãy tìm tất cả những đa thức P(x) sao cho thoả mãn: P (x) = P(x + 1), ∀x∈R. (i)
Giải. Hướng 1:
P(x) ≡ const là một nghiệm bài toán.
Trường hợp: P(x) ≠ const. Giả sử: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x+ a0. (an≠ 0) Từ (i) ta có: anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x +a a= an(x +1)n + an- 1(x + 1)n-1 + ... + a1(x +1) + a0. Áp dụng tính chất (1) ta so sánh hệ số trước xn-1 ta được nan + a1 = a1 suy ra an = 0 >< an≠ 0
Vậy P(x) = const là nghiệm cần tìm Hướng 2:
Ta sẽ chứng minh P(x) = C.
Thật vậy : Giả sử degP(x) = n, xét Q(x) = P(x) - P (0), ta có degQ(x) = n và Q(0) = 0, Q (x + 1) = Q(x) .
Từ đây: Q( 0) = Q(1) = Q(2) = ... = Q (n) = 0
Áp dụng tính chất (6) suy ra Q (x) = C, vậy P (x) = Const.
Hầu hết các các em đều làm theo cách thứ nhất, tuy nhiên các em quên xét trường hợp vì vậy một số em kết luận không tồn tại đa thức thoả mãn bài ra.
Bài toán tổng quát: Hãy tìm tất cả những đa thức P (x) sao cho: P (x+a) = P(x) , ∀x . ( a ∈ R tuỳ ý)
Cách giải bài toán tương tự + a =0 , ∀ P (x) đều thoả mãn + a ≠ 0, P (x) = C (C = const)
Với bài toán trên tôi đã giúp cho các em biết nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh sau đó lựa chọn cách giải tốt nhất cho trường hợp tổng quát. Các em đều thích thú với việc làm này.
Bài toán 2. Tìm đa thức P(x) biết:
x P (x - 1) = (x - 3) P (x), ∀x∈R.
Giải. Cho x = 0 ta được P (0) = 0 x = 1 ta được P (1) = 0 x = 2 ta được P (2) = 0
Theo tính chất (3) suy ra P(x) = x (x -1 ) (x - 2) Q(x)
P (x - 1) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) Q (x - 1)
Từ giả thiết: Q (x - 1) = Q(x), áp dụng bài toán tổng quát bài toán 1 ta được Q (x) = C
Vậy P (x) = C x (x - 1) (x - 2). (C = const)
Đến đây tôi yêu cầu các em nêu bài toán tổng quát, hầu hết các em đã nêu được bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát: Cho a, b, ∈ R. Tìm đa thức P(x) biết: x P(x - a) = (x - b) P(x), ∀ x.
Nhưng không có một em nào giải được bài toán này. Bằng những định hướng sư phạm tôi đã giúp các em mò mẫm và dự đoán trên những trường hợp riêng sau đó quay về trường hợp tổng quát.
Bài toán 2.1. Tìm đa thức P(x) biết : xP(x) = (x - 2)P (x), ∀ x ∈ R. Hầu hết các em đã giải được P(x) ≡ 0.
Bài toán 2.2. Tìm đa thức P(x) biết: x P (x - 2) = (x - 3) P(x), ∀x. Với định hướng sư phạm của tôi các em giải như sau:
Thay x = 3 vào ta được x = 3 - 2 là nghiệm P (x). Thay x = 3 - 2 từ giả thiết ta được x = 3 - 2.2 là nghiệm của P (x), ..., thay x = 3 - 2n ta được x = 3 - 2(n + 1) là nghiệm của P(x) suy ra P(x) có vô số nghiệm. Vậy P (x) ≡ 0.
Từ những trường hợp riêng trên các em đã giải được bài toán tổng quát:
i) Khi a = 0, b = 0 thì P (x) tuỳ ý . ii) Khi a = 0, b ≠ 0 thì P (x) ≡ 0.
iii) Khi a ≠ 0, b = 0 thì P(x) = const tuỳ ý. iv) khi a ≠ 0, b ≠ 0 thì:
a) Nếu
a b
∉ N, thì khi thay x = b vào ta được x = b - a là nghiệm, tương tự khi thay x = b - a thì sẽ có x = b - 2a là nghiệm, ...., suy ra P (x) ≡ 0. b) Nếu a b ∈ N, thì P(x) có x = a, x = 2a, ..., x = (n -1)a là nghiệm.
Suy ra P (x) = (x - a) (x - 2a) ... (x - (n - 1)a)P (x).
Thế vào ta đựơc Q (x - a) = Q (x), ∀ x. Sử dụng bài toán tổng quát của bài toán 1 suy ra Q (x) = C. (C = const)
Qua tiết giảng dạy, các em phần nào đã làm quen được cách học tập một cách sáng tạo, rèn luyện cho bản thân thói quen: phân tích các khía cạnh khác nhau của bài toán, nghĩ tới bài toán tương tự, bài toán tổng quát, mò mẫm và dự đoán trên những trường hợp riêng sau đó quay về trường hợp tổng quát ...Nhìn chung các em ở trường phổ thông đang còn thiếu phương pháp học tập, các em chỉ biết sưu tầm các bài tập ở các SGK khác nhau để giải chứ chưa biết cách tự mình sáng tạo ra các bài toán mới, tự mình đặt vấn đề và tự mình giải quyết nó. Vì vậy tôi thiết nghĩ công tác bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho các em học sinh ở nhà trường phổ thông hiện nay rất cần thiết, đó công việc thường xuyên của người giáo viên, để nâng chất lượng chất lượng học tập hiện nay.
KẾT LUẬN
Trong tiểu luận này tôi đề cập đến các vấn đề
1. Tìm hiểu cấu trúc tư duy,tư duy sáng tạo và các cách bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học toán đã đựơc nhiều tác giả nghiên cứu.
2. Tiềm năng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh của loại toán giải phương trình hàm.
3. Tìm hiểu một số phương pháp giải phương trình hàm thông thường cùng với các ví dụ minh hoạ.
4. Đưa ra một số định hướng khai thác, sử dụng các bài toán về phương trình hàm trong dạy học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Một số nội dung trong khoá luận đã được thử nghiệm trong dạy học sinh giỏi toán lớp 10 trường PTTH Diễn Châu 3 và đã được học sinh khá giỏi đón
nhận một cách hứng thú. Bước đầu cho thấy có thể sử dụng các bài toán trong khoá luận này làm tư liệu bồi dưỡng học sinh giỏi hoặc ngoại khoá trong các nhóm Toán của các trường PTTH.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Quý Dy- Nguyễn Văn Nho - Vũ Văn, Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán, Nhà xuất bản giáo dục, 2001.
[2] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức và ứng dụng, Nhà xuất bản giáo dục, 2003.
[3] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh đại số 10, Nhà xuất bản đại học Quốc gia Hà Nội, 1998.
[4] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, Nhà xuất bản đại học sư phạm, 2002.
[5] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, Nhà xuất bản giáo dục, 1999. [6] Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Hoàng Phò, Tuyển tập các bài dự tuyển Ôlympic toán học quốc tế, Nhà xuất bản giáo dục, 2002. [7] Nguyễn Văn Nho, Ôlympic toán học Châu Á Thái Bình Dương, Nhà xuất bản giáo dục, 2003.
[8] G.PÔLIA, Giải bài toán như thế nào, Nhà xuất bản giáo dục,1997. [9] G.PÔLIA, Sáng tạo toán học, Nhà xuất bản giáo dục. 1997 .
[10] Nguyễn Cảnh Toàn, Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản đại học Quốc gia, 1997. [11] Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục, năm 1998.
[12] Tuyển tập 5năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục,năm 2003.