Tốn – Học Kì – Nguyễn Văn Quyền – 0938.59.6698 – sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A Lý thuyết Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức a b (hay a b; a b; a b ) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức Liên hệ thứ tự phép cộng - Nếu a b a c b c - Nếu a b a c b c - Nếu a b a c b c - Nếu a b a c b c Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Ví dụ: Cho a b a b 3 Liên hệ thứ tự phép nhân Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Với ba số a, b, c mà c ta có: - Nếu a b ac bc; a b ac bc - Nếu a b ac bc; a b ac bc Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho Với ba số a, b, c mà c ta có: - Nếu a b ac bc; a b ac bc - Nếu a b ac bc; a b ac bc Ví dụ: a b a.(3) b. 3 Bất phương trình ẩn 4.1 Nghiệm bất phương trình x a gọi nghiệm bất phương trình ta thay x a vào hai vế bất phương trình bất đẳng thức Ví dụ: x = nghiệm bất phương trình 2x 10 VT 2.3 9;VP 10 Vì 10 nên x = nghiệm bất phương trình 4.2 Tập nghiệm bất phương trình Tốn – Học Kì – Nguyễn Văn Quyền – 0938.59.6698 – sưu tầm biên soạn Tập nghiệm bất phương trình tập tất giá trị biến x thỏa mãn bất phương trình 4.3 Biểu diễn tập nghiệm • x / x a : • x / x a : • x / x a : • x / x a : a x a x a x a x Bất phương trình bậc ẩn 5.1 Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình có tập nghiệm hai bất phương trình tương đương Ví dụ: Hai bất phương trình 2x x hai bất phương trình tương đương 5.2 Quy tắc chuyển vế Khi chuyển vế hạng tử từ vế sang vế bất phương trình phải đổi dấu hạng tử Ví dụ: x x 3 5.3 Quy tắc nhân Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải:; - Giữ nguyên chiều bất đẳng thức số dương - Đổi chiều bất đẳng thức số âm Ví dụ: x 3 x (nhân hai vế với – đổi chiều bất đẳng thức) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối: |x|= { x x ≥0 -x x 14b g) a 13 b 13 h) 7a < 7b i) 2a 2b Bài toán 2: So sánh a b nếu: a) a b b) 5a 5b c) a 10 b 10 Bài toán 3: Cho a 0,b a b Chứng tỏ 1 a b a b2 ab Bài toán 4: Cho a, b hai số bất kì, chứng tỏ Bài tốn 5: Cho a, b hai số dương, chứng tỏ a b b a Bài toán 6: Chứng minh bất đẳng thức: a) a b2 ab a b d) x y z x y z b) a b c a b c x y2 z x y z e) 3 c) x y 2 x y2 Bài toán 7: Chứng minh bất đẳng thức a) 1 1 1.3 3.5 2n 1 2n 1 1 với n 2 n 1 99 c) 15 100 10 b) Tốn – Học Kì – Nguyễn Văn Quyền – 0938.59.6698 – sưu tầm biên soạn Bài tốn 8: Thử xem x 1 có nghiệm bất phương trình sau khơng? c) 3x 5x d) x 3x a) 3x 2x b) 3x x Bài toán 9: Kiểm tra xem x 2 có nghiệm bất phương trình sau khơng? c) 10 4x 7x 12 d) 8x 6x a) 3x 9 b) 5x 2x Bài toán 10: Viết tập nghiệm bất phương trình sau kí hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm trục số: a) x b) x 2 c) x 1 d) x Bài toán 11: Cho tập hợp A x e) x f) x g) x 2 h) x 3 / 10 x 10 Tìm x A nghiệm bất phương trình: a) x b) x c) x d) x Bài toán 12: Viết bất phương trình nghiệm từ mệnh đề sau: a) b) c) d) e) f) Tổng số 11 lớn 17; Hiệu 15 số nhỏ – 13; Tổng lần số lớn 8; Hiệu 10 lần số nhỏ 15; Tổng hai lần số số lớn 18; Hiệu lần số nhỏ 10 Bài toán 13: Chứng minh bất phương trình sau: a) x x có nghiệm c) x 1 x 5 10 vô nghiệm b) x 3x có nghiệm d) x 2x 2x vơ nghiệm Bài tốn 14: Giải bất phương trình sau: x 3 x 17 10 x 48 x 15 5 5x 18 16 17 18 19 3x x 7x 5x 5x 18 x x 3 2x 1 12x 20 2x x 3x 1 15 3x x Tốn – Học Kì – Nguyễn Văn Quyền – 0938.59.6698 – sưu tầm biên soạn 3x 21 3x x 1 x 2x 10 4x 3x 22 x x 8x x x 1 x 23 x 4 15 x 1 2x x 1 24 2x 2x 25 3 4x 1 5x 8x 11 5x 4x 26 4x 19x5 2x 3 12 6x 7x 13 5x 15 27 2x3 x x4 x 2 x 3 28 x x 2x x 29 x 5 3 11 3x 3x 4x 2 14 6x 18 15 0,8x 32 30 3x 2x 1 Bài tốn 15: Giải bất phương trình sau (a số cho trước): x x 1 a) 2x 3a d) 2a 1 x a với a b) a 5x e) a 1 x a c) a 1 x 2a với a 1 f) a 2a x 2a Bài toán 16: Viết thành bất phương trình giải: a) b) c) d) Tìm x cho biểu thức x 3,5 nhận giá trị âm; Tìm x cho biểu thức x 11 nhận giá trị dương; Tìm x cho biểu thức 3x lớn 4; Tìm x cho giá trị biểu thức 5x lớn giá trị biểu thức 3x 12 Bài tốn 17: Tìm giá trị x thỏa mãn hai bất phương trình: x 3 2 2x 1 12 x 3 x 1 x 1 3 (1) (2) Tốn – Học Kì – Nguyễn Văn Quyền – 0938.59.6698 – sưu tầm biên soạn Bài tốn 18: Tìm số ngun x thỏa mãn hai bất phương trình: x 2x 3 (1) 2x x (2) Bài tốn 19: Tìm giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm dương: a) x x 1 x m 2 x m 1 m 1 m 1 m 1 m b) m x 1 Bài toán 20: Tìm giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm âm a) 0,5 5x 1 4,5 2m x b) 3mx 12m 2x 3x 4m 9m2 3m 1 3m Bài tốn 21: Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A x 1 x có giá trị lớn nhứng nhỏ Bài toán 22: Với giá trị a phương trình a 1 a có nghiệm dương nhỏ x 1 Bài toán 23: Xác định m để bất phương trình m 4m 3 x m m nghiệm với x Bài tốn 24: Giải phương trình 2x x 2x 17 x 11 2x 3x 3x x x x 1 13 x x 2x x 14 3x x 3x x 15 x 2x 5x 3x 16 5x 2x 4,5x 2,5x 17 x 1 x 10 x 12 4x 2x 11 18 x x x x 12 Toán – Học Kì – Nguyễn Văn Quyền – 0938.59.6698 – sưu tầm biên soạn x 2x 19 10x 10 3x 2x 3 10 3x 4x 20 x x x 14 Bài toán 25: Giải phương trình a) x 1 x 14 x 8 x 9 3x 7x x 3x 2x c) x 3 b) Bài tốn 26: Giải phương trình a) x x e) x x b) x x f) x x c) 2x x 2x x g) x x d) x 3x 3x x h) x x 2x Bài toán 27: Giải phương trình a) 3x x 2x x 12 d) 5x x 1 8x 4x 8x 2x x 8x 16 x2 x b) x x 1 e) x2 x2 x 2x x 2x x x 4x 16 x3 x x 1 c) x x2 x2 x x2 7x 3x f) x 3 x 3 x2 Bài toán 28: Giải bất phương trình a) 2x 4x c) 23 x 1 1 x d) b) x 4x x2 x 1 x 3 x 5 3 e) 2x x f) 2x 4x Toán – Học Kì – Nguyễn Văn Quyền – 0938.59.6698 – sưu tầm biên soạn Bài toán 29: Giải biện luận bất phương trình xm 1 mx xm x2 b) x 1 x 1 a) 1 a x 1 ax b c) x 1 x x2 1 Bài toán 30: Chứng minh bất đẳng thức với a b 1; b) a b c2 với a b c c) a12 a 2 a n với a1 a a n n a) a b2 Bài toán 31: Cho biểu thức 3 x 2x x 10 3 M : 3 x x x x x x x x x x 1 a) Rút gọn M; b) Tính giá trị M biết x ; c) Tìm x biết M 2004; d) Tìm giá trị x để M 0, M 0; e) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức M số nguyên Bài toán 32: Trong buổi lao động trồng cây, cô giáo chủ nhiệm phân công cho tổ sau: Tổ I trồng 20 4% số lại Tổ II trồng 21 4% số lại Tổ II trồng 22 4% số lại Tốn – Học Kì – Nguyễn Văn Quyền – 0938.59.6698 – sưu tầm biên soạn Cứ chia tổ cuối vừa hết số số tổ trồng Hỏi lớp có tổ, số lớp trồng bao nhiêu? Bài toán 33: Trong lớp có 14 học sinh giỏi Tốn, 13 học sinh giỏi Văn Số học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Văn nửa số học sinh không giỏi Tốn mà khơng giỏi Văn Hỏi có học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Văn, biết số học sinh lớp 35 ... 10 x 4? ?8 x 15 5 5x 18 16 17 18 19 3x x 7x 5x 5x 18 x x 3 2x 1 12x 20 2x x 3x 1 15 3x x Tốn – Học Kì – Nguyễn Văn Quyền – 09 38. 59.66 98 – sưu... ≥0 -x x