Chuyên đề 13 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hệ phương trình bậc ba ẩn hệ phương trình có dạng: a1 x b1 y c1 z d1 a2 x b2 y c2 z d a x b y c z d 3 Điều kiện a1 ; a2 ; a3 ; b1 ; b2 ; b3 ; c1 ; c2 ; c3 không đồng thời Để giải hệ phương trình bậc ba ẩn, thường dùng phương pháp thế, phương pháp cộng để giảm bớt ẩn Đưa hệ phương trình bậc hai ẩn Tương tự vậy, hệ phương trình bậc n ẩn hệ phương trình có dạng: a1 x1 b1 x2 c1 xn d1 a x b x c x d 2 2 n an x1 bn x2 cn xn d n Điều kiện a1 ; a2 ; ; an ; b1 ; b2 ; ; bn ; ; c1; c2 ; ; cn không đồng thời Tương tự trên, ta làm giảm bớt số ẩn cách dùng phương pháp thế, phương pháp cộng Tuy nhiên phụ thuộc vào bài, ta có cách giải thích hợp ngắn gọn B Một số ví dụ x y z 11 (1) (2) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: x y z 5 3 x y z 14 (3) Giải Tìm cách giải Phương trình bậc ba ẩn Ta khử bớt ẩn để đưa hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng phương pháp thế: Cách Dùng phương pháp cộng để khử ẩn z, đưa hệ phương trình hai ẩn x, y Cách Từ phương trình (1) biểu diễn z theo x y vào phương trình (2) (3) ta hệ phương trình hai ẩn x, y Trình bày lời giải Cách Từ phương trình (1) (2) ta có: x y Từ phương trình (2) (3) ta có: x y 9 x y 5 y 15 x 0 Từ ta có hệ phương trình: x y 9 x y 9 y 3 Thay vào phương trình (1) ta tính z 8 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y; z 0;3;8 Cách Từ phương trình (1) ta : z 11 x y Thay vào phương trình (2) (3) ta : x y 11 x y 5 3 x y 11 x y 14 x y 2 x y 3 x y 4 x y 6 x 0 y 3 Thay vào phương trình (1) ta tính z 8 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y; z 0;3;8 3 x y z 22 (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: x y z 20 (2) x y 3z 18 (3) Giải Tìm cách giải Ngồi cách giải ví dụ Quan sát đặc điểm hệ số phương trình, ta nhận xét cộng vế ba phương trình, ta phương trình có hệ số ẩn giống Do ta có lời giải hay gọn Trình bày lời giải Từ phương trình hệ, ta cộng vế với vế ta x y z 60 x y z 12 (4) Từ phương trình (4) thay vào phương trình (1); (2); (3) ta được: x 12 22 y 12 20 z 12 18 x 5 y 4 z 3 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y; z 5; 4;3 x y z 12 1 Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình: x y z 1 10 Có nghiệm x; y; z Chứng tỏ x y z khơng đổi (Thi HSG Tốn lớp 9, TP Đà Nẵng, Năm học 2009 – 2010) Giải x y z 12 1 Cách 1: x y z 1 10 3 x y z 12 (1) 10 x y z 30 (2) Từ phương trình (2) (1), lấy vế trừ vế ta được: 18 x y z 18 x y z khơng đổi Cách 2: Từ phương trình (1) ta có: z 3x y 12 (3) Thế vào phương trình (2) ta được: 10 x y x y 12 30 10 x y 18 x 24 y 72 30 102 21 y 28 x 21y 102 x 28 Thay vào (3) ta có: z 102 21 y 49 y 30 y 12 z 28 28 102 21 y 49 y 30 18 y không đổi Xét x y z 28 28 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y z biết x, y, z không âm thỏa mãn hệ x y z 8 phương trình: 3 x y z 2 (Thi HSG Toán lớp 9, TP Hồ Chí Minh, Năm học 2011 – 2012) Giải Tìm cách giải: Từ giả thiết ta thấy hệ phương trình bậc ba ẩn mà có hai phương trình, hệ phương trình có vơ số nghiệm Suy luận, ta coi ẩn tham số, biểu diễn hai ẩn cịn lại theo tham số Chẳng hạn biểu diễn x, y theo z Cũng từ biểu thức A viết dạng đa thức chứa z Từ điểu kiện x, y, z không âm, ta xác định miền giá trị z Từ ta có lời giải sau: Trình bày lời giải x y 8 z (1) Ta có: 3 x y 2 z (2) Từ (2) ta có: y 3 z 3x Thay vào phương trình (1) ta được: x z x 8 3z x z Do y 3 z z 2 z 2 3 z 0 x Kết hợp với y 0 2 z 0 z z 0 z 0 Suy ra: A x - y z z (3) 15 z z z 15 15 Kết hợp với (3) ta có: A z 2 Vậy giá trị nhỏ A z 0, x 0, y 2; C Bài tập vận dụng 13.1 Giải hệ phương trình sau: x y 3z 4 (1) a) 3 x y z 3 (2) 5 x y 9 (3) x y 3z 0 (1) b) x y z 0 (2) 3 x y z 0 (3) (1) x y z 4 c) x y z 6 (2) x y z 6 (3) Hướng dẫn giải – đáp số 4 x y z 8 x y 1 a) Từ phương trình (1) (2) ta có 9 x y z 9 Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ phương trình: 5 x y 1 10 x 10 x 1 5 x 4 y 9 5 x y 9 y 1 Thay vào phương trình (1) ta tính z 1 Vậy tập nghiệm hệ phương trình x; y; z 1;1;1 b) Từ phương trình (1) ta có: x 2 y z thay vào phương trình (2), (3) ta được: y z y z 0 y z 7 y 3 2 y z z 2 3 y 3z y z 0 Từ phương trình (1) ta có: x 2.3 3.2 5 Vậy tập nghiệm hệ phương trình x; y; z 5;3; c) Từ phương trình (1) ta có: x 4 y z thay vào phương trình (2), (3) ta được: 2 y z y z 6 4 y z y z 5 y z 2 4 y z 10 y 1 z Từ phương trình (1) ta có: x 4 2.( 3) 9 Vậy tập nghiệm hệ phương trình x; y; z 9;1; 3 x y z t 11 (1) x y z t 12 (2) 13.2 Giải hệ phương trình sau: x y z t 13 (3) x y z 2t 14 (4) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình hệ, ta cộng vế với vế ta được: x y z t 50 x y z t 10 (5) Từ phương trình (5) thay vào phương trình (1), (2), (3), (4) ta được: x 10 11 y 10 12 z 10 13 t 10 14 x 1 y 2 z t 4 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y; z; t 1;2;3; 13.3 Giải hệ phương trình: x y z t 4 x y z t 8 a) x y z t 12 x y z t 16 (1) (2) (3) (4) x y z t 8 (1) y z t x 6 (2) b) z t x y 4 (3) t x y z 2 (4) Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) (2) cộng vế với vế: x y 12 x y 6 Từ phương trình (3) (4) cộng vế với vế: x y 28 x y 14 x y 6 Từ ta có hệ phương trình: x y 14 x 10 y Thay vào phương trình (1) (3) ta được: 6 z t 4 14 z t 12 z t z t z t 0 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t 10; 4; 2;0 b) Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được: x y z t 20 x y z t 10 (*) Từ phương trình (*) kết hợp với hệ phương trình ta có: 10 10 10 10 2t 8 x 6 y 4 z 2 t 1 x 2 y 3 z 4 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t 2;3; 4;1 13.4 Giải hệ phương trình sau: x y z 6 y z t 9 a) z t u 12 t u x 10 u x y 8 (1) (2) (3) (4) (5) x y z 4 y z t 5 b) z t u 6 t u x 12 u x y 8 (1) (2) (3) (4) (5) Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ hệ phương trình cho, cộng vế với vế ta được: x y z t u 45 x y z t u 15 (6) Từ (6) (1) suy ra: t u 15 t u 9 Thay vào (4) ta có: x 1 Thay vào (3) ta có: z 3 Thay vào (1) ta được: y 2 Thay x 1; z 3 vào (3) ta được: t 4 Thay z 3; t 4 vào (4) ta được: u 5 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t; u 1; 2;3; 4;5 b) Từ hệ phương trình cộng vế với vế ta được: x y z t u 35 (6) Từ phương trình (1) ta có: x y 4 z Từ phương trình (4) ta có: t u 12 x Thay vào phương trình (6) ta có: z z 12 x 35 x 19 z Thay vào phương trình (1) ta có: 19 z y z 4 y 3z 15 Thay vào phương trình (2) ta có: 3z 15 z t 5 t 4 z 20 Thay vào phương trình (3) ta có: z z 20 u 6 u 5 z 26 Thay vào phương trình (4) ta có: z 20 z 26 19 z 12 z 7 Từ ta tính được: x 19 z 5 y 3 z 15 6 t 4.7 20 8 u 5.7 26 9 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t ; u 5;6;7;8;9 13.5 Giải hệ phương trình sau: x y z 3t 34 x y z t 13 a) x y z 4t 36 x y z 5t 51 (1) (2) (3) (4) x y z t 10 x y z t 6 b) x y z t 6 x y z 2t 13 (1) (2) (3) (4) Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) (2) ta có: y z 2t 21 (5) Từ phương trình (1) (3) ta có: y t Từ phương trình (1) (4) ta có: 3z 2t 17 (6) (7) Từ phương trình (6) y t thay vào phương trình (5) ta được: t z 2t 21 z 4t 25 (8) Từ phương trình (7) (8) ta có hệ phương trình : 3 z 2t 17 3 z 4t 25 z 3 t 4 Từ ta tính được: y t 4 2 Thay vào phương trình (1) ta có: x 3.2 5.3 3.4 34 x 1 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t 1; 2;3; b) Từ phương trình (1) (2) ta có: y z (5) Từ phương trình (1) (3) ta có: y 2t y t (6) Từ phương trình (1) (4) ta có: y z t (7) Từ phương trình (5) y 2 z thay vào phương trình (6): z t t 2 z thay vào phương trình (7) ta có: z z z z 3 Từ ta tính được: y 2.3 2; t 2.3 4 Thay vào phương trình (1) ta có: x 10 x 1 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t 1; 2;3; 13.6 Giải hệ phương trình: x y z a) x y z 30 x y 1 z b) x y z 3 Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt x y z k suy x 5k ; y 7k ; z 3k Mà x y z 30 nên 10k 7k 12 30 15k 30 k 2 x 5.2 10 Vậy nghiệm hệ phương trình là: y 7.2 14 z 3.2 6 b) Đặt x y 1 z k suy x 3k 2; y 4k 1; z 7 k Mà x y z 3 nên 3k 4k 1 k 3 k x 3.( 6) 16 Suy y 4.( 6) 25 z 7.( 6) 42 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z 16; 25; 42