Chuyên đề 23 bất phương trình dạng tích, thương

Chương IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Chuyên đề 23 BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, THƯƠNG A Kiến thức cần nhớ Bất phương trình dạng tích: A  x  B  x   ; (hoặc A  x  B  x   0; A  x  B  x  0; A  x  B  x  0 ); Bất phương trình dạng thương: A x 0 B  x (hoặc A x A x A x  0; 0; 0 ) B  x B  x B  x Định lý dấu nhị thức bậc ax  b  a 0  : Nhị thức bậc dấu với a x   Nhị thức bậc trái dấu với a x   Do  b a b a b nghiệm nhị thức ax  b nên định lý phát biểu: a Nhị thức ax  b  a 0  dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức Phương pháp giải bất phương trình dạng tích, thương: Phân tích thành nhân tử chứa nhị thức bậc Lập bảng xét dấu nhị thức bậc ax  b x ax  b  trái dấu với a b a dấu với a B Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải bất phương trình  x    1945  x   * Tìm cách giải: Với tích A.B  xảy A B dấu Do A  B  A  B  Ta có cách giải: Giải Cách 1: Bất phương trình cho tương đương với:  2 x    1945  x     2 x     1945  x   2 x     x   1945   2 x     x   1945   x  4,5    x   1945    x  4,5    x   1945  x  4,5  x   1945  Vậy nghiệm bất phương trình x  4,5; x   1945 * Chú ý: Bằng việc lập bảng xét dấu thừa số tích nhị thức bậc ta có cách 2: Lập bảng xét dấu: x  1945    4,5  + + +  + 2x   1945  x  x    1945  x  + Vậy nghiệm bất phương trình: x  4,5 x   1945 Ví dụ 2: Giải bất phương trình  x    x  10    x  x  30 * Tìm cách giải: Ta phân tích vế phải thành nhân tử, xuất nhân tử chung chuyển vế để đưa phương trình tích Giải 2 a) Ta có:  x  x  30  x  x  x  30   x    x   Do bất phương trình thành  x    x  10    x    x  5    x    x  15   Lập bảng xét dấu: x  7,5 x    x  15   x    x  15 + + +   + + Nghiệm bất phương trình là:  7,5  x  Ví dụ 3: Giải bất phương trình x  36 13 x sau biểu diễn nghiệm trục số * Tìm cách giải: Chuyển tất vế phân tích vế thành nhân tử giải bất phương trình tích Giải Ta có x  36 13x  x  13x  36 0  x  x  x  36 0   x    x   0   x    x    x  3  x  3 0 Lập bảng xét dấu: x 3 x    x2    x    x 3  Vế trái + +  2    +   +  +  x   Nghiệm bất phương trình là:    x 2 Biểu diễn nghiệm:  x 3   + +  +   +  +  + + + 2016  x 0 x  x  8 Ví dụ 4: Giải bất phương trình: * Tìm cách giải: Đây bất phương trình dạng thương  2016  x  chia cho x  x   Ta có 2016  x 0  x 336; x  0  x  Giải ĐKXĐ: x 0 x  Đặt A  x 2016  x Lập bảng xét dấu: x  x  8 8 2016  x x +    +  x 8   +  A  8 x 0 A 0   x 336 + Ví dụ 5: Giải bất phương trình   x  x  28  x  x  15 336 +  +  +   +  + +   1 Và biểu diễn nghiệm trục số * Tìm cách giải: Nếu chuyển vế, rút gọn vế trái ta bất phương trình dạng thương Phân tích tử, mẫu thành nhân tử lập bảng xét dấu Giải ĐKXĐ: x 3; x   1   x 1  x   0  x  x  28 x2  x     0  2 x  x  15 x  x  15  x  3  x   Lập bảng xét dấu ta có: x 5 1 x 1    x   x  x 5  Vế trái +  + +  +    +        +   +  + x5  Nghiệm bất phương trình    x 2 Biểu diễn nghiệm:  x  3  +  +  +  + +  5 x  15  x   1 x    2x    : Ví dụ 6: Cho biểu thức A   1 x  x  2x   x  Tìm x để A  * Tìm cách giải: Khi rút gọn biểu thức tìm x để A  cần lưu ý ĐKXĐ Do sau chia 1 x thành mẫu số nên x 1 Giải Rút gọn A: ĐKXĐ: x 3; x 1; x 4,5 Ta có:  5  x  3  x     x     x   A   x  3  x  3   x  x   x    5   x     x  x  3  x  3  x  x  3   x       x 3 x 3 1 x 1 x  x    x Lập bảng xét dấu: x   x  1  1 x  + | 1 x + |  +   A +    x 1 Vậy để A    x  3; x 4,5  +  +  +  +    Ví dụ 7: Giải bất phương trình: 1 1     0 x  x x  3x  x  x  x  39 x  380 * Tìm cách giải: Bất phương trình có ẩn mẫu nên lưu ý ĐKXĐ 2 Ta có x  x  x  x  1 ; x  x   x  1  x   ; có dạng tổng quát A  A  1 Mà A   A  1 1    Ta phân tích phân thức vế trái rút gọn, phân A  A  1 A  A  1 A A thức dạng thương Giải ĐKXĐ: x   0;1; 2;3; ;19; 20 Biến đổi bất đẳng thức thành: 1 1     0 x  x  1  x  1  x    x    x  3  x  19   x  20   1 1 1       0 x x x x x  20 x  19  1 20  0  x  20 x x  x  20  Đặt A  20 Lập bảng xét dấu x  x  20  x x  x  20 A   +  +   20   + + + A  x   1; 2;3; ;19  x  20 Ví dụ 8: Giải bất phương trình m  với m tham số x * Tìm cách giải: Bất phương trình có ẩn mẫu có tham số nên phải lưu ý ĐKXĐ biện luận tham số m giải bất phương trình Giải ĐKXĐ: x 2  m  1  3x  m m 3  30 x x x Ta thấy m   3x 0  x  Ta có m 1 m 1 m 1  m  1  3x   m    m  Đặt B  3 x Lập bảng xét dấu: m  x m 1  3x m 1 x +  B   +  +  + Với m  ta có nghiệm bất phương trình là:  x   +  m 1 Lập bảng xét dấu: m  m 1  3x x 2 m 1 x +       + B  Với m  ta có nghiệm bất phương trình là: +   m 1 x2 Ví dụ 9: Tìm giá trị m để nghiệm phương trình sau lớn 3: m 3  m x * Tìm cách giải: Bài tốn giải phương trình với tham số, tìm nghiệm sau coi tham số m ẩn để nghiệm lớn thực chất giải bất phương trình ẩn m Giải a) Với x 3 ta có m   x  3   m   x  m  3 4m  * Với m  phương trình trở thành x  vô nghiệm * Với m   x  4m  m 3 Để x  ta phải có: 4m  4m  m 3  30 0 m3 m3 m3 Đặt C  m Lập bảng xét dấu m3 m 3 m 3  m  C + Để x  m  m    +    C Bài tập vận dụng 23.1 Giải bất phương trình x  x  2 x  biểu diễn nghiệm trục số Hướng dẫn giải – đáp số Biến đổi thành x  x  0   x    x  3 0 Cách 1: Lý luận x  0 x  0 (do x   x  2, x ) Cách 2: Lập bảng xét dấu Ta có kết   x 2 Biểu diễn nghiệm trục số: 23.2 Giải bất phương trình sau: a)  19 x     x   3x    30  x   ; 2 b)  10  x   x  2001  x  25 x  50  100  x Hướng dẫn giải – đáp số  + + + a) Lập bảng xét dấu Nghiệm x   2 30 ;  x  x  19 b) Nhận xét: 3x  25 x  50  3x    x  10    10  x   x   Mặt khác 100  x  10  x   10  x  Do ta biến đổi BPT   10  x   x  2001   10  x   x     10  x   10  x     10  x   x  2016    x  10 Giải bất phương trình   x  2016 23.3 Giải bất phương trình biểu diễn nghiệm trục số a) x  x  26 x  24  ; b) x  x  22 x  36 4  x  3 Hướng dẫn giải – đáp số Đây bất phương trình bậc ba bốn Ta chuyển vế sử dụng hệ định lý Bézout (nhẩm nghiệm) để phân tích vế trái thành nhân tử a) BPT   x    x  3  x    3  x  Lập bảng xét dấu tìm nghiệm:  x2 b) Chuyển vế biến đổi BPT   x  1  x    x  3  x   0  x   Lập bảng xét dấu tìm nghiệm:    x 3 Biểu diễn nghiệm:  x 4 23.4 Giải bất phương trình sau biểu diễn nghiệm trục số a)  x  1  x  3  x   9 ; b)  x  1  x    x    x   18 ; c)  x  x    x  3  x    30 Hướng dẫn giải – đáp số a) Nhân vào nhân tử thứ nhất, nhân vào nhân tử thứ hai nhân vào vế phải ta được: BPT   x    x    x   72 Đặt x   y ta có:  y  1  y  1 y 72   y  1 y  72 0  y  y  72 0   y    y   0 Do y   x     0, x nên y  0 Hay  y  3  y  3 0 Thay y 8 x  vào ta có:  x    x   0 Giải   x  (Bạn đọc tự biểu diễn nghiệm trục số) b) Nhân vào nhân tử thứ nhất, nhân vào nhân tử thứ hai nhân vào vế phải ta được: BPT   x    x    x    x   72    x    x      x    x    72   16 x  36 x  14   16 x  36 x  20  72 Đặt 16 x  36 x  17  y ta có:  y  3  y  3  72 0  y  81 0   y    y   0 81 23 2 Do y  16 x  36 x  26  x   2.4 x   4  23   x     0, x từ ta có y  0 2  2 Hay 16 x  36 x  0  x  x  0   x  1  x   0  x  (Bạn đọc tự biểu diễn nghiệm) Giải bất phương trình   x 2 c) BPT   x  1  x    x  3  x    30   x    x    x  3  x    120   x  14 x  10   x  14 x  12   120  Đặt x  14 x  11  y ta có  y  1  y  1  120   y  112    y  11  y  11  49 39 2 Do y  11 4 x  14 x  22  x   2.2 x   4  39   x     0, x 2  Do y  11  hay x  14 x   x  x     x  3,5 Giải bất phương trình  (Bạn đọc tự biểu diễn nghiệm) x0 23.5 Giải bất phương trình: 2 a)  x    x    x   96 ; b) x  26  x  x    3x  x  x ; 3 c) x  x  27   x  1   x  27  Hướng dẫn giải – đáp số 4 a) BPT   x    x   96  x8  12 x  32  96 0  x8  x4  16 x  64 0   x  16   x   0 Do x   0, x nên x  16 0   x    x    x   0 Do x   0, x nên  x    x   0    x 2 * Chú ý: Câu a) dùng phương pháp đặt biến phụ: Đặt x   y ta có  y    y   96  y   96 0  y  100 0   y  10   y  10  0 Do y  10  x   10  x   0, x nên y  10 0 hay x  16 0 giải ta   x 2 b) Để ý x   x  x   x  x     x   x  x    x  x   Do có  x     x  x    3x  26  0   x  x    x  x     x  x    x  26  0   x  x    x  x  24  0   x  x    x    x   0 Do x  x   x  1   0, x nên ta xét  x   x 8  x    x  3 0   c) BPT   x  27   x  x      x  3  x  x    x    x     27  Ta có x  x   x     0, x Vậy  x  3  x  3  x    2   3 x  Giải bất phương trình ta có nghiệm:  x 3 23.6 Giải bất phương trình  2x  0 1945  70 x Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ x  389 Lập bảng xét dấu: 14 Nghiệm bất phương trình là:  389 x 14 23.7 Giải bất phương trình: a)  5x 2 ; x b) 3x 2x  1  ; x x2 c)  ; x x d) 2x  1 x x Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ x 4 BPT  x4  5x  3x  0  0   x x  x  b) ĐKXĐ x 2 ; BPT  11x  0  x  2  x  2 x2 Lập bảng xét dấu ta tìm   x   11 c) ĐKXĐ x 8 x 6 BPT   x  10 0  x  8  x   6  x 8  x  10  d) ĐKXĐ x 3 x 1 BPT   x  3  x    x  1  x  3 0 x3  Lập bảng xét dấu, nghiệm   x   x  23.8 Tìm x để  x 3 5 x Hướng dẫn giải – đáp số  x 3  x   x 3 3 5    x  x 3   x  5  x    x    x   x   23.9 Cho A  x  x 1     x 1 x    x  x 1      x 1 x    x  2016   Rút gọn A sau tìm giá trị x để A 0 Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ x 3 ; x 1 Rút gọn:  x  2016   x  x  10   x  2016   x  x  5 A   8x 41 x Do x  x   x  1   0, x nên A 0  x  2016 0 1 x  x 2016 Giải  x   x 1  x x  27 x  3x   B   23.10 Cho  : x   x x  x  x  27 Tìm x để B 2015 Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x 3; x  Rút gọn B  B 2015  2 x x 3 2 x 2 x  2016 x  6043 2015   2015 0  0 x 3 x 3 x 3 Giải bất phương trình được:   x  6043 2016 23.11 Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm khơng âm 5  m x Hướng dẫn giải – đáp số Với x 2 ta có:   m   x    x  m   2m  13 * Với m 5 phương trình trở thành x  vơ nghiệm * Với m 5  x  Để x 0 ta phải có 2m  13 m  m 6,5 2m  13 0   m m 5 23.12 Giải bất phương trình sau: x2              x               10   15   21   28  Hướng dẫn giải – đáp số        Ta có   1   1   1   1   1   1 10 15 21 28                 1   1   1   1   1   1  2.3   3.4   4.5   5.6   6.7   7.8     10  18  28  40  54 1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9   2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 Do bất phương trình trở thành x2 x    x  x  28  7   x  7  x  4  Giải bất phương trình ta được:   x  23.13 Giải bất phương trình sau: 2  x  x  1945 1    1     1975         99.100  99 100   1.2 3.4  51 52 Hướng dẫn giải – đáp số Xét 1 1 1 1           1.2 3.4 99.100 99 100 1 1 1         99 100  1      100  2 1 1 1  1  1 1                    99 100  50  51 52 99 100 2 Vậy x  x  1945  1975  x  x  30    x    x    x6 Giải bất phương trình  x 5 23.14 Giải bất phương trình sau: 2a   x   a x x    a  a 1 a 1 a  a 1  a3 Hướng dẫn giải – đáp số Với a  BPT   x x 2a  2ax  a     a  a 1 a 1 a  a 1 a  a 1  a3 1  a  2ax  2a   0 a  a  a   a  1  a  a  1 a   a  a   a  2ax  2a 2ax  0 0  a  1  a  a  1  a  1  a  a  1 2ax 1  0 Do a  a   a     0, a nên ta xét a 1 2  Xét dấu a a  nghiệm x  có: Nếu a   a  a 1 a 1 Nếu   a  a  có nghiệm x  a 1 Nếu a 0 bất phương trình trở thành x  vơ nghiệm        1 23.15 Cho A   1   1   1     18   30   260        B                    10  Tìm x để B  x  A 30 Hướng dẫn giải – đáp số        1   1   1   1 Ta có A   1.8   2.9   3.10   13.20  14 24 36 266 2.7 3.8 4.9 14.19   1.8 2.9 3.10 13.20 1.8 2.9 3.10 13.20  2.3.4 13.14 7.8.9 18.19 49  1.2.3 12.13 8.9.10 19.20 10 B  15 99 1.3 2.4 3.5 9.11  2.2 3.3 4.4 10.10 2.2 3.3 4.4 10.10 1.2.3 8.9 3.4.5 10.11 11  2.3.4 9.10 2.3.4 9.10 20 11 x  49 33 x  294       33  x   294 20 30 10 60 60 60  37  x  298  18,5  x  149 23.16 Giải bất phương trình x 3 x (Thi tuyển sinh lớp 10 THPT Thừa Thiên –Huế, năm học 2001 – 2002) Hướng dẫn giải – đáp số x x x   3x   2x 2x 3  30 0 0 0 x x x x x Lập bảng xét dấu: x 2x  x   +   VT + Vậy x  1; x  nghiệm bất phương trình    + + + 23.17 Giải bất phương trình  x2     2 x  x 1 x  x  (Khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp huyện Thường Tín – Hà Nội, năm học 2010 -2011) Hướng dẫn giải – đáp số 3 x2     2 x  x 1 x  x  x2          1   1    1 0 x   x 1   x    x    x2  x2  x2  x2     0 x2  x2 1 x  x2  1     x2  4      0  x  x 1 x  x     x    x       x  1 1    0 x  x 1 x  x 