Đs chuyên đề 15 hệ phương trình chứa tham số

Chuyên đề 15 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ A Kiến thức cần nhớ Trong trình giải hệ phương trình chứa tham số, để thỏa mãn điều kiện nghiệm số hệ phương trình, cần nhớ số kiến thức sau: Phương trình ax  b 0 (1)  Phương trình (1) có nghiệm  a 0  Phương trình (1) vơ nghiệm  a 0, b 0  Phương trình (1) vô số nghiệm  a , b 0  ax  by c Đối với hệ phương trình:   ax  by c Với điều kiện a, b, c khác Cần lưu ý đến tỉ số a b c , để rút kết luận số nghiệm a  b c hệ phương trình Cụ thể là:  Nếu a b  hệ phương trình có nghiệm a  b  Nếu a b c   hệ phương trình có vơ nghiệm a b c  Nếu a b c   hệ phương trình có vơ số nghiệm a b c B Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải biện luận hệ phương trình hai ẩn x y sau theo tham số m  mx  y m  (1)  (2)  x  my 3 (Thi học sinh giỏi tốn 9, TP Hồ Chí Minh năm học 1991 – 1992 Vịng 1) Giải Tìm cách giải Giải biện luận hệ phương trình xét tất trường hợp theo giá trị tham số m kết tốn ứng với giá trị Bài tốn thường có nhiều cách giải Trong nên dùng phương pháp đưa phương trình ẩn Chẳng hạn từ phương trình (1) biểu thị y theo x, vào phương trình (2) ta phương trình ẩn (ẩn x), số nghiệm hệ phương trình phụ thuộc vào phương trình Trình bày lời giải  mx  m    mx  y m   y      x  my 3 2 x  my 3 4 x  m x  m  m 6     mx  m  y      m2 x  m2  m 2x  3    y   mx  m     m  x  m  m   (*)   mx  m  y    Nếu m 2 0.x 0  Ta có (*)    2x    y  x  R    2x   y   Nếu m  0.x 4  Ta có (*)   2x   y    x    2x   y   Nếu m 2   m2  m  x    m2  Ta có (*)    y   mx  m     m  3   m   m  x x     m    m    m     mx  m   y  y   m2  Kết luận: x  R   m 2 hệ phương trình có vơ số nghiệm Công thức nghiệm tổng quát là:   2x   y   m  hệ phương trình vơ số nghiệm m 3   x  m   m 2 hệ phương trình có nghiệm  y  m2   m  1 x  my 3m  (1) Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:  (2)  x  y m  a) Giải phương trình với m 2 2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm cho x  y  Giải a) Với m = vào hệ phương trình  x  y 5  x 3  Hệ phương trình   nghiệm hệ phương trình 2 x  y 7  y  b) Tìm cách giải Bước đầu tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm phương pháp tỉ số hệ số (trong câu dùng phương pháp thế) Sau thay 2 nghiệm vào x  y  ta bất phương trình chứa m Giải bất phương trình ẩn m xong, ta kết hợp với điều kiện đề kết luận Trình bày lời giải Từ phương trình (2)  y 2 x  m  Thế vào phương trình (1):  m  1 x  m  x  m  5 3m    m  1 x  m  1 Điều kiện để hệ có nghiệm m   x m   y m  x  y m  2m   m  6m  8m    8m  12  m  1,5 2 Vậy m  1,5 m  x  y  Ví dụ 3: Tìm giá trị m để hệ phương trình sau vơ nghiệm:  x  2my 1   3m  1 x  my 1 Giải Tìm cách giải Với điều kiện a, b, c khác Cần lưu ý đến tỉ số phương trình vơ nghiệm Cụ thể là: Nếu a b c ; để rút kết luận hệ a  b c a b c   hệ phương trình vô nghiệm Tuy nhiên a b c trước xét tỉ số, cần xác định trường hợp riêng a 0, b 0, c 0 Trình bày lời giải  x   Xét m 0 hệ phương trình có dạng:  hệ phương trình vơ nghiệm   x 1  x  y 1    Xét m  , hệ phương trình có dạng:  hệ phương trình có nghiệm   y 1  2m  1  1  Xét m  0;  Hệ phương trình vơ nghiệm  3m   m  3  1    6m   m  3m   1 Vậy với m  0;  hệ phương trình vơ nghiệm  6  m  1 x  y 2 Ví dụ 4: Cho hệ phương trình   mx  y m  a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình ln có nghiệm thỏa mãn x  y 3 Giải  x  y 2  x  y 1 a) Với m = 2, hệ phương trình   2 x  y 3  m  1 x  y 2  b)  mx  y m  2 y   x m  x   m nghiệm  mx  y m   y  m  2m  2 Xét x  y 2m   m  2m  3   m   3 Điều phải chứng minh Ví dụ 5: Tìm giá trị ngun n để hệ phương trình sau có nghiệm ngun  nx  y n  (1)   x  ny 2 n  (2) (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm 2009 – 2010) Giải Tìm cách giải Giải hệ phương trình để hệ có nghiệm ngun tìm nghiệm  x; y  mà x, y số nguyên Trong này, tìm nghiệm  x; y  theo n Sau tìm số ngun n cho x, y nhận giá trị nguyên Trình bày lời giải Từ (1) suy ra: y  2x  n   nx thay vào (2) ta được: n(n   nx ) 2n   x  n  n  n x 4n     n  x  n  3n     n    n  x  n  1   n  (*) Hệ phương trình có nghiệm  Phương trình (*) có nghiệm    n    n  0  n 2 Với n 2, từ phương trình (*) ta có: x   n  1   n    n   n  n n2 1 n   n  2n  n   n  n Khi y   n   n  2 n2 n2  y 2n  n2 n   x  n  1  n  Nghiệm   y  2n  2   n2 n2 x, y nguyên  n   Ư(3) Mà Ư(3)  1;3;  1;  3 nên n    1;3;  1;  3  n    1;1;  3;  5 C Bài tập vận dụng  m  1 x   m  1 y m  37 15.1 Cho hệ phương trình  (m tham số)  x  y 3m  a) Với m hệ phương trình có nghiệm b) Tìm m ngun để hệ phương trình có nghiệm ngun x; y nguyên x  y bé (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (2) ta có: x 3m   y , vào phương trình (1) ta có:  m  1  3m   y    m  1 y m  37   m  1 y m  m  12 (*) Hệ phương trình có nghiệm  phương trình (*) có nghiệm  m  0  m 1 b) Với m 1, từ phương trình (*) ta có: y  m  m  12 12 m  m m 12  24  Suy ra: x 3m    m   m   m  1 m  24   x m   m    nghiệm hệ phương trình  y m  12  m x, y  Z mà m  Z  m  1 Ư(12) Suy ra: m-1 -1 -2 -3 -4 -6 -12 12 m Mà x  y 2m   -1 -2 -3 -5 -11 13 12 m Thử trực tiếp ta được: m  11 x  y  20 đạt giá trị nhỏ  mx  y 2 (1) 15.2 Tìm tất số thực m để hệ phương trình  có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  3 x  my 5 (2) y  (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh ĐakLac, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) hệ suy ra: y mx  2, thay vào phương trình (2) ta được: 3x  m  mx   5  3x  m x  2m 5  x   m  5  2m  x  2m  2m 5m  ; y   2 2 3m 3m  m2 x    2m   m  5 y   5m   m  Vậy m  hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x  0; y   x  y  15.3 Cho hệ phương trình  (m tham số) 3 x  my 1 a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Tìm nghiệm 2 b) Xác định giá trị nhỏ P  x  y  1   x  my  1 (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số 3x  y   my  y 4 a) Hệ phương trình   3x  my 1 m2   x   m  y  m   4  m 6 hệ phương trình có nghiệm:  y  m  8 2 b) Nếu m 6 P  x  y  1   x  y  1   10 x  20 y     10 5 2 Nếu m 6 P  x  y  1   x  my  1 0 Giá trị nhỏ P x  m2 ;y 6 m m  x  my 2 (1) 15.4 Cho hệ phương trình   mx  y 2 (2) a) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m b) Tìm số nguyên m hệ có nghiệm  x; y  với x; y số nguyên Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) ta có: x 2  my , thay vào phương trình (2) ta được: m   my   y 2  2m  m y  y 2  y  m  1 2  2m  y  m  1  m  1 2   m  Xét m 1  y 0  phương trình vơ số nghiệm  hệ phương trình vơ số nghiệm, nghiệm tổng x y  quát hệ phương trình là:  y R m   y 4  phương trình vơ nghiệm  hệ phương trình vơ nghiệm m 1  y  m  1   y  2 ;x  m 1 m 1 Kết luận:  Với m 1 hệ phương trình vơ số nghiệm, nghiệm tổng qt hệ phương trình là: x y   y R  m  hệ phương trình vơ nghiệm    x  m  m 1 phương trình có nghiệm   y   m 1 b) Ta có x, y  Z  m   Ư(2) m 1  m   0;  2;  3 hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn x; y  Z  a  1 x  y 1 (I) 15.5 Cho phương trình  3 x  ay 1 a) Giải hệ (1) với a   b) Tìm giá trị a để hệ (I) vô nghiệm Hướng dẫn giải – đáp số  3.x  y 1  a) Với a   hệ (I) trở thành  3 x   y 1  3.x  y     3x   y 1      3 y  3     3.x  y 1   y 1    x    ay b) Ta có x  vào phương trình (1) Ta có:  a  1   ay   y 1  a   a  a  1 y  y 3  a  a  1 y  y a    a    a   y a  (3) Hệ (I) vơ nghiệm  phương trình (3) vô nghiệm   a    a  3 0 a  0  a  2; a 3  x  2my 1 15.6 Tìm giá trị m để hệ phương trình sau vô nghiệm:   3m  1 x  my 1 Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình  x 1  2my Thế vào phương trình dưới, ta được:  m  6m  y 2  3m (*) Hệ phương trình vơ nghiệm phương trình (*) vơ nghiệm m  6m 0  1   m  0;   6 2  3m 0  1 Vậy với m  0;  hệ phương trình vô nghiệm  6  mx  y 10  m 15.7 Cho hệ phương trình   x  my 4 a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm  x; y  cho x  0; y  c) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm  x; y  với x; y số nguyên dương 2 d) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm cho S  x  y đạt giá trị nhỏ e) Chứng minh hệ có nghiệm  x; y  điểm M  x; y  ln nằm đường thẳng cố định Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình  x 4  my Thế vào phương trình trên: m   my   y 10  m   m    m   y 5  m   (*)  x  y 8   Xét m 2, hệ phương trình có dạng:   x  y 4  x 4  y  y R  Xét m  2, phương trình (*) có dạng: y  20 vơ nghiệm  hệ phương trình vơ nghiệm  Xét m   2;  2 từ (*) suy ra: y  8 m  x m2 m2 Kết luận:  x 4  y  Với m 2, hệ phương trình có vơ số nghiệm, nghiệm tổng qt là:  y R  Với m  2, hệ phương trình vô nghiệm 8 m   x  m   Với m   2;  2 hệ phương trình có nghiệm nhất:  y  m2  b) Để hệ phương trình có nghiệm m   2;  2 8  m  m   x     y   0  m  m     2m8  8  m  Vậy   m  hệ phương trình có hai nghiệm dương c) Hệ phương trình có nghiệm m   2;  2 nghiệm là: 8 m 10   x  m   m    y  m2  Để hệ phương trình có nghiệm nguyên dương m   Ư(5) m   0, , suy ra: m+2 m -1 8 m  x   m2 d) Với m   2;  2 , hệ phương trình có nghiệm nhất:  y   m2 2 Xét S  x  y   m   25  m2  16m  89   2m  21  2 2  m  2  m  2  m  2  m  2 Vậy giá trị nhỏ S 1   5 21 m  e) Hệ phương trình có nghiệm m   2;  2 nghiệm là: 8 m 10   x  m   m   suy ra: x  y   y   m2 Vậy điểm M  x; y  nằm đường thẳng cố định x  y   m  1 x  y 3 15.8 Cho hệ phương trình:  (với m tham số)  mx  y m Xác định tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x  y  (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – dáp số  m  1 x  y 3  Ta có:  mx  y m  Khi m   y m   x     m  1 x  m   x  3 (1)  y m   x    2m  1 x m  (2) , phương trình (2) trở thành 0.x  (vơ lý) Hệ phương trình vơ nghiệm 2 m 3  x  2m  1   Khi m  , hệ phương trình có nghiệm nhất:   y m  m  2  2m  Suy ra: x  y  m2  m  2m  1  11  Do m  m   m     nên x  y   2m    m   2  Vậy với m   hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x  y 