Chuyên đề 6 hệ phương trình

Câu (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018)  x  y 7  Giải hệ phương trình sau:  x  y 1 Lời giải  x  y 7 2 x  y 7 5 x 10  x 2  x 2       x  y 1 3x  y 3 2 x  y 7 2.2  y 7  y 1 x; y   2;1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  Câu (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) x - y =  3x 2y =  Giải hệ phương trình  2x - y =   3x + 2y = 7x = 14   2x - y = x =   4 - y = Lời giải x =  y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y   2;1 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018) 3 x  y 10  Giải hệ phương trình 2 x  y 3 Lời giải Hệ phương trình 3 x  y 10  y 10  3x    2 x  y 3 2 x  3(10  3x ) 3  y 10  x   11x  30 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  y 1   x 3  x; y   3;1 Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018)  x  y    x  y     x  y    x  y  1 Giải hệ phương trình  Lời giải  x  y    x  y   2 x  y     3  x  y    x  y  1 4 x  y 1  2  y    x    x 1    y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  1 2   x; y   Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018) mx  y n  Cho hệ phương trình: nx  my 1 (I) ( m, n tham số) 2 x  y    12 x  y  2 x  y    10 x  a) Giải hệ phương trình m  1 n 2; b) Xác định m, n biết hệ phương trình có nghiệm ( 1; 3) Lời giải    x  y   1  x  y 1 m  n 2, vào hệ phương trình (I) ta được:  a) Thay 1   y  x    1 1    x    x   1  2 3 1 1    10 y  x  y  x  x    3    1  x  x  1  x   y  22   12 6 21 22   10 ( x; y )  ;   21   Vậy nghiệm hệ phương trình b) Hệ phương trình (I) có nghiệm (  1; 3) nên thay x  ; y  vào hệ phương trình (I) ta được: m  n   m  n  m  n  m  n       1 m   n  3m 1  3m  n 1 (1  3)m 1  1   m    m      n   m n   Vậy ( m; n) (  2;   2) hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (  1; 3) Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) ìï 2x = ï í ï x +y = Giải hệ phương trình ïỵ Lời giải ìï 2x = ï Û í ïï x + y = ỵ ìï x = ï í ïï y = ỵ Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y   2;3 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2017-2018) ïìï x - y = í ïïỵ x + y = Khơng sử dụng máy tính cầm tay, Giải hệ phương trình: Lời giải ìïï x - y = ìïï x - y = ìïï x = ìï x = ìï x = Û í Û í Û ïí Û ïí í ïïỵ x + y = ïïỵ x + y = ïïỵ x - y =1 ïïỵ y = x - ïïỵ y = ( x; y ) = ( 1; 2) Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2017-2018)  x  y 5  Giải hệ phương trình  x  y  Tính P  x  y  2017 với x , y vừa tìm Lời giải  x  y 5   x  y   x  y 5   2 x  10 y   x  y 5   2 x  10 y  2 x  y 5   11 y  11 2 x 5  y   11y  11 2 x 5     y   x 2    y  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  ( 2;  ) P  x  y  2017     1  2017 12017 1 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2017-2018) 3x  y 5  Khơng sử dụng máy tính giải hệ phương trình 2 x  y 8 Lời giải 3 x  y 5   x  y 8 3 x    x  5   y 8  x 3 x  16  x 5   y 8  x 7 x 21   y 8  x  x 3   y 8  2.3  x 3   y 2 Hệ phương trình có nghiệm  x; y   3;  Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Bình Thuận năm 2017-2018) Giải hệ phương trình sau: 5 x  y 11   x  y  Lời giải 5 x  y 11   x  y  5 x  2(  x) 11   y   x  x 1   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;  3) Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2017-2018) 3 x  y 6  Giải hệ phương trình:  x  y 10 Lời giải Giải hệ phương trình: 3 x  y 6 4 x 16     x  y 10   x  y 10 Vậy nghiệm hệ phương trình là:  x 4   4  y 10  x 4   y 3  x; y   4;3 Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018)  x  y m  x  y  m  m Cho hệ phương trình:  ( tham số) Hãy tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm P  xy   x  y   x; y  đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải x  y m   2  x  y  m  y m  x    2  x  y  m  y m  x  y m  x     2 2 2  x  m  2mx  x  m   x   m  x   m  cho biểu thức y m  x     x  2mx  2m  0 y m  x   2  x  mx  m  0 2 Hệ phương trình cho có nghiệm  phương trình x  mx  m  0 có nghiệm   m2   m  3 0  m  4m  12 0  12  3m 0  m 4   m 2  x; y  Khi ta có: Với m thỏa mãn  m 2 phương trình có nghiệm P xy   x  y     x  y   x  y    x  y      1  P   m   m    2m  2m   2m 2      P m  2m  m  2m    m  1  Nhận xét:  m  1 0 m    2; 2 , dấu xảy  m  thỏa mãn điều kiện  P  Dấu xảy  m  Vậy P  m  Câu 13 (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2017-2018) Giải hệ phương trình sau tập số thực: 3 x  y 9   x  y 10 Lời giải 3 x  y 9    x  y 10 3x  y 9   3x  y 30 3x  y 9   7 y  21  x 1 3 x    3 9    y   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  1;  3 Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018)  x  y m  x  y  m  m Cho hệ phương trình:  ( tham số) Hãy tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải x  y m   2  x  y  m   x; y  cho biểu thức P  xy   x  y  đạt y m  x    2  x  y  m  y m  x    2  x   m  x   m  y m  x   2 2  x  m  2mx  x  m  y m  x y m  x     2  x  2mx  2m  0  x  mx  m  0 2 Hệ phương trình cho có nghiệm  phương trình x  mx  m  0 có nghiệm   m2   m  3 0  m  4m  12 0  12  3m 0  m 4   m 2  x; y  Khi ta có: Với m thỏa mãn  m 2 phương trình có nghiệm P xy   x  y     x  y   x  y    x  y   2   1  P   m   m    2m  2m   2m 2      P m  2m  m  2m    m  1  m  1 Nhận xét:  0 m    2; 2 , dấu xảy  m  thỏa mãn điều kiện  P  Dấu xảy  m  Vậy P  m  Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắc năm 2017-2018)  x  y 3  3x  y 2 Giải hệ phương trình:  Lời giải  x  y 3  1  3 x  y 2   Từ phương trình y  2  2 suy x y2  , thay vào phương trình  1 ta được:  y 1  y 3  y  22 y  23 0    y 1  y  23  VN   x 1 Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;1 ,  1;  1 Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2017-2018)  x  y 4  Khơng sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình 3x  y 5 Lời giải  x  y 4   3 x  y 5  x  y 4   6 x  y 10 Vậy hệ có nghiệm 7 x 14   3 x  y 5  x 2   y 1  x; y   2;1 Câu 17 (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang năm 2017-2018) 2x  y 5  x  y 4 Giải hệ phương trình:  Lời giải Giải hệ phương trình: 2x  y 5   x  y 4  3 x 9    x  y 4  x 3   3  y 4 Vậy nghiệm hệ phương trình là:  x 3   y 1  x; y   3;1 Câu 18 (Tuyển sinh tỉnh Đồng Nai năm 2017-2018) x  y 5  x  y 8 Giải hệ phương trình: Lời giải  74xx 3yy54   712xx  33yy415   719xx  3 y194   7.1x 13 y 4   xy 11 Câu 19 (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai năm 2017-2018)  x  y 3  Giải hệ phương trình 2 x  y  Lời giải  x  y 3   x  y   Ta có  x 3  y   2   y   y   x 3  y    y  10 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x    y 2   1;  Câu 20 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2017-2018)  x  y 8  x  y 1 Giải hệ phương trình  Lời giải  x 7   x  y 8   1 x 1   y    x  y   Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y   7;   Câu 21 (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2017-2018) 3 x  y 5  Khơng sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình sau: 3  x  y Lời giải 3 x  y 5   3  x  y 3 x   x 5    y 3  x 2 x 2    y 3  x  x 1   y 2 Câu 22 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2017-2018)  x  y  5   x  y    Khơng sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình  Lời giải ĐKXĐ: x 0 y 1 Ta có hệ:  x 5  y    4(5  y  1)  y   y  2  y 5     x 1  x 1 ( t / m) Giải được:   x 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  y 5 Câu 23 (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2017-2018) 3x  y 7  Khơng sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình: 5x  y 9 Lời giải 3x  y 7   5x  y   3x  y 7   8x  16   x 2   y  Câu 24 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2017-2018) 3 x  y 10  Khơng sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình:  x  y 7 Lời giải 3 x  y 10    x  y 7 3x  y 10   3 x  y 21 11 y 11    x  y 7  y 1    x  7  x 4   y 1 Câu 25 (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2017-2018) 3 x   y  1 0  x  y 2   x    Khơng sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình sau Lời giải 3x  y   x 2  x 2 3 x   y  1 0     5 x  y 14 2 y 14  10  y 2 3 x  y 2   x   x 2  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  y 2 Câu 26 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017-2018)  x  y 3  m (I )  x  y  3( m  2)  Cho hệ phương trình , m tham số a) Giải hệ với m 2 b) Tìm tất giá trị m để hệ ( I ) có nghiệm 2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y , ( x; y ) nghiệm hệ ( I ) Lời giải a) Với m 2 , hệ ( I ) trở thành:  x  y 1  x  y 1 5 x 25    2 x  y 12  x  y 24  x  y 12  x 5  x 5    5  y 12  y 2 Vậy với m 2 nghiệm hệ ( I ) (5; 2) 2  b) Ta thấy:  Hệ ( I ) ln có nghiệm với m c)  x  y 3  m 2 x  y 6  2m    2 x  y 3(m  2) 2 x  y 3m   x  2m 3  m  x m     y m  y m  x  y 3  m  5 y 5m Do đó: A  x  y (m  3)  m 2m  6m  3 9  2  m     m 2 2  m  Dấu “=” xảy A   m  2 Vậy Câu 1: (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2017-2018)  x  y 9  Giải hệ phương trình  x  y 1 Lời giải  x  y 9 4 y 8     x  y 1  x  y 1  y 2    x  y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  y 2   x 3  x; y   3;  Câu 27 Tuyển sinh tỉnh Kon Tum năm 2017-2018) ax  y    x; y   1;  1 Tìm a b để hệ pt bx  ay 1 có nghiệm Lời giải Để hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;  1  a.1  (  1)  a     b.1  a.( 1) 1 b  ax  y   x; y   1;  1 hệ pt bx  ay 1 có nghiệm  x; y   1;  1 Vậy với Câu 28 (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2017-2018) Giải hệ phương trình: x  y 1    x  y 7 Lời giải  x  y 1  x  y 1  x  y 1  x 3     x 15  x  y 7  x  y 14   y  Câu 29 (Tuyển sinh tỉnh Lao Cai năm 2017-2018)  x 2  mx  y m  với m tham số Tìm m để x  y nhỏ Cho hệ phương trình  Lời giải b   x1  x2  a     x x  c  a 1) Theo định lý Vi-et ta có:  b 4a (1)  c  5a (2) Từ (1) (2) thay vào b  c 5 ta được: 4a  5a 5  a  Suy b  20; c 25 Vậy phương trình cho có dạng:  x  20 x  25 0 Câu 30 (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2017-2018) Giải hệ phương trình:  x  y 4  2 x  y 1 Lời giải Hệ phương trình cho tương đương 2 x  y 8  y 7    2 x  y 1 2 x  y 1  y   y   x 2    2 x    1 1  x  1  y  Vậy, hệ phương trình có nghiệm  x; y   2;  1 Câu 31 (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái năm 2017-2018) 3 x  y 1  1  x  y    Giải hệ phương trình  Lấy (1) +(2) ta được: phương trình là: Lời giải x   x  , thay x  vào (2) ta y 2 Vậy nghiệm hệ S   1;  Câu 32 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2017-2018)  x  y  xy     x  y  1 Giải hệ phương trình  Điều kiện: x 0; y   x  y xy        x y 1   x  y xy     y   xy 2 x  y 6    y   xy  x 3  y  x 3  y  x 3  y      y   y (3  y )  y  y  0 ( y  1) 0  x 3  y   y   y (3  y )  x 2   y 1 (thỏa mãn điều kiện) Câu 33 (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2017-2018)  x  y 4  Giải hệ phương trình : 4 x  y  Lời giải  x   x  y 4 6 x 3      4 x  y  4 x  y   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  3 2   x; y   Câu 34 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình 2017 – 2018 )  x  y 4  Giải hệ phương trình: 5 x  y 8 Lời giải  x  y 4   5 x  y 8 6 x 12  x 2  x 2     x  y 4  x  y 4  y 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   2;1 Câu 35 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2018-2018) 4 x  y 7  Khơng sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình  x  y 5 Lời giải 4 x  y 7 12x  y 21 13x 26  x 2  x 2       x  y 5  x  y 5  y 4x   y 4.2   y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y   2;1 Câu 36 (Tuyển sinh tỉnh Phú Thọ năm 2017-2018)  x  y 3  x  y 5 b) Giải hệ phương trình  Lời giải a) Ta có  x  y 3   x  y 5  y 2 x    x  y 5  y 2 x    x  x   0  y 2 x    x  x  0  y 2 x      x 2   x     x 2   y 2.2  1    x      y 2      11  x; y  Ỵ Vậy hệ có hai nghiệm   2;1 ,   4;  11  Câu 37 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2017-2018)  x  y 1  Giải hệ phương trình  x  y 3 2 Tính giá trị biểu thức M a  b biết a, b thỏa mãn  3a   1 b b   3b  1  a a Lời giải  x  y 1    x  y 3  x 4  x 2   2 y 2  y 1 Điều kiện: a 0, b 0  2 3a  b b  3b  a a Từ giả thiết, ta có:   1  2 3 9a b  6a b  b6 1 3a b  b 3a b  b       3 3b a  a  3b a  a 9b a  6b a  a 4  a  3a b  3a b  b6 5   a  b  5  a  b  Câu 38 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi năm 2017-2018) 1) Giải phương trình hệ phương trình sau:  x  y   x  y   b) b)  x  y  4 x  y      x  y 7  x  y 7 Vậy hệ cho có nghiệm  y   x  x 1   5 x 5  y   1;  3 Câu 39 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2017-2018)  x  y 1  Giải hệ phương trình  x  y 3  x  y 1    x  y 3  x 4   2 y 2  x 2   y 1 2 Tính giá trị biểu thức M a  b biết a, b thỏa mãn  3a   1 b b   3b  1  a a Lời giải Điều kiện: a 0, b 0  2 3a  b b  3b  a a Từ giả thiết, ta có:   1  2 3a b  b3 3a b  b3       3 3b a  a  3b a  a  a  3a b  3a b4  b6 5 9a b  6a b  b6 1  2 9b a  6b a  a 4   a  b  5  a  b  Câu 40 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2017-2018) a) Khơng sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: 2 x  y 1 (1)   x  y 3 (2) Lời giải * Cách 1: Từ (2) suy ra: x 3  y (3) Thay (3) vào (1) ta được: * Cách 2: Biến đổi hệ số phương trình Cộng (trừ), tìm giá trị ẩn 2(3  y )  y 1  y  y   x 2 Tìm giá trị ẩn cịn lại Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Kết luận ( x; y ) (2;  1) là: ( x; y ) (2;  1) Câu 41 (Tuyển sinh TP Hờ Chí Minh năm 2011 – 2012) 5 x  y 3  Giải hệ phương trình sau : 5 x  y  Lời giải  x   5 x  y 3 11y 11  y 1       y   5 x  y  5 x  y  5 x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;1    x; y    Câu 42 (Tuyển sinh TP Hờ Chí Minh năm 2013 – 2014) 2 x  y 3  Giải hệ phương trình sau :  x  y  Lời giải  x  y 3 4 x  y 6 2 x  y 3  x 1      x  y   x  y  5 x 5  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;  1 Câu 43 (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2017 – 2018) ax  y 1   2; 3 Tìm a b biết hệ phương trình ax  by  có nghiệm Lời giải ax  y 1   2; 3 Hệ phương trình ax  by  có nghiệm  2a  1 2a 4 a 2 a 2       2a  3b   4  3b    3b    b 3  2; 3 Vậy với a 2 b 3 hệ phương trình cho có nghiệm