Chuyên đề 13 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình Ôn tập đúng giờ thi để tạo phản xạ làm bài Để tạo thói quen và phản xạ làm bài tốt nhất, trước kỳ thi, các em nên tập làm đề vào đúng thời gian thi thực. Chuẩn bị giấy thi, đề thi và các vật dụng phục vụ làm bài thi; bấm giờ làm bài nghiêm túc, bắt đầu đúng giờ. Áp dụng đúng những điều 2Đ, 3K đã được nhắc ở trên. Lưu ý, khi đi thi, cần chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập (thước, compa, máy tính, ít nhất 3 chiếc bút cùng màu và chai nước trong suốt có nắp chặt để uống trong phòng thi). Một thân thể khỏe mạnh, tinh thần thoải mái, kiến thức chắc chắn, kỹ năng thành thạo, các em ắt sẽ đăng khoacó dạng Điều kiện không đồng thời bằng 0 Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ch.
Chuyên đề 13 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hệ phương trình bậc ba ẩn hệ phương trình có dạng: a1 x b1 y c1 z d1 a2 x b2 y c2 z d a x b y c z d 3 Điều kiện a1 ; a2 ; a3 ; b1 ; b2 ; b3 ; c1 ; c2 ; c3 không đồng thời Để giải hệ phương trình bậc ba ẩn, thường dùng phương pháp thế, phương pháp cộng để giảm bớt ẩn Đưa hệ phương trình bậc hai ẩn Tương tự vậy, hệ phương trình bậc n ẩn hệ phương trình có dạng: a1 x1 b1 x2 c1 xn d1 a x b x c x d 2 2 n an x1 bn x2 cn xn d n Điều kiện a1 ; a2 ; ; an ; b1; b2 ; ; bn ; ; c1; c2 ; ; cn không đồng thời Tương tự trên, ta làm giảm bớt số ẩn cách dùng phương pháp thế, phương pháp cộng Tuy nhiên phụ thuộc vào bài, ta có cách giải thích hợp ngắn gọn B Một số ví dụ x y z 11 (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 2 x y z (2) 3 x y z 14 (3) Giải Tìm cách giải Phương trình bậc ba ẩn Ta khử bớt ẩn để đưa hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng phương pháp thế: Cách Dùng phương pháp cộng để khử ẩn z, đưa hệ phương trình hai ẩn x, y Cách Từ phương trình (1) biểu diễn z theo x y vào phương trình (2) (3) ta hệ phương trình hai ẩn x, y Trình bày lời giải Cách Từ phương trình (1) (2) ta có: x y 6 Từ phương trình (2) (3) ta có: x y x y 6 5 y 15 x x 3y x 3y y Từ ta có hệ phương trình: Thay vào phương trình (1) ta tính z Vậy nghiệm hệ phương trình x; y; z 0;3;8 Cách Từ phương trình (1) ta : z 11 x y Thay vào phương trình (2) (3) ta : x y 11 x y x y 6 x y 6 x 3 x y 11 x y 14 2 x y 4 x y y Thay vào phương trình (1) ta tính z Vậy nghiệm hệ phương trình x; y; z 0;3;8 3 x y z 22 (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: x y z 20 (2) x y z 18 (3) Giải Tìm cách giải Ngồi cách giải ví dụ Quan sát đặc điểm hệ số phương trình, ta nhận xét cộng vế ba phương trình, ta phương trình có hệ số ẩn giống Do ta có lời giải hay gọn Trình bày lời giải Từ phương trình hệ, ta cộng vế với vế ta x y z 60 x y z 12 (4) Từ phương trình (4) thay vào phương trình (1); (2); (3) ta được: x 12 22 x y 12 20 y z 12 18 z Vậy nghiệm hệ phương trình x; y; z 5; 4;3 x y z 12 Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình: x y z 1 10 Có nghiệm x; y; z Chứng tỏ x y z khơng đổi (Thi HSG Tốn lớp 9, TP Đà Nẵng, Năm học 2009 – 2010) Giải x y z 12 3 x y z 12 (1) Cách 1: x y z 10 x y z 30 (2) 10 Từ phương trình (2) (1), lấy vế trừ vế ta được: x y z 18 x y z 18 không đổi Cách 2: Từ phương trình (1) ta có: z 3x y 12 (3) Thế vào phương trình (2) ta được: 10 x y x y 12 30 10 x y 18 x 24 y 72 30 28 x 21y 102 x 102 21 y 28 Thay vào (3) ta có: z Xét x y z 102 21y 49 y 30 y 12 z 28 28 102 21y 49 y 30 18 y không đổi 28 28 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y z biết x, y, z không x y 3z 3 x y 3z âm thỏa mãn hệ phương trình: (Thi HSG Tốn lớp 9, TP Hồ Chí Minh, Năm học 2011 – 2012) Giải Tìm cách giải: Từ giả thiết ta thấy hệ phương trình bậc ba ẩn mà có hai phương trình, hệ phương trình có vơ số nghiệm Suy luận, ta coi ẩn tham số, biểu diễn hai ẩn cịn lại theo tham số Chẳng hạn biểu diễn x, y theo z Cũng từ biểu thức A viết dạng đa thức chứa z Từ điểu kiện x, y, z không âm, ta xác định miền giá trị z Từ ta có lời giải sau: Trình bày lời giải x y z (1) 3 x y z (2) Ta có: Từ (2) ta có: y 3z 3x Thay vào phương trình (1) ta được: x 3z x 3z x z Do y 3z z z 3 2 z x Kết hợp với y 2 z z z z (3) Suy ra: A x - y 3z z z 3z z 2 3 Kết hợp với (3) ta có: A 15 15 15 z 4 2 Vậy giá trị nhỏ A 4 z 0, x 0, y 2; C Bài tập vận dụng 13.1 Giải hệ phương trình sau: x y z (1) a) 3x y z (2) 5 x y (3) x y z (1) b) 2 x y z (2) 3 x y z (3) (1) x y 2z c) 2 x y 3z (2) x y z (3) Hướng dẫn giải – đáp số 4 x y z 5x y 9 x y z a) Từ phương trình (1) (2) ta có Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ phương trình: 5 x y 10 x 10 x 5 x 4 y 5 x y y 1 Thay vào phương trình (1) ta tính z Vậy tập nghiệm hệ phương trình x; y; z 1;1;1 b) Từ phương trình (1) ta có: x y 3z thay vào phương trình (2), (3) ta được: y z y z y 2z y y z 8 z 3 y z y z Từ phương trình (1) ta có: x 2.3 3.2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình x; y; z 5;3; c) Từ phương trình (1) ta có: x y z thay vào phương trình (2), (3) ta được: 5 y z y 1 2 y z y z 4 y z 10 z 3 4 y z y z 6 Từ phương trình (1) ta có: x 2.(3) Vậy tập nghiệm hệ phương trình x; y; z 9;1; 3 x y z t 11 (1) x y z t 12 (2) 13.2 Giải hệ phương trình sau: x y z t 13 (3) x y z 2t 14 (4) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình hệ, ta cộng vế với vế ta được: x y z t 50 x y z t 10 (5) Từ phương trình (5) thay vào phương trình (1), (2), (3), (4) ta được: x 10 11 x y 10 12 y z 10 13 z t 10 14 t Vậy nghiệm hệ phương trình x; y; z; t 1; 2;3; 13.3 Giải hệ phương trình: x y z t x y z t a) x y z t 12 x y z t 16 (1) (2) (3) (4) x y z t (1) y z t x (2) b) z t x y (3) t x y z (4) Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) (2) cộng vế với vế: x y 12 x y Từ phương trình (3) (4) cộng vế với vế: x y 28 x y 14 x y x 10 x y 14 y 4 Từ ta có hệ phương trình: Thay vào phương trình (1) (3) ta được: 6 z t z t 2 z 2 14 z t 12 z t 2 t Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t 10; 4; 2;0 b) Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được: x y z t 20 x y z t 10 (*) Từ phương trình (*) kết hợp với hệ phương trình ta có: 10 2t t 10 x x 10 y y 10 z z Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t 2;3; 4;1 13.4 Giải hệ phương trình sau: x y z y z t a) z t u 12 t u x 10 u x y x y z y z t b) z t u t u x 12 u x y (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ hệ phương trình cho, cộng vế với vế ta được: x y z t u 45 x y z t u 15 (6) Từ (6) (1) suy ra: t u 15 t u Thay vào (4) ta có: x Thay vào (3) ta có: z Thay vào (1) ta được: y Thay x 1; z vào (3) ta được: t Thay z 3; t vào (4) ta được: u Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t ; u 1; 2;3; 4;5 b) Từ hệ phương trình cộng vế với vế ta được: x y z t u 35 (6) Từ phương trình (1) ta có: x y z Từ phương trình (4) ta có: t u 12 x Thay vào phương trình (6) ta có: z z 12 x 35 x 19 z Thay vào phương trình (1) ta có: 19 z y z y 3z 15 Thay vào phương trình (2) ta có: 3z 15 z t t z 20 Thay vào phương trình (3) ta có: z z 20 u u z 26 Thay vào phương trình (4) ta có: z 20 z 26 19 z 12 z Từ ta tính được: x 19 z y 3z 15 t 4.7 20 u 5.7 26 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t ; u 5;6;7;8;9 13.5 Giải hệ phương trình sau: x y z 3t 34 x y z t 13 a) x y z 4t 36 x y z 5t 51 x y z t 10 x y z t b) x 3y z t x y z 2t 13 (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) (2) ta có: y 3z 2t 21 (5) Từ phương trình (1) (3) ta có: y t 2 (6) Từ phương trình (1) (4) ta có: 3z 2t 17 (7) Từ phương trình (6) y t thay vào phương trình (5) ta được: t 3z 2t 21 3z 4t 25 (8) Từ phương trình (7) (8) ta có hệ phương trình : 3 z 2t 17 z 3 z 4t 25 t Từ ta tính được: y t Thay vào phương trình (1) ta có: x 3.2 5.3 3.4 34 x Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t 1; 2;3; b) Từ phương trình (1) (2) ta có: y z 4 (5) Từ phương trình (1) (3) ta có: y 2t 4 y t 2 (6) Từ phương trình (1) (4) ta có: y z t 3 (7) Từ phương trình (5) y z thay vào phương trình (6): z t 2 t z thay vào phương trình (7) ta có: z z z 3 z Từ ta tính được: y 2.3 2; t 2.3 Thay vào phương trình (1) ta có: x 10 x Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z; t 1; 2;3; 13.6 Giải hệ phương trình: x y 1 z b) x y z x y z a) x y z 30 Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt x y z k suy x 5k ; y k ; z 3k Mà x y z 30 nên 10k 7k 12 30 15k 30 k x 5.2 10 Vậy nghiệm hệ phương trình là: y 7.2 14 z 3.2 b) Đặt x y 1 z k suy x 3k 2; y 4k 1; z 7k Mà x y z nên 3k 4k 1 7k k 6 x 3.(6) 16 Suy y 4.(6) 25 z 7.(6) 42 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z 16; 25; 42 Bài tập 1/68 SGK: (1) 7 x y 14 x 10 y 10 (2) Cho hệ phương trình Tại không cần giải ta kết luận hệ phương trình vơ nghiệm? Bài tập 2a,c/68 SGK 2 x y x 11/ x y y 5/ a) 2 x y x c) x y y Bài tập 3/68 SGK Hai bạn Vân Lan đến cửa hàng mua trái Bạn Vân mua 10 quýt cam hết 17800 đồng Bạn Lan mua 12 quýt cam hết 18000 đồng Hỏi giá tiền quýt cam bao nhiêu? 10 x y 17800 x 800 12 x y 18000 y 1400 Bài tập 5a/68 SGK Yêu cầu hs nhắc lại cách giải hệ x y 2z x 3y 2z x y 2z 2 x y z y z 10 y z 10 3 x y z y z 18 z2 Kết quả: x=1, y=1, z=2 4.1 Vận dụng vào thực tế (10’): Bài tốn 1: Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em tham gia lao động trồng Mỗi em lớp 10A trồng bạch đàn bàng Mỗi em lớp 10B trồng bạch đàn bàng Mỗi em lớp 10C trồng bạch đàn Cả ba lớp trồng 476 bạch đàn 375 bàng Hỏi lớp có học sinh ? A Lớp 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em B Lớp 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em C Lớp 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em D Lớp 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em x y z 128 x 40 HD: Đáp án A Giải hệ phương trình: 3x y z 476 y 43 4 x y 375 z 45 Bài toán 2: Một nhóm học sinh gốm bạn A, B, C bán hàng online mặt hàng áo phông, quần sooc, mũ lưỡi trai Trong ngày, bạn A bán áo, quần mũ, tổng doanh thu ngày 310000 đồng Bạn B bán áo, quần mũ, tổng doanh thu ngày 330000 đồng Bạn C bán áo, quần mũ, tổng doanh thu ngày 350000 đồng Hỏi giá bán áo, quần mũ bao nhiêu? 3x y z 310000 x 60000 HD: 2 x y z 330000 y 50000 4 x y z 350000 z 30000 1.2 Mở rộng, tìm tịi (mở rộng, đào sâu, nâng cao,…) (5’) Bài toán 1: Trong kho tàng văn hóa dân gian Việt Nam có tốn “Trăm trâu trăm cỏ” sau đây: “Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba bó” Hỏi có trâu đứng, trâu nằm, trâu già? HD: Gọi số trâu đứng x, số trâu nằm y, số trâu già z (với x, y, z số nguyên dương nhỏ 100) Ta có hệ phương trình: x y z 100 x y z 100 7 x y 100 5 x y z 100 x x ĐS: Kết hợp điều kiện ta có ba nghiệm: y 18 ; y 11 ; z 78 z 81 x 12 y z 84 Bài tốn 2: Cho mạch điện kín hình vẽ Biết R1 0, 25 ; R2 0,36 ; R3 0, 45 U 0, V Gọi I1 cường độ dùng điện mạch I2; I3 cường độ dịng điện hai mạch rẽ Tính I1, I2, I3 I1 I I I1 I I 0,36I 0, 45I HD: R2 I R3 I R I R I U 0, 25I 0,36I 0, 2 11 36 I1 35 20 ĐS: I 21 I 105 I1 R1 I2 I3 R2 R3 U