THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | CHUYÊN ĐỀ 3.HỆ PHƢƠNG TRÌNH A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I HỆ BẬC NHẤT HAI ẨN KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax by c Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: a ' x b ' y c ' + Cặp số ( x0 ; y0 ) gọi nghiệm hệ phương trình nghiệm chung hai phương trình + Hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Xác định hệ số a, b hàm số y ax b để: a Đồ thị qua hai điểm A(1;3), B(2; 4) b Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -4 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Lời giải: a Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình đường thẳng ta được: 3 a b b a a Vậy a 1, b 2a b 2a a b a 4 a.0 b b 4 a b Tương tự phần (1) ta có hệ: 0 a b 2a b b 4 Vậy a 2, b 4 Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 1 x y a 1 x y x x 1 b x x y 3 y 1 3y 1 y 1 Lời giải: 1 a Đặt u , v Theo đề ta có hệ phương trình: x y u v v u 5u u 3u 2v 1 3u 2(3 u ) 1 v u v 1 2x 1 x y c 2 x x y | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUN TỐN Từ suy ra: x b Đặt u 1 1; y u v x y Theo đề ta có hệ phương trình: ,v x 1 y 1 u v u v u v u u 3v 1 3 v 3v 1 4v 4 v 1 x x 2 x x 2x Từ suy ra: y y y y 1 y 1 c Điều kiện x , x y Đặt a x ta có hệ phương trình b x y 2x 1 a b a x 1 2a b b y x y Vậy hệ có nghiệm x 1; y Ví dụ Giải hệ phương trình sau: y x x 5 y 6 a 10 1 x y x 1 y 1 b 3 x 2 y 1 x7 c x 2x x y 1 d 2y x 2y x 2 y 1 e 4x y 1 1 x y x y f xy xy x 2y x 1 y 1 g x 3 x y 4x 2x y h x 1 2x y y6 3 13 y6 Lời giải: a Điều kiện: x 5; y Ta viết lại hệ phương trình thành: x 55 y 66 x 5 y 6 x 5 10 1 10 x 5 y 6 x 5 10 3 x 5 y 6 10 1 x 5 y6 12 12 10 6 6 y 6 x 5 y 6 21 1 7 y6 y6 BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | Từ 21 y y thay vào ta tìm x 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm y 6 x; y 10;9 1 b Điều kiện x , y Ta nhân phương trình thứ hệ với thu được: 2 2 x y , cộng hai phương trình hệ ta có: x x 3 x 2 y 1 x 1 Với x thay vào phương trình ban đầu hệ ta có: 2 2 y y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ( x; y) ;0 , ;1 2 2 c Điều kiện x 7, y 6 , ta viết lại hệ thành: Cộng phương trình hệ ta thu được: Vào ta tìm được: y6 21 x7 12 5 y6 20 x7 12 26 y6 41 41 x x x 16 thay x7 y y 36 y 30 thỏa mãn y6 điều kiện Vậy hệ có nghiệm ( x; y) (16;30) d Điều kiện y 0, x 1 Ta viết lại hệ phương trình thành: 2x x y 1 x y 3 , cộng phương trình hệ thu được: 2y 4y x x y 4y 4y y y 1(TM ) y 1 y suy y thay vào y ( L) phương trình thứ ta tìm được: x Vậy hệ có nghiệm x; y ;1 e Điều kiện: x 1; y 1, ta viết hệ lại dạng: | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 2y 2 x 1 y 1 x 1 y 1 2 x 2 x 2 x 2 x y y 0 y 1 y 1 2 x y 1 y 1 x Suy thỏa mãn điều kiện Vậy hệ có nghiệm ( x; y) (0;1) y 1 u u v (1) f Đặt x y u; xy v (với v Hệ cho trở thành v (2) v v Phương trình (2) có dạng 2v 5v v 2 x y + Với v thay vào PT (1) tìm u Ta có hệ phương trình nên x, y nghiệm xy phương trình X X , tức ( x; y) (1;2),(2;1) x y + Với v thay vào PT (1) tìm u Ta có hệ phương trình nên x, y nghiệm 2 xy phương trình X 1 X , tức ( x; y) (1; ), ( ;1) Từ suy hệ cho có tất bốn 2 2 nghiệm g Điều kiện: x 1; y 1 Ta biến đổi hệ phương trình cho thành: x 1 y x 1 y x 1 x 11 y 1 x 1 x 1 2 x 1 y 1 1 y 1 x 1 2 2 2 y 1 x x 1 y 1 y 1 1 1 x y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (2;1) x h Điều kiện: , hệ phương trình viết lại thành: 2 x y 1 2 x x y 2 x x y x x (TMĐK) y 2 x y 2 x 14 16 15 15 x y 2x y Vậy hệ có nghiệm ( x; y) (2;3) BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | x y (1) Ví dụ Cho hệ phương trình: mx y (2) a Giải hệ phương trình với m b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) x, y trái dấu c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x y Lời giải: x y x y x y x a Với m ta có hệ phương trình: 2 x y 2(2 y 5) y 3 y 6 y 2 b Từ phương trình (1) ta có x y Thay x y vào phương trình (2) ta được: m(2 y 5) y (2m 1) y 5m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với: 2m m Ta có: x y 5m Từ ta được: y ; x 2y 2m 2m 3(4 5m) Do x, y 5m m (thỏa mãn điều kiện) (2m 1) c Ta có: x y 5m (4) 2m m Từ (4) suy 2m m 1 Với điều kiện m ta có: 2 m (l ) 5m Vậy m (4) 5m 5m 3 m x my m (1) Ví dụ Cho hệ phương trình: mx y 3m (2) a Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b Giải biện luận hệ phương trình theo m c Tìm số ngun m cho hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) mà x, y số nguyên d Chứng minh hệ có nghiệm ( x; y ) điểm M ( x; y) chạy đường thẳng cố định e Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Lời giải: a Từ phương trình (2) ta có y 3m mx Thay vào phương trình (1) ta được: | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN x m(3m mx) m (m2 1) x 3m2 2m (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, tức m2 m 1 Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm khi: m m2 m 1 m b Từ phương trình (2) ta có y 3m mx Thay vào phương trình (1) ta được: x m(3m mx) m (m2 1).x 3m2 2m (3) Trƣờng hợp 1: m 1 Khi hệ có nghiệm 3m2 2m (m 1)(3m 1) 3m x m2 (m 1).(m 1) m 1 y 3m m 3m m m 1 m 1 Trƣờng hợp 2: m Khi phương trình (3) thành: 0.x Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng ( x;2 x), x Trƣờng hợp 3: m 1 phương trình (3) thành: 0.x (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm c Hệ cho có nghiệm m 1 3m x m m Ta có: Vậy x, y nguyên nguyên Do m có m 1 y m 1 1 m 1 m 1 thể 2; 1;1; Vậy m 3; 2;0 (thỏa mãn) m (loại) Vậy m nhận giá trị 3; 2;0 d Khi hệ có nghiệm ( x; y ) ta có: x y 2 1 2 m 1 m 1 Vậy điểm M ( x; y) ln chạy đường thẳng cố định có phương trình y x e Khi hệ có nghiệm ( x; y ) theo (d) ta có: y x Do đó: xy x.( x 2) x x ( x 1)2 1 Dấu xảy khi: x 2 1 m 1 m m 1 m 1 Vậy với m x y đạt giá trị nhỏ Chú ý: Ta tìm quan hệ x y theo cách khác: Khi hệ phương trình BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | x my m (1) có nghiệm (m 1) lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) mx y 3m (2) hệ ta thu được: (m 1) x (m 1) y 2(m 1) x y x my 4m Ví dụ Cho hệ phương trình: Chứng minh với m hệ phương trình ln mx y 3m có nghiệm Gọi ( x0 ; y0 ) cặp nghiệm phương trình Chứng minh: x02 y02 5( x0 y0 ) 10 Lời giải: Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y 3m mx thay vào phương trình (1) hệ ta có: (m2 1) x 3m2 3m Do m2 với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m x0 m( y0 4) Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có: Nhân hai vế y0 m(3 x0 ) phương trình thứ với (3 x0 ) , phương trình thứ hai với ( y0 4) trừ hai phương trình cho ta được: (3 x0 )( x0 2) ( y0 4)( y0 1) x02 y02 5( x0 y0 ) 10 Ngồi ta giải theo cách khác sau: (d ) : x my 4m 0,(d ') : mx y 3m 1 Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định: A(2; 4) đường thẳng (d’) qua điểm cố định: B(3;1) Mặt khác ta dễ chứng minh đường thẳng (d) đường thẳng (d’) vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M ( x0 ; y0 ) giao điểm hai đường thẳng tam giác MAB vng 5 5 M Gọi I trung điểm AB I ; , AB 10 suy 2 2 2 5 5 2 IM AB IM AB x0 y0 10 x02 y02 5( x0 y0 ) 10 2 x my (1) Ví dụ Cho hệ phương trình: mx y 2m (2) Hệ có nghiệm ( x; y ) , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây: a P x2 y (1) b Q x y (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: y 2m mx Thay vào phương trình (1) ta được: x m(2m mx) (m2 1).x 2m2 m (3) | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m2 m 1 2m2 m (m 1)(2m 3) 2m x 2 m 1 (m 1).(m 1) m 1 m 1 Khi y 2m m 2m m 1 m 1 a Ta có: P x2 3( x 2)2 x2 12 x 12 (2 x 3)2 P x 2m 3 4m 3m m 3 m 1 Vậy giá trị nhỏ P b Ta có: Q x y x ( x 2)4 Đặt t x Khi Q (t 1)4 (t 1)4 t 4t 6t 4t t 4t 6t 4t 2t 12t Q t x 1 2m 2m m m 2 m 1 Vậy giá trị nhỏ Q mx (m 1) y Ví dụ Cho hệ phương trình: Chứng minh hệ ln có nghiệm (m 1) x my 8m ( x; y ) tìm GTLN biểu thức P x y y (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán – ĐHSP Hà Nội 2015) Lời giải: Xét hai đường thẳng (d1 ) : mx (m 1) y 0; (d2 ) : (m 1) x my 8m + Nếu m (d1 ) : y (d2 ) : x suy (d1) ln vng góc với (d2) + Nếu m 1 (d1 ) : x (d2 ) : y 11 suy (d1) ln vng góc với (d2) + Nếu m 0;1 đường thẳng (d1), (d2) có hệ số góc là: a1 m m 1 suy , a2 m 1 m a1.a2 1 (d1 ) (d2 ) Tóm lại với m hai đường thẳng (d1) ln vng góc với (d2) Nên hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng (d1 ) : mx (m 1) y 0; (d2 ) : (m 1) x my 8m ln vng góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm I ( x; y) đường thẳng (d1) BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | qua A(1;1) cố định, đường thẳng (d2) qua B(3; 5) cố định suy I thuộc đường trịn đường kính AB Gọi M (1; 2) trung điểm AB MI AB ( x 1)2 ( y 2)2 13 (*) P ( x 1)2 ( y 2)2 x y 2( x y) x 3( y 2) Hay P 10 x 3( y 2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: y 4x Ví dụ 9:Giải hệ phương trình: 2 y x x y Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Trà Vinh, năm 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) ta có: y x vào phương trình (2) ta được: x x x x 2 x 5x (*) Trường hợp Xét x Phương trình (*) 2 x 5 5x 4 x 10 x x (thỏa mãn) 13 7 Từ (1), suy ra: y 3 Trường hợp Xét x Phương trình (*) x 5 5x x 10 x x 1 Từ (1), suy ra: y 4.(1) Trường hợp Xét x Phương trình (*) x 5 x x 10 x x (thỏa mãn) 17 Từ (1) suy y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y là: | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 2 x x y y Ví dụ 10:Giải hệ phương trình: 2 x y (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, Đại học Vinh, năm học 2015 – 2016) Hướng dẫn giải – đáp số 2 x y x y 1 x y x y Ta có: 2 x y x y x y x y 10 x y Trường hợp Xét 2 2 x y x y x y (1) Trường hợp Xét 2 x y (2) Từ phương trình (1) ta có y 1 x, vào phương trình (2), ta được: x x x 1 x x x 1 x x 2 Với x y 1 1 2 Với x 2 y 1 (2) Vậy tập nghiệm x; y hệ phương trình là: 10 10 10 10 S ; ; , , 1; 2 , 2;1 2 7 13 17 ; ; 1;1 ; ; 3 9 II MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÁC Hệ đối xứng loại I: a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại I phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ ( y0 ; x0 ) nghiệm S x y c) Cách giải: Đặt điều kiện S 4P quy hệ phương trình ẩn S, P P x y Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S, P từ suy quan hệ x, y 10 | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN x m m 1 phương trình có nghiệm y 2 m 1 b) Ta có x, y Z m 1 Ư(2) m 1 m 0; 2; 3 hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn x; y Z a 1 x y Bài 21 Cho phương trình (I) 3x ay a) Giải hệ (1) với a b) Tìm giá trị a để hệ (I) vô nghiệm Hướng dẫn giải – đáp số 3.x y a) Với a hệ (I) trở thành 3x y y 1 3.x y 1 y 1 x 3x y 3.x y b) Ta có x Ta có: ay vào phương trình (1) a 11 ay y a a a 1 y y a a 1 y y a a a 3 y a (3) Hệ (I) vô nghiệm phương trình (3) vơ nghiệm a a 3 a a 2; a mx y 10 m Bài 22 Cho hệ phương trình x my a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm x; y cho x 0; y c) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm x; y với x; y số nguyên dương d) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm cho S x y đạt giá trị nhỏ 54 BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | e) Chứng minh hệ có nghiệm x; y điểm M x; y nằm đường thẳng cố định Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình x my Thế vào phương trình trên: m my y 10 m m 2 m 2 y m (*) 2 x y x y Xét m 2, hệ phương trình có dạng: x y y R Xét m 2, phương trình (*) có dạng: y 20 vô nghiệm hệ phương trình vơ nghiệm Xét m2; 2 từ (*) suy ra: y 8m x m2 m2 Kết luận: x y Với m 2, hệ phương trình có vơ số nghiệm, nghiệm tổng quát là: y R Với m 2, hệ phương trình vơ nghiệm 8m x m Với m2; 2 hệ phương trình có nghiệm nhất: y m2 b) Để hệ phương trình có nghiệm m2; 2 8 m m x m 2 m y 8 m 0 m Vậy 2 m hệ phương trình có hai nghiệm dương c) Hệ phương trình có nghiệm m2; 2 nghiệm là: 8m 10 x m m y m2 Để hệ phương trình có nghiệm nguyên dương m Ư(5) m 0, , suy ra: 55 | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN m+2 m -1 8m x m d) Với m2; 2, hệ phương trình có nghiệm nhất: y m2 8 m 25 2 m 2 m 2 Xét S x y 2 Vậy giá trị nhỏ S m2 16m 89 m 2 2m 21 m 2 1 5 21 m e) Hệ phương trình có nghiệm m2; 2 nghiệm là: 8m 10 x m m suy ra: x y 1 y m2 Vậy điểm M x; y nằm đường thẳng cố định x y 1 m 1 x y Bài 23 Cho hệ phương trình: (với m tham số) mx y m Xác định tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x y (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – dáp số (1) y m 1 x y m 1 x m 1 x y Ta có: m 1 x m 1 x 2m 1 x m (2) mx y m Khi m , phương trình (2) trở thành 0.x (vơ lý) Hệ phương trình vơ nghiệm 2 m3 x 2m Khi m , hệ phương trình có nghiệm nhất: y m m 2 2m Suy ra: x y m2 m 2m 56 BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | 1 11 Do m m m nên x y 2m m 2 Vậy với m hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x y 2 x 3xy y 1 Bài 24 Giải hệ phương trình : 2 3x xy 3y 13 (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Nghệ An , năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số y 1 Xét x ta có hệ hệ vô nghiệm 3y 13 x 1 Xét y ta có hệ hệ vô nghiệm 3x 13 Vậy x; y khác đặt x ty; t 2 2 y t 3t 1 1 t y 3ty y 1 Ta có hệ 2 (*) 2 2 3t y ty 3y 13 y 3t t 13 Vì vế hệ (*) khác ta chia vế hệ (*) cho ta : t 3t 1 13t 39t 13 3t t 2t 5t 3t t 13 t t 2t 1 t 2 y 1 Với t x 2y thay vào hệ (*) ta : 13y 13 Giải ta có nghiệm x; y 2;1 ; 2; 1 Với t 1 x y thay vào hệ (*) ta : 2 1 2 y y y 1 y 1 2 y y 3y 13 13 y 13 Giải ta có nghiệm x; y 1;2 ; 1; 2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình : x; y 2;1 ; 2; 1 ; 1;2 ; 1; 2 57 | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN x 2x y 1 Bài 25 Giải hệ phương trình : y 2y x (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Hải Dương , năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) (2) vế trừ vế ta : x y3 x y x y x xy y2 1 Trường hợp Xét x y x y vào phương trình (1) ta có : x 2x x x x 3 suy x 0; x 3; x Trường hợp Xét x xy y2 Từ phương trình (1), (2) cộng vế với vế ta x y3 x y x y x xy y2 3 x y y x y x x 1 ; Xét 2 2 x xy y x x x x y 2 2 x xy y x xy y Xét 2 x xy y 3x 3xy 3y Vế trừ vế ta : x 2xy y2 x y x x 1 ; Giải ta y 1 y Vậy tập nghiệm hệ phương trình : x; y 0;0 ; 3; ; 3; ; 1; 1 ; 1;1 x 2y 1 Bài 26 Giải hệ phương trình : 2 x 2y 2xy Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) suy x 2y , vào phương trình (2) ta : 2y 2y2 2y 2y y 3y Giải ta y1 1; y2 Với y ta x 2.1 Với y ta x 2.2 58 BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TỐN | Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 3;1 ; 1;2 2 x y 2xy Bài 27 Giải hệ phương trình 3 x y 2xy Hướng dẫn giải – đáp số 2 x y x y 2xy 3 x y 2xy x y 1xy x y 1 3 x y 2xy x y 11 Trường hợp 1: Giải hệ phương trình 3 x y 2xy Từ phương trình (1) ta có x y thay vào phương trình (2) ta : y 1 y3 2y y 1 y2 y Giải ta y1 x1 2; y 2 x 1 x y 1 3 Trường hợp : Giải hệ phương trình 3 x y 2xy Từ phương trình (3) ta có x y thay vào phương trình (4) ta y 1 y3 2y y 1 5y2 phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 1; ; 2; 1 85 2 4xy x y x y Bài 28 Giải hệ phương trình : 2x 13 xy (Thi học sinh giỏi , Tỉnh Thái Bình , năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải – đáp số 85 85 2 2 3 x y x y 2 4xy x y x y x y 2x 13 x y x y 13 xy xy Đặt x y u; x y v hệ phương trình có dạng 85 1 103 2 1 3 u v 3u v u u 13 u v 13 u u v u 59 | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUN TỐN Từ phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta 103 13 v v2 2v 13v 11 3 Giải ta dược v1 1; v 11 Trường hợp : Xét v u 13 3u 10u Giải ta u1 3; u u 3 u x y x Xét v x y y 1 x u x y Xét 3 3 v x y y Trường hợp 2: Xét v 11 13 11 ta có u u 6u 7u phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 2;1 ; ; 3 2 x 1 y 1 10 Bài 29 Giải hệ phương trình : x y xy 1 (Thi học sinh giỏi tốn 9, tỉnh Thanh Hóa , năm học 2008-2009) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 2 x y x y 10 x y xy 1 10 x y xy 1 x y xy 1 Đặt u x y; v xy hệ phương trình có dạng : u v2 10 u v2 2uv 16 u v 16 uv uv uv u v Trường hợp Xét uv Suy u, v nghiệm phương trình X2 4X 1 u u ; Phương trình (1) có nghiệm X1 1; X2 Suy v v 60 BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | u x y x y Xét v xy xy Suy x; y nghiệm phương trình X2 X phương trình (2) vô nghiệm u x y x y Xét v xy xy Suy x; y nghiệm phương trình X2 3X 3 x x Phương trình (3) có nghiệm X1 1; X2 suy ; y y u v 4 Trường hợp Xét u.v Suy u; v nghiệm phương trình X2 4X phương trình (4) có nghiệm : u 1 u 3 X1 1; X2 3 Suy ; v 3 v 1 u 1 x y 1 x y 1 Xét v 3 xy 3 xy 2 Suy x, y nghiệm phương trình X2 X 5 Giải phương trình (5) ta X1 1; X2 2 x x 2 Suy ; y 2 y u 3 x y 3 x y Xét v 1 xy 1 xy x x 3 ; Suy y 3 y Vậy tập nghiệm hệ phương trình là: x; y 2;1 ; 1;2 ; 1; 2 ; 2;1 ; 0; 3 ; 3;0 x y x y Bài 30 Giải hệ phương trình : x y2 x y2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Hà Tĩnh , năm học 2007-2008) Hướng dẫn giải – đáp số 61 | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 1 2 x y x y 5 x y x y x y2 x y 2 x y y2 y2 Đặt u ;v y x y u v 1 u v Hệ phương trình có dạng 2 u v u v 13 Từ phương trình (1) ta có u v thay vào phương trình (2) ta v1 2; v2 x x x 2x Với v u ta có y 3y y y x x Giải hệ có nghiệm ; y y 2 x x x 3x x 3x Với v u ta có 2 y 2y y 1 y y vơ nghiệm Vậy tập nghiệm hệ phương trình : x; y 1;1 ; 1;2 1 x y x y 1 Bài 31 Giải hệ phương trình : xy xy (Thi học sinh giỏi Toán 9,tỉnh Quãng Ngãi , năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (2) ta có : 2 xy 5xy 2xy 1 xy xy ; xy 2 Trường hợp Xét xy x 1 y thay vào phương trình (1) ta : 2x 1 2x 2x 3x 2x x 62 BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | 1 Giải ta : x1 y1 ; x y2 2 Trường hợp Xét xy y Thay vào (1) ta có x x x x 3x x x 2 Giải ta x3 y3 3; x 2; y Vậy tập nghiệm phương trình : x; y 1; ; ;1 ; 1; ; 2;1 x y xy 16 Bài 32 Giải hệ phương trình : x y 10 (Thi học sinh giỏi Toán , tỉnh Hải Dương , năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số Điều kiện x 0; y Đặt u x y; v xy với u 0; v u 4v 16 1 Hệ phương trình có dạng : u 2v 10 Từ phương trình (1) suy v 16 u thay vào phương trình (2) ta được: 16 u u2 10 2u u 36 Giải phương trình ta : u1 (loại) u (thỏa mãn) x y Với u v Suy xy Suy x; y nghiệm phương trình X2 4X Giải ta : X1 1; X2 x 1 x x x ; ; Suy : y y y y Vậy tập nghiệm phương trình : x; y 1;9 ; 9;1 63 | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 2x y 11 Bài 33 Giải hệ phương trình : xy x (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ , năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 2x y 11 4x 2y 2 xy x xy x Suy : 4x 2y2 xy x 3x xy 2y2 x y x y 3x 2y 3x 2y Trường hợp Xét x y x y thay vào phương trình (1) ta được: 2x y2 x 1; y 1 Trường hợp 3x 2y y 3x thay vào (1) 9x x2 2x 1 vô nghiệm 4 Thử lại hệ phương trình Vậy tập nghiệm phương trình x; y 1;1 ; 1; 1 2 x y Bài 34 Giải hệ phương trình : 3 x y 6 x y xy (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Hải Dương , năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x a; y b , hệ phương trình trở thành : 3 2 2 2 a b a b ab 2 a b a ab b 3ab a b a b a b 2 a b 2 a b 5ab 2 a b 9ab ab a b a b Suy a; b nghiệm hệ phương trình X2 6X Giải ta a a X1 2; X2 ; b b 64 BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | a x x 2 Với b y 64 y 4 a x 64 x 4 Với b y y 2 Vậy hệ phương trình có cho nghiệm x; y 8;64 ; 64;8 3x xy 4x 2y Bài 35 Giải hệ phương trình : x x 1 y y 1 (Thi học sinh giỏi toán lớp , tỉnh Hải Dương , năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số 3x xy 4x 2y 3x xy 4x 2y x y x y x x 1 y y 1 2x xy y 5x y 2 x y x y Ta có : 2x xy y2 5x y y x y 2x 1 y x y 2x Với y x thay vào (2) ta : x 2x suy x Ta nghiệm 1;1 Với y 2x thay vào (2) ta dược : 5x x , suy x 1; x 4 13 Ta tính nghiệm 1;1 ; 5 4 13 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 ; 5 2 2 x y 2x y Bài 36 Giải hệ phương trình : 2 x y 1 xy 4x y (Thi học sinh giỏi Tốn lớp , tỉnh Thanh Hóa , năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số Với x y nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x y ngược lại Xét x 0; y hệ phương trình tương đương với 65 4 | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 1 1 1 x y2 x y 1 1 x y xy x y xy 1 x y 1 1 1 Thay (1) vào (2) ta x y 1 x y x y 1 xy Vậy hệ có nghiệm x; y 0;0 ; 1;1 4 x x y y Bài 37 Giải hệ phương trình : x y y (Tuyển sinh lớp 10 , THPT chuyên , Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số 4 4x x x x y y2 y y Ta có x 2x x 3 y y y y 2 2x 2x 2 2 x x y y y y 1 x 2x 2 x y y 4 x y y 1 1 Suy x x 4 x y y y x x 1 x y y y Từ ta có : x x x 2x x x Với x y 1 Với x y x x ; Thử lại ta thấy : nghiệm hệ phương trình y y 66 BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN | 2 x y Bài 38 Giải hệ phương trình : 3 x 2y 10x 10y (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên , TP Hà Nội , năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có : 2 x y2 x y 3 x 2y 10x 10y x 2y 2x 2y 2 2 x y x y 3 2 3 2 x 2y x y 2x 2y x 2y 2x 2xy 2x y 2y 2 x y 2 x x 2xy 2y x y2 x Trường hợp Xét x y 2 2 x y x y Trường hợp Xét vô nghiệm 2 x 2xy 2y x y y Vậy hệ có nghiệm x; y 0; ; 0; 2 x y 3xy 1 Bài 39 Giải hệ phương trình : 3 9x 2y x y 4xy 1 (Tuyển sinh lớp 10 , THPT chuyên , tỉnh Gia Lai , năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số 2 x y 3xy 11 Ta có : 3 9x 2y x y 4xy 1 Thay (1) vào (2) ta : 9x 2y3 x y 4xy x y2 3xy x y x y2 xy 9x3 2y3 x y3 8x y3 y 2x Thay y 2x vào phương trình (1) ta : x x 1 Với x y Với x 1 y 2 67 | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN x x 1 Vậy phương trình có hai nghiệm : ; y y 2 68
Ngày đăng: 20/10/2023, 12:24
Xem thêm: