Chương 3 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chuyên đề 10 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH t điểm cũng quý bởi đôi khi nó quyết định đến việc trượt đỗ của ta. Cách làm bài thi toán vào 10 đạt điểm cao: Có sức khỏe là có tất cả Thân thể yếu ớt thì tâm không sáng, trí không cao Ngày thi tới gần, các em đã rèn luyện cả mấy năm trời nên chỉ cần ôn tập nhẹ nhàng, không nên thức khuya quá. Vì có thức thêm vài tiếng cũng không làm thay đổi được cục diện, nếu ốm thì hỏng cả mấy năm rèn luyện Thầy tư vấn mỗi ngày nên đầu tư 30 phút thể dục rèn luyện thân thể, nếu có thể đi bơi được thì rất tốt cho sức khỏe, xả stress và tư tưởng sảng khoái, sau đó về ôn tập sẽ năng suất hơn. Có sức khỏe và tâm tưởng thoải mái, khi vào phòng thi, các em sẽ thi đấu với 100%, thậm chí trên 100% phong độ. Bên cạnh đó, cần ăn uống đầy đủ, trước và khi đi thi không ăn đồ bẩn, dễ đBẬC NHẤT HAI ẨN A Kiến thức cần nhớ 1 Phương trình bậc nhất hai ẩn và là hệ thức dạng , trong.
Chương HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chuyên đề 10 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A Kiến thức cần nhớ Phương trình bậc hai ẩn x y hệ thức dạng ax + by = c ( 1) , cb≠ ) a, b, c số biết ( a ≠ hoặ ã Nu x0 ; y0 tha ( 1) cặp số ( x0; y0 ) gọi nghiệm phương trình ( 1) Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng ax + by = c , kí hiệu ( d) Nếu a ≠ 0và b ≠ đường thẳng ( d) đồ thị hàm số a c y = − x+ b b • Nếu a ≠ b = 0thì phương trình trở thành x = c , đường thẳng ( d) a song song trùng với trục tung • Nếu a = b ≠ phương trình trở thành y = c , đường thẳng ( d) b song song trùng với trục hoành ax + by = c Cho hệ phương trình bậc hai ẩn ( 1) a′x + b′y = c′ • Nếu hai phương trình có nghiệm chung nghiệm hệ ( 1) ( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) gọi • Nếu hai phương trình cho khơng có nghiệm chung ta nói hệ ( 1) vơ nghiệm Giải hệ phương trình tìm tập nghiệm Tập nghiệm hệ phương trình ( 1) biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng Vậy : ( d) : ax + by = c ( d′ ) : a′x + b′y = c' Vậy : ● Nếu ( d ) cắt ( d ′ ) ( 1) có nghiệm ● Nếu ( d ) // ( d ′ ) hệ ( 1) vô nghiệm ● Nếu ( d ) trùng với ( d ') hệ ( 1) vơ số nghiệm Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm cơng thức nghiệm tổng quát phương trình sau biểu diễn hình học tập nghiệm a) x − y = b) x + y = c) x − y = Giải a) x − y = ⇔ y = x − ⇔ x = y+ 2 x∈R Ta có tập nghiệm phương trình cho y = 2x − Biểu diễn hình học tập nghiệm: x = y + 2 y ∈ R b) Ta 4 x = 4x + y = ⇔ ⇔ x=2 y ∈ R có tập nghiệm phương trình cho là: x = y∈ R Biểu diễn hình học tập nghiệm x∈ R ⇔ y = −2 c) x − y = ⇔ − y = x ∈ R Ta có tập nghiệm phương trình cho là: y = −2 Biểu diễn hình học tập nghiệm Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình sau: a) x + y = b) 38 x + 117 y = 15 c) 21x − 18 y = Giải Tìm cách giải Để tìm nghiệm nguyên phương trình ax + by = c , • ta thường biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ theo ẩn Chẳng hạn câu a: - Biểu thị ẩn y theo ẩn x - Tách riêng giá trị nguyên biểu thức chứa x - Đặt điều kiện để phân số biểu thức x số nguyên t, ta phương trình bậc hai ẩn x t - Cứ tiếp tục làm ẩn biểu thị dạng đa thức với hệ số nguyên Trình bày lời giải • a) 5x + y = ⇒ y = − 5x x −1 = 1− 2x + x số nguyên − 2x số 3 nguyên y∈Z ⇔ Đặt x −1 ∈Z x −1 = t ( t ∈ Z ) ⇒ x − = 3t ⇒ x = 3t + Do y = − ( 3t + 1) = −5t − x = 3t + Vậy nghiệm nguyên tổng quát phương trình cho là: y = −5t − t∈Z b) 38 x + 117 y = 15 ⇒x= 15 − 117 y 15 − y = −3 y + y số nguyên −3y số nguyên 38 38 x∈Z ⇔ 15 − y 15 − y ∈ Z Đặt = t (t∈Z) 38 38 ⇒ 15 − y = 38t ⇒ y = −38t + 15 t = − 13t + 3 Ta có: t ∈ Z ⇔ − 13t ∈ Z t t y ∈ Z ⇔ ∈ Z Đặt = m ( m ∈ Z ) ⇒ t = 3m 3 Do đó: y = − 13.3m + m = − 38m Suy ra: x = −3 ( − 38m ) + 3m = 117 m − 15 x = 117 m − 15 Vậy nghiệm nguyên tổng quát phương trình cho là: y = − 38m m∈Z c) 21x − 18 y = Với x, y số nguyên vế trái chia hết cho 3, vế phải không chia hết cho Vậy không tồn số nguyên ( x; y ) thỏa mãn phương trình ● Nhận xét: Câu c, ta cần ý đến tính chia hết hệ số ẩn Tổng quát Xét phương trình ax + by = c , a, b, c số nguyên ƯCLN ( a; b; c ) = Người ta chứng minh ƯCLN ( a; b ) = phương trình ln có nghiệm, ƯCLN ( a; b ) = d ≠ phương trình ln vơ nghiệm Ví dụ 3: Trên đường thẳng x − 13 y + = , tìm điểm nguyên (là điểm có tọa độ số nguyên) nằm hai đường thẳng x = −15 x = 40 Giải ● Tìm cách giải Bản chất tốn tìm nghiệm nguyên phương trình x − 13 y + = lấy giá trị x cho −15 < x < 40 Do vậy: - Bước Tìm nghiệm nguyên tổng quát phương trình - Bước Xét miền giá trị −15 < x < 40 để tìm nghiệm ● Trình bày lời giải: Giả sử M ( x; y ) với x; y ∈ Z điểm thuộc đường thẳng x − 13 y + = suy x; y nghiệm nguyên phương trình Ta có x − 13 y + = ⇒ x = nguyên x ∈ Z ⇔ Đặt 13 y − 6 + 3y = 2y − y số nguyên y số 8 + 3y ∈Z + 3y 8t − t = t ( t ∈ Z ) ⇒ + y = 8t ⇒ y = = 3t − − 3 Ta có: t ∈ Z ⇔ 3t − ∈ Z t t y ∈ Z ⇔ ∈ Z Đặt = m ( m ∈ Z ) ⇒ t = 3m 3 Do y = 3.3m − − m = 8m − ; x = ( 8m − ) − 3m = 13m − x = 13m − Nghiệm nguyên tổng quát phương trình là: y = 8m − m∈Z Do −15 < x < 40 ⇒ −15 < 13m − < 40 ⇒ − 11 44