Toanthaycu com chuyên đề 3 hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM  a1 x + b1 y = c1 Cho hệ hai phương trình bậc hai ẩn:  (I)  a2 x + b2 y = c2 • Nếu hai phương trình có nghiệm chung ( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) gọi nghiệm hệ (I) • Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vơ nghiệm • Giải hệ phương trình tìm tập nghiệm Phương pháp • Bước 1: Từ phương trình hệ cho (coi PT (1)), ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, vào phương trình thứ hai (PT (2)) để phương trình (chỉ cịn ẩn) • Bước 2: Dùng phương trình để thay cho PT (2) hệ (PT (1) thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn kia) Phương pháp cộng đại số • Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình cịn ẩn • Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (giữ ngun phương trình cịn lại) Chú ý: • Trong phương pháp cộng đại số, trước thực bước 1, nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối • Đơi ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình cho hệ phương trình với hai ẩn mới, sau sử dụng hai phương pháp giải trờn B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải hệ phương trình đơn giản phương pháp cộng, phương pháp phương pháp đặt ẩn phụ 3 x + y = Câu Giải hệ phương trình phương pháp  2 x + y = Lời giải Từ phương trình suy y = − x Thay vào phương trình ta có phương trình: x + ( − x ) = ⇔ x = ⇒ y = − 2.1 = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 1; ) 3 x − y = 11 Câu Giải hệ phương trình phương pháp cộng  x + y = Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải  x = 12 x = ⇔ Cộng hai phương trình lại với nhau, ta có:   x + y =  y = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3; −1)  x + by = a Câu 3: Tìm a, b biết hệ phương trình:  có nghiệm x = ; y = bx + ay = Lời giải Thay x = ; y = vào hệ ta có: −1  b =  2.1 + b.3 = a a − 3b = 3a − 9b = 10b = −1 10 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  17 b.1 + a.3 = 3a + b = 3a + b = 3a + b = a =  10 −1 17 Vậy a = ; y= hệ phương trình có nghiệm x = ; y = 10 10 2 x − ay = 5b − x = BTTT: Cho hệ phương trình:  Tìm a , b biết hệ có nghiệm  bx − y = y = Lời giải 2 x − ay = 5b − x = Hệ phương trình:  có nghiệm  bx − y = y =  − 2a = 5b −  −2a = 5b −  −2a = 62  a = −31 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ b − = b = 13 b = 13 b = 13 3( x + 1) + 2( x + y ) = Câu Giải hệ phương trình   4( x + 1) − ( x + y ) = Lời giải Hệ phương trình tương đương với: 3 x + + x + y = 5 x + y = 5 x + y = ⇔ ⇔  4 x + − x − y = 3x − y = 6 x − y = 10 11x = 11 x = ⇔ ⇔ 6 x − y = 10  y = −1 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 1; −1) 2  x + y = Câu Giải hệ phương trình:  1 − 2y =  x Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải Điều kiện x ≠ 2 4  x=   x + y =  x + y =   x = ⇔ ⇔ ⇔ (TM )  1 − 2y = 1 − 2y =  + y =  y = −1  x  x  x 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ; −1÷ 2  −1  x + y =  Câu Giải hệ phương trình:   x − = −7  y Lời giải Điều kiện y ≠ Đặt t = , hệ phương trình cho trở thành y −1   −1  −1  x = −1  x + t = t = − x −x  x = −1 t =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (thỏa mãn)  y=2 t=   x − 3t = −7  x − 3( −1 − x) = −7   5 x = −5    2 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( −1; )  3x  x −1 −  Câu Giải hệ phương trình   2x +  x − =4 y+2 =5 y+2 Lời giải ĐK x ≠ 1; y ≠ −2  x  x − = a b ≠ Khi hệ phương trình trở thành: Đặt   =b  y + 3a − 2b = 3a − 2b = 7 a = 14 a = ⇔ ⇔ ⇔   2a + b = 4a + 2b = 10  2a + b = b =  x  x − = x = ⇔ Khi ta có:   =  y = −1  y + Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2; −1)  x+ y +  Câu Giải hệ phương trình:   −  x + y =5 y −1 = −1 y −1 Lời giải Điều kiện: x ≠ − y; y ≠ Đặt u = 1 v = Hệ phương trình thành : x+ y y −1  4u + v = 8u + 2v = 10 9u = u = ⇔ ⇔ ⇔  u − 2v = −1 u − 2v = −1  2v = u +  v = Do đó, hệ cho tương đương :   x + y =  x + y =  x = −1  ⇔ ⇔  y − =  y =  =1  y − Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( −1; )  x − y = Câu Khơng dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình:   x + y = Lời giải x ≥ Điều kiện:  y ≥  x − y =  x − y = 5 y = ⇔ ⇔     x + y =  x + y = 2 x + y =  y = y = ⇔ ⇔ x = 2 x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 1;0 ) Câu 10 x+2  x +1 + y − =  Giải hệ phương trình   − =3   x +1 y − Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM + Điều kiện: x ≠ −1; y ≠ 2   1 + x + + y − =  x +1 +   ⇔ ⇔  − =3  −    x +1 y −  x +1  =5  x +1 + y−2  ⇔  − =3  y−2  x +1 10 = 25 y−2 =3 y−2   11  y= = 22  y−2= y−2    ⇔ ⇔ ⇔ =3  − =  − =  x +1 − −2  x + y −  x + y −    y = ⇔  x =  5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  0; ÷  2 Dạng 2: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m Phương pháp: Cách 1: Đưa hệ phương trình cho phương trình bậc  Bước 1: Đưa hệ phương trình phương trình bậc dạng ax + b = (Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…)  Bước 2: Xét phương trình ax + b = ( 1) ( a , b số) TH 1: Phương trình ( 1) có nghiệm ⇔ a ≠ ⇒ phương trình có nghiệm b x=− a a = TH 2: Phương trình ( 1) vơ nghiệm ⇔  b ≠ a = TH 3: Phương trình ( 1) có vơ số nghiệm ⇔  b =  Bước 3: Kết luận Cách 2: Xem hai phương trình hệ hai phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM  mx − y = 2m Bài Tìm m để hệ phương trình  vơ nghiệm  x − my = m + Lời giải Từ phương trình đầu ta có y = mx − 2m ( *) Thế ( *) vào phương trình thứ hai ta được: x − m ( mx − 2m ) = m + ⇔ ( − m ) x = −2m + m + ( **) Hệ phương trình vơ nghiệm phương trình ( **) vơ nghiệm  4 − m = ⇔ m = −2 ( **) vô nghiệm khi:    −2m + m + ≠ mx − y = Bài Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm 2 x + y = Lời giải  mx − y = (1)   x + y = (2) Từ pt ⇔ y = − x Thế vào pt ta được: mx − 2(2 − x) = ⇔ (m + 4) x = (3) ⇒ m ≠ −4 pt có nghiệm ⇒ Hệ cho có nghiệm  x + ay = −4 Bài Cho hệ phương trình :   ax − y = a) Giải hệ phương trình với a = b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Lời giải a) Với a = , ta có hệ phương trình:  x + y = −4 6 x + y = −12 7 x = −7  x = −1  x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x − 3y = x − 3y = −1 − y =  y = −2 x − y = Vậy với a = , hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = ( −1; −2 ) b) Ta xét trường hợp:  x = −2 2 x = −4  ⇔ + Nếu a = , hệ có dạng:  Vậy hệ có nghiệm − y =  y = − Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM + Nếu a ≠ , hệ có nghiệm khi: với a ) a ≠ ⇔ a ≠ −6 (luôn đúng, a ≥ a −3 Do đó, với a ≠ , hệ ln có nghiệm Tóm lại hệ phương trình cho có nghiệm với a ( m − 2) x − y = −5 ( I ) ( m tham số) Bài Cho hệ phương trình:   x + my = a) Giải hệ phương trình ( I ) với m = b) Chứng minh hệ phương trình ( I ) có nghiệm với m Tìm nghiệm theo m Lời giải a) Thay m = ta có hệ phương trình − x − y =  −2 y = − y =1 y =1 y =1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x + y = x = − y x = −1 x = x + y = 3m − m y − + 2my − y = −5 (m − 2) x − y = −5 ( m − 2)(3 − my ) − 3y = −5 ⇔ ⇔ b)     x + my =  x = − my  x = − my ( m − 2m + 3) y = 3m − ⇔  x = − my (1) (2) Ta có: m − 2m + = (m − 1) + > 0∀m nên PT ( 1) có nghiệm ∀m Hệ phương trình có nghiệm ∀m Từ ( 1) ta có: y = 3m − − 5m thay vào ( ) ta có x = m − 2m + m − 2m + 3m −   − 5m ; Vậy nghiệm hệ phương trình ( x, y ) =  ÷  m − 2m + m − m +  Dạng 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa điều kiện cho trước ♣ Phương pháp: Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM  Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm ( x, y ) theo tham số m ;  Bước 2: Thế nghiệm x, y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m ;  Bước 3: Kết luận Bài x + y = m + ( I ) ( m tham số) Hải phịng 2013-2014_Cho hệ phương trình  2 x − y = m a) Giải hệ phương trình ( I ) m = b) Tìm m để hệ ( I ) có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x + y = −3 Lời giải a) Với m = , hệ phương trình ( I ) có dạng: x + y = 2 x + y = x = ⇔ ⇔  2 x − y = 2 x − y = y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) = ( 2;1) 5m +  x=  x + y = m +  x + y = 2m +  x + y = m +  ⇔ ⇔ ⇔ b)  2 x − y = m 2 x − y = m 7 y = m + y = m +6   5m + m +  ; Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ÷   Lại có x + y = −3 hay 5m + m + + = −3 ⇔ 5m + + m + = −21 ⇔ 6m = −36 ⇔ m = −6 7 Vậy với m = −6 hệ phương trình ( I ) có nghiệm ( x, y ) thỏa mãn x + y = −3 Bài  x + y = 5m − Hịa bình 2014-2015_Cho hệ phương trình:  x − y = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x − y = −2 Lời giải  x + y = 5m −  y = 5m − − x  y = 5m − − x  x = 2m ⇔ ⇔ ⇔  x − y =  x − 2(5m − − x ) = 5 x = 10m  y = m −1 Thay vào ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM m = x − y = −2 ⇔ (2m )2 − 2(m − 1) = −2 ⇔ 2m + 4m = ⇔   m = −2 Vậy m ∈ { –2;0} Bài (m − 1) x + y = Cho hệ phương trình:  ( m tham số) mx + y = m + a) Giải hệ phương trình m = ; b) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình ln có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn: x + y ≤ Lời giải a) Giải hệ phương trình m = x + y = x + y = x = ⇔ ⇔ Ta có:  2 x + y =  x = y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1;1) b) Ta có y = – ( m − 1) x vào phương trình cịn lại ta phương trình: mx + – ( m − 1) x = m + ⇔ x = m –1 suy y = – ( m − 1) với m ( Vậy hệ phương trình ln có nghiệm ( x; y ) = m − 1; – ( m − 1) ) 2 x + y = ( m − 1) + – ( m − 1) = − m + 4m − = – ( m − ) ≤ với m Bài 3 x + y = 2m + Cho hệ phương trình  có nghiệm ( x; y ) Tìm m để biểu thức A = xy + x − x + y =  đạt giái trị lớn Lời giải  x + y = 2m + x = m + 2 ⇔ ⇒ A = xy + x − = − ( m − 1) ⇒ Amax = m =  x + y = y = 3− m Bài  x + my = m + Cho hệ phương trình:  ( m tham số) mx + y = 2m a) Giải hệ phương trình m = x ≥ b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn  y ≥1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải  x=  x + y = x + y = 3x =  ⇔ ⇔ ⇔ a) Thay m = ta có hệ phương trình  2 x + y = 4 x + y = 2 x + y = y =   x + my = m + ( 1) b) Xét hệ  ( 2)  mx + y = 2m 2 Từ (2) ⇒ y = 2m − mx thay vào (1) ta x + m ( 2m − mx ) = m + ⇔ 2m − m x + x = m + ⇔ ( − m ) x = −2m + m + ⇔ ( m − 1) x = 2m − m − (3) Hệ phương trình cho có nghiệm ⇔ ( 3) có nghiệm m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 ( *) 2m +   x = m + Khi hệ cho có nghiệm  y = m m +1   2m +  −1 ≥2   m + ≥ x ≥  m +1 ⇔ ⇔ ⇔ m + < ⇔ m < −1 Ta có  y ≥1  m ≥1  −1 ≥  m +  m + Kết hợp với ( *) ta giá trị m cần tìm m < −1 Bài ( a + 1) x − y = a + Cho hệ phương trình:   x + ( a − 1) y = a) b) c) d) a) ( 1) ( 2) ( a tham số) Giải hệ phương trình a = Giải biện luận hệ phương trình Tìm số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm ngun Tìm a để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x + y đạt GTNN Lời giải   x = 3 x − y = 4 x = ⇔ ⇔ Khi a = hệ phương trình có dạng:  x + y = y = − x y =  5 3 Vậy với a = hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ; ÷ 4 4 b) Giải biện luận: Từ PT ( 1) ta có: y = ( a + 1) x − ( a − 1) ( 3) vào PT ( ) ta được: x + ( a + 1) ( a + 1) x − ( a − 1)  = ⇔ x + ( a − 1) x − ( a − 1) = ⇔ a x = a + ( 4) Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 10 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM TH1: a ≠ , phương trình ( ) có nghiệm x = a2 +1 Thay vào ( 3) ta có: a2 ( a + 1) ( a + 1) − a ( a + 1) a3 + a + a + − a − a a + a2 + y = ( a + 1) − ( a + 1) = = = a a2 a2 a  a2 + a +1  Suy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ; ÷ a   a TH2: Nếu a = , phương trình ( ) vơ nghiệm Suy hệ phương trình cho vơ nghiệm  a2 + a +1  KL: a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ; ÷ a   a a = hệ phương trình cho vơ nghiệm c)  a2 + a +  Với a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ; ÷ a   a  a2 + ∈¢  x ∈ ¢  a ⇔ Hệ phương trình có nghiệm ngun:   y ∈ ¢  a +1∈ ¢  a Điều kiện cần: x = ( a ∈ ¢) a2 + 1 = + ∈ ¢ ⇔ ∈ ¢ ⇔ a = ⇔ a = ±1 a a a Điều kiện đủ: a = −1 ⇒ y = ∈ ¢ (nhận) a = ⇒ y = ∈ ¢ (nhận) Vậy a = ±1 hệ phương trình cho có nghiệm ngun  a2 + a +  x ; y = )  ; ÷ d) Với a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( a   a Ta có x + y = Đặt t = a2 + a + a2 + a + 2 + = = 1+ + 2 a a a a a ta được: a    1   1 7 x + y = 2t + t + =  t + t + ÷ =  t + ÷ +  =  t + ÷ + ≥ 2   4 8   16  Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 11 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Dấu " = " xảy t = − , a = −4 Vậy a = −4 hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x + y đạt GTNN x − 2y =  mx − y = Bài Cho hệ phương trình:  ( 1) ( 2) a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x = y Giải:  x − y = x = y + x = x = y + ⇔ ⇔ ⇔  2 x − y = 3 y = −6  y = −2 2 ( y + ) − y = a) Với m = ta có hệ phương trình:  b) Từ phương trình (1) ta có x = y + Thay x = y + vào phương trình (2) ta được: m ( y + ) − y = ⇔ ( 2m − 1) y = − 5m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với: 2m − ≠ ⇔ m ≠ − 5m Từ ta được: y = ; 2m − Do x, y < ⇔ − 5m < ⇔ m > c)Ta có: x = y ⇔ − 5m = m − 2m − Từ (4) suy 2m − > ⇔ m > x = + 2y = ( − 5m ) Ta có: x y = 2m − ( 2m − 1) (thỏa mãn điều kiện) (4) 1 Với điều kiện m > ta có: 2  m = ( l )  − 5m = ⇔ Vậy m = ( ) ⇔ − 5m = ⇔   − 5m = −3 m =   x + my = m + mx + y = 3m − Bài Cho hệ phương trình:  ( 1) ( 2) a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 12 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số nguyên m cho hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) mà x, y số nguyên d) Chứng minh hệ có nghiệm ( x, y ) điểm M ( x, y ) ln chạy đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Lời giải: a) Từ phương trình (2) ta có y = 3m − − mx Thay vào phương trình (1) ta được: x + m ( 3m − − mx ) = m + ⇔ ( m − 1) x = 3m − 2m − (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , tức m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm : m ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±1 m b) Từ phương trình (2) ta có y = 3m − − mx Thay vào phương trình (1) ta được: x + m ( 3m − − mx ) = m + ⇔ ( m − 1) x = 3m − 2m − (3) Trường hợp 1: m ≠ ±1 Khi hệ có nghiệm  3m − 2m − ( m − 1) ( 3m + 1) 3m + x = = =  m2 −  ( m − 1) ( m + 1) m +  3m + m −  y = m − − m =  m +1 m +1 Trường hợp 2: m = Khi phương trình (3) thành: 0.x = Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng ( x; − x ) , x ∈ ¡ Trường hợp 3: m = −1 phương trình (3) thành: 0.x = (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm c) Hệ cho có nghiệm m ≠ ±1 3m +   x = m + = − m + Ta có:  Vậy x, y nguyên nguyên Do m + có m +1  y = m −1 = 1− m +1 m +1  thể −2; −1;1; Vậy m = −3; −2;0 (thỏa mãn) m = (loại) Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 13 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Vậy m nhận giá trị −3; −2;0 d) Khi hệ có nghiệm ( x, y ) ta có: x − y = − 2   − 1 − ÷= m +1  m +1  Vậy điểm M ( x; y ) chạy đường thẳng cố định có phương trình y = x − e) Khi hệ có nghiệm ( x; y ) theo (d) ta có: y = x − Do đó: xy = x ( x − ) = x − x + − = ( x − 1) − ≥ −1 Dấu xảy khi: x = ⇔ − 2 =1⇔ = ⇔ m +1 = ⇔ m = m +1 m +1 Vậy với m = x y đạt giá trị nhỏ Chú ý: Ta tìm quan hệ x − y = theo cách khác: Khi hệ phương trình ( 1) ( 2)  x + my = m +  mx + y = 3m − có nghiệm m ≠ ±1 lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) ( ) hệ ta thu được: ( m − 1) x − ( m − 1) y = ( m − 1) ⇒ x − y =  x − my = − 4m Chứng minh với m hệ phương trình mx + y = 3m + Bài Cho hệ phương trình:  ln có nghiệm Gọi ( x0 ; y0 ) cặp nghiệm phương trình: Chứng minh: x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015) Lời giải: Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y = 3m + − mx thay vào phương trình ( 1) ( ) 2 hệ ta có: m + x = 3m − 3m + Do m + ≠ với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m  x0 − = m ( y0 − ) Nhân hai  y0 − = m ( − x0 ) Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có:  vế phương trình thứ với ( − x0 ) , phương trình thứ hai với ( y0 − ) trừ hai phương 2 trình cho ta được: ( − x0 ) ( x0 − ) − ( y0 − ) ( y0 − 1) = ⇔ x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = Ngoài ta giải theo cách khác sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 14 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM ( d ) : x − my + 4m − = 0, ( d ') : mx + y − 3m − = Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng ( d ) qua điểm cố định: A ( 2; ) đường thẳng ( d ' ) qua điểm cố định : B ( 3;1) Mặt khác ta dễ chứng minh đường thẳng ( d ) đường thẳng (d ') vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M ( x0 ; y0 ) giao điểm hai đường thẳng 5 5 2 2 tam giác M AB vng M Gọi I trung điểm AB I  ; ÷, AB = 10 suy 2  5  5  IM = AB ⇔ IM = AB ⇔  x0 − ÷ +  y0 − ÷  = 10 ⇔ x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = 2     (1)  x + my = mx + y = 2m + (2) Bài 10 Cho hệ phương trình:  Hệ có nghiệm ( x, y ) , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây: a) P = x + y (1) b) Q = x + y (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: y = 2m + − mx Thay vào phương trình (1) ta được: x + m ( 2m + − mx ) = ⇔ ( m − 1) x = 2m + m − (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m − ≠ ⇔ m ≠ ±1  2m + m − ( m − 1) ( 2m + 3) 2m + x = = = = 2+  m −1 m +1  ( m − 1) ( m + 1) m + Khi  2m +   y = 2m + − m m + = m + a) Ta có: P = x + ( x − ) = x − 12 x + 12 = ( x − 3) + ≥ P = x = 2m + 3 ⇔ = ⇔ 4m + = 3m + ⇔ m = −3 m +1 Vậy giá trị nhỏ P b) Ta có: Q = x + y = x + ( x − ) đặt t = x − Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 15 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Khi Q = ( t + 1) + ( t − 1) = t + 4t + 6t + 4t + + t − 4t + 6t − 4t + = 2t + 12t + ≥ Q = ⇔ t = ⇔ x =1⇔ 2m + = ⇔ 2m + = m + ⇔ m = − m +1 Vậy giá trị nhỏ Q Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 16 ... Cách 1: Đưa hệ phương trình cho phương trình bậc  Bước 1: Đưa hệ phương trình phương trình bậc dạng ax + b = (Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…)  Bước 2: Xét phương trình ax +... 0 834 33 2 133 WEB: TOANTHAYCU. COM Lời giải  x = 12 x = ⇔ Cộng hai phương trình lại với nhau, ta có:   x + y =  y = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3; −1)  x + by = a Câu 3: ... hệ zalo Trần Đình Cư: 0 834 33 2 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0 834 33 2 133 WEB: TOANTHAYCU. COM  Bước 1: Giải hệ phương