+ Hạn chế: Thực hiện phương pháp đồ thị để giải quyết các bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, bên cạnh việc chỉ ra số nghiệm, biện luận số nghiệm của hệ phương trình là khá n[r]
(1)MỤC LỤC
Nội dung Trang
CHUYÊN ĐỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A MỞ ĐẦU
B NỘI DUNG
3
4 4 6 7 9 10 11 11 12 15 19 1.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.1 Dạng tổng quát:
1.2 Nghiệm số nghiệm hệ: 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ: 1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ:
1.2.3 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ:
2 GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI P.T BẬC NHẤT HAI ẨN:
2.1: Dạng 1- Xác định số nghiệm hệ phương trình 2.2 : Dạng - Giải hệ phương trình
2.3 : Dạng 3- Rèn kỹ giải hệ phương trình cách đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn
2.3.1: Phương pháp khai triển – thu gọn 2.3.2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
2.4 : Dạng – Hệ phương trình chứa tham số
Loại 3: Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình Loại 4: Một số toán điều kiện nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
C BÀI GIẢNG MINH HỌA ( Dạng 4: Loại 1, Loại ) D BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
E.Đánh giá kết đạt F.Kết luận kiến nghị
25 25
(2)CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A MỞ ĐẦU
1 Đặt vấn đề, lý chọn đề tài
Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại
Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng có hiệu thiết bị dạy học, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học Tốn nói riêng trường THCS tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn
Trong chương trình Đại số – Học kỳ II, xác định kiến thức hệ hai phương trình bậc ẩn đơn vị kiến thức quan trọng Bởi lẽ:
Thứ nhất: Trên thực tế giảng dạy chúng tơi nhận thấy việc giải dạng tốn hệ hai phương trình bậc hai ẩn học sinh lớp 9: Thuần thục mức độ nhận biết song lại gặp khó khăn mức độ vận dụng
Thứ hai: Đây nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng trong tài liệu SGD để ôn thi vào lớp 10 THPT hàng năm
Thứ ba: Có thể nhận thấy liên thông kiến thức bậc học thường được xây dựng theo “hình xoắn ốc” Vì cho thấy giải tốt vấn đề sở để học sinh có nhiều thuận lơi việc mở rộng tiếp cận với kiến thức hệ phương trình chương trình Tốn lớp 10
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng mơn nên nhóm tốn trường THCS Trung Kiên chọn chuyên đề: “ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ”
2 Cơ sở thực tiễn a Thuận lợi
- Giáo viên: Được quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện Ban giám hiệu tổ chuyên môn
- Học sinh: Đa số em nơng thơn nên có tính cần cù, chịu khó, ngoan ngỗn
b Khó khăn
(3)nghe giảng, ỷ nại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn luyện, ý thức học tập yếu
Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt
Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, xác định dạy học theo phương pháp mơ hồ
Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà
3 Mục đích đề tài:
Chỉ phương pháp giải giúp học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn dạng toán “ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ”
Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống “ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ”
Nâng cao chất lượng môn B NỘI DUNG
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.1 Dạng tổng quát
(I)
) ( ' ' '
) (
c y b x a
c by ax
Phương trình (1), (2) phương trình bậc hai ẩn x,y
1.2 Nghiệm số nghiệm hệ: xoay quanh phương pháp sau đây 1.2.1 Phương pháp đồ thị
* Cách thực hiện:
- Vẽ đường thẳng (1), (2).
- Số nghiệm hệ (I) số giao điểm hai đường thẳng (1) (2) - Toạ độ giao điểm (1) (2) có nghiệm hệ (I)
(4)Vị trí tương đối
Đường thẳng (1) (2) song song
Đường thẳng (1) (2) trùng
Đường thẳng (1) (2) cắt điểm
duy Hình vẽ
Số nghiệm của hệ
Hệ phương trình vơ nghiệm
Hệ phương trình vơ số nghiệm
Hệ phương trình có nghiệm
* Xét dạng đồ thị hàm số bậc (tạm hiểu trường hợp có thể đưa hay nói khác phép biến đổi sau có nghĩa ) thì:
b c x b
a y
) (
'
' ' ' ) ( b c x b a y
Khi đó: Vị trí
tương đối
Đường thẳng (1) (2) cắt điểm
Đường thẳng (1) (2) song song
Đường thẳng (1) (2) trùng
Số nghiệm của hệ
Hệ phương trình có nghiệm
Hệ phương trình vơ nghiệm
Hệ phương trình vơ số nghiệm Mối liên hệ giữa các hệ số ' ' b a b a
=> ' b' b a a ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' c c b b a a hay b b c c b b a a b c b c b a b a ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' c c b b a a hay b b c c b b a a b c b c b a b a
* Nhận xét:
(5)+ Hạn chế: Thực phương pháp đồ thị để giải tập hệ hai phương trình bậc hai ẩn, bên cạnh việc số nghiệm, biện luận số nghiệm hệ phương trình nhanh chóng thuận tiện vấn đề đặt tìm nghiệm (nếu có) hệ thực tế phức tạp, thiếu tính xác đặc biệt khó khăn với hệ phương trình có chứa tham số hệ số đơn giản hệ lại có nghiệm khơng ngun
Bên cạnh nhìn nhận theo góc độ đồ thị hàm số bậc cách giải quyết cịn có nhiều vấn đề tồn điều kiện xác định phép chia phép biến đổi nêu
Dù vậy, sau chương trình Tốn 10 giải trọn vẹn vấn đề thông qua việc thiết lập định thức để đưa mối liên hệ hệ số tương ứng với trường hợp nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
1.2.2 Phương pháp thể *Cách thực
+ Từ phương trình hệ cho, biểu diễn ẩn theo ẩn + Thế vào phương trình cịn lại phương trình có ẩn + Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ cho
(Tr1 3,15 SGK Toán 9.Tập – NXBGD) 1.2.3 Phương pháp cộng đại số
* Cách thực hiện
+ Nhân vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) (sao cho
các hệ số ẩn hai phương trình đối nhau.)
+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để phương trình ẩn
+ Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho (Tr18 SGK Toán 9.Tập – NXBGD) *Nhận xét
Điểm chung hai phương pháp 1.2.2 1.2.3 nguyên tắc quy từ việc giải hệ phương trình bậc hai ẩn việc giải phương trình ẩn dạng: Ax+B = (hoặc Ay+B =0) (3) Ở đây, số nghiệm phương trình (3) định số nghiệm hệ (I)
+ Nếu A≠0 pt (3) có nghiệm Hệ (I) có nghiệm nhất + Nếu A=0; B=0 pt (3) vô số nghiệm Hệ (I) vô số nghiệm
+ Nếu A=0; B≠0 pt (3) vô nghiệm Hệ (I) vô nghiệm.
Trên sở này, giúp giải tốt tập hệ phương trình (I) + Xác định số nghiệm hệ
+ Tìm nghiệm hệ - giải hệ.
+ Giải biện luận số nghiệm hệ theo tham số + Các toán nghiệm hệ
Vẽ đường thẳng (1)
x
y -2
Vẽ đường thẳng (2)
x -3/2
(6)Đây ưu điểm hẳn nói phương pháp vận dụng để giải tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp nêu
2 GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2.1 Dạng 1: Xác định số nghiệm hệ phương trình
Bài 1: Mỗi hệ phương trình cho sau có nghiệm? đại số
4 0
2
2
2
1
y x
y x
y x
y x
y x
(vô nghiệm)
0 0
2 2
2 2
2 2
1
y x
y x
y x
y x
y x
(vô số nghiệm)
=> 3x = -1
(nghiệm nhất)
Vẽ đường thẳng (1)
x 1/2
y -1
Vẽ đường thẳng (2)
x -1/2
y
Vẽ đường thẳng (1)
x
y -1
Vẽ đường thẳng (2)
x
(7)Phương pháp Thế ) ( 2 ) ( y x y x
Từ (1) <=> y=2x-1 thế
vào (2) ta có:
-4x+2(2x-1)=2 <=> 0x=4 (vô nghiệm)
) ( 2 ) ( y x y x
Từ (1) <=> y =x-1
vào (2) ta có: -2x+2(x-1)=-2
<=>0x=0 (vơ số nghiệm) ) ( ) ( y x y x
Từ (1) <=> x=y+2 vào (2) ta có: 2(y+2) +y = -3 <=> 3y = -7
(nghiệm nhất) KL Hệ phương trình
vơ nghiệm
Hệ phương trình có vơ số nghiệm
Hệ phương trình có nghiệm 2.2 Dạng 2: Giải hệ phương trình
Bài Giải hệ phương trình a)
) ( ) ( y x y x
b) ) ( ) ( y x y x
c) ) ( 2 ) ( y x y x
* PP thế
a) Từ (2) <=>y=2-x (2’)
Thay vào (1) ta có:
2x-(2-x)=1 <=>3x = <=>x=1 thay vào (2’) ta có: y=1
b) Từ (1) <=>x=4-2y (1’)
Thay vào (2) ta có:
2(4-2y) + 4y=8 <=> 0y =
(vô số nghiệm)
c) Từ (1) <=>x=y+1(1’)
Thay vào (2) ta có:
-2(y+1) +2y=2 <=> 0y =
(vô nghiệm)
* PP cộng đại số
2 3
)
2
1
1
x y x
a
x y x y
x x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x=1;y=1)
2 4
)
2 8
2
4 0
x y x y
b
x y x y
x y x y x y
Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm (x=4-2y; R)
1 2
)
2 2 2
1 0 4( )
x y x y
c
x y x y
x y
x y vl
Vậy hệ phương trình vơ nghiệm
Bài Giải hệ phương trình sau
a) 2 1 y x y x
b) 25 , , 25 , , y x y x
c) 1 y x y x
(Gợi ý biến đổi tương đương đưa hệ pt có hệ số nguyên tiến hành giải ) chuyển về hệ số nguyên <=> ) ( ) ( y x y x <=> ) ( 20 10 ) ( y x y x
(8)PP thế
(2)<=> x= 2y-4 (2’) (2’) vào (1) ta có: 3(2y-4)-8y=4 <=>-2y=16<=>y=-8 Thay vào (2’) ta có
x=-20
(1) <=> y = 4-2x (1’) Thế (1’) vào (2) ta có: 10x+5(4-2x)=20 <=>0x=0
(vơ số nghiệm)
(2) <=> y= 12 x (2’) Thay (2’ vào (1) ta có: -4x-3
4 12 x
=6 <=>0x =18 (vn)
PP cộng đại số 20 20 20 20 16 4 4 y x y x y x x y x y x y x y x x y y x y x x y x y x y x y x 4 0 4 20 10 ) ( 18 0 12 12 vl y x y x y x y x KL
Vậy hệ phương trình
có nghiệm (x=-20;y=-8)
Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm
(xỴR ,y=4-2x)
Vậy hệ phương trình vơ nghiệm
Bài Giải hệ phương trình sau
a) ) ( 2 ) ( 2 y x y x
b) ) ( 4 ) ( ) ( y x y x Phương pháp thế 2 )
( y x (1’) Thế (1’) vào (2) có:
) 2 ( x
x =2
<=> 6x 6=6 <=> x= 1/ thay vào (1’)
=> y =-1/
(2)<=> y = 4-2 3-4x (2’) (2’) vào (1) ta có:
3 ) 4 ( )
( x x <=> (14 3)x14 x1
thay vào (2’) => y = -2 Phương pháp cộng đại số <=> / / 2 6 2 6 y x y x x y x y x <=> 3 4 14 ) 14 ( 12 12 ) ( y x y x x y x y x
KL Vậy hệ phương trình có nghiệm (x= 1/ ;
(9)y = -1/ 2)
2.3 Dạng 3: Rèn kỹ giải hệ phương trình cách đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn
2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn Bài 5: Giải hệ phương trình
a) ) ( ) ( 3 ) ( y x y x y x y x
b) 3 y x y x y x Khai triển –
thu gọn <=> ) ( ) ( y x y x
=> ) ( ) ( 15 y x y x ĐK: x≠y PP thế
(1) <=> y = x (1’) thay (1’) vào (2) có : 6x =6 <=> x = thay vào (1’) => y =
(2) <=> y = 5x-2 (2’) Thế (2’) vào (1) có 5x+15(5x-2)= -4 <=> 80x = 26 <=> x = 13/40 thay vào (2’)
=> y = -3/8 PP cộng
đại số
Cộng vế (1) (2) => 6x = => x =
thay vào (1) => 1-y = => y=1
Trừ vế (1) (2) => 16y = -6
KL
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(x = 1; y = 1)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 13/40; y = -3/8)
2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 6: Giải hệ phương trình
a) 1 y x y x b) 2 2
x y x y
x y x y
c)
3 2
2
x y x y * Sơ lược cách giải
a) Đặt x u y v ; ĐK:uv≠0
Hệ thành: v u v u Giải hệ pt ta
b) Đặt v y x u y
x 2 ;
ĐK: uv≠0 Hệ thành:
3 v u v u c) Đặt v y u
x3 ; 1 . ĐK: u,v≥0 Hệ pt thành:
(10)(u=1, v=-1) - thoả mãn ĐK => (x= 1; y = -1) Vậy hệ pt có nghiệm (x=1;y=-1)
Giải hệ ta
( ; v u
) thoả ĐK
Suy y x y x
Giải hệ ta
( 72 29 ; 36 y x ) Vậy hệ phương trình có
nghiệm
( 72 29 ; 36 y x )
(u=2;v=0)-thoả mãn ĐK
Suy y x Giải hệ ta có
(x=1;y=-1)
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(x=1;y=-1)
2.4 Dạng 4: Hệ phương trình chứa tham số Loại 1, Loại 2: Đã có giảng minh họa
Loại 3: Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình
Bài Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình sau theo tham số m
a) ) ( ) ( y mx my x
b) 4(2) my x m(1) -10 4y mx
* Sơ lược cách giải
a) Ta có (1) <=> x= 1 my
(1’) Thay (1’) vào (2) ta có:
) ( ) )( ( ) ( 2 2 m y m m m y m y y m m y my m
*) Nếu m=2,
pt(3) thành 0y = (vô số nghiệm) => Hệ phương trình vơ số nghiệm
(x= y R
y Ỵ ; 2 )
*) Nếu m =-2, pt (3) thành 0y = 4(vô
nghiệm)
b) Ta có (2) <=> x = 4-my (2’) Thay (2’) vào (1) ta có:
m(4-my)+4y=10-m <=> (4-m2)y=10-5m (3) *) Nếu m =2,
pt (3) thành : 0y = (vô số nghiệm) => Hệ pt vơ số nghiệm: (x=4-my; R)
*) Nếu m = -2,
pt(3) thành: 0y = 20 (vô nghiệm) => Hệ pt vô nghiệm
(11) Hệ phương trình vơ nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2 pt (3) có nghiệm
y= 2m
thay vào (1’) ta có x = 2m
nhất y =2m
Thay vào (2’) có x= m
m
Vậy
*) Nếu m=2, hệ phương trình có vơ số nghiệm Nghiệm TQ: (x= y R
y Ỵ
;
2 )
*) Nếu m =-2, hệ phương trình vơ nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm (x= 2m
1
, y = 2m
.)
Vậy
*) Nếu m=2, hệ phương trình có vơ số nghiệm
Nghiệm TQ: (x=4-my; R) *) Nếu m =-2, hệ phương trình vơ nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2, hệ phương trình có nghiệm
(x= m m
,y =2m
)
(Cần lưu ý, sử dụng phương pháp cộng đại số để giải toán trên, bắt buộc
phải nhân hai vế hai phương trình với m nên mắc thiếu sót nếu không phân trường hợp m=0 hay m≠0.)
Loại 4: Một số toán điều kiện nghiệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Thường gặp toán này, học sinh phải thực bước sau đây:
- Hệ phương trình có nghiệm nào? - Khi nghiệm gì?
- Điều kiện nghiệm cần thoả mãn mà toán đặt ra? Bài 8: Cho hệ phương trình:
1
2
y mx
my x
Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thoả mãn (x>0;y<0)
Hướng dẫn giải: Xét hệ phương trình
) (
) (
y mx
my x
*) Từ (1) <=> x = 2-my (1’), thay vào (2) ta có: m (2-my)-2y=1 => (m2+2)y = 2m-1 (3)
Do m2+2> "m => (3) ln có nghiệm nhất hệ ln có nghiệm (x,y) nhất.
*) Khi y = 2
2
m
m
, thay vào (1’) ta có 4
m
x =
2
m
(12)*) Để (x>0;y<0) : 4 2 2 m m m m m m m m m
Vậy với 4
m
hệ phương trình có nghiệm (x;y) thoả mãn (x>0;y<0)
Bài 9: Cho hệ phương trình: ) ( y m x m my mx
Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thoả mãn điểm M(x;y) nằm góc phần tư thứ
Hướng dẫn giải: Xét hệ phương trình
) ( ) ( ) ( y m x m my mx *) Từ (2) <=> x = – (m+1)y (2’)
Thay (2’) vào (1) ta có m[2-(m+1)y]+2my=m+1 <=> m(m-1)y=m-1(3) Hệ có nghiệm <=> pt(3) có nghiệm <=> m≠0 m≠1 (*) *) Khi đó, (3) => y = m
1
thay vào (2’) ta có x = m m 1
*) Điểm M(x;y) nằm góc phần tư thứ (x>0, y>0)
<=> 1 0 1 m m m m m m m m
Vậy với m>1 hệ phương trình có nghiệm (x;y) thoả mãn điều kiện điểm M (x;y) nằm góc phần tư thứ
Bài 10 : Tìm giá trị tham số m hệ phương trình my x y mx có nghiệm (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1-
2
m m
Hướng dẫn giải: Xét hệ phương trình
) ( ) ( my x y mx
*) Từ (1) <=> y = mx-2 (1’) Thay (1’) vào (2) ta có:
3x+m(mx-2)=5 <=> (m2+3)x=2m+5 (3) – Ln có nghiệm (do m2+3>0) nên hệ phương trình ln có nghiệm "m
*) Khi (3) => x= 2 m m
thay vào (1’) ta có y = m m *) Để x+y=1-
2
m m
2 m m + m m
= -
2
m m
(13)Vậy với m =
hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1-
2
m m
Bài 11: Cho hệ phương trình
2 ) (
1 )
1 (
y a x
a y x a
a) Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình theo tham số a
b) Khi hệ có nghiệm (x;y) nhất, lập hệ thức liên hệ x y độc lập với a Từ chứng tỏ M(x;y) nằm đường thẳng cố định
c) Tìm giá trị nguyên a để hệ có nghiệm thoả mãn x, y nguyên d) Tìm giá trị a để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn điều kiện x+y nhỏ
Hướng dẫn giải Xét hệ phương trình
( 1) 1(1)
( 1) 2(2)
a x y a
x a y
a) Từ (1) => y= (a+1).x- (a +1) Thay vào (2) ta có: a2.x= a2+1 (3) +) a ≠ hệ có nghiệm (x=
2 1
a a
;y=
2 1
a a
) +) a = hệ phương trình vơ nghiệm
b) Theo câu a, a ≠ hệ có nghiệm (x=
2 1
a a
; y=
2 1
a a
) => x- y = hay y =x (hệ thức độc lập với a)
=> Khi hệ có nghiệm (x; y) điểm M(x; y) nằm đường thẳng y =x (cố định) ĐPCM
c) Theo câu a, a ≠ hệ có nghiệm (x=
2 1
a a
; y=
2 1
a a
) Khi a ngun, để x, y ngun a2+1 chia hết cho a2
=> chia hết cho a2 => a2 = => a = ±1 (thoả mãn a≠0). Vậy: a = ±1 hệ có nghiệm thoả mãn x, y nguyên d) Theo câu a, a ≠ hệ có nghiệm (x=
2 1
a a
; y=
2 1
a a
)
Khi
7 ) 1 ( 2 1
2
2
2
a a
a a
a a y x
Dấu “=” xảy a = - (thoả mãn a ≠ 0) => Min(x+y) =
7
(14)C BÀI GIẢNG MINH HỌA I Hoạt động khởi động: 1 Mục đích
- Tạo tò mò gây hứng thú cho học sinh
- Hình dung đối tượng nghiên cứu áp dụng dạng toán hệ phương trình
2 Nội dung
- Giáo viên kiểm tra kiến thức hệ phương trình 3 Cách thức
GV: Chiếu câu hỏi HS quan sát trả lời câu hỏi GV: Hỏi HS, đưa bảng kiến thức hệ phương trình HS nêu câu trả lời.
Câu hỏi 1: Hệ phương trình
2x -y = -m -4x + 2y =
vô nghiệm khi?
A m B m -1 C m D m -2 Câu hỏi 2: Với giá trị m hệ phương trình
y = mx+3 y = (2m -1)x+4
Có nghiệm?
A Mọi m B Mọi m C Mọi m1 D Mọi m Câu hỏi 3: Tìm m để hệ phương trình
2mx + y = x + y = 2m
vô số nghiệm ?
A m = -
2 B m =
2 C m = -1
2 D Một giá trị khác Câu hỏi 4: Cho hệ phương trình
ax + by = c a'x + b'y = c'
(I)
Trong đó: a, b, c, a’, b’, c’ Ỵ R: a, b; a’, b’ không đồng thời Em nối cột A với cột B để khẳng định
Cột A KQ Cột B
a) Hệ (I) vô nghiệm ? b) Hệ (I) vô số nghiệm ?
c) Hệ (I) có nghiệm ?
a 2 b 1 c 4
1) ' ' '
a b c
a b c
2) ' ' '
a b c
a b c 3) ' '
a c a c 4) ' '
(15)II Hoạt động luyện tập:
LUYỆN TẬP
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Đặt vấn đề: Trong chương trình tốn lớp 9, đặc biệt đề thi vào THPT rất hay gặp loại toán hệ phương trình chứa tham số Bài học hôm sẽ nêu phương pháp cách giải cụ thể với số loại tốn hệ phương trình chứa tham số.
1 Mục tiêu
- Thành thạo việc giải hệ phương trình với giá trị tham số cho trước
- Xác định giá trị nguyên tham số để hệ có nghiệm nghiệm nguyên
- Xác định giá trị tham số để phương trình hệ phương trình có nghiệm cho trước
- Xác định giá trị tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện nghiệm
2 Nội dung cụ thể Bài tốn mở đầu
Cho hệ phương trình:
a Giải hệ phương trình với m =
b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn x = 3y + Hướng dẫn:
a Giải hệ phương trình với m =
Cách 1:
Với m = ta có hệ:
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:
Cách 2:
(16)Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm là: b Hệ phương trình có nghiệm (x, y) thoả mãn:
x = 3y + m = 3(m + 1) +1 m = 3m + m = -
Vậy với m = -2 hệ phương trình cho có nghiệm (x, y) thoả mãn x = 3y +
Khai thác thêm toán trên:
* Sau tìm x, y theo m vốn kiến thức có em giải loại tập sau:
Loại 1: Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện ( K) sau:
ax + by = c; ax + by > c; ax + by < c; xy < 0; xy > 0; x2 +2.y đạt giá trị nhỏ
nhất; x,y số nguyên; ; …. * Phương pháp giải:
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m Bước 2: Thay nghiệm (x, y) vừa tìm vào biểu thức điều kiện K Bước 3: Giải điều kiện K tìm m
Bước 4: Trả lời yêu cầu toán
Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình (I) có nghiệm (x, y) cho K = x2 + 2.y có giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ ?
HD Giải:
Theo tốn mở đầu ta có x = m, y = m + vậy:
K = x2 + 2y = m2 + 2(m+1) = m2 + 2m + = (m+1)2 + ≥ 1 Vậy Knhỏ nhât = m = -1
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình :
1 (1) (2) mx y m
x my m
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tìm m ngun để hệ có nghiệm nghiệm nguyên HD Giải:
2 5
2 12
x y x y
x y x y
a) Với m = hệ phương trình
3 3
4
2
3 y y
x y x
hệ có nghiệm (x, y) = ( 3,
(17)b) Từ (2) suy ra: x = 3m – my, thay vào (1) ta được:
m(3m – my) + y = 2m+1 (m2 – 1) y = 3m2 – 2m – (3)
Để hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (3) phải có nghiệm m2-1 ≠ m ≠ ±1
Khi nghiệm hệ phương trình là:
2 2
1
3 3
1
m x
m m
m
y m m
Để hệ có nghiệm ngun 2m1 m Ỵ1 Ư(2)
m + = {-2; -1; 1; 2} m = {-3; -2; 0; 1} m ≠ ±1 m = {-3; -2; 0}
Vậy với m = {-3; -2; 0; 1} hệ phương trình cho có nghiệm ngun
Loại 2: Tìm mối liên hệ x y khơng phụ thuộc vào tham số m * Phương pháp giải
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m
Bước 2: Bằng cách áp dụng qui tắc cộng đại số qui tắc ta làm tham số m
Bước 3: Trả lời u cầu tốn Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:
2
(I)
2
x y m
x y m
Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x, y không phụ thuộc vào m
HD Giải:
Theo tốn mở đầu, ta có: x m y m
x y 1
Vậy x y hệ thức liên hệ nghiệm x, y không phụ thuộc vào1 m
Chú ý: Nếu biểu thức liên hệ x y có bậc tốn trở thành
“ Chứng minh hệ phương trình ln có nghiệm nằm đường thẳng cố định”
Ví dụ 2: Chứng minh hệ phương trình : ln có nghiệm nằm đường thẳng cố định
HD Giải: Ta có :
x- y = -1
Vậy hệ phương trình (I) ln có nghiệm nằm đường thẳng cố định x - y = -
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:
1 (1) (2) x my
mx y m
(18)a) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình cho ln có nghiêm
b) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào giá trị m
HD Giải
a) Để hệ có nghiệm thì:
1 m
m m2 1 m2 1 0 (Luôn với m)
Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm b) Từ (1)
1 x
my x m
y
thay vào (2), ta :
1 x x y x
y y
1 x x y x x x 2 y2 x 1 x2y2 1 Vậy biểu thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m là: x2y2 1
3 Hộp quà may mắn:
Luật chơi: Có hộp quà khác nhau, hộp quà chứa câu hỏi và
một phần quà hấp dẫn Nếu trả lời câu hỏi q Nếu trả lời sai q khơng Thời gian suy nghĩ cho câu 10 giây
* Hộp quà màu vàng
Khẳng định sau hay sai ? Hệ sau có nghiệm :
2
4 2
x y x y
a) Đúng b) Sai
* Hộp quà màu xanh
( Đề thi vào THPT Vĩnh Phúc năm 2018-2019 )
Số nghiệm hệ phương trình:
1
3
x y
x y
?
A B C D Vô số
* Hộp quà màu Tím
Hệ phương trình
2
3
x y x y
(19)D BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1 Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: Bài 1
a)
2
3
x y x y
b)
4
2 x y x y
c)
9
2 x y x y d) 17 23 x y x y
e)
7 74
3 32
x y x y
f)
3
2 12
x y x y Bài 2 a) 11 x y x y b)
3 3
4 10
a b a b c) 10 x y x y Bài 3 a)
2
3 x y x y b)
( 1)
( 1)
x y x y c)
2
2 2
x y x y d)
2
3 x y x y e)
5 (1 3)
(1 3)
x y x y f)
5 2
6 2
x y x y Bài 4 a)
6( )
5( )
x y x y
y x x y
b)
( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 5)( 4) ( 4)( 1)
x y x y
x y x y
c)
( 2)( 1) ( 8)( 2)
x y xy
x y xy
2 Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ: Bài 5 a) 1 x y x y b) 10 x y x y c)
1 1 10 1 x y x y d)
1 1
24 x y x y e) 1 2 x y x y f)
5 29
3 20
x y x y g) 1 12 12 x y x y h)
2 1
3 13
2 1
x y x y i) 1 2 x y y x j) 2
7 13 39
5 11 33
x y x y k) 2 2
2 36
3 37
(20)m)
3
2 18
x y x y
n)
2 2 y x y x o)
7
3
7
5
2 x y x y Bài 6 a) 2 1 1 x y x y x y x y b)
2 3
3
21
3
x y x y
x y x y
c)
7
2
3
4
2
x y x y
x y x y
d) 12 12 x x y y x x y y e) 1
x y x y
x y x y
f)
4
5
2
3
1
x y
x y
x y x y
g) 10
x y xy xy x y x y xy
xy x y
h) 1 1 x
y x y
y x x y
4 Một số tập hệ phương trình chứa tham số
Bài 1: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với m = -1
b) Chứng tỏ với m ≠ 1 hệ ln có nghiệm nằm đường thẳng cố định
Bài 2: Cho hệ phương trình
a) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm ( x,y) thoả mãn x > y <
b) Tìm giá trị lớn cảu biểu thức S = 2x - y với (x,y) nghiệm hệ phương trình cho
Bài 3: Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) cho H = x - y + có giá trị nhỏ Bài : Giải biện luận hệ phương trình sau:
Bài 5: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = -2
(21)Bài 6: Cho hệ phương trình :
a)Chứng minh hệ ln ln có nghiệm với a b)Tìm a để hệ có nghiệm (x,y) cho x<1 ; y<1
Bài 7: Cho hệ phương trình :
Xác định m nguyên để hệ sau có nghiệm (x;y) x; y nguyên Bài 8: Cho hệ phương trình :
Xác định m để hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0, y > Bài 9: Cho hệ phương trình:
a) Giải biện luận hệ phương trình
b) Trong trường hợp hệ có nghiệm Hãy tìm m để x + y > Bài 10: Cho hệ phương trình :
a) Giải hệ phương trình m =
b) Xác định giá trị m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x > y Bài 11: Cho hệ phương trình :
Trong m Z; m ≠ Xác định m để hệ phương trình có nghiệm ngun Bài 12: Cho hệ phương trình:
a) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x; y) số nguyên
c) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm dương Bài 13: Cho hệ phương trình:
a) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Trong trường hợp có nghiệm nhất, tìm giá trị m để tích xy nhỏ Bài 14: Cho hệ phương trình:
a) Biểu thị x y theo z
b) Tìm GTNN GTLN thức A = x + y – z
Bài 15: Tìm số nguyên a, b, c thỏa mãn hệ phương trình: Bài 16: Cho hệ phương trình:
(22)b) Tìm giá trị a để hệ có nghiệm Bài 17: Cho hệ phương trình:
Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà S = đạt giá trị nhỏ
Bài 18: Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh hệ có nghiệm (x; y) điểm M (x; y) ln thuộc đường thẳng m thay đổi
b) Xác định m để điểm M thuộc góc phần tư thứ Bài 19: Cho hệ phương trình:
a) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên c) Chứng minh hệ có nghiệm (x; y), điểm M (x, y) luôn chạy đường thẳng cố định
Bài 20: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình a =
b) Với giá trị a hệ có nghiệm Bài 21: Cho hệ phương trình:
a) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm b) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm ngun
c) Chứng tỏ điểm M(x, y) với (x,y) nghiệm hệ phương trình cho ln ln nằm đường thẳng cố định
d) Tìm giá trị m để biểu thức P =xy có giá trị lớn với (x, y) nghiệm hệ phương trình Tìm GTLN
Bài 22: Cho hệ phương trình:
Tìm giá trị a cho hệ có nghiệm (x, y) với x, y số nguyên Bài 23: Cho hệ phương trình với tham số a:
a) Giải hệ phương trình với a = b) Giải biện luận hệ phương trình
c) Tìm giá trị nguyên a để hệ phương trình có nghiệm ngun
(23)Bài 24: Cho hệ phương trình với tham số m : a) Giải hệ phương trình với m =3
b) Giải biện luận hệ phương trình theo m
c) Tìm giá trị nguyên m để nghiệm phương trình số nguyên Bài 25: Tìm số nguyên a, b, c thỏa mãn hai phương trình:
2a + 3b = 3a + 4c = Bài 26: Cho hệ phương trình với tham số a:
Tìm giá trị a để hệ phương trình có nghiệm (x, y) thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị nhỏ
Bài 27: Cho hệ phương trình với tham số m: a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tính giá trị x,y theo m từ tìm giá trị m để S = x + y đạt GTLN Bài 28: Cho hệ phương trình với tham số m:
a) Giải hệ phương trình vớ m =
b) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn x = 3y c) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn x.y =
Bài 29: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m =
b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Bài 30: Cho hệ phương trình với tham số m:
a) Giải hệ phương trình m = -1
b) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm (x, y) cho biểu thức S = x – y + đạt GTNN
Bài 31: Cho hệ phương trình với tham số m: a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn số nguyên Bài 32: Cho hệ phương trình với tham số m:
Gọi nghiệm phương trình (x, y)
(24)c) Tìm giá trị m để biểu thức nhận giá trị nguyên Bài 3: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với a =
b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y > Bài 34: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình a = -2
b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thỏa mãn x – y = Bài 35: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình a =
b) Chứng minh với a hệ ln có nghiệm
c) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y < d) Tìm a để hệ có nghiệm x =
Bài 36: Cho hệ phương trình với tham số m: a) Giải biện luận hệ phương trình theo m
b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x, y khơng phụ thuộc vào m c) Khi hệ có nghiệm nhất, tìm m ngun để hệ có nghiệm ngun Bài 37: Cho hệ phương trình với tham số m:
a) Giải biện luận hệ phương trình theo m
b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x, y không phụ thuộc vào m Bài 38: Cho hệ phương trình với tham số m :
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn x = 3y Bài 39: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình a = b) Tìm giá trị a để hệ có nghiệm Bài 40: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình m =
(25)Bài 41: Với giá trị a, hệ phương trình có nghiệm số ngun:
Bài 42: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình với m =
b) Với giá trị a hệ vơ nghiệm, hệ vơ số nghiệm Bài 43: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tìm m để hẹ phương trình có nghiệm (x < 0; y < 0) Bài 44: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Xác định m để hai đường thẳng có phương trình cắt điểm parabol: y = -2
Bài 45: Cho hệ phương trình: a)Giải hệ a =
b)Tìm a để hệ có nghiệm cho x – y =
Bài 46: Tìm giá trị m để hệ sau: Có nghiệm x > 0; y <
Bài 47: Cho hệ phương trình: a)Giải hệ phương trình m =
b)Tìm m để hệ có nghiệm x > 0; y > Bài 48: Tìm giá trị m để hệ sau: Có nghiệm thỏa mãn x > 0, y >
Bài 49: Xác định m nguyên để hệ có nghiệm (x;y) với x; y số nguyên :
E ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Tiến hành đánh giá kết đạt cách thực kiểm tra khảo sát với nội dung bám sát vấn đề mang tính trọng tâm đặt ra, thời lượng 30 phút
(26)bậc hai ẩn Những điểm hạn chế phát theo đánh giá sơ khắc phục
Điểm Bài khảo sát
Giỏi Khá Trung
bình Yếu Kém Ghi chú
ban đầu
Thu
hoạch 0
F KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua thực tế giảng dạy, nhóm tốn trường THCS Trung Kiên nhận thấy: Hệ phương trình nói chung hệ hai phương trình bậc hai ẩn nói riêng đơn vị kiến thức phân môn Đại số Việc tiếp cận tốt với vấn đề có tính chất mở đầu trình bày khơng củng cố, trang bị cho học sinh vốn kiến thức định mà tạo sở quan trọng để học sinh tiếp tục có phương pháp tiếp cận tốt giai đoạn mở rộng học tập, nghiên cứu nội dung
Bên cạnh đó, nhận thấy việc ơn tập hệ thống kiến thức theo nội dung bám sát vấn đề thiết thực học sinh đại trà Với mơn Tốn, qua kinh nghiệm thân thấy rằng, muốn có chất lượng dạy – học hiệu giáo viên phải cần lựa chọn vấn đề chương trình, đơn vị kiến thức để tập trung giải Ở nên thực khảo sát đánh giá để hiểu thực trạng việc nắm bắt vận dụng kiến thức học sinh, đặc biệt quan tâm tới yếu, thiếu học sinh
Trên sở này, tiến hành xây dựng nội dung phù hợp, kịp thời củng cố khắc sâu, lấp hổng kiến thức cho học sinh phương pháp tổ chức hoạt động dạy học cách hợp lý có lưu ý rằng, với trình độ khơng đồng học sinh, việc đặt yêu cầu q thấp q cao khơng khích lệ, khơi dậy niềm tin, hứng thú học tập, hạn chế khả hoạt động tích cực, sáng tạo cho em
Với quan điểm vậy, chuyên đề “ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn” mơn Tốn THCS xin nêu để đồng nghiệp trao đổi bổ sung thêm
Trung Kiên, ngày tháng năm 2019 Người viết
(27)TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Sách tập toán – Tập hai (NXB GD) Sách số vấn đề phát triển đại số – NXB GD (năm 2001) 23 chuyên đề giải toán sơ cấp – NXB TRẺ
(28)Phương trình đường thẳng
Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Rèn kỹ giải phương trình dạng ax + b =