Đang tải... (xem toàn văn)
+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế... Hệ phương trình đối xứng loại 2: [r]
(1)Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN I Hệ phương trình đối xứng loại 1: Phần 1− Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng Phương trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn thay xi xj; xj xi thì phương trình không thay đổi Khi đó phương trình luôn biểu diễn dạng: x1 + x2 + + xn x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn−1xn x1x2 xn Hệ phương trình đối xứng loại là hệ mà đó gồm các phương trình đối xứng Để giải hệ phương trình đối xứng loại ta phải dùng định lý Viét * Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn1 + an, a0 ≠ 0, P có nhgiệm trên P là c1, , cn a1 c1 c2 cn a a c c c c c1cn c2 c1 c2 c3 cn -1cn thì: (Định lý Viét tổng quát) a0 n an c1c1 cn ( 1) a Phần – Hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn: A LÝ THUYẾT Định lý Viét cho phương trình bậc 2: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì: b S x1 x2 a x1 x2 S Ngược lại, số x1, x2 có thì x1, x2 là nghệm x1 x2 P P x x c a phương trình X2 SX + P = f ( x, y ) f ( x, y ) f ( y , x ) Định nghĩa: , đó g ( x, y ) g ( x, y ) g ( y , x ) 3.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P và S P Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ p trình Giải hệ tìm S, P dùng Viét đảo tìm x, y Chú ý:+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP + Đôi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv + Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại sau đặt ẩn phụ Bài tập: Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net (2) Loại 1: Giải hệ phương trình 2 x y xy 30 Ví dụ Giải hệ phương trình x y 35 GIẢI Đặt S x y , P xy , điều kiện S P Hệ phương trình trở thành: 30 P S SP 30 S x y x x P xy y y S ( S 3P ) 35 S S 90 35 S xy ( x y ) 2 Ví dụ Giải hệ phương trình x y GIẢI Đặt t y , S x t , P xt , điều kiện S P Hệ phương trình trở thành: xt ( x t ) SP S x x 3 P t y 1 x t S 3SP 1 x y x y Ví dụ Giải hệ phương trình x2 y2 x2 y2 GIẢI Điều kiện x 0, y 1 1 x y x y Hệ phương trình tương đương với: 2 1 1 x y 8 x y 1 1 1 Đặt S x y , P x y , S P ta có: x y x y 1 1 x 2 x y x y S S x x P y 1 S 2P x y y y x y x y xy (1) Ví dụ Giải hệ phương trình (2) x y GIẢI Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net (3) Điều kiện x, y Đặt t xy , ta có: xy t và (2) x y 16 2t Thế vào (1), ta được: t 32t 128 t t xy 16 x Suy ra: x y y Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) có nghiệm Phương pháp giải chung: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) + Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P và S P (*) + Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý:Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v Ví dụ (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có x y nghiệm thực: x x y y 3m GIẢI x y x y Điều kiện x, y ta có: 3 x x y y 3m ( x ) ( y ) 3m Đặt S x y 0, P xy , S P Hệ phương trình trở thành: S S P m S 3SP 3m Từ điều kiện S 0, P 0, S P ta có m x y xy m Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực x y xy 3m GIẢI x y xy m ( x y ) xy m 2 xy ( x y ) 3m x y xy 3m S P m Đặt S = x + y, P = xy, S P Hệ phương trình trở thành: SP 3m Suy S và P là nghiệm phương trình X2 –mX + 3m −9 = S S m P m P 32 4( m 3) 21 m m 3 Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm ( m 3) 12 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net (4) x y Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm x y 3m GIẢI u v u v Đặt u x 0, v y hệ trở thành: 21 3m u v 3m uv 21 3m (*) Suy u, v là nghiệm (không âm) t 4t 3m 13 / 0 13 m7 Hệ có nghiệm (*) có nghiệm không âm S 21 m P 0 x y x y 10 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực xy ( x 4)( y 4) m GIẢI 2 2 x y x y 10 u ( x 2) ( x x ) ( y y ) 10 Đặt 2 ( x x )( y y ) m xy ( x 4)( y 4) m v ( y 2) S 4P u v 10 S 10 Hệ Điều kiện S 24 m uv 4( u v ) m 16 P m 24 P Loại 3: Một số bài toán giải cách đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình: x x GIẢI x u u+v = u v u v Đặt: Ta có hệ: x v u.v = 19 u v (u v ) (u v ) 3uv 36 9+ x = u = 19 12 = 0 u, v là hai nghiệm ptrình: X - X + 36 9- u = x = 12 9+ 5 12 9- 5 12 3 3 3 Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} = ; 12 12 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net (5) B BÀI TẬP I Giải các hệ phương trình sau: x y 1) 5 2 x y x y x y 2) 2 x x y y 13 x y x x y y 18 4) 5) 2 x y xy xy ( x 1)( y 1) 72 x y y x 30 3) x x y y 35 ( x y )(1 xy ) 6) ( x y )(1 ) 49 x2 y2 1 x y x y x y 1 x y y x x y 7) 8) 9) 2 3 x y x y 280 x2 y2 x xy y xy 78 x2 y2 6 4 x y x y 10) 11) 6 x 3x y y x y II Gải hệ phương trình có tham số: x y x y m Giải và biện luận: a) b) 2 4 x y m x y m x y x y c) x 2y m x y 5 x y xy Tìm giá trị m: a) có nghiệm x y xy m x y 2 x y xy m b) có nghiệm c) có đúng hai nghiệm 2 x y xy m x y m 1 x xy y m Cho (1II) x y m a Giải hệ phương trình m = b Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x xy y m (7I) x y xy 3m a Giải hệ phương trình m = 7/2 b Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x xy y m (40II) x y xy m a Giải hệ phương trình m=2 b Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net (6) III Giải phương trình cách đưa hệ phương trình: Giải phương trình: x 18 x Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a x x m b m x m x m c 1 x 1 x m Phần – Hệ phương trình đối xứng loại ba ẩn: (Đọc thêm) a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình hệ là đối xứng b Định lý Vi−et cho phương trình bậc 3: x + y + z = α Cho số x, y, z có: xy + yz + zx = β xyz = γ Thì x, y, z ;à nghiệm phương trình X3 – X2 + X – = (*) Thật vậy: (X − x)(X − y)(X − z) = [ X2 − (x + y)X + xy ](X − z) = X3 − X2z − X2(x + y) + (x + y)zX + xyX − xyz = X3 – X2 + X – = (*) có nghiệm là x, y, z phương trình X3 – X2 + X – = có nghiệm là x, y, z c.Cách giải: + Do các phương trình hệ là đối xứng nên ta luôn viết dạng á, â, ă x + y + z = α Khi đó ta đặt xy + yz + zx = β Ta hệ , , xyz = γ + Giải phương trình X – X2 + X – = (1) tìm nghiệm (x, y, z) hệ Chú ý: (1) có nghiệm hệ vô nghiệm (1) có nghiệm kép hệ có nghiệm (1) có nghiệm : nghiệm kép, nghiệm đơn hệ có nghiệm (1) có ngiệm hệ có nghiệm d Bài tập: x + y + z = VD1: Giải hệ: x + y + z = x + y3 + z = Giải: áp dụng đẳng thức ta có: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 − 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz Vậy = 22 − 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = −1 = 23 − 3.2.(−1) + 3xyz xyz = −2 t = x, y, z là nghiệm phương trình:t − 2t − t + = t = - t = Vậy hệ có cặp nghiệm (1;−1;2); (−1;1;2); (1;2;−1); (−1;2;1); (2;1;−1); (2;−1;1) Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net (7) VD2: x + y + z = Giải hệ xy + yz + zx = 27 1 1 + + =1 y z x Giải: ĐK: x, y, z ≠ Từ (3) (1) (2) (3) xy + yz + zx =1 xyz x + y + z = Do (2) xyz = 27 Vậy hệ xy + yz + zx = 27 xyz = 27 Do đó (x; y; z) là nghiệm phương trình: X3 − 9X2 + 27X − 27 = (X − 3)3 = X = Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3) x + y + z = a 2 2 VD3: Giải hệ x + y + z = a x + y3 + z = a Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 − 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = x + y + z = X = Vậy có: xy + yz + zx = (x; y; z) là nghiệm p trình: X3 − aX2 = X = a xyz Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý giải hệ loại này + Với cách giải theo định lý Vi−et từ hệ ta phải đưa x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ hệ nên tìm nghiệm nên thử lại + Vì là hệ đối xứng các ẩn nên nghiệm có ít cặp nghiệm có cùng x, cùng y cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, (1) x y z VD: xy yz zx 27 1 1 3 x y z Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = không là nghiệm hệ Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4) Từ (2) và (4) xyz = 27 (5); Từ (2) x2(y + z) + xyz = 27x (6) Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 − x) + 27 − 27x = x3 − 9x2 + 27x − 27 = (x − 3)3 = x = y + z =6 Thay x = vào (1), (5) ta có: y = z = Vậy hệ có nghiệm x = y = z = yz = Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net (8) II Hệ phương trình đối xứng loại 2: Hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn: f ( x, y ) 1 A Định ghĩa: f ( y , x ) Cách giải: Lấy (1) (2) (2) (1) ta (x y)g(x, y) = (tích) Trường hợp 1: x y = kết hợp với phương trình (1) (2) suy nghiệm Trường hợp 2: g(x, y) = kết hợp với phương trình (1) + (2) suy nghiệm (trong trường hợp này hệ ptrình trở hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm B Các ví dụ: x 3x y 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I) y y x GIẢI Lấy (1) (2) ta được: (x - y)(x + xy + y + 5) = x = x = 3x + 8y x - 11x = Trường hợp 1: (I) x = ± 11 x = y x = y x = y x +xy+y +5=0 Trường hợp 2: (I) 3 (hệ này vô nghiệm) x +y =11 x+y Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm: (x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11) x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình y x GIẢI Đặt: x - = u 0; y-1 =v0 4 u = x = u + + v = u + v = Hệ (Do u, v ≥ 0) Vậy v = y = v + + u = v + u = x y y m Ví dụ 2: Cho hệ (I) y x x m a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải (I) x = y x = y 2 2 x = ± y x - y = y - y - x + x x = y - y + m x - 2x + m = 2 x=-y x=-y x = y - y + m x = y - y + m x = y - y + m y + m = Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net (9) Δ x ' 1 - m m m0 a) Hệ phương trình có nghiệm ' - m m Δ y Δ x ' = 1 - m = ' Δ < y - m < b) Hệ phương trình có nghiệm m = ' 1 - m < Δ x < ' - m = Δ y = Vậy m = Ví dụ 3: Giải phương trình: x x GIẢI Đặt 2x - = t 2x − = t3 x + = 2t x + = 2t x - 2x + = Ta có hệ 2 t + = 2x (x - t)(x + xt + t + 1) = x = t x = (x - 1)(x + x - 1) = -1± - ± Vậy phtrình có nghiệm: 1; x = t x= C Bài tập: 1.Giải các hệ phương trình sau: x y x x y x x y a b c y x y x 32 2 y y x y x y d y x x y e y x x y g y x x ( x y ) 2m Cho hệ phương trình y ( x y ) 2m a Giải hệ với m = b Tìm m để hệ có nghiệm 2 x y x mx Tìm m để hệ: có nghiệm 2 y x y my Giải các phương trình: a x x b x 3 3x 2 Hệ phương trình đối xứng loại 2, ẩn: (Đọc thêm) A Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương phép cộng và Ngoài sử dụng đặc biệt hệ cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net (10) x + 2yz = x (1) B Ví dụ: Giải hệ y + 2zx = y (2) z + 2xy = z (3) Giả cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = Hệ này đương tương với hệ sau: x + 2yz = x x + 2yz = x x + 2yz = x x + 2yz = x (II) x + y + z = (III) x + y + z = (IV) x + y + z = (I) x + y + z = x = y x + y - 2z - = x = y x + y - 2z - = -1 x = x = x + 2yz = x x + 2yz = x x - 4x = x Giải (I):(I) 2y + z = z = - 2x z = - 2x z = - 2x x = y x = y x = y x = y -1 -1 Vậy (I) có nghiệm (0;0;0); ( ; ; ); 3 -1 -1 -1 -1 Làm tương tự (II) có nghiệm ( ; ; );( ; ; ) 3 3 3 1 Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ( ; ; ); Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0) 3 Vậy hệ đã cho có nghiệm kể trên x + y2 + z = VD2: Giải hệ phương trình: x + y + z = x + y + z = x + y2 + z = Giải: Hệ (y - z)(y + z - 1) = (x - z)(x + z - 1) = x + y2 + z = (I) y=z x=z x + y2 + z = (II) y = z x + z - = x + y2 + z = z + y - = (III) x = z x + y2 + z = z + y - = (IV) x + z - = 1 1 Giải phép nghiệm (−1;−1;−1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); ; ; 2 2 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net 10 (11) x2 y VD4: Giải hệ: y z z2 x Giải: Xét hai trường hợp sau: x2 x TH1: Trong số ít có nghiệm số nhau: Giả sử x = y có hệ y z z2 x 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; Từ đó có nghiệm hệ (x;y;z) là : ; 2 2 Tương tự y = z, z = x ta nghiệm trên TH2 : số x, y, z đôi khác Giả sử x > y > z ,xét hàm số f(t) = t2 trên D = 1; a) z , x > y > z f(x) > f(y) > f(z) y + > z + > x + 1 y > x > z (vô lý) b) z < y < x f(x) < f(y) < f(z) y + < z + < x + y < z < x (vô lý) c) x > > z > −1 f(−1) > f(z) > x + x < (vô lý) Vậy điều giả sử là sai TH2 vô nghiệm 2 x x y y VD5: y y z z (Vô địch Đức) 2 z z x x Giải: TH1: Trong x, y, z ít có nghiệm số x x x (1) Giả sử x = y ta có hệ x z x z (2) Từ (1) x = 0, x = −1 z x z x (3) x = thay vào (2), (3) z=0; x = −1 thay vào (2), (3) vô lý Vậy hệ có nghiệm (0,0,0) Nếu y = z hay x = z có nghiệm (0,0,0) TH2: số đôi khác Từ 2x + x2y = y thấy x2 = 1 ± = (vô lý) 2x Vậy x2 ≠ 2x + x2y = y y x2 2x y x2 2y Hai phương trình còn lại tương tự ta có hệ phương trình tương đương với: z y2 2z x z2 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net 11 (12) Giả sử x > y > z (*) Xét hàm số: f(t) = 2t 1 t2 xác định trên D = R\ {1} 2(t 1) với tD hàm số đồng biến trên D (1 t ) f(x) > f(y) > f(z) y > z > x mâu thuẫn với (*) Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z TH2 − hệ vô nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm là (0; 0; 0) C Bài tập x y3 y2 y y z z z z x3 x2 x f’(t) = 2 3(3x 4) x y 3x y 3x x 3z Đưa giải hệ z y Hướng dẫn: Đặt z y x 3z x2 1 x y xyz x y z y x 27 x 27 yzt y z t y2 z y 27 y 27 z 1 y x z 27 z 27 ztx z t x 2z2 txy t x y x 1 z III Hệ phương trình đẳng cấp: F x, y A Dạng: , đó F kx, ky k n F x, y ; G kx, ky k mG x, y G x, y B 2 Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) x = ty (y ≠ 0) Ví dụ: x xy y * Giả hệ phương trình: 2 x xy y GIẢI + Với x = 0: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm x 1 2t 3t 1 + Với x ≠ 0: Đặt y = tx Hệ phương trình tương đương với 2 x 1 4t 5t Lấy (1)(2) ta được: 15t213t+2=0 t ; t Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net 12 (13) : ta có y x , thay vào (*) ta nghiệm (3;2), (3;2) 5 2 2 1 ; ; Với t : ta có y x , thay vào (*) ta nghiệm , 2 5 Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 3x xy y 11 6 x xy y 56 x 3x y 1) 2) 3) 2 x xy y 25 5 x xy y 49 y xy Với t IV Một số hệ phương trình khác: Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải xy x y x y ( x, y ) x y y x x y HD: Biến đổi phtrình xy x y x y (x + y)(x 2y 1) = ĐS: x = 5; y = 2 x x y x y x ( x, y ) x xy x ( x xy ) x HD: Biến đổi hệ phương trình thành: 6x x2 xy x y x y xy xy HD: Biến đổi x y xy 1 x 5 2 x y xy x y xy u x y hệ Đặt: ĐS: v xy x y 2 xy 5 ĐS: x = 4; y = 17 x x 3 y 25 y 16 1 x x y y 1 2 y x HD: (1) x y xy log y x log y x y 25 1 1 1 1 ; ; ĐS: 1;1 , , 2 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net 13 (14) HD: Tìm cách khử logarit để được: x HD: 3y ĐS: 3;4 y x y x x y x y yx yx y x 1 x y y2 3 y x HD: Đối xứng loại 3 x x y2 x y 3log x log y HD: Tìm cách khử logarit để được: x y 3 1 ĐS: 1;1 , ; 2 2 ĐS: 1;1 ĐS: 1;1 , 2;2 x y xy x y HD: Đặt t xy , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm t=3.ĐS: 3;3 1 x x y y Tìm m để hệ phương trình này có nghiệm thực x y 15m 10 x3 y3 1 HD: Đặt u x , v y , điều kiện u 2, v ĐS: m 2, m 22 x y Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số Lop12.net 14 (15)