Đs9 chủ đề 2 phương trình, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ( 1 buổi )

ĐS9-CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải hệ phương trình bậc Phương pháp giải Giải hệ phương trình hai phương pháp: - Giải hệ phương trình phương pháp Bước 1: Biểu diễn ẩn từ phương trình hệ qua ẩn Bước 2: Thay ẩn biểu thức biểu diễn vào phương trình cịn lại Bước 3: Giải phương trình ẩn nhận Bước 4: Tìm giá trị tương ứng ẩn cịn lại - Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Bước 1: Nhân hai vế phương trình hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ cho hệ mới, hệ số ẩn (hoặc đối nhau) Bước 2: Trừ (hoặc cộng) vế phương trình hệ để khử bớt ẩn Bước 3: Giải phương trình ẩn thu Bước 4: Thay giá trị tìm ẩn vào hai phương trình hệ để tìm ẩn +) Khi hệ có chứa biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hệ đơn giản +) Một hệ phương trình giải hai phương pháp cộng đại số Tùy theo đặc điểm phương trình mà ta chọn phương pháp thích hợp Bài tập mẫu  x  y 12 (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  7 x  y 31 (2) Định hướng Sử dụng phương pháp để giải hệ phương trình Lời giải Từ phương trình (1), biểu diễn y theo x ta có: y 12  x Thay y phương trình (2) 12  2x , ta được: x   12  x  31  x  24  x 31  11x 55  x 5 Thay x 5 vào phương trình y 12  x ta được: y 12  2.5 2 Vậy hệ có nghiệm  x; y   5;   x  y  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:   x  y 26 Định hướng Các hệ số ẩn y hai phương trình đối nhau, vậy, ta cộng vế hai phương trình để khử ẩn y Lời giải Cộng vế hai phương trình ta có: 3x 21  x 7 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có:  y 26  y  19  y  19 19   Vậy hệ có nghiệm  x; y   7;   3  3 x  y 93 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  5 x  y 103 Định hướng Hãy chọn nhân tử thích hợp để nhân hai vế phương trình với chúng, hệ số ẩn, chẳng hạn y, đối Để ý BCNN  5,  20 Lời giải Nhân hai vế phương trình thứ với    , phương trình thứ hai với 5, ta hệ phương trình   12 x  20 y  372 là:   25 x  20 y 515 Cộng vế hai phương trình ta được: 13 x 143  x 11 Thay giá trị vừa tìm x vào phương trình: x  y 103 , tìm y  12 Vậy nghiệm hệ  x; y   11;  12  Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ bậc Bài tập mẫu   x  y  x  y 74  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:    32  x  y x  y Lời giải Điều kiện xác định: x  y 0; x  y 0 Đặt 1 a, b Khi đó, hệ phương trình trở thành: 2x  y 2x  y Giải hệ phương trình ta được: a 10, b 1 7 a  4b 74  3a  2b 32  2 x  y  10  Từ đó, ta có:   x  y 1 11   x  40 (thỏa mãn)   y   20   11 Vậy hệ có nghiệm  x; y   ;    40 20    x  x   y  0  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  3  x  x   y   Lời giải Điều kiện xác định: y  Đặt x  x a, y  b  b 0   2a  b 0 Hệ phương trình trở thành:  3a  2b  Giải hệ phương trình ta được: a  1, b 2 (thỏa mãn)  x  x   Từ đó, ta có   y  2  x  x  0    y  4  x 1 (thỏa mãn)   y 3 Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;3 Dạng 3: Giải biện luận phương trình, hệ phương trình bậc chứa tham số Phương pháp giải Bài toán 1: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m Bước 1: Đưa hệ phương trình phương trình bậc dạng ax  b 0 (Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…) Bước 2: Xét phương trình ax  b 0 (1), (a, b số) Trường hợp 1: Phương trình (1) có nghiệm a 0 Khi đó, phương trình có nghiệm x  b a  a 0 Trường hợp 2: Phương trình (1) vơ nghiệm  b 0  a 0 Trường hợp 3: Phương trình (1) có vơ số nghiệm  b 0 Bước 3: Kết luận Bài tốn 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện cho trước Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x; y  theo tham số m Bước 2: Thế nghiệm vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m Bước 3: Kết luận Bài tốn 3: Tìm mối liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x; y  theo tham số m Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp làm tham số m Bước 3: Kết luận Bài tập mẫu (1)  mx  y 2m Ví dụ 1: Giải biện luận hệ phương trình:   x  my m  (2) Lời giải Từ (1) suy y mx  2m , thay vào (2) ta được: x  m  mx  2m  m    m   x  2m  3  m   +) Nếu m  0 hay m 2 x  Khi y   2m    m   m 4  (3) 2m  m2 m  m  2m  ; Hệ có nghiệm   m2 m2  m2 +) Nếu m 2 (3) với x, y mx  2m 2 x  Hệ có vơ số nghiệm  x; x   với x   +) Nếu m  (3) trở thành x 4 Hệ vô nghiệm m   2m  ; Vậy: + Nếu m 2 hệ có nghiệm  x; y    m2  m2 + Nếu m 2 hệ có vơ số nghiệm  x; x   với x   + Nếu m  hệ vơ nghiệm  mx  y n Ví dụ 2: Xác định m, n để hệ phương trình   mx  ny 2   a) Có nghiệm  x; y    2; b) Vô nghiệm Lời giải      m   n   a) Hệ có nghiệm  x; y    2; tức   m   n 2      2m  n     2m  3n 2 Đây hệ hai phương trình bậc hai ẩn m, n Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được: m  5 2   1 ;n  2 1 b) Từ phương trình thứ rút y mx  n , thay vào phương trình thứ hai ta được: mx  n  mx  n  2  m  n  1 x n  Dễ thấy n   0, n nên phương trình sau vơ nghiệm m  n  1 0 tức m 0 n  Vậy hệ cho vô nghiệm m 0 n   x  y m  Ví dụ 3: Cho hệ phương trình  (I) (m tham số)  x  y m a) Giải hệ phương trình (I) m 1 b) Tìm m để hệ (I) có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  y  Lời giải a) Với m 1 , hệ phương trình (I) có dạng:  x  y 4    x  y 1  x  y 8   2 x  y 1  x 2   y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   2;1 5m   x   x  y m  2 x  y 2m   x  y m      b) Ta có:   x  y m 2 x  y m 7 y m   y m    5m  m   ; Hệ phương trình có nghiệm  x; y      5m  m     5m   m   21  6m  36  m  7 Lại có x  y  hay Vậy với m  hệ phương trình (I) có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  y   m  1 x  y 2 Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:  (m tham số)  mx  y m  a) Giải hệ phương trình m 2 b) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình ln có nghiệm  x; y  thỏa mãn: x  y 3 Lời giải a) Giải hệ phương trình m 2  x  y 2  Ta có:   x  y 3  x  y 2    x 1  x 1   y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;1 b) Ta có: y 2   m  1 x , vào phương trình cịn lại ta phương trình: mx    m  1 x m   x m  Suy y 2   m  1 với m  Vậy hệ phương trình ln có nghiệm  x; y   m  1;   m  1 2  Khi x  y 2  m  1    m  1  m  4m  3   m   3 với m Ví dụ 5: Tìm giá trị m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên:  mx  y m    x  my 2m  Lời giải  mx  y m   Xét hệ   x  my 2m   2mx  y 2m    2  2mx  m y 2m  m  m2   y 2m2  3m   m    2m  1   x  my 2m  Để hệ có nghiệm m  0 hay m 2 Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm   m    2m  1  2m  2   y  m2  m2 m2   x  m  1   m2 m2 Để x, y số nguyên m   Ư  3  1;  1;3;  3 Vậy m  1, 3  m    1;  3;1;  5 B BÀI TẬP TỰ LUYỆN  x   Câu 1: Giải hệ phương trình     x   y 1 7 y 1 3  x  1   x  y  4 Câu 2: Giải hệ phương trình    x  1   x  y  9   x  y   x  4 Câu 3: Giải hệ phương trình   x  y   x    3x x 1  Câu 4: Giải hệ phương trình   2x   x  4 y2 5 y2  m  1 x  y m Câu 5: Cho hệ phương trình   x   m  1 y 2 a) Giải hệ phương trình m 3 b) Tìm m để hệ có nghiệm cho biểu thức 2x  y nhận giá trị nguyên x y  x  y  3 Câu 6: Giải phương trình   x  y  3 Câu 7: Tìm x y biết x  y  17   x  y  22  0 HƯỚNG DẪN Câu 1: Điều kiện: x 2; y  Đặt a  1 ;b  Hệ phương trình cho trở thành x y 1  a  3b    5a  2b 7 a   3b   5a  2b 7 a 1  b  Với a 1 b  ta có x 3 y  (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  3;   Câu 2: Hệ phương trình cho tương đương với 5 x  y 1 5 x  y 1 11x 11  x 1     3 x  y 5 6 x  y 10 6 x  y 10  y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  1;  1 Câu 3: Điều kiện x  Đặt a  x  y b  x   b 0   2a  b 4  Hệ phương trình cho trở thành   a  3b  a 1 (thỏa mãn)  b 2 Từ tìm x 3 (thỏa mãn) y  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y   3;   Câu 4: Điều kiện: x 1; y  Đặt a  x y  , hệ phương trình cho trở thành y 2 x 3a  2b 4    2a  b 5  a 2  b 1  x  x  2  x 2  Từ  (thỏa mãn)  1  y   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   2;  1 Câu 5: a) Giải hệ phương trình m 3  x   x  y 3   Ta có:   x  y 2  y 1   1 Vậy với m 3 hệ phương trình có nghiệm  ;   3 b) Từ phương trình  m  1 x  y m ta có y m   m  1 x Thay vào phương trình cịn lại hệ ta được: x  m  m  1   m  1 x 2    m  2m  x  m  m    m  m   x   m    m  1 (*) Hệ cho có nghiệm (*) có nghiệm m 0   m  m   0    m 2 m 1   x  m Khi ta có nghiệm hệ  y   m m 1  2x  3y m m  2m    m    2   Xét biểu thức A  m 1 x y m2 m2 m2  m m Để A nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên hay m   Ư    1; 5 m2 Suy m    3;  1;3;  7 Vậy hệ phương trình có nghiệm cho A có giá trị nguyên m    3;  1;3;  7 Câu 6: Hệ phương trình cho tương đương với  x  y  3    x  y  3 8 x  y  6    x  y  3  x 1  x 1     y    y  1   y   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  1;  1 ,  1;  3 Câu 7: Do x  y  17 0, x, y  x  y  22  0, x, y nên vế trái phương trình cho ln không âm 33  x   x  y  11 0   Suy phương trình cho trở thành  x  y  22  11  y   49  33 11  Vậy phương trình cho có nghiệm  x; y   ;   49 