chu de 2 he hai phuong trinh bac nhat hai an

CHỦ ĐỀ – HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ KHƠNG CHỨA THAM SỐ DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y Cách giải Rút gọn hệ phương trình bậc hai ẩn dạng: Ví dụ Giải hệ phương trình: Có  ax + by = c  a ' x + b ' y = c ' ( x + ) ( y + ) = xy + 216  ( x + ) ( y − ) = xy − 50 Lời giải ( x + ) ( y + ) = xy + 216  xy + x + y + 16 = xy + 216 ⇔  ( x + ) ( y − ) = xy − 50  xy − x + y − 10 = xy − 50  x + y = 200  x + y = 100 7 x = 140  x = 20 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  −5 x + y = −40  −5 x + y = −40  x + y = 50  y = 30 Vậy: ( x ; y ) = ( 20 ; 30 ) Ví dụ Giải hệ phương trình: Ta có: 2( x + 1) + 3( x + y ) = 15  4( x − 1) − ( x + y ) = Lời giải 2 x + + x + y = 15  ( x + 1) + ( x + y ) = 15 ⇔  4 x − − x − y =  ( x − 1) − ( x + y ) = 5 x + y = 13 10 x + y = 26 19 x = 38 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 x − y = 9 x − y = 12 3 x − y = y =1 Vậy: ( x ; y ) = ( 2; 1) Ví dụ Giải hệ phương trình: 3 ( x + 1) + ( x + y ) =  4 ( x + 1) − ( x + y ) = ( 3) Lời giải Cách 1: (Giải trực tiếp) Ta có: 3 ( x + 1) + ( x + y ) = 3 x + + x + y = ⇔   ( x + 1) − ( x + y ) = 4 x + − x − y = 5 x + y = 5 x + y = 11x = 11 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 x − y = 6 x − y = 10 5 x + y =  y = −1 ( x; y ) = ( 1; −1) Vậy: Cách 2: Đặt ẩn phụ a = x + 3a + 2b = 3a + 2b = 11a = 22 a = ⇒ ( 3) :  ⇔ ⇔ ⇔  b = x + y  4a − b = 8a − 2b = 18 3a + 2b = b = −1 Đặt: x +1 = x = ⇒ ⇔  x + y = −1  y = −1 Vậy: ( x ; y ) = ( ; -1) DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC Bước 1: Đặt điều kiện cho hệ phương trình Bước 2: Giải cách đặt ẩn phụ quy đồng giải trực tiếp Ví dụ Giải hệ phương trình:   x −1 +    −  x − 1 =2 y+2 =1 y+2 x ≠ 1, y ≠ −2 Lời giải Điều kiện: Cách 1: Đặt ẩn phụ 1 a= ,b = x −1 y+2 Đặt hệ phương trình trở thành   2a + b = 6a + 3b = 14a = a = ⇔ ⇔ ⇔     8a − 3b = 8a − 3b =  2a + b = b = Suy   x − = x −1 = x = ⇔ ⇔   y + =  y = −1  =1  y + ( x ; y ) = ( ; −1) Vậy: Cách 2: (Giải trực tiếp) ( thoả mãn điều kiện) Có   x −1 +    −  x − 1   14 =2 + =6 =7  y+2  x −1 y +  x − ⇔ ⇔   − =1 =1 − =1  x − y +  x − y + y+2 x −1 = x =  ⇔ ⇔  y + =  y = −1  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x;y) = (3; – 1) Ví dụ Giải hệ phương trình   x + y + 3(y + 1) =    − 5( y + 1) = −1  x + y Lời giải Điều kiện: x + y ≠ Cách 1: (Đặt ẩn phụ) = a; y+ = b x+ y Đặt hệ cho trở thành a + b = a + b = 10   11b = 11 b = ⇔ ⇔ ⇔   2a − 5b = −1 2a − 5b = −1 2a − 5b = −1 a = Suy  y = =2   ⇔ x+ y  y +1 =  x =  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = ( ; 0) Cách 2: (Giải trực tiếp)   11(y + 1) = 11  x + y + 3(y+ 1) =  x + y + 6(y + 1) = 10    ⇔ ⇔   − 5( y + 1) = −1  − 5( y + 1) = −1  x + y − 5( y + 1) = −1   x + y  x + y Có  y = =2   ⇔ x+ y ⇔  y +1 =  x =  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = ( ; 0) Ví dụ Giải hệ phương trình   x + − y + = −3 (1)    3x + y = (2)  x + y + Lời giải Điều kiện: x ≠ – 1; y ≠ – Trước hết ta khử x , tử phương trình (2) hệ 2    x + − y + = −3  x + − y + = −3   ⇔   3x + y =  3x+3 − + y + − =  x + y +  x + y+2 Có 2    x + − y + = −3  x + − y + = −3   ⇔ ⇔ 3 − + − =  + =5  x +  x + y + y+2 Cách 1: (Đặt ẩn phụ) 1 = a; =b x +1 y+2 Đặt hệ cho trở thành  a − 2b = −3  4a − b = −12 7a = −7  a = −1 ⇔ ⇔ ⇔  3a +8b = 3a +8b = 3a +8b = b =   x + = −1  x = −2 ⇔   y = −1  =1  y + Suy (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (– ; – 1) Cách 2: (Giải trực tiếp)    = −7  x + − y + = −3  x + − y + = −12    x + ⇔ ⇔   + =5  + =5  + =5  x + y +  x + y +  x + y + Có   x + = −1  x = −2 ⇔ ⇔  y = −1  =1  y + (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (– ; – 1) DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN Bước 1: Đặt điều kiện xác định hệ Bước 2: Giải cách đặt hai ẩn phụ cho gọn giải trực tiếp Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x + + y − =  3 x + − y − = −1 Lời giải Điều kiện: x ≥ – ; y ≥ Cách 1: (Đặt ẩn phụ) x + = a; y − = b Đặt (điều kiện a ≥ ; b ≥ )hệ cho trở thành 2a + 3b = 4a + 6b = 16 13a = 13 a = ⇔ ⇔ ⇔ (TM)  3a − 2b = −1 9a − 6b = −3 3a − 2b = −1 b =  x + = x +1 = x = ⇔ ⇔  y − = y =  y − = Suy Vậy (x ; y) = (0; 6) Cách 2: (Giải trực tiếp) 2 x + + y − = 4 ⇔   3 x + − y − = −1 9 Có 13 x + = 13  ⇔ ⇔⇔  3 x + − y − = −1  (thỏa mãn điều kiện) x + + y − = 16 x + − y − = −3 x +1 = x = ⇔ y−2 = y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (0; 6) Ví dụ Giải hệ phương trình   3x − + y + =   + y+1 =  3x − Lời giải x≠ ; y ≥ −1 Điều kiện: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) = a ; y+ = b 3x − Đặt điều kiện b ≥ hệ cho trở thành  b = (TM)  a + 3b = 3a + 9b = 4b =  ⇔ ⇔ ⇔  3a+ 5b = 3a+ 5b = 3a+ 5b = a =   x =  3x − =  ⇔   y +1 =  y = −  − Suy (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (2; ) Cách 2: (Giải trực tiếp)   4 y + = + y + =  x −  3x − + y+ =  ⇔ ⇔  3 + y+ =    + y+ = + y+ =  3x −  x −  3x − Có  x =  y+ =  ⇔ ⇔ −3  =1  y = −  x − 4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (2; ) Ví dụ Giải hệ phương trình Điều kiện: 21   2x − y − x + y =   7− x− y  + =1  x − y x+ y x − y > 0, x + y ≠ Trước hết ta khử x, y Lời giải tử phương trình sau hệ: 21 21    2x − y − x + y =  2x − y − x + y =   ⇔ ⇔ 7  + −1 =  + =2  x − y x + y  x − y x + y Hệ Cách (Đặt ẩn phụ) a a= , b= x+ y 2x − y a > 0, b ≠ Đặt (điều kiện: ), hệ trở thành   13 a=     4a − 3b =  4a − 3b =  13a =  2 ⇔ 2⇔ ⇔   3a + b =  9a + 3b = 9a + 3b =  b =   (thỏa mãn)   2x − y = 2 x − y =  x =  ⇔ ⇔   x + y = 14  y =  =1  x + y Suy (thỏa mãn điều kiện) ( x; y ) = ( 6; 8) Vậy Cách (Giải trực tiếp) 21 21 13 13    =  2x − y − x + y =  2x − y − x + y =  2x − y    ⇔ ⇔  21 21   + =2  + =6 + =6  x − y x + y  x − y x + y  x − y x + y Có   2x − y = 2 x − y = x =  ⇔ ⇔ ⇔ y =  x + y = 14  =1  x + y (thỏa mãn điều kiện) ( x; y ) = ( 6; 8) Vậy DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI Bước Đặt điều kiện xác định hệ Bước Giải cách đặt hai ẩn phụ cho gọn giải trực tiếp Ví dụ Giải hệ phương trình  x + + y − =  3 x + − y − = Lời giải y ≥ Điều kiện: Cách (Đặt ẩn phụ) a = x + , b = y −1 a ≥ 0, b ≥ Đặt (điều kiện: ), hệ cho trở thành  a + 4b =  7a = a =  a + 4b = ⇔ ⇔ ⇔  b = a + 4b = 3a − 2b = 6a − 4b = (thỏa mãn điều kiện)  x + =  x + = ±1  x = −1  x = −3 ⇔ ⇔ ,   y=2  y=2  y − =  y − = Suy (thỏa mãn điều kiện)  x = −1  x = − ,   y=2  y=2 Vậy Cách (Giải trực tiếp)  x + + y − =  x + + y − = 7 x + = ⇔ ⇔   3 x + − y − = 3 x + − y − = 6 x + − y − = Có  x + =  x + = ±1  x = −1  x = −3  x = −1  x = −3 ⇔ ⇔ ⇔ , ,   y=2  y=2  y − =  y − =  y=2  y=2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy Ví dụ Giải hệ phương trình   x − + y −1 =    + =3  x − − y Lời giải x ≥ 0, x ≠ 9, y ≠   x − + y −1 =  ⇔  + =3  x − y − 1 − y = y −1 Điều kiện: Do nên hệ Cách (Đặt ẩn phụ) a= ,b = y −1 x −3 a ≠ 0, b > Đặt (điều kiện: ), hệ cho trở thành  2a + b =  a = ⇔  a + b = b =1  (thỏa mãn điều kiện)   x −3 =  x − =   x = ⇔ ⇔   y − = ±1 ⇔  x = 25 ;  x = 25  y − =  =1    y −  y =1  y = Suy (thỏa mãn điều kiện) Cách (Giải trực tiếp)   =  x − + y −1 =    x −3 ⇔   + =  = ⇔  x = 25 ;  x = 25    x − − y  y −  y =1  y = Có (thỏa mãn điều kiện)  x = 25  x = 25 ;   y =  y=0  Vậy Ví dụ Giải hệ phương trình  x − + y + =   x + y + = −1 Lời giải y ≥ −3 Điều kiện: Cách (Đặt ẩn phụ)  x − + y + =  x − + y + = ⇔    x + y + = −1  x − + y + = −3 Có a = x − 2; b = y + b≥0 Đặt (điều kiện: ), hệ trở thành  a + 2b =  a + 2b = ⇔ ⇔ a − 2a = 15  a + b = − a + b = −   Trường hợp 1: Xét a≥0 a0⇔ >0 m−2 m−2 m−2 a) Có ⇔ m−2 m a) 15 b) Cả x y số nguyên S = x2 + y c) Biểu thức đạt giá trị nhỏ T = xy d) Biểu thức đạt giá trị lớn  mx − y = 2m −   x − my = − 3m m Bài Cho hệ phương trình với tham số ( x; y ) m Tìm để hệ có nghiệm tìm nghiệm ( x; y ) Với nghiệm trên: y x m a) Tìm hệ thức liên hệ khơng phụ thuộc vào y m x b) Tìm nguyên để số nguyên S = x2 + y m c) Tìm để biểu thức đạt giá trị nhỏ T = xy m d) Tìm để biểu thức đạt giá trị lớn 16 ... – 2m ≠ 18 − 6m 3m − 3m − 2m + = ⇒ y = − x = − = − 2m m? ?2 m? ?2 m? ?2 3m − 2m +  ; ÷  m? ?2 m? ?2  ( x; y ) =  m? ?2 hệ cho có nghiệm 6m − 18 6m + ? ?24 2x − y > ⇔ − >0⇔ >0 m? ?2 m? ?2 m? ?2 a) Có ⇔ m? ?2< 0... Vậy số nguyên 2     2 S = x + y =? ?2+ ÷ +3 − ÷ m +2? ??  m +2? ??  c) Có 2 a= S = ( + a ) + ( − a ) = 2a − 2a + 13 m +2 Đặt , ta 25 2 S = 4a − 4a + 26 = ( 2a − 1) + 25 ≥ 25 ⇒ S ≥ Xét 25 a= ⇒ = ⇔...  m − 2m + ÷ = 2? ?? m +2  m +2 2m + 3m +  ; ÷  m +2 m +2  m ≠ ? ?2 Vậy hệ cho có nghiệm 2m + + 95 3m + −   5  ; ;3 − ( x; y ) =  ÷=  + ÷ m +2   m +2 m +2? ??  m +2 a) Có     x+ y = ? ?2+ ÷+