Chu de 2 he hai phuong trinh bac nhat hai an

CHỦ ĐỀ – HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ KHƠNG CHỨA THAM SỐ DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC .2 DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI II HỆ CHỨA THAM SỐ HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 12 I HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ .12 II HỆ CHỨA THAM SỐ 12 I HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y ax  by c  Cách giải Rút gọn hệ phương trình bậc hai ẩn dạng: a ' x  b ' y c '  x    y    xy  216   x    y  5 xy  50 Ví dụ Giải hệ phương trình:  Lời giải  x    y    xy  216  xy  x  y  16  xy  216    x    y  5 xy  50  xy  x  y  10  xy  50 Có  4 x  y 200    x  y  40 x ; y  =  20 ; 30  Vậy:  2 x  y 100    x  y  40 7 x 140    x  y 50  x 20   y 30  2( x  1)  3( x  y ) 15  Ví dụ Giải hệ phương trình:  4( x  1)  ( x  y ) 0 Lời giải  x   x  y 15   x  1   x  y  15    x  1   x  y  0  x   x  y 0 Ta có:  5 x  y 13 10 x  y 26 19 x 38  x 2     3 x  y 4 9 x  y 12 3 x  y 4  y 1 Vậy:  x ; y   2; 1 Ví dụ Giải hệ phương trình: 3  x  1   x  y  4  4  x  1   x  y  9  3 Lời giải Cách 1: (Giải trực tiếp) 3x   x  y 4 3  x  1   x  y  4    x  1   x  y  9  x   x  y 9 Ta có:  5 x  y 1 5 x  y 1 11x 11  x 1     3 x  y 5 6 x  y 10 5 x  y 1  y  x; y   1;  1 Vậy:  Cách 2: Đặt ẩn phụ a x  3a  2b 4 3a  2b 4 11a 22 a 2   3 :      4a  b 9 8a  2b 18 3a  2b 4 b  Đặt: b x  y  x  2  x 1     x  y   y  Vậy:  x ; y   ;-1 DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC Bước 1: Đặt điều kiện cho hệ phương trình Bước 2: Giải cách đặt ẩn phụ quy đồng giải trực tiếp   x   y  2     1  Ví dụ Giải hệ phương trình:  x  y  Lời giải Điều kiện: x 1, y  Cách 1: Đặt ẩn phụ 1 a ,b  x y  hệ phương trình trở thành Đặt  2a  b 2   8a  3b 1 6 a  3b 6   8a  3b 1  14a 7 a    2a  b 2 b 1   x    x  2  x 3     y  1  y   1 y   Suy  ( thoả mãn điều kiện) x ; y   ;  1 Vậy:  Cách 2: (Giải trực tiếp)    14 7  x   y  2  x   y  6    x       1   1   1   x  y   x  y  Có  x  y   x  2  x 3     y  3  y   (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x;y) = (3; – 1)   x  y  3(y 1) 5     5( y  1)   Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y Lời giải Điều kiện: x + y ≠ Cách 1: (Đặt ẩn phụ) a; y  b x  y Đặt hệ cho trở thành  a  3b 5 2a  6b 10 11b 11 b 1      2a  5b  2a  5b  2a  5b  a 2   y 0 2    x y  y  1  x  Suy  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = ( ; 0) Cách 2: (Giải trực tiếp)   11(y  1) 11  x  y  3(y 1) 5  x  y  6(y 1) 10         5( y  1)    5( y  1)   x  y  5( y  1)     x  y Có  x  y  2   x y   y  1   y 0    x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = ( ; 0)   x 1     3x   Ví dụ Giải hệ phương trình  x   (1) y2 4y 2 (2) y2 Lời giải Điều kiện: x ≠ – 1; y ≠ – Trước hết ta khử x , tử phương trình (2) hệ 2    x   y    x   y        3x  y 2  3x+3   y   2   x  y 2 Có  x  y  2       x 1 y   x  y       3    2   5  x   x  y  y 2 Cách 1: (Đặt ẩn phụ) 1 a; b x  y  Đặt hệ cho trở thành  a  2b    3a +8b 5 4a  b  12   3a +8b 5 7a    3a +8b 5 a   b 1   x    x     y   1 y2 Suy  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (– ; – 1) Cách 2: (Giải trực tiếp)      x   y    x   y   12    x       5   5   5   x  y   x  y  Có  x  y    x    x     y   1  y  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (– ; – 1) DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN Bước 1: Đặt điều kiện xác định hệ Bước 2: Giải cách đặt hai ẩn phụ cho gọn giải trực tiếp 2 x   y  8  x   y   Ví dụ Giải hệ phương trình  Lời giải Điều kiện: x ≥ – ; y ≥ Cách 1: (Đặt ẩn phụ) x  a; y  b (điều kiện a ≥ ; b ≥ )hệ cho trở thành Đặt 2a  3b 8 4a  6b 16 13a 13 a 1    (TM)  3a  2b  9a  6b  3a  2b  b 2  x  1  x  1  x 0    y  2  y  4  y 6 Suy  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (0; 6) Cách 2: (Giải trực tiếp) 2 x   y  8 4 x   y  16   x   y   9 x   y   Có  13 x  13  x  1  x 0      y 6 3 x   y    y  2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (0; 6)   3x   y  2    y 4 Ví dụ Giải hệ phương trình  3x  Lời giải x  ; y  Điều kiện: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) a ; y b Đặt x  điều kiện b ≥ hệ cho trở thành  b  (TM)  a  3b 2 3a  9b 6 4b 2     3a+ 5b 4 3a+ 5b 4 3a+ 5b 4 a      x 2   3x     3  y 1   y   Suy  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (2; ) Cách 2: (Giải trực tiếp)   4 y  2  3x   y  2  3x   y 6      y  4   y 4   y 4  x      3x  Có  3x    x 2  y     3  1  y    x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (2; ) 21   2x  y  x  y 2   7 x y   1  x  y x y Ví dụ Giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện: x  y  0, x  y 0 Trước hết ta khử x, y tử phương trình sau hệ: 21 21    2x  y  x  y 2  2x  y  x  y 2     7    1   2  x  y x  y  x  y x  y Hệ Cách (Đặt ẩn phụ) a a , b x y 2x  y Đặt (điều kiện: a  0, b 0 ), hệ trở thành   13 a     4a  3b  4 a  3b   13a   2 2    3a  b 2  9a  3b 6 9a  3b 6 b    (thỏa mãn)   2x  y 2  x  y 4  x 6     x  y  14   y 8    Suy  x  y (thỏa mãn điều kiện)  x; y   6; 8 Vậy Cách (Giải trực tiếp) 21  21 13 13     2x  y  x  y 2  2x  y  x  y 2  2x  y         21 21    2   6  6  x  y x  y  x  y x  y  x  y x  y Có   2x  y 2 2 x  y 4  x 6      y 8  x  y 14  1  x  y (thỏa mãn điều kiện) Vậy  x; y   6; 8 DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI Bước Đặt điều kiện xác định hệ Bước Giải cách đặt hai ẩn phụ cho gọn giải trực tiếp  x   y  5  x   y  1 Ví dụ Giải hệ phương trình  Lời giải y  Điều kiện: Cách (Đặt ẩn phụ) a x2 ,b  y  Đặt (điều kiện: a 0, b 0 ), hệ cho trở thành  a  4b 5  a  4b 5  7a 7 a 1     b 1 (thỏa mãn điều kiện) a  4b 5 3a  2b 1 6a  4b 2  x  1  x  1  x   x    ,  y 2  y 2 y  1  y  1    Suy (thỏa mãn điều kiện)  x   x  ,  y    y 2 Vậy Cách (Giải trực tiếp)  x   y  5  x   y  5 7 x  7    x   y  1 6 x   y  2 3 x   y  1 Có   x  1  x  1  x   x   x   x     , ,   y 2  y 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy  y 2  y 2  y  1  y  1   x   y  5     3  x  1 y Ví dụ Giải hệ phương trình  Lời giải   x   y  5     3 x 0, x 9, y   x  y  Do  y  y  nên hệ Điều kiện: Cách (Đặt ẩn phụ) a ,b 2y  x Đặt (điều kiện: a 0, b  ), hệ cho trở thành 2a  b 5 a 2   a  b   b 1 (thỏa mãn điều kiện)    x  2   x  2  x 5     y  1   x 25 ;  x 25  1  y  1  2y   y 1  y 0 (thỏa mãn điều kiện) Suy  Cách (Giải trực tiếp)     x   y  5    x     3  1   x 25 ;  x 25    x   y  y  y 1  y 0  Có (thỏa mãn điều kiện)  x 25  x 25 ;   y 1  y 0  Vậy Ví dụ Giải hệ phương trình  x   y  9   x  y   Lời giải y  Điều kiện: Cách (Đặt ẩn phụ)  x   y  9  x   y  9   x  y    x   y   Có  a  x  2; b  y  (điều kiện: b 0 ), hệ trở thành Đặt  a  2b 9  a  2b 9   a  2a 15   a  b  2a  2b  a  2a 15  a  2a 15  a  15 Trường hợp 1: Xét a 0 (loại) a  2a 15   a  2a 15  a  Trường hợp 2: Xét a  (thỏa mãn) Suy x    x  x  y   ta   y    y 1 (thỏa mãn) Thay x  vào  x; y    3;1 Vậy Cách (Giải trực tiếp)  x   y  9  x   y  9   x   x 11   x  y   x  y      Có  Trường hợp 1: Xét x  0  x 2 x   x 11  x   x 11  x  13 (loại) x    x  Trường hợp 2: Xét x   x 11   x   x 11  x  (thỏa mãn)  x; y    3;1 Vậy II HỆ CHỨA THAM SỐ  ax  by c  Bài toán thường gặp: Cho hệ a ' x  b ' y c ' chứa tham số m  x; y  thỏa mãn điều kiện cho trước Tìm m để hệ có nghiệm Bước Dùng phương pháp thế, cộng, trừ để đưa hệ cho phương trình bậc ẩn Ax B Bước 2: Lập luận: Hệ có nghiệm phương trình Ax = B có nghiệm  A ≠ Bước 3: Giải nghiệm (x; y) theo m xử lý điều kiện toán Chú ý: A =  B 0  * Hệ vơ nghiệm phương trình Ax = B vô nghiệm A =  * Hệ vô số nghiệm phương trình Ax = B vơ số nghiệm  B = ax + by = c  * Đối với hệ: a'x + b'y = c' a’ , b’ , c’ ≠ ta có điều kiện sau: a b  +) Hệ có nghiệm a' b' a b c =  +) Hệ vô nghiệm a' b' c' a b c =  +) Hệ vô số nghiệm a' b' c' 2x + y =  Ví dụ Cho hệ phương trình: 4x + my = 2m + 18 với m tham số Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) tìm nghiệm Với (x; y) nghiệm trên, tìm m để: a) 2x – 3y > b) Cả x y số nguyên c) Biểu thức S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ d) Biểu thức T = xy đạt giá trị lớn Lời giải  Từ 2x + y = y = – 2x, thay vào 4x + my = 2m + 18 ta 4x + m(8 – 2x) = 2m + 18  (4 – 2m)x = 18 – 6m (*) Hệ có nghiệm (x; y) phương trình (*) có nghiệm  – 2m ≠  m ≠ 18  6m 3m  3m  2m  x   y 8  x 8    2m m m m Khi 3m  2m   ;  x; y    m  m   m  Vậy hệ cho có nghiệm 10 6m  18 6m   24  0 0 m m m 2 a) Có  m   (do  24  )  m  (thỏa mãn) Vậy m  x  y  2x  3y   3m  3m   3  x  3    m m m   y  2m   2m   2  m m m b) Có  3m  x, y  Z    m   UC  3;6   1; 3  m   Do  m   3;1;5;  1 (thỏa mãn m 2 ) m   3;1;5;  1 Vậy x y số nguyên 2     S x  y    2  m 2  m 2  c) 2 a m  , S   a     2a  5a  2a  13 Đặt 2 2 13   64 64   5  a  a   5  a     5 5 5   64 MinS  a     m  13 m Vậy (thỏa mãn m 2 )    T  xy    2  m 2 m 2  d) Có 2 m  , ta T   a    2a   2a  4a    a  1  8 Đặt a 1  1  m 5 m Vậy MaxT=8 (thỏa mãn m 2 ) a mx  y 2m   Ví dụ Cho hệ phương trình 2 x  my 9  3m với m tham số  x; y  tìm nghiệm Tìm m để hệ có nghiệm  x; y  nghiệm trên: Với a) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m b) Tìm m nguyên để x y số nguyên 2 c) Tìm m để biểu thức S  x  y đạt giá trị nhỏ d) Tìm m để biểu thức T  xy đạt giá trị lớn Lời giải Từ mx  y 2m   y  mx  2m  , thay vào x  my 9  3m ta 11 x  m mx  2m  9  3m    m  x 18  5m  2m 2 (*)  x; y  phương trình  * có nghiệm Hệ có nghiệm   m 0  m 2 18  5m  2m 2m  5m  18  m    2m   2m  x     m2 m2  m  2  m  2 m2  Khi  2m   3m 1 y   m  2m    2 m2  m2 2m  3m   ;   m2 m2   x; y   Vậy m 2 hệ cho có nghiệm 2m   95 3m     5  ; ;3   x; y       m2   m2 m2  m2 a) Có     x  y    3  5 m  m      Suy không phụ thuộc m Vậy x  y 5 hệ thức cần tìm b) Có  x; y     5  ;3   m2 m2 x, y  Z  5m   U    1; 5 Do m    1;  3;3;  7 (thỏa mãn m 2 ) m    1;  3;3;  7 Vậy x y số nguyên 2     2 S  x  y    3  m2  m2  c) Có 2 a m  , ta S   a     a  2a  2a  13 Đặt 25 2 S 4a  4a  26  2a  1  25 25  S  Xét 25 MinS  a    m 8 m2 Vậy (thỏa mãn m 2 )    T  xy   3  m2 m2  d) Có  25 25  T   a    a   a  a    a     a 4   m  Đặt , ta 25 MaxT= a    m 8 m2 Vậy (thỏa mãn m 2 ) 12 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ Giải hệ phương trình sau  x    y   xy  216 2  x  1   x  y  15   x  y   xy  50  x  1   x  y  0      Bài  Bài    x   y  2     1  Bài  x  y  2   x   y      x  y 2  Bài  x  y  3  x  1   x  y  4   x  1   x  y  9 Bài    x  y  3( y  1) 5     5( y  1)   Bài  x  y   y  2   3x     y  4 Bài  x  2 x   y  8  x   y   Bài  21   2x  y  x  y 2   7 x y   1  x  y x y Bài 11   x   y  5     3  x  1 y Bài 11   x   y  5  x   y  1 Bài 10   x   y  9  x  y   Bài 12  II HỆ CHỨA THAM SỐ  x  y 8  Bài Cho hệ phương trình  x  my 2m  18 với m tham số  x; y  tìm nghiệm Tìm m để hệ có nghiệm  x; y  nghiệm trên, tìm m để: Với a) x  y  b) Cả x y số nguyên 2 c) Biểu thức S  x  y đạt giá trị nhỏ d) Biểu thức T  xy đạt giá trị lớn 13 mx  y 2m   Bài Cho hệ phương trình 2 x  my 9  3m với m tham số  x; y  tìm nghiệm Tìm m để hệ có nghiệm  x; y  nghiệm trên: Với a) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m b) Tìm m nguyên để x y số nguyên 2 c) Tìm m để biểu thức S x  y đạt giá trị nhỏ d) Tìm m để biểu thức T xy đạt giá trị lớn 14