Đang tải... (xem toàn văn)
+ Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình.. + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường [r]
(1)Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Kiến thức cần nhớ
Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng:
' ' '
ax by c a x b y c
+ Cặp số x y0; 0 gọi nghiệm hệ phương trình
nghiệm chung hai phương trình
+ Hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm vơ số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ Một số ví dụ
Ví dụ Xác định hệ số a b, hàm số y ax b để: 1)
Đồ thị qua hai điểm
1;3 , 2; 4
A B
2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 4 cắt trục
hồnh điểm có hồnh độ Lời giải:
1) Thay tọa độ điểm A B, vào phương trình đường thẳng ta được:
3
4 3
a b b a a
a b a a b a
Vậy a1,b2.
2) Tương tự phần (1) ta có hệ:
4
0 2 4
a b b a
a b a b b
(2)Vậy a2,b4
Ví dụ Giải hệ phương trình sau:
a) 1 3 x y x y
b)
3 1 1 x y x y x y x y
c)
1
2
1
2 1
x x y x x y Lời giải: a) Đặt 1 ; u v x y
Theo đề ta có hệ phương trình:
3
3 5
3
3
v u
u v u u
u u
u v v u v
Từ suy ra:
1 1; x u 1 y v b) Đặt ; 1 x y u v x y
Theo ta có hệ phương trình:
3 3
3 3 4
u v u v u v u
u v v v v v
Từ suy ra:
2 2 1 1 2 x x x x x
y y y y
y .
c) Điều kiện
x ,
2 x y Đặt 1 a x b x y
(3)2 1
2 1
1
2 1
x
a b a x
a b b y
x y
Vậy hệ có nghiệm x1;y0
Ví dụ Cho hệ phương trình:
2 x y mx y
1 a) Giải hệ phương trình với m 2
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y, x y, trái dấu
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y; thỏa mãn xy .
Giải:
a) Với m 2 ta có hệ phương trình:
2
2 5
2
2
x y
x y x y x
y y
x y y y
b) Từ phương trình (1) ta có x2y5 Thay x2y5 vào phương trình (2) ta được:m2y5 y 4 2m1 y 4 5m (3)
Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với:
1
2 m m
Từ ta được:
4
m y
m
;
5
2
x y
m
Ta có:
2
3
2 m x y
m
Do
,
5 x y m m
(4)c)Ta có:
3
2
m
x y
m m
(4)
Từ (4) suy
1
2 m m
Với điều kiện m
ta có:
1
4 5
4
4
5
m l
m m
m
m
Vậy
7 m
Ví dụ Cho hệ phương trình:
1 x my m mx y m
1
a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất?
b) Giải biện luận hệ phương trình theo m
c) Tìm số ngun m cho hệ phương trình có nghiệm x y, mà x y, số nguyên.
d) Chứng minh hệ có nghiệm x y, điểm ,
M x y
chạy đường thẳng cố định
e) Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ
Lời giải:
a) Từ phương trình (2) ta có y3m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta
được:
2
3 1
x m m mx m m x m m
(3)
(5)Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm :
2
1
1
1 m
m m
m .
b) Từ phương trình (2) ta có y3m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta
được:
2
3 1
x m m mx m m x m m
(3) Trường hợp 1: m 1 Khi hệ có nghiệm
2
1
3
1 1
3 1
3
1
m m
m m m
x
m m m m
m m
y m m
m m
Trường hợp 2: m 1 Khi phương trình (3) thành: 0.x 0 Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng x; 2 x x,
Trường hợp 3: m 1 phương trình (3) thành: 0.x 4 (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm
c) Hệ cho có nghiệm m 1
Ta có:
3
3
1
1
1
1
m x
m m
m y
m m
Vậy x y, nguyên
2 m
nguyên Do m 1 2; 1;1;2 Vậy m 3; 2;0 (thỏa mãn) m 1 (loại)
Vậy m nhận giá trị 3; 2;0
d) Khi hệ có nghiệm x y, ta có:
2
3
1
x y
m m
(6)Vậy điểm M x y ; chạy đường thẳng cố định có phương trình
y x .
e) Khi hệ có nghiệm x y;
theo (d) ta có: y x Do đó:
2
2 1 1
xy x x x x x
Dấu xảy khi:
2
1 1
1
x m m
m m
.
Vậy với m 0 x y đạt giá trị nhỏ
Chú ý: Ta tìm quan hệ x y 2 theo cách khác: Khi hệ
phương trình
1 x my m mx y m
1
2 có nghiệm m1 lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) hệ ta thu được:
m1x m1 y2m1 x y 2
Ví dụ Cho hệ phương trình:
2
x my m
mx y m
Chứng minh với mọi m hệ phương trình ln có nghiệm Gọi x y0; 0 cặp nghiệm
phương trình: Chứng minh:
2
0 0 10
x y x y
(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015)
Lời giải:
Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y3m 1 mx thay vào phương trình 1 hệ ta có:
2
1 3
m x m m
Do m 2 với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ
(7)Gọi x y0; 0 nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có:
0
0
2
1
x m y
y m x
.Nhân hai vế phương trình thứ với 3 x 0,
phương trình thứ hai với y 0 4 trừ hai phương trình cho ta được: 2
0 0 0 0
3 x x y y 1 0 x y x y 10 0 .
Ngồi ta giải theo cách khác sau:
d :x my 4m 0, d' :mx y 3m1 0
Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định: A2;4 đường thẳng
d' qua điểm cố định : B3;1 Mặt khác ta dễ chứng minh
đường thẳng ( )d đường thẳng ( ')d vng góc với nên hai đường thẳng ln cắt Gọi M x y 0; 0 giao điểm hai đường thẳng
thì tam giác M AB vuông M Gọi I trung điểm AB
5 ; 2
I
, AB 10 suy
2
2
0
1 5
4 10
2 2
IM AB IM AB x y
.
2
0 0 10
x y x y
Ví dụ Cho hệ phương trình:
3 x my
mx y m
(1) (2)
Hệ có nghiệm x y, , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây:
(8)b) Q x 4y4 (2) Lời giải:
Từ phương trình (2) ta suy ra: y2m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta được:
2 1 3 1 2 3
x m m mx m x m m
(3)
Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m2 1 m1.
Khi
2
1
2 3
2
1 1
2
2
1
m m
m m m
x
m m m m m
m
y m m
m m
.
a) Ta có:
2 2
2 3 2 4 12 12 2 3 3 3
P x x x x x
3
P
3 3
4 3
2
m
x m m m
m
.
Vậy giá trị nhỏ P 3.
b) Ta có:
4
4 4 2
Q x y x x
đặt t x 1.
Khi
14 14 4 6 4 1 4 6 4 1 2 12 2 2
Q t t t t t t t t t t t t
2
2 1
1 m
Q t x m m m
m
(9)Vậy giá trị nhỏ Q
Ví dụ 7): Cho hệ phương trình:
1
1
mx m y
m x my m
Chứng minh hệ ln có
nghiệm x y; tìm GTLN biểu thức
2
4
Px y y
Lời giải:
Xét hai đường thẳng
d1 :mxm1 y1 0; d2 : m1x my 8m 3 0.
+ Nếu m 0 d1 :y 1 0 d2: x 5 0 suy d1 vng
góc với d2 .
+ Nếu m 1 d1 :x 1 0 d2 : y 11 0 suy d1 ln
vng góc với d2 .
+ Nếu m 0;1 đường thẳng d1 , d2 có hệ số góc là:
1
1 ,
1
m m
a a
m m
suy a a 1 1 d1 d2 .
Tóm lại với m hai đường thẳng d1 ln vng góc với d2 Nên
hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng
d1 :mxm1 y1 0; d2 : m1x my 8m 3 0 ln vng góc
với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm
;
I x y , đường thẳng d1 qua A 1;1 cố định, đường thẳng d2
đi qua B3; 5 cố định suy I thuộc đường trịn đường kính AB Gọi
1; 2
M
trung điểm AB
2
1 13
2 AB
MI x y (*)
12 22 2 2 P x y x y x y
8 2 x 1 y2 1 3
(10) 2 2
1 3 52
x y x y x y