Trang 1 Dạng 1 Bất phương trình bậc hai, bậc cao Câu 1 Với giá trị nào của m thì với mọi x ta có 2 2 5 1 7 2 3 2 x x m x x + + − − + A 5 1 3 m− B 5 3 m − C 1m D 5 1 3 m− Câu 2 Tìm m để.
Câu Câu Dạng Bất phương trình bậc hai, bậc cao x2 + 5x + m 7 Với giá trị m với x ta có −1 2 x − 3x + 5 A − m B m − C m D − m 3 Tìm m để phương trình ( m + 1) x − ( m + ) x + m − = có hai nghiệm phân biệt khác 1 + x1 x2 A m − m 1 B m cho C − m Câu Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình −3 nghiệm A Câu Câu 5 D − m m −1 x − 2mx + có tập x2 + x + ? C B D Số giá trị nguyên tham số m thỏa mãn bất phương trình mx − (4m + 3) x + (m − 8) nghiệm với x , A B C D Gọi S tập nghiệm bất phương trình x − ( 2m − ) x + m − 6m + Tìm tất giá trị m cho ( 3;5 ) S A m Câu Câu C m 4;8 D m ( 6;8 ) Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để bất phương trình ( m − 1) x + ( m − 1) x + nghiệm với x Tổng tất phần tử S A 15 Câu B m 6;8 B 10 C D Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m −10;10 để − x + x + + m với x Số phần tử S A B C D 10 Cho bất phương trình mx + m 18 + x (1) Tính tổng giá trị nguyên m thuộc đoạn −1; 5 cho bất phương trình (1) với x −2 B C D 10 ( m − 3) x − x − x − 1 ; m có tập nghiệm S Tìm tất giá trị Cho bất phương trình () 2m m m để S ( 3; + ) A Câu 1 A m = B m ( −;0 ) ; + 2 1 1 C m 0; D m ;1 2 2 Câu 10 Tập hợp gồm tất giá trị tham số m để bất phương trình x − ( 5m − ) x + 6m − 10m nghiệm x −1;1 ( −; a b; + ) , với a b , a, b Lúc giá trị nhỏ P = 3t − 4t , t a; b Trang C − D 16 Câu 11 Tìm m để x 0; + ) nghiệm bất phương trình ( m2 − 1) x − 8mx + − m2 A −10 B −13 A m B m −3; −1 D m −3; −1 C m ( −3; −1) Câu 12 Gọi S tập hợp tất giá trị m để bất phương trình ( 4m2 + 2m + 1) x − 5m 3mx − m − có tập nghiệm −1; + ) Tính tổng tất phần tử S A B D − C − Câu 13 Hỏi có giá trị nguyên nhỏ 20 tham số m để bất phương trình x2 − x + m nghiệm với x ? x2 + A 15 B 16 C 17 D 18 Câu 14 Cho f ( x ) = x − ( m2 + m + 1) x + m3 + m2 với m tham số thực biết có hai giá trị m1 , m2 để f ( x ) khơng âm với giá trị x Tính tổng m1 + m2 A B −1 C D −2 Câu 15 Số giá trị nguyên tham số m thỏa mãn bất phương trình mx − ( 4m + 3) x + ( m − ) nghiệm với x là? A B C D Câu 16 Cho biếu thức f ( x) = x − 2(m − 1) x + 2m − Tìm điều kiện tham số m để f ( x) thỏa mãn với x −1; 2 A m B m C m D m Câu 17 Có giá trị nguyên tham số m thuộc −10;10 để bất phương trình x3 − x + ( m − ) x + m nghiệm với x ? A B C D 10 x + 5x + m Câu 18 Tìm tất giá trị tham số m để với x ta có −1 x − 3x + 5 A − m B m C m − D m 3 Câu 19 Có giá trị nguyên thuộc −10;10 m để bất phương trình mx − x + m vô nghiệm? A B 10 C D 11 Câu 20 Có giá trị m nguyên để bất phương trình 3x − ( m + 1) x − ( 2m2 − 3m + ) nghiệm với x khoảng ( 2; + ) A B C D Câu 21 Tìm m để bất phương trình (m − 1) x − 2(m − 1) x + 2m − với x A m ( −;1 B m ( −;1) C m ( −;1 2; + ) D m ( −;1) ( 2; + ) Câu 22 Có giá trị nguyên m −2020;2021 để bất phương trình mx − ( m − ) x + m − vô nghiệm A 2018 B 2019 C 2020 Câu 23 Có giá trị nguyên tham số m để biểu thức A 19 Trang B 20 C D 2017 −x + 4x − với x x + 2mx + D ? ( ) Câu 24 Cho biểu thức f ( x ) = 3x − ( m + 1) x + m + 2m Có giá trị nguyên tham số m −20; 21 để f ( x) với x khoảng ( −2;0 ) ( 2;3) ? A 37 D 36 C 38 B Câu 25 Có giá trị nguyên tham số m đê bất phương trình −1 x + 5x + m nghiệm x − 3x + 2 với x R A B C D Câu 26 Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để hàm số f ( x ) = ( m − ) x − ( m − 2m ) x − m nhận giá trị âm với số thực x Trung bình cộng phần tử S 1 A B C D 3 Câu 27 Gọi S tập giá trị tham số m để bất phương trình x − 4mx − 7m − có tập nghiệm a; b cho b − a = Khi tích giá trị m là: A B − C D − Câu 28 Tìm m để bất phương trình (m − 1) x − 2(m − 1) x + 2m − nghiệm với x A m ( −;1 B m ( −;1) C m ( −;1 2; + ) D m ( −;1) ( 2; + ) Câu 29 Tìm tất giá trị m để phương trình mx − ( m − 1) x + m − = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa x12 + x22 + x1 + x2 − 8 A m ( −;1) ; + 5 8 B m ( −;0 ) ( 0;1) ; + 5 8 D m 1; 5 Câu 30 Cho bất phương trình ( m2 − ) x + ( m − ) x + Tập tất giá trị tham số m làm cho C m bất phương trình vơ nghiệm có dạng ( −; a b; + ) Tính giá trị a.b A − 20 B Câu 31 Xác định m để với x ta có −1 C −4 D 20 x2 + 5x + m 7 x − 3x + 5 A − m B m C m − D m 3 Câu 32 Cho S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho bất phương trình ( m + 1) x + ( 4m + ) x + 4m + có tập nghiệm R Tính số phần tử tập hợp S mx + ( m + 1) x + m A B C 10 D vô số Dạng Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 33 Số giá trị nguyên tham số m để bất phương trình trị thực x A B Vô số C x2 + m nghiệm với giá x2 + 2x + D Trang 2 Câu 34 Cho bất phương trình x − x + ( m + ) x − + m + 4m + 12 (1) Có giá trị nguyên m thuộc đoạn −10;10 để bất phương trình (1) với x ( −2 ; ) A 12 B 13 C 14 D 15 x +m nghiệm với giá trị x +x+2 Câu 35 Số giá trị nguyên tham số m để bất phương trình thực x A B Vô số C D Câu 36 Có giá trị nguyên tham số m −2020; 2020 để bất phương trình 1 − x + x + − m với x 2 A 2020 B 2018 C 4038 D 4039 Câu 37 Có giá trị nguyên tham số a thuộc đoạn −2021; 2021 để bất phương trình: x − 2m − x + x a ( x + + 1) có nghiệm A 4043 B 2026 C 2025 D 2018 Câu 38 Cho bất phương trình x + x + x + − m Xác định m để bất phương trình có nghiệm 17 17 m −4 B m −4 C m − D m −4 4 Câu 39 Tìm tập giá trị biểu thức x − a biết x + − 2a + x − + a A − −7 −1 −7 −1 −1 −1 A ; B ; C ; D ; 2 2 2 2 2 Câu 40 Cho hàm số y = x + x + + x − a + , có giá trị nguyên tham số a −10;10 cho giá trị nhỏ hàm số lớn 2? A 20 B 21 C 12 Dạng Bất phương trình chứa Câu 41 Tìm tất giá trị tham số m để hai bất phương trình D 11 x − + − x − + x − x − m + m tương đương A m B m = C m D Khơng có giá trị m thỏa 2 Câu 42 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình mx + x + − x + 3x − có nghiệm A −7 m −3 B m −7 C m −3 D m −7 Câu 43 Cho bất phương trình x − x + − x + x − + m − Có giá trị nguyên m không vượt 2021 để bất phương trình nghiệm với x 1; A 2020 B 2019 C 2017 Câu 44 Có số nguyên m 1; 20 cho bất phương trình D 2018 ( x + )( − x ) x + x + m + nghiệm với x −6; 2 A 15 B 16 Câu 45 Tìm giá trị m đề hàm số y = A m = B m C 14 D 11 x − ( m + 1) x + m2 + xác định m2 x − 2mx + m2 + C m ( −;0 ) D m Câu 46 Số giá trị nguyên m để bất phương trình x − mx + mx + xác định với x A B C D Câu 47 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số a 2020 để bất phương trình ( x + 5)(3 − x) x + x + a nghiệm với x −5;3 Số phần tử S Trang A 2015 B 2005 C 2006 D 2016 Câu 48 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x + 3x − a x − x − ( A a C a B a = Câu 49 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = ? A Câu 50 Cho phương trình ) B + x + − x − (2 − x) phương trình có nghiệm A 2 − 2; B 2 − 2; ( ) D a x − 2mx − 2m + có tập xác định x2 − x + C D 2+ x = m Tập hợp tất giá trị m để 2− x ( C 5; 2 − D ( Câu 51 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 0; 2021 để hàm số: ; x − ( m + 1) x + m2 + có tập xác định y= m2 x − 2mx + m2 + A 2021 B C 2022 D 2020 Câu 52 Có giá trị nguyên m không lớn 10 để bất phương trình ( x + 5)( − x ) x + x + m nghiệm với x −5;3 A D 26 C 25 B Câu 53 Tập hợp tất giá trị m để bất phương trình x − x + m + x − x 16 nghiệm x ( 2;5 ) A −2 10 ; 10 C − ; 10 ( Câu 63 ( D ( −2 ) B − ; 10 ) 10 ; 10 ( x + 5)( − x ) Hệ bất phương trình vơ nghiệm x − 3m + A m −1 B m −1 C m −1 D m −1 2 x − x + Câu 64 Tìm tất giá trị tham số m để hệ bất phương trình vô x − ( 2m + 1) x + m ( m + 1) nghiệm 1 m− m− 1 A m B C m D 2 2 m m 2 x − x Câu 65 Tìm tất giá trị tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm x − ( m − 1) x − m m m m m A B C D m −1 m −1 m −1 m −1 Câu 66 ( x + 3)( − x ) Hệ bất phương trình vơ nghiệm x m − A m −2 B m −2 C m −1 2 x + m Câu 68 Hệ bất phương trình 3x − x − (1) ( 2) D m = vô nghiệm khi: Trang A m − B m C m x − (1) Câu 69 Hệ bất phương trình có nghiệm khi: x − m ( ) A m B m = C m D m − D m Dạng Ứng dụng bất phương trình bậc hai ẩn Câu Một người nông dân có triệu đồng để làm hàng rào chữ E dọc theo sơng (như hình vẽ) làm khu đất có hai phần hình chữ nhật để trồng rau Đối với mặt hàng rào song song bờ sơng chi phí ngun vật liệu 60000 đồng mét, ba mặt hàng rào song song chi phí ngun vật liệu 40000 đồng mét Tính diện tích lớn khu đất rào thu A 1245 Câu B 1250 C 1255 D 1260 Một viên gạch hình vng có cạnh thay đổi đặt nội tiếp hình vng có cạnh 20 cm , tạo thành bốn tam giác xung quanh hình vẽ Tìm tất giá trị x để diện tích viên gạch khơng vượt q 208cm2 A x 12 B x 14 C 12 x 14 D 12 x 18 Câu Cơng ty du lịch Hịa Bình dự định tổ chức tua Sapa từ Hà Nội Công ty dự định giá tua triệu đồng có khoảng 150 người tham gia Để kích thích người tham gia, công ty định giảm giá lần giảm giá tua 100 ngàn đồng có thêm 20 người tham gia Hỏi cơng ty phải bán giá tua để doanh thu từ tua xuyên Việt lớn ? A 1.875.000 (đồng) B 1.375.000 (đồng) C 1.675.000 (đồng) D 1.475.000 (đồng) Câu Một sở sản xuất khăn mặt bán khăn với giá 30.000 đồng tháng sở bán trung bình 3000 khăn Cơ sở sản xuất có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt Sau tham khảo thị trường, người quản lý thấy từ mức giá 30.000 đồng mà tăng giá thêm 1000 đồng tháng bán 100 Biết vốn sản xuất khăn không thay đổi 18.000 Hỏi sở sản xuất phải bán với giá để đạt lợi nhuận lớn A 39.000 B 43.000 C 40.000 D 42.000 Câu Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà khoa học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có x cá ( x + ) trung bình cá sau vụ cân nặng 480 − 20x (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? A 10 B 12 C D 24 Trang Câu LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng Bất phương trình bậc hai, bậc cao x2 + 5x + m 7 Với giá trị m với x ta có −1 2 x − 3x + 5 A − m B m − C m 3 D − m Lời giải Chọn A Ta có x − 3x + x a = = −7 x2 + 5x + m − x2 + 5x + m 3x + x + m + x − x + Khi −1 7 2 x − 3x + x + 5x + m 13x − 26 x + 14 − m x − 3x + Bất phương trình cho nghiệm với x (1) ( 2) bpt (1) bpt ( ) nghiệm với x bpt (1) nghiệm với x = − ( m + ) m − bpt ( ) nghiệm với x = 132 − 13 (14 − m ) m Kết hợp (1) ( ) ta − m Câu Tìm m để phương trình ( m + 1) x − ( m + ) x + m − = có hai nghiệm phân biệt khác cho 1 + x1 x2 A m − m 1 B m C − m D − m m −1 Lời giải Chọn B Ta có điều kiện để phương trình ( m + 1) x − ( m + ) x + m − = có hai nghiệm phân biệt khác m + = ( m + ) − ( m + 1)( m − 1) m − m 1 m 1 ( *) m− 4m + Trang b ( m + 2) x1 + x2 = − = a m +1 Khi PT có nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x x = c = m −1 a m +1 ( m + 2) x +x 1 m 1 Ta có + 2 2 −20 m −1 x1 x2 x1.x2 m −1 Kết hợp điều kiện (*) m giá trị cần tìm Câu Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình −3 ? A C B x − 2mx + có tập nghiệm x2 + x + D Lời giải Chọn C Ta có −3 x − 2mx + (I ) x2 + x + x − 2mx + −3 x2 + x + x − 2mx + x2 + x + x − 2mx + −3 ( x + x + 1) (Do x + x + với x ) 2 x − 2mx + ( x + x + 1) 4 x − ( 2m − 3) x + (1) − x − ( 2m + ) x − ( ) hai BPT (1) ; ( ) có tập nghiệm Bất phương trình ( I ) có tập nghiệm Câu ( 2m − 3)2 − 4.4.4 4m − 12m − 55 − m 2 −2 m m + m m + − − − ) ( )( ) ( −2 m Có giá trị m nguyên thoả mãn yêu cầu đề m = −2, m = −1, m = Số giá trị nguyên tham số m thỏa mãn bất phương trình mx − (4m + 3) x + (m − 8) nghiệm với x , A B C D Lời giải Chọn A +) Với m = bất phương trình trở thành 3x − x Ta thấy BPT không nghiệm x nên m = không thỏa mãn +) Với m : mx − (4m + 3) x + (m − 8) 0, x m m m 2 ( 4m + 3) − 4m ( m − ) 12m + 56m + −4,5 m − mà m nên m −1; −2; −3; −4 Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu đề Trang Câu Gọi S tập nghiệm bất phương trình x − ( 2m − ) x + m − 6m + Tìm tất giá trị m cho ( 3;5 ) S A m B m 6;8 C m 4;8 D m ( 6;8 ) Lời giải Chọn B Ta có x − ( 2m − ) x + m − 6m + m − x m − S = ( m − 5; m − 1) Câu m − m Để ( 3;5 ) S m − m Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để bất phương trình ( m − 1) x + ( m − 1) x + nghiệm với x Tổng tất phần tử S A 15 B 10 C Lời giải D +Trường hợp 1: m = Ta có 0.x + 0, x , suy m = thỏa mãn toán +Trường hợp 2: m , Ta có ( m − 1) x + ( m − 1) x + 0, x a m − m m ( 2) ( m − 1)( m − ) 1 m Kết hợp trường hợp ta m Suy S = 1; 2;3 Vậy tổng phần tử tập hợp S Câu Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m −10;10 để − x + x + + m với x Số phần tử S A B C D 10 Lời giải Ta có − x + x + + m 0, x m x − x − 1, x m f ( x ) với f ( x ) = x − x − (1) ( 0;+ ) f ( x ) = x − x − = ( x − 1) − −2, x f ( x ) = −2 x = ( ) ( 0;+ ) Từ (1) ( ) suy m −2 Mặt khác, m , − 10 m 10 suy S = −10; − 9; − 8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 3 Vậy tập hợp S có phần tử Câu Cho bất phương trình mx + m 18 + x (1) Tính tổng giá trị nguyên m thuộc đoạn −1; 5 cho bất phương trình (1) với x −2 C D 10 Lời giải Ta có mx + m 18 + x với x −2 ( m − ) x + m − 18 với x −2; + ) A B Đặt f ( x ) = ( m − ) x + m − 18 Trang m − m Ta có ( m − ) x + m − 18 với x −2; + ) f ( −2 ) m − 2m − m −2 m ( 3) −2 m Vì m nguyên thuộc đoạn −1; 5 nên m −1;0;1;2;3;4 Câu Vậy tổng giá trị nguyên m ( m − 3) x − x − x − 1 ; m có tập nghiệm S Tìm tất giá trị Cho bất phương trình () 2m m m để S ( 3; + ) 1 B m ( −;0 ) ; + 2 1 D m ;1 2 Lời giải ( m − 3) x − x − x − 2m − x m + * Ta có () 2m m 2m 2m 2m − Xét dấu 2m A m = 1 C m 0; 2 m+2 m+2 1 +) Với m ( −;0 ) ; + ta có (*) x Suy S = ; + 2m − 2m − 2 −5m + m+2 1 3 m ;1 Khi S ( 3; + ) 2m − 2m − 2 1 1 Kết hợp điều kiện m ( −;0 ) ; + ta có m ;1 2 2 m+2 1 +) Với m 0; ta có (*) x 2m − 2 m+2 1 Suy S = −; Suy khơng có giá trị m 0; để S ( 3; + ) 2m − 2 +) Với m = ta có (*) x Suy (*) có tập nghiệm S = 2 Ta có ( 3; + ) nên chọn m = 1 Vậy m ;1 thoả mãn yêu cầu toán 2 Câu 10 Tập hợp gồm tất giá trị tham số m để bất phương trình x − ( 5m − ) x + 6m − 10m nghiệm x −1;1 ( −; a b; + ) , với a b , a, b Lúc giá trị nhỏ P = 3t − 4t , t a; b A −10 Trang 10 B −13 C − D 16 Tập nghiệm bất phương trình −1 nghiệm x2 + 5x + m x − 3x + (1) ( ) có tập Tập nghiệm (1) tam thức bậc hai 13 x − 26 x + 14 − m có biệt thức thu gọn = 13(−13 + 13m) m (3) Tập nghiệm ( ) tam thức bậc hai x + x + m + có biệt thức thu gọn = −5 − 3m m − (4) Kết hợp (3) (4), ta có − m Câu 19 Có giá trị nguyên thuộc −10;10 m để bất phương trình mx − x + m vô nghiệm? A B 10 D 11 C Lời giải Chọn A Ta có mx − x + m vô nghiệm mx − x + m , x (I ) Trường hợp : m = , bất phương trình ( I ) thành −4 x x m = không thỏa yêu cầu toán m m0 m 2 4 − m Mà m nguyên m −10;10 nên m 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 Trường hợp : m , mx − x + m , x Vậy có giá trị m thỏa yêu cầu toán Câu 20 Có giá trị m nguyên để bất phương trình 3x − ( m + 1) x − ( 2m2 − 3m + ) nghiệm với x khoảng ( 2; + ) A B D C Lời giải Chọn D Đặt f ( x ) = 3x − ( m + 1) x − ( 2m2 − 3m + ) Ta có f ( x ) tam thức bậc hai với a = ' = ( m + 1) + ( 2m2 − 3m + ) = 7m2 − 7m + với m Do phương trình f ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1 x2 ) Ta có f ( x ) 0, x ( 2; + ) x1 x2 x1 − x2 − ( m + 1) 4 ( x1 − ) + ( x2 − ) x1 + x2 x x − x + x + ( ) ( x1 − )( x2 − ) ( m + 1) 2 − ( 2m − 3m + ) − +40 3 m m5 −2 m 2 − 2m − m + − m Vì m nguyên nên m −2, − 1,0,1 Câu 21 Tìm m để bất phương trình (m − 1) x − 2(m − 1) x + 2m − với x A m ( −;1 B m ( −;1) C m ( −;1 2; + ) D m ( −;1) ( 2; + ) Lời giải Xét (m − 1) x − 2(m − 1) x + 2m − (1) Trang 15 TH1: m = Thay vào (1) ta x − x − với x m = (nhận) TH 2: m m ' ( m − 1)( − m ) (1) nghiệm với x m m m m m Vậy m thỏa yêu cầu tốn Câu 22 Có giá trị ngun m −2020;2021 để bất phương trình mx − ( m − ) x + m − vô nghiệm A 2018 B 2019 C 2020 D 2017 Lời giải Trường hợp 1: m = ta có bất phương trình trở thành x − x (không thỏa mãn) Trường hợp 2: m Bất phương trình vơ nghiệm mx − ( m − ) x + m − 0, x m a m m4 m ( m − ) − m ( m − 3) m u cầu tốn nên có 2017 số 5 m 2021 Câu 23 Có giá trị nguyên tham số m để biểu thức A 19 B 20 ( C Lời giải ) − x2 + 4x − với x x + 2mx + D Ta thấy − x + x − = − x − x + − = − ( x − ) − 0, x nên biểu thức ? − x2 + 4x − 0 x + 2mx + với x x + 2mx + 0, x = m2 − −2 m Mà m nên m −1;0;1 Vậy có số nguyên m thỏa mãn đề ( ) Câu 24 Cho biểu thức f ( x ) = 3x − ( m + 1) x + m + 2m Có giá trị nguyên tham số m −20; 21 để f ( x) với x khoảng ( −2;0 ) ( 2;3) ? B A 37 C 38 Lời giải D 36 x = m 2 Xét f ( x ) = 3x − ( m + 1) x + m + 2m = ( x − m )( x − m − ) = x = m + Ta có bảng xét dấu biểu thức f ( x ) ( Để biểu ) m+2 m + + thức f ( x) với x khoảng ( −2;0 ) ( 2;3) ta có trường hợp sau: x f ( x) + ( −2;0 ) ( − ; m ) m mà m −20; 21 ta có 19 giá trị nguyên m thỏa TH1: ( 2;3) ( − ; m ) mãn đề ( −2;0 ) ( m + 2; + ) m + −2 m −4 mà m −20; 21 ta có 17 giá trị TH2: ( 2;3) ( m + 2; + ) nguyên m thỏa mãn đề Trang 16 ( −2;0 ) ( − ; m ) 0 m 0 m TH3: m = Khi ta có giá trị nguyên m m + m ( 2;3) ( m + 2; + ) thỏa mãn đề Vậy ta có 37 giá trị nguyên m thỏa mãn đề Câu 25 Có giá trị nguyên tham số m đê bất phương trình −1 với x R A B Do x − 3x + x x2 + 5x + m nghiệm x − 3x + D C Lời giải nên x + 5x + m 7 x − 3x + −2 x + x − x + x + m ( x − x + ) −1 −3 x − x − m 13x − 26 x + 14 Đặt f ( x ) = −3x − x − g ( x ) = 13x − 26 x + 14 Khi u cầu tốn thỏa m lớn giá trị lớn f ( x ) = −3x − x − nhỏ giá trị nhỏ g ( x ) = 13x − 26 x + 14 với x 1 m f − = − − m 3 m g (1) = Câu 26 Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để hàm số f ( x ) = ( m − ) x − ( m2 − 2m ) x − m nhận giá trị âm với số thực x Trung bình cộng phần tử S 1 A B C D 3 Lời giải Trường hợp 1: m − = m = Khi f ( x ) = −4 với x (1) Trường hợp 2: m − m Khi f ( x ) với x m − m 2 ( m − 2m ) + 4m ( m − ) m m m m m − −2 m 3 2 m − 4m + 4m + 4m − 8m m − 4m m m −2 m 2; m Do m m 1 ( ) Từ (1) ( ) S = 1; 2 Câu 27 Gọi S tập giá trị tham số m để bất phương trình x − 4mx − 7m − có tập nghiệm a; b cho b − a = Khi tích giá trị m là: Trung bình cộng phần tử S A B − C D − Lời giải Chọn B Ta có: x − 4mx − 7m − ( x − 2m ) 4m2 + 7m + x − 2m 4m + m + m − m + m + x m + m + m + Trang 17 Tập nghiệm bất phương trình là: 2m − 4m2 + 7m + 7; 2m + 4m2 + 7m + Theo đề ta có: b − a = 4m + m + = m = −2 4m + m + = 4m + m − = m=1 2 Vậy tích giá trị m là: −2 1 =− Câu 28 Tìm m để bất phương trình (m − 1) x − 2(m − 1) x + 2m − nghiệm với x A m ( −;1 B m ( −;1) C m ( −;1 2; + ) D m ( −;1) ( 2; + ) Lời giải Chọn A Ta có: (m − 1) x − 2(m − 1) x + 2m − (1) TH1: m = (1) −1 (Đúng) Suy m = nhận TH 2: m (1) nghiệm với x ' ( m − 1)( − m ) m m m m m m Vậy m thỏa đề Câu 29 Tìm tất giá trị m để phương trình mx − ( m − 1) x + m − = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa x12 + x22 + x1 + x2 − 8 A m ( −;1) ; + 5 C m 8 B m ( −;0 ) ( 0;1) ; + 5 8 D m 1; 5 Lời giải Chọn B mx − ( m − 1) x + m − = Ta có: (1) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì: m m m0 m − m + 0, m ' ( m − 1) S = m P = m − m Theo định lý Vi-et ta có: x12 + x22 + x1 + x2 − ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 + x2 − 16 ( m − 1) ( m − ) ( m − 1) 10m2 − 26m + 16 − + − (vì m ) m2 m m m2 Trang 18 m 10m − 26m + 16 m Kết hợp điều kiện m 8 m ( −;0 ) ( 0;1) ; + 5 thỏa đề Ta có 2 Câu 30 Cho bất phương trình ( m − ) x + ( m − ) x + Tập tất giá trị tham số m làm cho bất phương trình vơ nghiệm có dạng ( −; a b; + ) Tính giá trị a.b A − 20 B C −4 D 20 Lời giải Chọn A Xét bất phương trình ( m2 − ) x + ( m − ) x + (1) m = Trường hợp 1: m − = m = −2 Với m = (1) : vô nghiệm Vậy m = thỏa mãn Với m = −2 (1) −4 x + x Vậy m = −2 không thỏa mãn Trường hợp 2: m 2 Bất phương trình (1) vơ nghiệm ( m2 − ) x + ( m − ) x + x R m 10 m −2 a = m2 − m− 10 = m − − m − m − ( ) ( ) m m 10 20 Từ hai trường hợp ta có m −; − 2; + ) Vậy a.b = − 3 x2 + 5x + m Câu 31 Xác định m để với x ta có −1 7 x − 3x + 5 A − m B m C m − D m 3 Lời giải Chọn A x + 5x + m có tập nghiệm Ta có: −1 hệ sau có tập nghiệm x − 3x + 2 x − 3x + x ) (do −1( x − x + ) x + x + m 13x − 26 x + 14 − m (1) có tập nghiệm 2 x + x + m + ( ) x + x + m x − x + ( ) Ta có (1) có tập nghiệm ' −13 + 13m m (3) ( 2) có tập nghiệm ' −5 − 3m m − (4) Trang 19 Từ (3) (4), ta có − m Câu 32 Cho S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho bất phương trình ( m + 1) x + ( 4m + ) x + 4m + có tập nghiệm R Tính số phần tử tập hợp S mx + ( m + 1) x + m A B C 10 D vô số Lời giải Chọn A Nhận thấy, bất phương cho có tập nghiệm R phải có tập xác định R, tức phương trình mx + ( m + 1) x + m = (1) vô nghiệm * Xét m = : không thỏa mãn (1) vô nghiệm * Xét m : (1) vô nghiệm '(1) = 2m + m − Khi mx + ( m + 1) x + m 0, x , ( 2) nên bất phương cho ( m + 1) x + ( 4m + ) x + 4m + mx + ( m + 1) x + m x + 2mx + 3m + Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm R '(3) ( 3) = m2 − 3m − m −1; 4 1 Đối chiếu với ( ) ta m −1; − Vậy S = −1 2 Suy số phần tử tập hợp S Dạng Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối x2 + m Câu 33 Số giá trị nguyên tham số m để bất phương trình nghiệm với giá trị x + 2x + thực x A B Vô số C D Lời giải Chọn C Điều kiện x + x + x D = x2 + m x2 + m (1) −2 2 x + 2x + x + 2x + Ta có x + x + = ( x + 1) + 1; x x + m −2 ( x + x + ) 3 x + x + m + ( ) x2 + m nên −2 2 2 x + 2x + − x − x + m − ( 3) x + m x + x + ( ) Để bất phương trình (1) nghiệm với giá trị thực x bất phương trình ( ) , ( 3) nghiệm với giá trị thực x 1' = − ( m + ) m − ' = + ( m − ) m Vậy có giá trị nguyên tham số m thoả mãn đề m = −2; m = −1; m = 2 Câu 34 Cho bất phương trình x − x + ( m + ) x − + m + 4m + 12 (1) Có giá trị nguyên m thuộc đoạn −10;10 để bất phương trình (1) với x ( −2 ; ) A 12 Đặt x − = t Trang 20 B 13 C 14 Lời giải D 15 Theo −2 x −5 x − Suy x − tức t 0; ) Khi đó, x − x + ( m + ) x − + m + 4m + 12 với x ( −2 ; ) t + ( m + ) t + m + 4m + với t 0; ) 2 Đặt f ( t ) = t + ( m + ) t + m + 4m + = ( t + m + 1)( t + m + 3) Bảng xét dấu: 0 −m − m −1 2 Khi đó, t + ( m + ) t + m + 4m + với t 0; ) 5 −m − m −8 Vì m nguyên thuộc đoạn −10;10 nên m −10; −9; −8;0;1;2 ;10 Vậy số giá trị nguyên m 14 Câu 35 Số giá trị nguyên tham số m để bất phương trình thực x A B Vô số Do x + x + = ( x + 1) + 0, x x2 + m nghiệm với giá trị x2 + x + C D Lời giải x2 + m nên x2 + m ( x2 + x + 2) x +x+2 x + m ( x + x + ) x + x + − m (1) 2 3x + x + + m ( ) −2 ( x + x + ) x + m Ycbt tìm m để bất phương trình (1) , ( ) nghiệm với x (1) ( 2) m 1 − + m 11 11 − m Vì m nên chọn m−3; −2; , 3 1 − 12 − 3m m − Vậy có giá trị m thỏa mãn đề Câu 36 Có giá trị nguyên tham số m −2020; 2020 để bất phương trình 1 − x + x + − m với x 2 A 2020 B 2018 C 4038 D 4039 Lời giải Chọn C 1 x − 2m − − x + x + − m 1 2 BPT x − 2m − − x + x + − m 2 x − 2m − x − x − + m 2 x − 2m − Trang 21 m x2 + x − x2 + 2x − m −1 m − x2 + x x − x + 3m m x2 + x − Ta cần tìm giá trị tham số m cho với x m − x2 + x Vẽ đồ thị hàm số y = x + x − y = − x + x hệ trục tọa độ 1 m − − thỏa mãn ycbt 4 Mặt khác: m −2020; 2020 , m Do m −2020; ; −2; 2; ; 2020 Vậy có tất 4038 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn ycbt Câu 37 Có giá trị nguyên tham số a thuộc đoạn −2021; 2021 để bất phương trình: Dựa vào đồ thị ta tìm m − x + x a ( x + + 1) có nghiệm C 2025 D 2018 Lời giải Đặt t = x + , điều kiện: t Dễ thấy: t = x + x + nên t − = x + x Bất phương trình B 2026 A 4043 cho trở thành: t − a ( t + 1) t − at − a − (1) Đặt f ( t ) = t − at − a − Để bất phương trình x + x a ( x + + 1) có nghiệm bất phương trình (1) phải có nghiệm t Ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình f ( t ) = có nghiệm t = Khi đó: −a − = a = −4 Trường hợp 2: Phương trình f ( t ) = có hai nghiệm trái dấu Khi đó: −a − a −4 Trường hợp 3: Phương trình f ( t ) = có hai nghiệm dương Khi đó: a + 4a + 16 a S a P −a − Vậy để bất phương trình cho có nghiệm a −4 nên có 2026 giá trị nguyên a thỏa mãn yêu cầu toán Câu 38 Cho bất phương trình x + x + x + − m Xác định m để bất phương trình có nghiệm A − Trang 22 17 m −4 B m −4 C m − 17 D m −4 Lời giải Chọn D Đặt t = x + t Khi bất phương trình x + x + x + − m trở thành t + t − m u cầu tốn tương đương với tìm m để bất phương trình t + t − m có nghiệm t Xét hàm số f ( t ) = t + t − 4, t 0; + ) Ta tìm f ( t ) = −4 0; + ) Vậy để bất phương trình t + t − m có nghiệm t m −4 Câu 39 Tìm tập giá trị biểu thức x − a biết x + − 2a + x − + a −1 A ; 2 −1 B ; 2 −7 −1 D ; 2 −7 −1 C ; 2 2 Lời giải Chọn C Đặt y = x − a , bất phương trình cho trở thành 2 y + − y + 2a − 2 y + + y + 2a − 2 y + −3 + y + 2a − −7 + y + 2a − y −1 − y + 2a − −7 −1 + y + 2a − y − y + 2a − 2 2 −7 −1 Suy y ; 2 2 −7 −7 11 + 2a − = a = + y= 2 −1 −1 + 2a − = a = + y= 2 − − Vậy tập giá trị x − a đoạn ; 2 2 Câu 40 Cho hàm số y = x + x + + x − a + , có giá trị nguyên tham số a −10;10 cho giá trị nhỏ hàm số lớn 2? A 20 B 21 D 11 C 12 Lời giải Chọn A Tập xác định: D = Để giá trị nhỏ hàm số y = x + x + + x − a + lớn Tìm a để bất phương trình: x + x + + x − a + , x x − a + − x − x − , x x − a + − x2 − x − , x − x + a − − x − x − x + 3x + a , x x + x −a ( x + x + ) a ( x + x ) − a 1 a − a − −a − a 4 Các giá trị nguyên a −10;10 là: a −10; −9; −8; − 1;1; 2; ;10 , có 20 giá trị cần tìm Dạng Bất phương trình chứa Câu 41 Tìm tất giá trị tham số m để hai bất phương trình x − + − x − + x − x − m + m tương đương A m B m = 2 Trang 23 C m D Khơng có giá trị m thỏa Lời giải Xét bất phương trình x − + − x − + (1) ta có tập xác định 1; + ) Khi (1) tương đương với x −1 + x −1 + − x −1 + 1+ x −1 + + x −1 + Tập nghiệm bất phương trình (1) 1 x −1 + 1+ x −1 + x −1 + x −1 + x = Xét bất phương trình x − x − m + m x − x + m (1 − m ) (2) Ta có vế trái (2) có hai nghiệm x = m , x = − m Để hai bất phương trình x −1 + − x −1 + (1) x − x − m + m ( 2) tương đương m = − m = (vơ lý) Vậy khơng có giá trị m thỏa u cầu tốn Câu 42 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình mx + x + − x + 3x − có nghiệm A −7 m −3 B m −7 C m −3 D m −7 Lời giải − x + 3x − 1 x mx + x + − x + 3x − 2 mx + x + − x + 3x − ( m + 1) x −2 x − 1 x 1 x −2 (*) m + x − x m − x − x − 1 t 1 1 Đặt t = x 1; 2 nên t ;1 Ta có (*) trở thành: x 2 m −4t − 2t − 1 Xét hàm số f ( t ) = −4t − 2t − , t ;1 2 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu toán thỏa mãn m −7 Câu 43 Cho bất phương trình x − x + − x + x − + m − Có giá trị nguyên m không vượt 2021 để bất phương trình nghiệm với x 1; A 2020 C 2017 Lời giải B 2019 D 2018 Chọn D Điều kiện − x + x − x 1; Đặt t = − x + x − ( t 1) suy x − x = −3 − t Ta có bất phương trình −3 − t + t + m − m t − t + (*) Xét f ( t ) = t − t + 0;1 Để bất phương trình cho nghiệm x 1; t 0;1 m Trang 24 bất phương trình (*) nghiệm với m Kết hợp đk toán ta có m 4;5; ; 2021 có 2018 giá trị m 2021 Câu 44 Có số nguyên m 1; 20 cho bất phương trình ( x + )( − x ) x + x + m + nghiệm với x −6; 2 B 16 A 15 D 11 C 14 Lời giải Chọn A Điều kiện ( x + )( − x ) −6 x ( x + )( − x ) x + x + m + − x − x + 12 x + x − 12 + m + 14 Đặt t = − x − x + 12; t 0; 4 Bất phương trình trở thành: t −t + m + 14 t + t − 14 m Xét hàm số f ( t ) = t + t − 14 0; + ) Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta suy m Số giá trị nguyên m 1; 20 15 Câu 45 Tìm giá trị m đề hàm số y = A m = B m x − ( m + 1) x + m2 + xác định m2 x − 2mx + m2 + C m ( −;0 ) D m Lời giải Chọn D x − ( m + 1) x + m + 0 Điều kiện xác định hàm số: m x − 2mx + m + m x − 2mx + m + * Xét tam thức bậc hai f ( x ) = x − ( m + 1) x + m + Ta có f = ( m + 1) − ( m2 + 1) = − ( m − 1) hệ số a = Suy với m ta ln có 2 f ( x ) = x − ( m + 1) x + m + 0, x (1) * Xét biểu thức g ( x ) = m x − 2mx + m + 2 Nếu m = g ( x ) = 0, x Nếu m0 g ( x ) = m x − 2mx + m + tam thức bậc hai Khi g = m2 − m2 ( m2 + ) = −m2 ( m2 + 1) hệ số a = m Trang 25 Suy với m ta có g ( x ) = m x − 2mx + m + 0, x (2) Từ (1) (2) suy với m điều kiện tốn ln xác định với x x − mx + mx + xác định với x C D Lời giải x − mx + Điều kiện bất phương trình cho là: mx + x − mx + 0, x Bất phương trình xác định với x mx + 0, x +) x − mx + 0, x m − 16 m −4; 4 Câu 46 Số giá trị nguyên m để bất phương trình A B +) mx + 0, x TH1: m = : bất phương trình trở thành (ln x ) TH2: m m m m m0 mx + 0, x −4m m Do mx + 0, x m x − mx + 0, x m −4; 4 m 0; 4 Vậy m mx + 0, x Mà m m 0;1; 2;3; 4 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 47 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số a 2020 để bất phương trình ( x + 5)(3 − x) x + x + a nghiệm với x −5;3 Số phần tử S C 2006 Lời giải B 2005 A 2015 D 2016 Điều kiện: ( x + )( − x ) x −5;3 Bất phương trình cho tương đương − x − x + 15 − x − x a Đặt t = − x − x + 15 = − ( x + 1) + 16 t Ta có t = − x − x + 15 − x − x = t − 15 Ta có bất phương trình theo t : t + t − 15 a (*) Bất phương trình cho nghiệm với x −5;3 bất phương trình (*) nghiệm với t 0; 4 a max f ( t ) với f ( t ) = t + t − 15 0;4 Bảng biến thiên: Từ a max f ( t ) = thỏa yêu cầu tốn 0;4 Mà a 2020 , S = 5;6; ; 2020 Trang 26 Vậy S có 2016 phần tử Câu 48 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x3 + 3x − a Chọn D Điều kiện: x BPT ( )( ) ( )( D a ) x + x −1 x1 , x2 1; +) , x1 x2 , ta có x1 + x1 − x2 + x2 − , x + 3x x2 + 3x2 x13 + 3x12 − x23 + 3x2 − ( ) x + x − x3 + 3x − a (1) Đặt f ( x) = x3 + 3x − x − x −1 C a Lời giải B a = A a ( )( Suy x13 + 3x12 − )( ) ( x1 + x1 − x23 + 3x2 − f ( x1 ) f ( x2 ) , x1 , x2 1; +) ) x2 + x2 − Suy f ( x) đồng biến 1; +) Mà f (1) = f ( x ) = x1;+ ) Suy ra: (1) có nghiệm a Câu 49 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = ? A B x − 2mx − 2m + có tập xác định x2 − x + C Lời giải D Chọn D x − 2mx − 2m + 0 x2 − x + Vì x − x + 0, x nên hàm số cho có tập xác định m + 2m − x − 2mx − 2m + 0, x −3 m a 1 Điều kiện xác định hàm số Mà m nên m −3; − 2; − 1;0;1 Vậy có giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán 2+ x = m Tập hợp tất giá trị m để phương Câu 50 Cho phương trình + x + − x − ( − x ) 2− x trình có nghiệm A 2 − 2; B 2 − 2; C 5; 2 − D ; ( ( ) ( Lời giải Điều kiện: −2 x Đặt t = + x + − x với t Khi t = + x + − x + − x − x = t − t − t Mặt khác: t = ( 2+ x + 2− x ) (1 + ) ( + x + − x ) = −2 2 2 t2 Ta có: t 2 Phương trình: 2+ x = m + x + − x − ( + x )( − x ) = m (1) 2− x t2 − Trở thành: t − = m − t + t + = m −t + 2t + = 2m ( ) 2 + x + − x − (2 − x) Trang 27 Xét f ( t ) = −t + 2t + 2; 2 Ta có bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t 2; 2 − 2m 2 − m Vậy m 2 − 2; phương trình (1) có nghiệm Câu 51 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn x − ( m + 1) x + m2 + có tập xác định m2 x − 2mx + m2 + A 2021 B C 2022 Lời giải 2 x − ( m + 1) x + m + 0 Điều kiện xác định: m x − 2mx + m + m x − 2mx + m + 0; 2021 để hàm số: y= D 2020 Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = x − ( m + 1) x + m + Ta có: a f = 0, f = ( m + 1) − ( m2 + 1) = − ( m − 1) 2 Nên f ( x ) = x − ( m + 1) x + m + 0, x , m (1) Xét g ( x ) = m2 x − 2mx + m2 + = ( mx − 1) + m2 + 0, x , m (2) x − ( m + 1) x + m + 0 Từ (1) (2) suy với m m x − 2mx + m + với giá trị x Nên m x − 2mx + m + có tất 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 52 Có giá trị nguyên m khơng lớn 10 để bất phương trình ( x + 5)( − x ) x + x + m nghiệm với x −5;3 A B C 25 Lời giải ( x + 5) + ( − x ) = t D 26 0;4 Khi bất phương trình trở thành: t + t − 15 m ( *) Để bất phương trình cho nghiệm với x −5;3 phương trình ( *) nghiệm Đặt t = ( x + 5)( − x ) với t 0;4 Xét hàm số f ( t ) = t + t − 15 , với t 0;4 Ta có bảng biến thiên Trang 28 Từ bảng biến thiên ta có Max f ( t ) = f ( ) = 0;4 Khi bất phương trình nghiệm với x −5;3 m Max f ( t ) m 0;4 Do m số nguyên không lớn 10 m 5;6;7;8;9;10 Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 53 Tập hợp tất giá trị m để bất phương trình x − x + m + x − x 16 nghiệm x ( 2;5 ) A −2 10 ; 10 C − ; 10 ( ( D ( −2 ) B − ; 10 ) 10 ; 10 Lời giải ĐK: x −1;6 Với điều kiện trên, bất phương trình tương đương với: (1) + x − x + 10 m + x − x Xét (1) + x − x + 10 ( 2;5 ) khoảng 10 m f ( x ) = + 5x − x2 + + 5x − x2 + 5x − x2 Để bất phương trình nghiệm x ( 2;5 ) m f ( x ) Ta có: m x( 2;5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: + 5x − x2 + 10 + 5x − x2 10 Dấu " = " xảy x = ( 2;5 ) Do f ( x ) = 10 , m 10 x( 2;5) Trang 29 ... số y = x + x + + x − a + , có giá trị nguyên tham số a −10;10 cho giá trị nhỏ hàm số lớn 2? A 20 B 21 C 12 Dạng Bất phương trình chứa Câu 41 Tìm tất giá trị tham số m để hai bất phương trình. .. −10;10 để bất phương trình (1) với x ( −2 ; ) A 12 B 13 C 14 D 15 x +m nghiệm với giá trị x +x+2 Câu 35 Số giá trị nguyên tham số m để bất phương trình thực x A B Vô số C D Câu... giá trị nguyên tham số m cho bất phương trình ( m + 1) x + ( 4m + ) x + 4m + có tập nghiệm R Tính số phần tử tập hợp S mx + ( m + 1) x + m A B C 10 D vơ số Dạng Bất phương trình chứa dấu giá