bat phuong trinh dang tich thuong 1mqra

BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, THƯƠNG I Phương pháp giải Bất phương trình dạng tích: A  x  B  x   ; (hoặc A  x  B  x   0; A  x  B  x   0; A  x  B  x   ); Bất phương trình dạng thương: (hoặc A x 0 B  x A x A x A x  0;  0;  ) B  x B  x B  x Định lý dấu nhị thức bậc ax  b  a   : Nhị thức bậc dấu với a x   Nhị thức bậc trái dấu với a x   Do  b a b a b nghiệm nhị thức ax  b nên định lý phát biểu: a Nhị thức ax  b  a   dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức Phương pháp giải bất phương trình dạng tích, thương: Phân tích thành nhân tử chứa nhị thức bậc Lập bảng xét dấu nhị thức bậc ax  b  x ax  b trái dấu với a b a dấu với a II Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải bất phương trình  x  1945  x   * Tìm cách giải: Với tích A.B  xảy A B dấu Do A  B  A  B  Ta có cách giải: Giải Cách 1: Bất phương trình cho tương đương với:  2 x    2 x    x  4,5     x  4,5 1945  x   x  1945   x  1945        2 x    2 x    x  4,5  x  1945     1945  x    x  1945   x  1945 Vậy nghiệm bất phương trình x  4,5; x  1945 * Chú ý: Bằng việc lập bảng xét dấu thừa số tích nhị thức bậc ta có cách 2: Lập bảng xét dấu: 1945 x 4,5 2x     + 1945  x   + +  x  1945  x  +  + Vậy nghiệm bất phương trình: x  4,5 x  1945 Ví dụ 2: Giải bất phương trình  x   x  10    x  x  30 * Tìm cách giải: Ta phân tích vế phải thành nhân tử, xuất nhân tử chung chuyển vế để đưa phương trình tích Giải a) Ta có:  x  x  30   x  x  x  30    x   x  5 Do bất phương trình thành  x   x  10    x   x      x   x  15   Lập bảng xét dấu: 7,5 x x6    + x  15  +  +  x   x  15 +  + Nghiệm bất phương trình là: 7,5  x  Ví dụ 3: Giải bất phương trình x4  36  13x2 sau biểu diễn nghiệm trục số * Tìm cách giải: Chuyển tất vế phân tích vế thành nhân tử giải bất phương trình tích Giải Ta có x4  36  13x2  x4  13x2  36   x  x  x  36    x   x      x   x   x  3 x  3  Lập bảng xét dấu: 3 x x2   2    +  + x2    +  +  + x 3        + x3  +  +  +  + Vế trái +  +  +  x  3 Nghiệm bất phương trình là:  2  x  Biểu diễn nghiệm:  x  2016  x 0 x  x  8 Ví dụ 4: Giải bất phương trình: * Tìm cách giải: Đây bất phương trình dạng thương  2016  x  chia cho x  x   Ta có 2016  x   x  336; x    x  8 Giải ĐKXĐ: x  x  8 Đặt A  2016  x Lập bảng xét dấu: x  x  8 8 x 336 2016  x +  +  +  x    +  + x 8  +  +  + A +    +   8  x  A    x  336 Ví dụ 5: Giải bất phương trình  x  5x  28  2 x  x  15 1 Và biểu diễn nghiệm trục số * Tìm cách giải: Nếu chuyển vế, rút gọn vế trái ta bất phương trình dạng thương Phân tích tử, mẫu thành nhân tử lập bảng xét dấu Giải ĐKXĐ: x  3; x  5 1   x  1 x     x  x  28 x2  x     0 2 x  x  15 x  x  15  x  3 x  5 Lập bảng xét dấu ta có: 5 x 1 x 1    +  +  + x2      +  + x 3        + x5  +  +  +  + Vế trái +   +   +  x  5 Nghiệm bất phương trình  1  x  Biểu diễn nghiệm:  x   5 x  15 2x   1 x      x   : Ví dụ 6: Cho biểu thức A     x  x  2x   x  Tìm x để A  * Tìm cách giải: Khi rút gọn biểu thức tìm x để A  cần lưu ý ĐKXĐ Do sau chia 1 x thành mẫu số nên x  1 Giải Rút gọn A: ĐKXĐ: x  3; x  1; x  4,5 Ta có:  5  x  3  x   1  x     x  A   x  3 x  3   x  x   x    5 1  x     x  x  3 x  3  x  x  31  x       x3 x3 1 x 1 x  x    x Lập bảng xét dấu: 1 x x 3      + 1 x  + | +  + 1 x + | +    A +    +    1  x  Vậy để A    x  3; x  4,5 Ví dụ 7: Giải bất phương trình: 1 1     0 x  x x  3x  x  x  x  39 x  380 * Tìm cách giải: Bất phương trình có ẩn mẫu nên lưu ý ĐKXĐ Ta có x  x  x  x  1 ; x  3x    x  1 x   ; có dạng tổng quát A  A  1 Mà A   A  1 1    Ta phân tích phân thức vế trái rút gọn, A  A  1 A  A  1 A 1 A phân thức dạng thương Giải ĐKXĐ: x  0;1; 2;3; ;19; 20 Biến đổi bất đẳng thức thành: 1 1     0 x  x  1  x  1 x    x   x  3  x  19  x  20   1 1 1       0 x 1 x x  x 1 x  20 x  19  1 20  0  x  20 x x  x  20  Đặt A  20 Lập bảng xét dấu x  x  20  x 20 x  +  + x  20    + A +    + A  x  1; 2;3; ;19  x  20 Ví dụ 8: Giải bất phương trình m5  với m tham số x2 * Tìm cách giải: Bất phương trình có ẩn mẫu có tham số nên phải lưu ý ĐKXĐ biện luận tham số m giải bất phương trình Giải ĐKXĐ: x   m  1  3x  m5 m5 3 3   x2 x2 x2 Ta thấy m   3x   x  Ta có m 1  m  1  3x m 1 m 1   m  Đặt B    m  x2 3 Lập bảng xét dấu: m  m 1 x m   3x +  +  x2  +  + B   +  Với m  ta có nghiệm bất phương trình là:  x  m 1 Lập bảng xét dấu: m  m 1 x m   3x +    x2    + B  +   Với m  ta có nghiệm bất phương trình là: m 1 x2 Ví dụ 9: Tìm giá trị m để nghiệm phương trình sau lớn 3: m3  3 m x 3 * Tìm cách giải: Bài tốn giải phương trình với tham số, tìm nghiệm sau coi tham số m ẩn để nghiệm lớn thực chất giải bất phương trình ẩn m Giải a) Với x  ta có m    x  3  m   x  m  3  4m  * Với m  3 phương trình trở thành x  6 vô nghiệm * Với m  3  x  4m  m3 Để x  ta phải có: Đặt C  4m  4m  m3 3 3   0 m3 m3 m3 m3 Lập bảng xét dấu m3 3 m m3  +  + m3    + C +   + Để x  m  m  3 III Bài tập vận dụng 23.1 Giải bất phương trình x2  3x   x  biểu diễn nghiệm trục số Hướng dẫn giải – đáp số Biến đổi thành x  x     x   x  3  Cách 1: Lý luận x   x   (do x   x  2, x ) Cách 2: Lập bảng xét dấu Ta có kết 3  x  Biểu diễn nghiệm trục số: 23.2 Giải bất phương trình sau: a) 19 x  8  x  3x   30  x   ; b) 10  x  x  2001  3x  25x  50  100  x Hướng dẫn giải – đáp số a) Lập bảng xét dấu Nghiệm x   30 ;  x  x  19 b) Nhận xét: 3x  25 x  50   3x  5 x  10    10  x  3x  5 Mặt khác 100  x  10  x 10  x  Do ta biến đổi BPT  10  x  x  2001  10  x  3x    10  x 10  x    10  x  x  2016    x  10 Giải bất phương trình   x  2016 23.3 Giải bất phương trình biểu diễn nghiệm trục số a) x3  x2  26 x  24  ; b) x  x  22 x  36   x3  3 Hướng dẫn giải – đáp số Đây bất phương trình bậc ba bốn Ta chuyển vế sử dụng hệ định lý Bézout (nhẩm nghiệm) để phân tích vế trái thành nhân tử a) BPT   x   x  3 x    3  x  Lập bảng xét dấu tìm nghiệm:  x  b) Chuyển vế biến đổi BPT   x  1 x   x  3 x     x  2 Lập bảng xét dấu tìm nghiệm:  1  x  Biểu diễn nghiệm:  x  23.4 Giải bất phương trình sau biểu diễn nghiệm trục số a)  x  1 x  38 x    ; b)  x  1 x   x   x    18 ; c)  x  3x    x  3 x    30 Hướng dẫn giải – đáp số a) Nhân vào nhân tử thứ nhất, nhân vào nhân tử thứ hai nhân vào vế phải ta được: BPT   x   x   x    72 Đặt 8x   y ta có:  y  1 y  1 y  72   y  1 y  72   y  y  72    y   y    Do y    x     0, x nên y   Hay  y  3 y  3  Thay y  8x  vào ta có: 8 x  8 x  8  Giải 1  x   (Bạn đọc tự biểu diễn nghiệm trục số) b) Nhân vào nhân tử thứ nhất, nhân vào nhân tử thứ hai nhân vào vế phải ta được: BPT   x   x   x   x    72   x   x     x   x     72  16 x  36 x  14 16 x  36 x  20   72 Đặt 16 x  36 x  17  y ta có:  y  3 y  3  72   y  81    y   y    81 23  4 Do y   16 x2  36 x  26   x   2.4 x  2  23    4x     0, x từ ta có y   2  Hay 16 x  36 x    x  x     x  1 x     x  Giải bất phương trình  (Bạn đọc tự biểu diễn nghiệm)  x  c) BPT   x  1 x   x  3 x    30   x   x   x  3 x    120   x  14 x  10  x  14 x  12   120  Đặt x  14 x  11  y ta có  y  1 y  1  120   y  112    y  11 y  11  Do y  11  x2  14 x  22   x   2.2 x  49 39  4  39    2x     0, x 2  Do y  11  hay x  14 x   x  x     x  3,5 Giải bất phương trình  (Bạn đọc tự biểu diễn nghiệm) x  23.5 Giải bất phương trình: a)  x   x   x    96 ; b) x   26  x  x    3x3  x  x ; c) x  x3  27   x  1   x3  27  Hướng dẫn giải – đáp số a) BPT   x   x    96  x8  12 x  32  96   x8  x  16 x  64    x  16  x    Do x   0, x nên x  16    x   x    x    Do x   0, x nên  x   x     2  x  * Chú ý: Câu a) dùng phương pháp đặt biến phụ: Đặt x   y ta có  y   y    96  y   96   y  100    y  10  y  10   Do y  10  x   10  x   0, x nên y  10  hay x4  16  giải ta 2  x  b) Để ý x4   x4  x2   x2   x2  2   x  2   x  x   x  x   Do có  x     x  x    3x  26     x  x   x  x     x  x    3x  26     x  x   x  x  24     x  x    x   x  3  Do x  x    x  1   0, x nên ta xét  x  3 x   x  8 x  3    c) BPT   x3  27  x  x      x  3  x  3x    x   x  3  27 Ta có x  3x    x     0, x Vậy  x  3 x  3 x    2   3  x  Giải bất phương trình ta có nghiệm:  x  23.6 Giải bất phương trình 2 x  0 1945  70 x Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ x   389 Lập bảng xét dấu: 14 Nghiệm bất phương trình là:  389 x 14 23.7 Giải bất phương trình: a)  5x  2; x4 b) 3x 2x 1 ;  1 x2 x2 c) ;  x 8 x 6 d) 2x   x  x 1 Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ x  BPT  x   5x  3x 20 0 x4 x4  x  3 b) ĐKXĐ x  2 ; BPT  11x    x   x    x  2 Lập bảng xét dấu ta tìm    x   11 c) ĐKXĐ x  x  BPT  6  x   x  10 0  x  8 x    x  10 d) ĐKXĐ x  x  BPT   x  3 x     x  1 x  3  x  3 Lập bảng xét dấu, nghiệm 1  x   x  23.8 Tìm x để  x3  x 5 Hướng dẫn giải – đáp số x3 5  x   x    x3 3 5   x    x  x 5 x3    x   x  23.9 Cho A  x  x 1     x 1 x    x  x 1      x 1 x    x  2016   Rút gọn A sau tìm giá trị x để A  Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ x  ; x  1 Rút gọn:  x  2016  x2  x  10   x  2016   x  x  5 A   8x 1  x  Do x  x    x  1   0, x nên A    x  2016 Giải  x   x x  2016 0 1  x  x  1 x3  27 x  3x    23.10 Cho B   : x2   x2  x   x  x  27 Tìm x để B  2015 Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x  3; x  2 Rút gọn B  B  2015  2 x x3 2 x 2 x 2016 x  6043  2015   2015   0 x3 x3 x3 Giải bất phương trình được: 3  x   6043 2016 23.11 Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm khơng âm  5m x2 Hướng dẫn giải – đáp số Với x  ta có:    m  x    x  m  5  2m  13 * Với m  phương trình trở thành x  3 vơ nghiệm * Với m   x  Để x  ta phải có 2m  13 m5  m  6,5 2m  13 0 m5 m  23.12 Giải bất phương trình sau: x2              x  4           10  15  21  28  Hướng dẫn giải – đáp số 1      Ta có   1   1  1  1  1  1    10  15  21  28           1  1  1  1  1  1  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8   4 10 18 28 40 54 1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9   2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 Do bất phương trình trở thành x2 x    x  3x  28  7   x   x    Giải bất phương trình ta được: 4  x  23.13 Giải bất phương trình sau: 2  x  x  1945 1   1     1975         99.100  99 100   1.2 3.4  51 52 Hướng dẫn giải – đáp số Xét 1 1 1 1           1.2 3.4 99.100 99 100 1 1 1  1              99 100 100  2 1 1 1  1  1 1         1           99 100  50  51 52 99 100 Vậy x  x  1945  1975  x  x  30    x   x     x  6 Giải bất phương trình  x  23.14 Giải bất phương trình sau: 2a 1  x   a x x 1    a  a 1 a 1 a  a 1  a3 Hướng dẫn giải – đáp số Với a  1 BPT  x x 2a  2ax  a     a2  a  a  a2  a  a2  a  1  a3  1 a  2ax  2a   0 a  a  a   a  1  a  a  1  a   a  a   a  2ax  2a 2ax 0 0  a  1  a  a  1  a  1  a  a  1 2ax Do a  a    a     0, a nên ta xét 0 2 a 1  a a có: Nếu a  1 a   nghiệm x  a 1 a 1 Xét dấu Nếu 1  a  a  có nghiệm x  a 1 Nếu a  bất phương trình trở thành x  vô nghiệm      1 23.15 Cho A    1   1  1    18  30   260  6 6   1    B  1  1  1   1        10  Tìm x để B  x2  A 30 Hướng dẫn giải – đáp số      1  1   1 Ta có A    1   1.8  2.9  3.10   13.20  6 6  14 24 36 266 2.7 3.8 4.9 14.19  1.8 2.9 3.10 13.20 1.8 2.9 3.10 13.20  2.3.4 13.14 7.8.9 18.19 49  1.2.3 12.13 8.9.10 19.20 10 B 15 99 1.3 2.4 3.5 9.11  2.2 3.3 4.4 10.10 2.2 3.3 4.4 10.10  1.2.3 8.9 3.4.5 10.11 11  2.3.4 9.10 2.3.4 9.10 20 11 x  49 33 x  294      33  x   294  20 60 60 30 10 60  37  x  298  18,5  x  149 23.16 Giải bất phương trình x 3 3 x 1 (Thi tuyển sinh lớp 10 THPT Thừa Thiên –Huế, năm học 2001 – 2002) Hướng dẫn giải – đáp số x 3 x 3 x   3x  2 x 2x 3 3   0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Lập bảng xét dấu: x 2x  +  + x 1    + VT +    + Vậy x  1; x  nghiệm bất phương trình 23.17 Giải bất phương trình  x2     2 x  x 1 x  x  (Khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp huyện Thường Tín – Hà Nội, năm học 2010 -2011) Hướng dẫn giải – đáp số 3 x2     2 x  x 1 x  x  x2          1    1    1  0 x   x 1   x    x    x2  x2  x2  x2     0 x2  x2  x2  x2  1     x2  4     0  x  x 1 x  x     x   x     2  x  1 1     x  x 1 x  x 