18 bài tập góc giữa hai đường thẳng file word có lời giải chi tiết

18 tập - Góc hai đường thẳng - File word có lời giải chi tiết Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA, SB, SC đơi vng góc với SA = SB = SC = a Tính góc hai đường thẳng SM BC với M trung điểm AB A 30° B 60° C 90° D 120° Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính góc hai đường thẳng CI AC, với I trung điểm AB A 10° B 30° C 150° D 170° Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Các tam giác SAB, SAD, SAD tam giác vng A Tính cosin góc hai đường thẳng SC BD biết SA = a , AB = a , AD = 3a A B 130 C 130 D Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính cosin góc hai đường thẳng SD BC biết AD = DC = a , AB = 2a , SA = A 42 42 B 42 C 2a 42 D Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng AB CI với I trung điểm AD A B C D Câu Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh đáy a Biết góc tạo cạnh bên mặt đáy 60° H hình chiếu đỉnh A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') , H trùng với trung điểm cạnh B ' C ' Góc BC AC ' α Giá trị tan α là: A B −3 C D −1 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Gọi M trung điểm SC, góc tạo hai đường thẳng AM CD ϕ Giá trị biểu thức P = tan α cos −2 α bằng: A B C D 10 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết SA = a , AB = a , BC = a Gọi I trung điểm BC Cosin góc đường thẳng AI SC là: A B − C D Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a ( SAB ) vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Cosin góc đường thẳng SM DN là: A −2 B C − D Câu 10 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài tất cạnh a góc BAD, DAA ' , A ' AB 60° Gọi M, N trung điểm AA ', CD Gọi α góc tạo hai đường thẳng MN B ' C , giá trị cos α bằng: A B C D 10 Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC tam giác vuông B với AB = 2a , BC = 2a , mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy góc 60° Với N trung điểm AC, cosin góc đường thẳng SN BC là: A cos ( SN , BC ) = C cos ( SN , BC ) = B cos ( SN , BC ) = D cos ( SN , BC ) = Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Gọi M trung điểm SỬ DỤNG, cosin góc đường thẳng CM SB là: A B 2 C D Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB = 2a AD = 3a Tam giác SAB vuông cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Gọi ϕ góc đường thẳng SC AB Khẳng định sau A cos ϕ = B cos ϕ = 11 C cos ϕ = 11 D cos ϕ = 2 Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc B ' lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H cạnh AB Biết khoảng cách đường thẳng AB B ' C a Gọi ϕ góc đường thẳng B ' C AA ' Chọn khẳng định A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = 2 D cos ϕ = Câu 15 Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vng A có AB = a AC = a Biết A ' C = a N trung điểm AA ' Góc đường thẳng A ' C BN ϕ Khẳng định sau A cos ϕ = 14 B cos ϕ = 14 28 C cos ϕ = 14 D cos ϕ = 14 14 Câu 16 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB = a AA ' = b Biết góc hai đường thẳng AB ' BC ' 60°, giá trị b tính theo a bằng: A a B a C a D 2a Câu 17 Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm BC AD, biết AB = a , CD = a , MN = a Số đo góc hai đường thẳng AB CD là: A 30° B 45° C 60° D 90° Câu 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân C, CA = CB = a SA vng góc với đáy, gọi D trung điểm AB, góc tạo hai đường thẳng SD, AC ϕ Biết SA = a , giá trị biểu thức P = tan α bằng: A − 13 B 13 C 14 D − 14 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn đáp án B Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM Và cắt đường thẳng SA N · Do (·SM , BC ) = (·BN , BC ) = NBC Ta có SM / / BN M trung điểm AB Nên SN = SA = SC = a ⇒ NC = a NB = 2SM = a Mà BC = SB + SC = a ⇒ ∆NBC tam giác · Vậy NBC = 60° ⇒ (·SM , BC ) = 60° Câu Chọn đáp án B · Ta có I trung điểm AB nên (·CI , CA ) = ICA Xét tam giác AIC vng I, có AI = · = Suy sin ICA AB AC AI = ⇔ = 2 AC IA · = ⇒ ICA = 30° ⇒ (·CI , CA ) = 30° CA Câu Chọn đáp án D Ta có tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vuông A Nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) Gọi O = AC ∩ BD Và M trung điểm SA Do OM / / SC · Hay SC / / ( MBD ) nên (·SC , BD ) = (·OM , BD ) = MOB BM = AM + AB = Có SA2 a , + AB = MO = SC a 13 = 2 BO = BD a 10 Áp dụng định lý cosin tam giác MOB = 2 · Ta BM = OM + OB − 2OM OB.cos MOB OM + OB − BM · ⇔ cos MOB = = 2OM OB 130 Câu Chọn đáp án C Gọi M trung điểm AB Ta có AM = AD = DC = a Mà AB song song với CD nên AMCD hình vng cạnh A · Do DM song song với BC Suy (·SD, BC ) = (·SD, DM ) = SDM Lại có SM = SA2 + AM = a 21 Và DM = a 2, SD = SA2 + AD = a 21 Áp dụng định lý cosin tam giác SDM, ta SD + DM − SM · cos SDM = = 2.SD.DM 42 Câu Chọn đáp án C Gọi H trung điểm BD Ta có IH / / AB ⇒ AB / / ( HIC ) a a · Nên (·AB, CI ) = (·IH , IC ) = HIC Mà IH = , CH = CI = 2 Áp dụng định lý cosin tam giác HIC, ta được: a 2  ÷ HI + CI − HC 3 · cos HIC = =   = ⇒ cos (·AB, CI ) = 2.HI CI 6 a a 2 Câu Chọn đáp án A Ta có A ' H hình chiếu AA ' lên mặt phẳng đáy Do (·AA ', ( ABC ) ) = (·AA ', A ' H ) = ·AA ' H = 60° Lại có A ' H = nên AB ' = Và AA ' = a a a ⇒ AH = tan 60° = = B'H 2 a A' H = a ⇒ AC ' = a cos 60° Mặt khác (·BC , AC ') = (·AC ', B ' C ' ) = ·AC ' B ' = α AC '2 + B ' C '2 − AB '2 = Do cos α = AC '.B ' C ' Suy tan α = −1 = cos α Câu Chọn đáp án D Gọi N trung điểm SD Khi MN / / SD Ta có CD ⊥ ( SAD ) ⇒ MN ⊥ ( SAD ) ⇒ MN ⊥ AN  π · · Do ( AM , CD ) = ( AM , MN ) = ·AMN ∈  0; ÷  2 SD SA2 + AD 3a + a Ta có AN = = = =a 2 Và MN = CD a AN a = nên tan α = = a : = 2 MN Khi P = tan α = tan α ( + tan α ) = 10 cos α Câu Chọn đáp án A Gọi H trung điểm SB ⇒ IH song song với SC Do SC / / ( AHI ) ⇒ (·AI , SC ) = (·AI , HI ) = ·AIH Ta có AI = AB + BI = AH = a SC IH = = 2 SA2 + AC =a AB + AS BS a − = Áp dụng định lý cosin tam giác AHI , có cos ·AIH = AI + HI − AH = = AI HI 3 Câu Chọn đáp án D Kẻ ME song song với DN với E ∈ AD suy AE = a Đặt ϕ góc hai đường thẳng SM, DN nên (·SM , ME ) = ϕ Gọi H hình chiếu S lên AB Ta có SH ⊥ ( ABCD ) Suy SH ⊥ AD ⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ SA Do SE = SA2 + AE = 5a a a ME = ⇒ SE = 2 · Tam giác SME cân E, có cos α = cos SME = Câu 10 Chọn đáp án D  AD '/ / B ' C Ta có  với P trung điểm DC '  MN / / A ' P · 'P Suy (·MN , B ' C ) = (·A ' P, A ' D ) = DA · · Vì BAD = DAA ' = ·A ' AB = 60° cạnh hình hộp a Do A ' D = a, C ' D = C ' A ' = a A ' D + A ' C '2 DC '2 5a Suy A ' P = − ⇒ A' P = Áp dụng định lý cos cho tam giác A ' DP , ta có cos α = A ' D + A ' P − DP = A ' D A ' P 10 Câu 11 Chọn đáp án B Gọi M trung điểm AB Khi MN / / BC Mặt khác MN = BC = a 3; AC = AB + BC = 4a ⇒ AN = 2a Lại có  BC ⊥ SA · ⇒ BC ⊥ ( SBA ) ⇒ SBA = (· ( SBC ) , ( ABC ) ) = 60°  BC ⊥ AB  Do SA = AB tan 60° = 2a Do SM = SA2 + AM = a 13 Do MN / / BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SM ⊥ MN · = Suy cos SNM MN a 3 = = = cos ( SN , BC ) SN 3a + 13a Câu 12 Chọn đáp án A Gọi O tâm đáy OM / / SB Mặt khác SB = SA2 + AB = 2a = SD ⇒ OM = a ; OC = AC a Lại có CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD = 2 Khi CM = CD + DM = a cos OMC = OM + MC − OC = = cos ( OM , MC ) 2.OM MC Do cos ( SB, CM ) = Câu 13 Chọn đáp án B Gọi H trung điểm AB ta có: SH ⊥ AB Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD ) Ta có: SH = AB =a (do tam giác SAB vuông S) Do AB / / CD ⇒ (·SC , AB ) = (·SC , CD ) Ta có: SC = SH + HC = SH + HB + HC = a 11; SD = SH + HD = a 11 · = Khi cos SCD SC + CD − SD 1 = ⇒ cos ϕ = SC.CD 11 11 Câu 14 Chọn đáp án D Ta có: B ' H ⊥ AB, CH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( B ' HC ) +) Dựng HK ⊥ B ' C ⇒ HK ⊥ AB ⇒ HK = +) Mặt khác: a 1 a = + ⇒ B'H = 2 HK B'H HC Do AA '/ / BB ' ⇒ (·B ' C , AA ' ) = (·B ' C , BB ' ) Ta có: BB ' = a , BC = a, B ' C = a · 'B Khi cos (·B ' C , AA ' ) = cos CB = B ' C + BB '2 − BC 2 = B ' C.BB ' Câu 15 Chọn đáp án A Ta có BC = AB + AC = 2a Mặt khác AA ' = A ' C − AC = 2a Gọi M trung điểm BB ' Dễ thấy BN / / A ' M Khi (·BN , A ' C ) = (·A ' M , A ' C ) Ta có: A ' M = A ' B '2 + B ' M = a 2; A ' C = a CM = BC + BM = a · 'C = Do cos MA Do cos ϕ = A ' M + A ' C − MC 14 = A ' M A ' C 14 Câu 16 Chọn đáp án A Dựng đường thẳng BD / / AB ' cắt A ' B ' D Vì góc AB ' BC ' 60° nên ta có ·  DBC ' = 60° · , BC ' =  (·AB ', BC ') = BD ·  DBC ' = 120° Ta có BD = AB ' = BC ' nên BD = BC ' = a + b · ' C ' = 120° Vì ·A ' B ' C ' = 60° nên DB Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác DB ' C ' , có DC '2 = B ' D + B ' C '2 − B ' D.B ' C '.cos120° Hay DC ' = a · • Nếu DBC ' = 60° ⇒ BD = BC ' ⇒ a + b = a ⇔ b = 2a ⇔ b = a · Nếu DBC ' = 120° ⇒ b = (loại) Câu 17 Chọn đáp án C Gọi I trung điểm AC  IM / / AB · ⇒ ( AB, CD ) = (·IM , IN ) Ta có   IN / / CD · Đặt MIN = α Xét tam giác IMN, có IM = AB a CD a a = , IN = = , MN = 2 2 IM + IN − MN = −