THÔNG TIN TÀI LIỆU
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 2 sin x = − cos x 2 sin x + cos x = ⇒ 2 cos x = − sin x 1 = + tan x ⇒ tan x = −1 cos x cos x 1 = + cot x ⇒ cot x = −1 sin x sin x tan x.cot x = ⇒ cot x = tan x sin x + cos x = − 2sin x cos x 6 2 sin x + cos x = − 3sin x cos x sin x + cos3 x = ( sin x + cos x ) ( − sin x cos x ) 3 sin x − cos x = ( sin x − cos x ) ( + sin x cos x ) II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Góc I + + + + sin x cos x tan x cot x Góc II + − − − Góc III − − + + III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT Hai cung đối cos ( − x ) = cos x sin ( − x ) = − sin x tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x Hai cung bù sin ( π − x ) = sin x cos ( π − x ) = − cos x tan ( π − x ) = − tan x cot ( π − x ) = − cot x Hai cung phụ π sin − x ÷ = cos x 2 π tan − x ÷ = cot x 2 Hai cung π π cos − x ÷ = sin x 2 π cot − x ÷ = tan x 2 sin ( π + x ) = − sin x cos ( π + x ) = − cos x tan ( π + x ) = tan x cot ( π + x ) = cot x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Góc IV − + − − Hai cung π π sin + x ÷ = cos x 2 π tan + x ÷ = − cot x 2 Với k số ngun ta có: sin ( x + k 2π ) = sin x π cos + x ÷ = − sin x 2 π cot + x ÷ = − cot x 2 cos ( x + k 2π ) = cos x tan ( x + kπ ) = tan x cot ( x + kπ ) = cot x IV CÔNG THỨC CỘNG sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y tan ( x + y ) = tan x + tan y − tan x tan y sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y tan ( x − y ) = tan x − tan y + tan x tan y Đặc biệt: sin x = 2sin x cos x 2 2 TH1: Cơng thức góc nhân đơi: cos x = cos x − sin x = cos x − = − 2sin x tan x tan x = − tan x − cos x + cos x ;cos x = Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin x = 2 sin x = 3sin x − 4sin x TH2: Công thức góc nhân ba: cos x = cos x − 3cos x V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x+ y x− y cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin cos 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = cos sin 2 Chú ý: π π sin x + cos x = sin x + ÷ = cos x − ÷ 4 4 π π sin x − cos x = sin x − ÷ = − cos x + ÷ 4 4 cos x + cos y = cos cos ( x + y ) + cos ( x − y ) 2 sin x sin y = − cos ( x + y ) − cos ( x − y ) sin x cos y = sin ( x + y ) + sin ( x − y ) cos x sin y = sin ( x + y ) − sin ( x − y ) cos x cos y = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word u = v + 2kπ sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π u = v + k 2π cos u = cos v ⇔ u = −v + k 2π u = v + kπ tan u = tan v ⇔ π u ≠ + kπ Đặc biệt: u = v + kπ cot u = cot v ⇔ u ≠ kπ sin x = ⇔ x = kπ cos x = ⇔ x = π + kπ π + k 2π cos x = ⇔ x = k 2π π sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π Chú ý: Điều kiện có nghiệm phương trình sin x = m cos x = m là: −1 ≤ m ≤ sin x = ⇔ x = Sử dụng thành thạo câu thần “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa phương trình dạng sau phương trình bản: π π sin u = cos v ⇔ sin u = sin − v ÷ cos u = sin v ⇔ cos u = cos − v ÷ 2 2 sin u = − sin v ⇔ sin u = sin ( −v ) cos u = − cos v ⇔ cos u = cos ( π − v ) cos x = cos x = ±1 ⇔ Đối với phương trình khơng nên giải trực tiếp phải giải phương trình sin x = sin x = ±1 thành phần, việc kết hợp nghiệm khó khăn Ta nên dựa vào công thức sin x + cos x = để cos x = sin x = ⇔ ⇔ sin x = biến đổi sau: cos x = sin x = cos x = ⇔ cos x − = ⇔ cos x = Tương tự phương trình sin x = 1 − 2sin x = Bài Giải phương trình sau π cos x − ÷ = − 4 π cos x + ÷− = 3 π 2sin x − ÷+ = 6 π tan − x ÷ = 3 Hướng dẫn giải: π π 3π cos x − ÷ = − ⇔ cos x − ÷ = cos 4 4 π 3π Ta xác định phương trình u = x − , v = , nên dựa vào cơng thức nghiệm ta có 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x− π 3π π 3π = + k 2π x − = − + k 2π 4 4 Vậy nghiệm phương trình là: x = π + k 2π ; x = − π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) π π π π 2sin x − ÷+ = ⇔ sin x − ÷ = − ⇔ sin x − ÷ = sin − ÷ 6 6 6 3 π π π x − = − + k 2π x = − 12 + kπ ⇔ ⇔ ( k ∈¢) x − π = 4π + k 2π x = 3π + kπ π π π π cos x + ÷− = ⇔ cos x + ÷ = ⇔ cos x + ÷ = cos 3 3 3 π π π x + = + k 2π x = − 12 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢) π x + π = − π + k 2π x = − + k 2π 12 π π π π tan − x ÷ = ⇔ tan − x ÷ = ⇔ tan − x ÷ = tan 3 3 3 π π π ⇔ − x = + kπ ⇔ x = − kπ , ( k ∈ ¢ ) 6 Chú ý: Đối với phương trình tan x = m ( tan x = m ) , m số điều kiện cos x ≠ ( sin x ≠ ) không cần thiết Bài Giải phương trình sau π sin x = sin x + ÷ 4 π π tan x − ÷ = tan x + ÷ 4 6 π π sin x − ÷ = cos x + ÷ 6 4 π π cot x − ÷+ tan − x ÷ = 4 6 Hướng dẫn giải: π π x = − − k 2π x = x + + k 2π π 4 ⇔ ,( k ∈¢) sin x = sin x + ÷ ⇔ π π π 4 x = + k x = π − x − + k 2π 4 π 2π 5π 2π 2x + = − x + k 2π x= +k π 2π 36 − x ÷⇔ ⇔ PT ⇔ cos x + ÷ = cos 4 x + π = − 2π + x + k 2π x = − 11π + k 2π 12 Do PT có dạng tan u = tan v nên ta cần điều kiện cos u ≠ cos v ≠ Để đơn giản ta chọn điều π π π π kiện: cos x + ÷ ≠ ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ Khi đó: 6 π π π π 5π π tan x − ÷ = tan x + ÷ ⇔ x − = x + + kπ ⇔ x = + k ,( k ∈¢) 4 6 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 5π π + k ,( k ∈¢) 24 Do biến đổi PT dạng tan u = tan v nên ta cần điều kiện cos u ≠ cos v ≠ Để đơn giản ta chọn điều kiện: π π π π cos − x ÷ ≠ ⇔ − x ≠ + kπ ⇔ x ≠ − − kπ 6 Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: x = π π π 3π PT ⇔ cot x − ÷ = tan x − ÷ ⇔ tan x − ÷ = tan − 2x ÷ 4 6 6 π 3π 11π π ⇔ x− = − x + kπ ⇔ x = + k ( k ∈¢) 36 Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: x = 11π π + k ,( k ∈ ¢) 36 Bài Giải phương trình sau ( + 1) cos x + = x − ( + ) tan x + = cos x − tan cos x + 5sin x − = π 2 sin x − ÷ = cos x 4 Hướng dẫn giải: π x = ± + k 2π cos x = ⇔ PT ⇔ ( k ∈¢) π x = ± + k 2π cos x = sin x = ( lo¹i ) PT ⇔ ( − sin x ) + 5sin x − = ⇔ 2sin x − 5sin x + = ⇔ sin x = ( t / m ) π 5π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) Vậy phương trình có nghiệm: x = + k 2π x = 6 tan x = sin x = ( lo¹i ) ⇔ 2sin x − 5sin x + = ⇔ PT ⇔ tan x = sin x = 2 Vậy phương trình có nghiệm: x = π 5π + k 2π x = + k 2π , ( k ∈ ¢ ) 6 π − cos x − ÷ π π + cos x PT ⇔ = ⇔ sin x = − cos x ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + k 2 Bài Giải phương trình sau x x sin x + cos x = sin x − sin + cos = − 2sin x 2 π 4 ( sin x + cos x ) − cos − x ÷ = sin x + cos x = cos x Hướng dẫn giải: 1 PT ⇔ − 2sin x cos x = sin x − ⇔ − sin 2 x = sin x − 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word sin x = −1 π π ⇔ sin 2 x − 2sin x − = ⇔ ⇔ x = − + k 2π ⇔ x = − + kπ , ( k ∈ ¢ ) sin x = ( lo¹i ) sin x = 2 ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) PT ⇔ − sin x = − 2sin x ⇔ sin x − 4sin x = ⇔ sin x = ( lo¹i ) sin x = PT ⇔ 1 − sin x ÷− sin x = ⇔ sin x + sin x − = ⇔ sin x = −2 ( lo¹i ) ⇔ 2x = π π + k 2π ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) PT ⇔ − 3sin x cos x = − 2sin 2 x ⇔ − sin 2 x = − 2sin 2 x π ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k , ( k ∈ ¢ ) Bài Giải phương trình sau sin x + cos x + sin x cos x = 4 cos x = sin x − 4 ( sin x + cos6 x ) − sin x cos x − 2sin x − ) cos x − 2sin ( cos x − x π − ÷ =1 Hướng dẫn giải: sin x = −1 2 PT ⇔ − sin x + sin x = ⇔ sin x − sin x − = ⇔ 2 sin x = ( lo¹i ) ⇔x=− π + kπ , ( k ∈ ¢ ) (A-2006) Điều kiện: = ( A 06 ) π x ≠ + k 2π − 2sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ 3π + k 2π PT ⇔ ( sin x + cos6 x ) − sin x cos x = ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin x = sin x = π ⇔ 3sin x + sin x − = ⇔ ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) sin x = − ( lo¹i ) 5π + k 2π Kết hợp nghiệm ta thu nghiệm phương trình x = cos x = 4 PT ⇔ cos x = − cos x − ⇔ cos x + cos x − = ⇔ cos x = − ( lo¹i ) π π π ⇔ cos x − = ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word π + k 2π π x π PT ⇔ − cos x − 2sin − ÷ = cos x − ⇔ − cos x − 1 − cos x − ÷÷ = −1 2 4 Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ ± ( ) π π ⇔ cos x − cos − x ÷ = ⇔ cos x − sin x = ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) 2 Bài Giải phương trình sau sin x + cos x − sin x = (D-2013) sin x + cos x = (B-2013) sin x + cos x = + sin x (A-2014) cos 3x + cos x − cos x − = (D-2006) Hướng dẫn giải: PT ⇔ sin x − sin x + cos x = ⇔ cos x sin x + cos x = ⇔ cos x ( 2sin x + 1) = π π x = + k cos x = π ⇔ ⇔ x = − + k 2π sin x = − x = 7π + k 2π PT ⇔ sin x + + cos x = ⇔ cos x = − sin x ⇔ cos x = sin ( −5 x ) π 2π π x = − − k x = + x + k π π ⇔ cos x = cos + x ÷ ⇔ ⇔ ( k ∈¢) π π 2 x = − + k π x = − − x + k 2π 14 PT ⇔ sin x + cos x = + 2sin x cos x ⇔ sin x ( − cos x ) + ( cos x − 1) = sin x = ( lo¹i ) π ⇔ ( sin x − ) ( − cos x ) = ⇔ ⇔ x = ± + k 2π cos x = PT ⇔ cos 3x − cos x + cos x − = ⇔ −2sin x sin x − 2sin x = x = kπ sin x = sin x = ⇔ sin x ( sin x + sin x ) = ⇔ ⇔ ⇔ x = ± 2π + k 2π sin x + sin x = cos x + = MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c Cách giải: Chia hai vế phương trình cho → a a + b2 C1: Đặt sin x + a a2 + b2 b a + b2 = cos α , cos x = b a2 + b2 a + b2 c a + b2 = sin α Khi PT ⇔ sin ( x + α ) = c a + b2 →x=? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a C2: Đặt = sin β , b c = cos β Khi PT ⇔ cos ( x − β ) = a +b a +b Điều kiện có nghiệm phương trình: a + b ≥ c 2 2 a + b2 →x=? Chú ý: Khi phương trình có a = c b = c dùng cơng thức góc nhân đơi sử dụng phép nhóm nhân tử chung Bài Giải phương trình sau cos x + sin x = 2sin x + cos x = cos x − sin 3x = sin x + cos x = sin x Hướng dẫn giải: Nhận xét: Trong PT ta xác định hệ số a = 1, b = 3, c = thỏa mãn điều kiện a + b ≥ c a + b = 12 + phương trình có nghiệm Để giải PT ta cần chia hai vế cho ( 3) = π x = + k 2π π 12 PT ⇔ cos x + sin x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ 2 6 x = 7π + k 2π 12 π x = + k 2π 1 π 12 cos x + sin x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ PT ⇔ 4 2 x = 5π + k 2π 12 π π − 3x = + k 2π 2 π cos x − sin x = ⇔ sin − x ÷ = ⇔ PT ⇔ 2 3 π − 3x = 3π + k 2π π 2π x = 36 − k ⇔ ,( k ∈ ¢) x = − 5π − k 2π 36 PT ⇔ 1 π sin x + cos x = sin x ⇔ sin x + ÷ = sin x 4 2 π π x x = 16 + k 5 x = x + + k 2π ⇔ ⇔ x = π + k π 5 x = 3π − x + k 2π Bài Giải phương trình sau π sin x + sin + x ÷ = 2 3sin x − cos x = + 4sin x ( ) − sin x − ( ) + cos x + − = 2π 6π ; cos x − sin x + = 0, x ∈ ÷ Hướng dẫn giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word PT ⇔ sin x + cos x = ⇔ 1 π sin x + cos x = ⇔ sin x + ÷ = 2 6 π π x = kπ x + = + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢) x = π + kπ x + π = 5π + k 2π 6 PT ⇔ −1 +1 1− sin x − cos x = 8 Nhận xét: Sử dụng máy tính 570ES PLUS ta bấm SHIFT SIN Vậy ta có nên đưa phương trình dạng cos 5π +1 5π +1 = thu , tức sin 12 12 8 5π 5π 1− sin x − sin cos x = hay chưa? Câu trả 12 12 5π giá trị cung lượng giác đặc biệt có mặt SGK? Vì ta nên 12 làm sau cho thuyết phục: lời chưa Bởi kết Ta có sin 5π π π π π 3 +1 π π = sin + ÷ = sin cos + cos sin = + = 12 6 2 2 4 6 Nên PT ⇔ cos 5π 5π −1 5π 5π sin x − sin cos x = − ⇔ sin x + ÷ = − cos ÷ 12 12 12 12 π 5π x+ = − + k 2π 5π 5π 7π π 12 12 ⇔ sin x + ÷ = cos ÷ ⇔ sin x + ÷ = sin − ÷ ⇔ 5π 13π 12 12 12 12 x + = + k 2π 12 12 π 2π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) Vậy phương trình có nghiệm: x = − + k 2π x = 3 PT ⇔ sin x − cos x = ⇔ sin x + cos x = 2 π π π 2π x + = + k 2π x=− +k π 18 ⇔ sin x + ÷ = ⇔ ⇔ 3 3 x + π = 5π + k 2π x = π + k 2π 6 π π x − = + k 2π π sin x − cos x = ⇔ sin x − ÷ = ⇔ PT ⇔ 2 6 x − π = 3π + k 2π 5π 2π 5π x = 84 + k 7 x = 12 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢) x = 11π + k 2π 7 x = 11π + k 2π 12 84 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2π 5π 2π 6π 2π 6π ; < +k < Nhận xét: Để tìm nghiệm x ∈ ÷ thực chất ta phải chọn số nguyên k thỏa mãn 84 7 2π 11π 2π 6π 2k 11 2k < +k < + < ; < + < để tìm tức ta phải giải bất phương trình < 84 7 84 7 84 7 miền giá trị k sau chọn k số nguyên 53π 5π 59π ,x = KL: Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện là: x = x = 84 12 84 Ngoài ra, ta khơng cần giải BPT nghiệm ngun cách sử dụng 570ES PLUS sau: 2 6 - Trước tiên ta tìm khoảng gần ; ÷ ( 0, 4;0,857 ) 5 7 2X + - Nhập biểu thức thứ vào máy tính (vì máy tính khơng có k nên ta coi X k) CALC với 84 giá trị X = 0; ±1; ±2; ±3 để kiểm tra xem có thỏa mãn hay khơng Khi ta tìm k = , ứng với nghiệm x = 53π 84 - Tương tự cho biểu thức thứ thu k = 1; k = , tương ứng với nghiệm x = Bài Giải phương trình sau 5π 59π x = 12 84 ( cos x − sin x = ( cos x − sin x ) tan x − 3cot x = sin x + cos x ( − cos x ) = cos x 2sin x ) sin x − sin x = (CĐ2004) cos x − cos x Hướng dẫn giải: Nhận xét: Đối với PT dạng a sin x + b cos x = c giải cách dễ dàng cách chia 2 2 a + b Nhưng gặp dạng a sin mx + b cos mx = c sin nx + d cos nx a + b = c + d làm nào? Cứ bình tĩnh quan sát nhé! Chúng ta nhận thấy vế phương trình có dạng bậc sin cho cos, ta thử chia vế cho a + b , may a + b = c + d Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế cho vế có cung Từ ta có lời giải sau: 3 cos x + sin x = sin x + cos x 2 2 π π = x + + k 2π x = + kπ 12 ⇔ 2π x = π + k π = − x + k 2π 24 PT ⇔ cos x + sin x = sin x + cos x ⇔ π 7x + π π ⇔ sin x + ÷ = sin x + ÷ ⇔ π 7 x + sin x ≠ π ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ k Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ sin x − 3cos x = sin x + cos x ⇔ sin x + cos x sin x cos x ( ) ( cos x − 4÷ ) sinsinx +x cos ÷= x tan x = − sin x + cos x = ⇔ ⇔ π sin x + ÷ = sin x sin x + cos x = 2sin x 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word tan x + cot x = + sin x cos x + cos x ( tan x − 1) = 2 ( cos x − sin x ) = tan x + cot x cot x − cot x − = cos x + sin x − sin x + tan x Hướng dẫn giải π (ĐHQGHN1997) Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ k sin x + cos x = tan x = −1 sin x + cos x ⇔ ⇔ PT ⇔ ( sin x + cos x ) = sin x cos x sin x = sin x = Giải kết hợp với điều kiện thu được: x = − π π π π + kπ , x = + kπ hay x = + k 4 Điều kiện: cos x ≠ 0,sin x ≠ sin x sin x sin x sin x + cos x cos x + = 8cos x ⇔ = 8cos x PT ⇔ cos x cos x cos x sin x cos x = ⇔ cos x ( − 8cos x cos x sin x ) = ⇔ sin x = π π π 5π π +k ∨ x= +k ĐS: x = + kπ ∨ x = 24 24 (ĐHNT1997) Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ ⇔ 2sin x cos x + = 3+ ⇔ 2sin x + cos x = sin x cos x + cos x sin x sin x cos x sin x = ( lo¹i ) ⇔ + sin x = sin x cos x + ⇔ sin x sin x − cos x = ⇔ sin x = cos x π ⇔ tan x = x = + kπ (DB2003) Điều kiện: cos x ≠ ( ) sin x sin x ⇔ cos x + − cos x = ⇔ + cos x − = + cos x cos x cos x ⇔ 2sin x − 1÷ = + cos x ⇔ ( + cos x ) ( − cos x ) − cos x = cos x π ĐS: x = π + k 2π , x = ± + k 2π cos x.sin x.sin x ( tan x + cot x ) ≠ Điều kiện: cot x ≠ PT ⇔ sin x cos x + cos x sin x ( = ) ( cos x − sin x ) cos x sin x ⇔ = sin x cos x cos x −1 sin x ⇔ sin x cos x − = Kết hợp với điều kiện thu nghiệm phương trình là: x = − π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (A2003) Điều kiện: cos x ≠ 0,sin x ≠ 0, tan x ≠ −1 2 cos x − sin x cos x ( cos x − sin x ) ⇔ = + sin x − sin x cos x sin x cos x + sin x cos x − sin x = ⇔ ( cos x − sin x ) − cos x + sin x ÷ = ⇔ sin x sin x − sin x cos x − = tan x = π ⇔ ⇔ x = + kπ ( t / m ) tan x − tan x + = Bài Giải phương trình sau 3 5 sin x + cos x = ( sin x + cos x ) 6 8 sin x + cos x = ( sin x + cos x ) sin x + cos8 x = ( sin10 x + cos10 x ) + cos x (ĐHNT HCM2000) Hướng dẫn giải cos x = 3 3 ⇔ sin x ( − 2sin x ) = cos x ( cos x − 1) ⇔ cos x ( sin x − cos x ) = ⇔ tan x = 6 (QGHN99) PT ⇔ sin x ( − 2sin x ) − cos x ( cos x − 1) = cos x = ⇔ cos x ( sin x − cos x ) = ⇔ tan x = ±1 PT ⇔ sin x ( − 2sin x ) + cos8 x ( − cos x ) − cos x = 5 ⇔ cos x cos8 x − sin x + ÷ = 4 Bài Giải phương trình sau − tan x ( tan x + 2sin x ) + cos x = (DB2003) tan 3x + cot x = tan x + sin x cos3 x + cos x ( 2sin x − 1) − sin x − ( sin x + cos x ) =0 2sin x − sin x ( cos x + 3) − cos x − 3 cos x + ( ) cos x − sin x − 3 = cos6 x + 2 sin x sin x − cos x − = ( cot x − cos x ) − ( tan x − sin x ) = Hướng dẫn giải (DB2003) Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ − sin x sin x + 2sin x cos x ÷+ cos x = cos x cos x ⇔ 3cos x − sin x ( + cos x ) + cos3 x = ⇔ 3cos x ( + cos x ) − sin x ( + cos x ) = ⇔ ( + cos x ) ( 3cos x − sin x ) = ĐS: x = ± π + kπ , ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cos x ≠ cos x ≠ π π π ⇔ x ≠ +k ,x ≠ k * Điều kiện: sin x ≠ sin x ≠ PT ⇔ ( tan 3x − tan x ) + ( tan x + cot x ) = sin x 2sin x cos x ⇔ + = cos 3x cos x cos x sin x sin x ⇔ 4sin x sin x + cos x cos x = cos x ⇔ 4sin x sin x + cos x + cos x = cos 3x ⇔ sin x sin x ( cos x + 1) = ⇔ cos x = − ( t / m ) π π π Cách (Bạn Hồng & Thanh Tùng A1) Điều kiện: x ≠ + k , x ≠ k PT ⇔ tan x + cot x = tan x + tan x + cot x ⇔ tan x − tan x − tan x = 2sin x sin x ⇔ ( tan 3x − tan x ) + tan x − tan x = ⇔ + =0 cos 3x cos x cos x cos x ⇔ sin x = ( lo¹i ) 2sin x cos x + sin x cos x = ⇔ sin x ( cos x + 1) = ⇔ cos 3x cos x cos x cos x + = ⇔ cos x = − ( t / m) 1 Vậy phương trình có nghiệm x = ± arccos − ÷+ kπ 4 Điều kiện: 2sin x − ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π π +k 2 PT ⇔ cos x ( cos x + sin x ) − cos x ( cos x + sin x ) − ( sin x + cos x ) = ⇔ ( sin x + cos x ) ( cos x − 1) ( cos x − 1) Kết hợp với điều kiện thu nghiệm phương trình: x = k 2π ,( k ∈¢) 3 PT ⇔ 2sin x cos x + 6sin x cos x − cos x − cos x + ( ) ( ) ( ⇔ cos x sin x − cos x + cos x sin x − cos x + ( ) ⇔ sin x − cos x ( cos x + cos x − ) = ( ) cos x − sin x = ) cos x − sin x = 3 PT ⇔ 2 cos x ( cos x − 3cos x ) + 2 sin x sin x − = ⇔ cos x ( cos x cos 3x ) + 2sin x ( 2sin x sin x ) = ⇔ ( + cos x ) ( cos x + cos x ) + ( − cos x ) ( cos x − cos x ) = ⇔ ( cos x + cos x cos x ) = ⇔ cos x cos 2 x = ⇔ cos x = π ⇔ x = ± + kπ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ PT ⇔ ( cot x − cos x + 1) − ( tan x − sin x + 1) = cos x − sin x cos x + sin x sin x − sin x cos x + cos x ⇔ 3 ÷− ÷= sin x cos x cos x − sin x cos x + sin x = ⇔ = sin x cos x 2 π t − 2t − = ví i t = sin x + cos x = cos x − ÷÷ ⇔ tan x = Đối chiếu với điều kiện thu được: x = π 1− ± arccos + k 2π , x = arctan + kπ KĨ THUẬT 3: ĐẶT ẨN PHỤ Chọn góc để đặt ẩn phụ Bài Giải phương trình sau 3π x π x − ÷ = sin + ÷ sin 10 10 π π sin 3x − ÷ = sin x.sin x + ÷ 4 4 3π x − ÷= cos x − 2sin 2 3x 5x π x π sin − ÷− cos − ÷ = cos 4 2 4 Hướng dẫn giải Nhận xét: Nhìn vào phương trình ta nghĩ dùng cơng thức biến đổi sin tổng … đừng vội 3π x π 3x − ÷ + ÷ có quan hệ với làm khó lắm, ta xem mối quan hệ hai cung 10 10 nào? 3π x 9π x π 3x − ⇒ 3t = − = π − + ÷ sử dụng cơng thức góc nhân ba Thật ta đặt t = 10 10 10 biến đổi dễ dàng sin t = 1 PT ⇔ sin t = sin 3t ⇔ sin t = ( 3sin t − 4sin t ) ⇔ sin t ( − sin t ) = ⇔ 2 cos t = 3π 3π π − k 2π , x = ± − k 4π , ( k ∈ ¢ ) 5 Chú ý: Nếu không làm quen với cách biến đổi trên, ta làm sau: 3π x 3π π 3x t= − ⇒x= − 2t ⇒ + =π −t 10 10 3π x − ⇒ x = 3π − 2t PT ⇔ cos ( 3π − 2t ) − 2sin t = ⇔ sin t − sin t − = Đặt t = 2 π π kπ Đặt t = x + ĐS: x = − + 4 Vậy nghiệm phương trình là: x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x π 3x 3π x π − ⇒ = 3t + , − = 5t + π 4 3π PT ⇔ sin ( 5t + π ) − cos t = cos 3t + ÷ ⇔ sin 5t + cos t = cos 3t + sin 3t Đặt t = ⇔ sin 5t − sin 3t = cos 3t − cos t ⇔ 2sin t ( cos 4t + sin 2t ) = x π 3π x − ÷ áp dụng cơng thức tổng sang tích cho vế trái Chú ý: Có thể chuyển cos − ÷ = sin 2 4 2 Bài Giải phương trình sau π π 3 3 8cos x + ÷ = cos x tan x − ÷ = tan x − 3 4 x π x π x 2π 3x π cos − ÷− sin − ÷ = 2sin + ÷− 2sin + ÷ 12 12 5 6 Hướng dẫn giải π π 2π + kπ , x = kπ Đặt t = x + ĐS: x = + kπ , x = − π + tan t − ⇔ ( − tan t ) tan t = tan t Đặt t = x − PT ⇔ tan t = − tan t 5π 5π 5π + k 5π , x = − + k 5π , x = − + k 5π (ĐHYTB1997) ĐS: x = 12 Chọn biểu thức để đặt ẩn phụ Bài Giải phương trình sau =6 3sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x = 3sin x + cos x + 1 = cos x + cos x + cos 2 x + cos x = 4sin 2 x cos x cos x cos x ( Hướng dẫn giải t = Đặt t = 3sin x + cos x + 1( t ≠ ) Từ phương trình ta có t − 7t + = ⇔ t = Đặt t = sin x + cos x , ( t ≥ ) Từ phương trình ta có t = 1, t = −2 (loại) π π Vậy sin x + cos x = ⇔ sin x + ÷ = sin 3 1 ⇒ cos x + = t − Từ phương trình ta có t = −1, t = Đặt t = cos x + cos x cos x 2 ⇔ cos x + cos x = ( − cos x ) ( + cos x ) Do ta đặt t = cos x, t ≤ 2t 1+ t2 Ngồi ta khai triển đưa phương trình đẳng cấp bậc theo sin cos Đặt t = tan x ⇒ sin x = ( − cos x ) + 2 ⇔3 cos x ) 2 3cot x + 2 sin x = + 2 cos x + tan x = 2sin x ( ) ( − cos x ) = + 2 cos x Do đặt t = cos x, t ≤ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( ) 2 Chú ý: Có thể đưa phương trình dạng tích ( sin x − cos x ) 3cos x − 2 sin x = KĨ THUẬT 4: NHĨM BÌNH THƯỜNG Biến đổi phương trình dạng A2 + B2 = Bài Giải phương trình sau cos x + tan x − cos x + tan x + = + sin 2 x = 2sin x + cos x + 2 sin x cos 2 x + cos x + = sin x ( ) ( Hướng dẫn giải ) PT ⇔ cos x − cos x + + tan x + tan x + = ( ⇔ cos x − ) +( 2 cos x − = π tan x + = ⇔ ⇔ x = − + k 2π tan x + = ) Nhận xét: Vì xuất sin 2x 2sin 2x ta nghĩ đến việc đưa ( sin x − 1) ta biến đổi sau: 2 PT ⇔ sin x − 2sin x + + ( − cos x ) − 2 sin x + = ⇔ ( sin x − 1) + π x = + k 2π sin x − = ⇔ sin x = ⇔ x = 3π + k 2π ( ) Nhận xét: Vì xuất cos 2x cos 2x ta nghĩ đến việc đưa ( cos x ± 1) , phần lại ta biến đổi sin x PT ⇔ cos 2 x + cos x + + 4sin x − sin x + = π x = + k 2π sin x = ⇔ sin x = ⇔ ⇔ ( cos x + 1) + 2sin x − = ⇔ x = 2π + k 2π cos x = − 2 Biến đổi phương trình dạng A2 = B2 Bài Giải phương trình sau sin x = tan x + tan x tan x + sin 2 x = cos x cos x + tan x = tan x + cot x = cot x + sin x + cos x 2 sin x = cos x + cos x − cos x cos 3x + cos x + 3cos 2 x + cos x = x 32 cos + sin x = 3sin x Hướng dẫn giải ( ) PT ⇔ + 2sin x cos x = + tan x + tan x ⇔ ( sin x + cos x ) = ( + tan x ) 2 Nhận xét: Ta nhận thấy tan x sin x = 2sin x ta cộng vào vế lượng 4sin x PT ⇔ tan x + tan x sin x + sin 2 x = cos x + 4sin x ⇔ ( tan x + sin x ) = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Nhận xét: Vì nhận thấy xuất tan x tan x nên ta chuyển vế để đưa dạng đẳng thức ( tan x − 1) PT ⇔ − = tan x − tan x + ⇔ cot x = ( tan x − 1) ⇔ tan x − = ± cot x sin x Nhận xét: Vì nhìn thấy xuất cot x cot x nên ta chuyển vế để xuất ( cot x − 1) PT ⇔ cot x − cot x + + cos x − sin x = ⇔ ( cot x − 1) − =0 + cos x cos x ⇔ ( cot x − 1) = tan x ⇔ cot x − = ± tan x Nhận xét: Do xuất nhiều góc khác nên ta biến đổi cos 3x − cos x = −2sin x sin x , sau vế trái có sin 2x nên ta đưa ( sin x + sin x ) PT ⇔ sin 2 x = cos x − 2sin x sin x ⇔ ( sin x + sin x ) = cos x + sin x ⇔ ( sin x + sin x ) = cos x Nhận xét: Do xuất cos 3x + cos x nên ta nghĩ đến đẳng thức ( cos 3x + cos x ) Vì ta cộng thêm hai vế với cos x cos x vế phải ta dùng cơng thức biến đổi tích sang tổng cos x cos x = cos x + cos x PT ⇔ cos x + cos x cos x + cos x = − 3cos 2 x − cos x + cos x cos x ⇔ ( cos x + cos x ) = − 3cos 2 x + cos x ⇔ ( cos x + cos x ) = sin 2 x 2 x x x + sin x = 3sin x ⇔ 32 cos = 3sin x − sin x ⇔ cos ÷ = 4sin x 2 2 π ⇔ + cos x = sin x ⇔ sin x − ÷ = 4 32 cos KĨ THUẬT 5: XỬ LÝ PHƯƠNG TRÌNH CĨ ĐIỀU KIỆN Biểu diễn nghiệm điều kiện qua hàm số lượng giác Trong phần cần sử dụng tốt kết sau: sin x ≠ ⇔ cos x ≠ ±1 ; cos x = ±1 ⇔ sin x = ; cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 sin x = ±1 ⇔ cos x = sin x ≠ cos x ≠ ±1 cos x = ±1 sin x = sin x ≠ ⇔ ⇔ sin x = ±1 ⇔ cos x = ⇔ sin x = cos x ≠ sin x ≠ ±1 Bài Giải phương trình sau 1 + = (THTT09) cos x sin x sin x x cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = (B06) 2 sin 2 x + cos x − =0 sin x cos x ( + sin x + cos x ) sin x + + tan x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word π ÷ 4 = cos x sin x + cos x = cos 4 x π π tan − x ÷tan + x ÷ 4 Hướng dẫn giải sin x ≠ ±1, cos x ≠ 0, (THTT09) Điều kiện: sin x ≠ 0, ⇔ sin x ≠ 0, sin x ≠ sin x ≠ ± 2 Khi PT ⇒ 4sin x cos x + cos x = ⇔ sin x ( 2sin x + sin x − 1) = π x = + k 2π Giải nghiệm sin x kết hợp điều kiện ta được: sin x = ⇔ x = 5π + k 2π Điều kiện: sin x > Khi phương trình cho trở thành cos 2 x = sin x = ±1 sin 2 x + cos x − = ⇔ cos x − cos 2 x = ⇔ ⇔ sin x = cos x = π Đối chiếu với điều kiện ta được: sin x = ⇔ x = + kπ x (B2006) Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, cos ≠ ⇔ sin x ≠ cos x sin x x x cos x sin x + cos x cos + sin x sin ÷ = ⇔ + =4 PT sin x cos x cos x 2 sin x cos x π x = + k 2π , 12 ⇔ = ⇔ sin x = ( t / m ) ⇔ ( k ∈¢) sin x x = 5π + kπ 12 ⇒ cos x ≠ sin x ≠ ±1 ⇔ (A2010) Điều kiện: tan x ≠ −1 tan x ≠ −1 ( + sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) cos x = cos x Khi PT ⇒ ( cos x + sin x ) ⇔ + sin x + cos x = ⇔ sin x + − 2sin x = π sin x = 1( lo¹i ) x = − + k 2π ⇔ ⇔ sin x = − ( t / m ) 7π x= + k 2π π π π π Điều kiện: sin − x ÷ ≠ 0, cos − x ÷ ≠ 0,sin + x ÷ ≠ 0, cos + x ÷ ≠ 4 4 4 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word π π ⇔ sin − x ÷ ≠ 0, cos + x ÷ ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 2 2 π π Nhận thấy tan − x ÷tan + x ÷ = , phương trình cho trở thành 4 4 sin x + cos x = cos 4 x ⇔ − sin 4 x = cos 4 x ⇔ cos 4 x − cos x − = sin x = ⇔ cos x = ⇔ sin x = ⇔ cos x = Đối chiếu với điều kiện ta sin x = ⇔ x = k π ,( k ∈¢) 2 Biểu diễn đường tròn lượng giác Mỗi cơng (hoặc góc) lượng giác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác: x = α + k 2π biểu diễn ĐTLG điểm xác định cung α x = α + kπ biểu diễn ĐTLG điểm đối xứng qua tâm O 2π x =α +k biểu diễn ĐTLG điểm cách nhau, tạo thành đỉnh tam giác 2π x =α +k biểu diễn ĐTLG n điểm cách nhau, tạo thành đa giác nội tiếp đường tròn n lượng giác Ta biểu diễn ĐTLG điểm khơng thỏa mãn điều kiện (đánh dấu ×) điểm nghiệm tìm (đánh dấu ) Những điểm đánh dấu “” mà không trùng với điểm đánh dấu “×” điểm thỏa mãn điều kiện Bài Giải phương trình sau sin x + cos x − sin x − = (D2011) tan x + sin x + sin x = −1 sin x ( sin x + cos6 x ) − sin x cos x − 2sin x ( − 2sin x ) cos x ( + 2sin x ) ( − sin x ) = (A2009) Hướng dẫn giải π x ≠ − + kπ tan x ≠ − ⇔ Điều kiện: cos x ≠ x ≠ π + kπ Khi phương trình cho trở thành: sin x + cos x − sin x − = ⇔ cos x ( sin x + 1) − ( sin x + 1) = π sin x = −1 x = − + k 2π ⇔ ( sin x + 1) ( cos x − 1) = ⇔ ⇔ cos x = x = ± π + k 2π Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác ta nghiệm PT x = = (A06) π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word π x ≠ + k 2π ⇔ Điều kiện: sin x ≠ Khi phương trình trở thành: x ≠ 3π + k 2π ( sin x + cos x ) − sin x cos x = ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin x = π ⇔ 3sin 2 x + sin x − = ⇔ sin x = x = + kπ Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác ta nghiệm PT là: x = Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ k 5π + k 2π ( k ∈ ¢ ) π Khi phương trình trở thành π sin x = x = k sin x + sin x + sin x = ⇔ sin x ( cos x + 1) = ⇔ ⇔ cos x = − x = ± 2π + k 2π π Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác, ta có nghiệm PT là: x = + kπ Điều kiện: sin x ≠ sin x ≠ − (*) Với điều kiện phương trình cho tương đương: ( − 2sin x ) cos x = ( + 2sin x ) ( − sin x ) π π ⇔ cos x − sin x = sin x + cos x ⇔ cos x + ÷ = cos x − ÷ 3 6 π π 2π ⇔ x = + k 2π x = − + k 18 π 2π Kết hợp điều kiện (*) ta nghiệm: x = − + k ( k ∈¢) 18 3 Thử trực tiếp (dùng mệnh đề phủ định) Chúng ta cần lưu ý kết tính chu kì hàm số lượng giác sau đây: sin ( x + k 2π ) = sin x, ∀x ∈ ¡ cos ( x + k 2π ) = cos x, ∀x ∈ ¡ π + kπ Bài Giải phương trình sau + sin x + cos x = sin x sin x + cot x cos 3x.tan x = sin x tan ( x + kπ ) = tan x, ∀x ≠ cot ( x + kπ ) = cot x, ∀x ≠ kπ 3sin x + cos x = ( + tan x ) − tan x tan x = Hướng dẫn giải Điều kiện: sin x ≠ ⇔ cos x ≠ ±1 Khi phương trình cho trở thành sin x ( + sin x + cos x ) = 2 sin x cos x ⇔ + 2sin x cos x + cos x − = 2 cos x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cos x π cos x = ( t / m ) ⇔ x = + kπ ⇔ cos x sin x + cos x − = ⇔ sin x + cos x = ( *) ( ) Dùng mệnh đề phủ định: Giả sử sin x = ⇔ cos x = ±1 , (*) ⇔ ± = (vơ lí) Tức nghiệm π π (*) thỏa mãn Giải (*) ta được: cos x − ÷ = ⇔ x = + k 2π 4 π π Vậy phương trình có nghiệm: x = + kπ , x = + k 2π Điều kiện: cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 Khi phương trình cho trở thành ⇒ cos x ( 3sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) − ⇔ cos x ( 3sin x + cos x ) − cos x = 3sin x + cos x − cos x = 1( t / m ) ⇔ x = k 2π ⇔ ( 3sin x + cos x − 1) ( cos x − 1) = ⇔ 3sin x + cos x = 1(*) Xét (*): Giả sử cos x = ⇔ sin x = ±1 , (*) ⇔ ±3 − = (vơ lí) Tức nghiệm (*) thỏa mãn + k 2π (với cos α = ;sin α = ) 13 13 13 + k 2π Vậy phương trình có nghiệm: x = k 2π ; x = α ± arccos 13 π π Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ + m , ( m ∈ ¢ ) Khi phương trình trở thành 10 π x = k 2sin x cos x = 2sin x cos x ⇔ sin x = sin12 x ⇔ ( k ∈¢) π π x = +k 20 10 π π π k −1 + Giả sử k = + m ⇔ 5k = + 2m(*) Suy m = 2k + 10 k −1 ⇔ k = s + (tức k số lẻ) Mặt khác, k , m ∈ ¢ nên tồn s ∈ ¢ cho: s = π Suy x = k nghiệm PT k ≠ s + Chọn k = s thu nghiệm x = sπ ( s ∈ ¢ ) π π π π + k = + m ⇔ 2k − 4m = ⇔ k − 2m = (**) + Giả sử 20 10 10 Ta nhận thấy k − 2m ∈ ¢ , ∉ ¢ nên khơng tồn k , m ∈ ¢ thỏa mãn (**) π π +k Do x = nghiệm PT với k ∈ ¢ 20 10 π π + k ( k, s ∈ ¢ ) Vậy phương trình có nghiệm: x = sπ x = 20 10 Giải (*) ta được: x = α ± arccos http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word π π x ≠ + m ( 1) cos x ≠ 10 ⇔ Điều kiện: ( m, n ∈ ¢ ) cos x ≠ x ≠ π + n π (2) π π π ⇔ tan x = cot x ⇔ tan x = tan − x ÷ ⇔ x = + k tan x 14 2 + Đối chiếu điều kiện (1): π π π π + 2m +k = +m ⇔ k = m+ Giả sử (*) 14 10 5 + 2m t −1 ⇔ m = 2t + Do k , m ∈ ¢ nên tồn t ∈ ¢ cho: t = t −1 ⇔ t = 2s + Mặt khác, t , m ∈ ¢ nên tồn s ∈ ¢ cho: s = π π Thay vào (*) ta được: k = s + Do x = + k thỏa mãn điều kiện (*) với k ≠ s + 14 + Đối chiếu điều kiện (2): π π π π + k = + n ⇔ 4k − 14n = ( **) Giả sử 14 Ta nhận thấy vế trái (**) số chẵn, vế phải (**) số lẻ nên không tồn k , n ∈ ¢ thỏa mãn điều kiện (**) Do PT ⇔ tan x = π π + k thỏa mãn điều kiện (**) 14 π π Vậy phương trình có nghiệm: x = + k với k ≠ s + 14 x = LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI 2002 – 2014 Bài (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) phương trình: cos 3x + sin x sin x + ÷ = cos x + + 2sin x Bài (ĐH B2002) Giải phương trình: sin x − cos x = sin x − cos x ĐS: x = π 5π ;x = 3 ĐS: x = kπ kπ ;x = ( k ∈¢) Bài (ĐH D2002) Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm phương trình: cos 3x − cos x + 3cos x − = Bài (ĐH A2003) Giải phương trình: cos x cot x − = + sin x − sin x + tan x Bài (ĐH B2003) Giải phương trình: cot x − tan x + 4sin x = sin x Bài (ĐH D2003) Giải phương trình: ĐS: x = π 3π 5π 7π ;x = ;x = ;x = 2 2 ĐS: x = π + kπ ( k ∈ ¢ ) ĐS: x = ± π + kπ ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x π x π sin − ÷tan x − cot = ĐS: x = π + k 2π ; x = − + kπ 2 4 Bài (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos A + 2 cos B + 2 cos C = Tính ba góc tam giác ABC Bài (ĐH B2004) Giải phương trình: ĐS: A = 90°; B = C = 45° 5sin x − = ( − sin x ) tan x ĐS: x = π 5π + k 2π ; x = + k 2π 6 Bài (ĐH D2004) Giải phương trình: ( cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x − sin x ĐS: x = ± π π + k 2π ; x = − + kπ Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình: ĐS: x = cos 3x cos x − cos x = kπ ( k ∈¢) Bài 11 (ĐH B2005) Giải phương trình: 2π π + k 2π ; x = − + kπ + sin x + cos x + sin x + cos x = ĐS: x = ± Bài 12 (ĐH D2005) Giải phương trình: π π cos x + sin x + cos x − ÷sin x − ÷− = 4 4 Bài 13 (ĐH A2006) Giải phương trình: ĐS: x = π + kπ ( k ∈ ¢ ) ĐS: x = 5π + k 2π ( k ∈ ¢ ) ĐS: x = π 5π + kπ ; x = + kπ 12 12 ( cos6 x + sin x ) − sin x cos x =0 − 2sin x Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình: x cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 2 Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình: cos 3x + cos x − cos x − = ĐS: x = kπ ; x = ± 2π + k 2π ĐS: x = k 2π ; x = π π + k 2π ; x = − + kπ Bài 16 (ĐH A2007) Giải phương trình: ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin x 2 Bài 17 (ĐH B2007) Giải phương trình 2sin 2 x + sin x − = sin x ĐS: x = π kπ π k 2π 5π k 2π + ;x = + ;x = + 18 18 ĐS: x = π π + k 2π ; x = − + k 2π Bài 18 (ĐH D2007) Giải phương trình: x x sin + cos ÷ + cos x = 2 2 Bài 19 (ĐH A2008) Giải phương trình: 1 7π + = 4sin − x÷ π sin x sin x − ÷ Bài 20 (ĐH D2008) Giải phương trình: ĐS: x = − π π 5π + kπ ; x = − + kπ ; x = + kπ 8 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x ĐS: x = π kπ π + ; x = − + kπ Bài 21 (ĐH D2008) Giải phương trình: 2sin x ( + cos x ) + sin x = + cos x Bài 22 (ĐH A2009) Giải phương trình: ( − 2sin x ) cos x = ( + 2sin x ) ( − sin x ) ĐS: x = ± 2π π + k 2π ; x = + kπ ĐS: x = − π k 2π + ( k ∈¢) 18 ĐS: x = − π π k 2π + k 2π ; x = + 42 Bài 23 (ĐH B2009) Giải phương trình: sin x + cos x sin x + cos x = ( cos x + sin x ) Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình: cos x − 2sin x cos x − sin x = ĐS: x = π kπ π kπ + ;x = − + 18 Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình: π ( + sin x + cos x ) sin x + ÷ 4 = cos x + tan x Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình: ĐS: x = − ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x = ĐS: x = π kπ + ( k ∈¢) sin x − cos x + 3sin x − cos x − = ĐS: x = π 5π + k 2π ; x = + k 2π 6 Bài 28 (ĐH A2011) Giải phương trình: + sin x + cos x = sin x sin x + cot x Bài 29 (ĐH B2011) Giải phương trình: ĐS: x = π π + kπ ; x = + k 2π sin x cos x + sin x cos x = cos x + sin x + cos x ĐS: x = π π k 2π + k 2π ; x = + 3 Bài 30 (ĐH D2011) Giải phương trình: sin x + cos x − sin x − =0 + tan x Bài 31 (ĐH A2012) Giải phương trình: ĐS: x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) ĐS: x = π 2π + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π ĐS: x = 2π k 2π + k 2π ; x = ( k ∈¢) 3 ĐS: x = π kπ 7π π + ;x = + k 2π ; x = − + k 2π 12 12 π 7π + k 2π ; x = + k 2π 6 Bài 27 (ĐH D2010) Giải phương trình sin x + cos x = cos x − Bài 32 (ĐH B2012) Giải phương trình: ( ) cos x + sin x cos x = cos x − sin x + Bài 33 (ĐH D2012) Giải phương trình: sin x + cos x − sin x + cos x = cos x Bài 34 (ĐH A2013) Giải phương trình: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word π + tan x = 2 sin x + ÷ 4 Bài 35 (ĐH B2013) Giải phương trình: sin x + cos x = ĐS: x = − π π + kπ ; x = ± + k 2π ĐS: x = − π k 2π π k 2π + ;x = − + 14 Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình: ĐS: x = sin 3x + cos x − sin x = π kπ π 7π + ; x = − + k 2π ; x = + k 2π 6 Bài 37 (ĐH A2014) Giải phương trình ĐS: x = ± sin x + cos x = + sin x π + k 2π ( k ∈ ¢ ) Bài 38 (ĐH B2014) Giải phương trình: 3π + k 2π ( k ∈ ¢ ) Hết ( sin x − cos x ) = − sin x ĐS: x = ± http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... x + = MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c Cách giải: Chia hai vế phương trình cho → a a + b2 C1:... LƯỢNG GIÁC Sử dụng phép biến đổi góc lượng giác Khi việc giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ góc (cung) để từ kết hợp với phép biến đổi góc đặc biệt, cơng thức cộng lượng giác. .. + k 2π 42 Sử dụng công thức hạ bậc Khi giải phương trình lượng giác mà bậc sin cos bậc chẵn ta thường hạ bậc từ đưa phương trình Bài Giải phương trình sau sin x + sin 2 x + sin x = sin
Ngày đăng: 02/05/2018, 13:10
Xem thêm: