Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 49 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
49
Dung lượng
3,18 MB
Nội dung
CÔNG THỨC LƯỢNGGIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƯỢNGGIÁC CƠ BẢN 2 sin x = − cos x 2 sin x + cos x = ⇒ 2 cos x = − sin x 1 = + tan x ⇒ tan x = −1 cos x cos x 1 = + cot x ⇒ cot x = −1 sin x sin x tan x.cot x = ⇒ cot x = tan x sin x + cos x = − 2sin x cos x 6 2 sin x + cos x = − 3sin x cos x sin x + cos3 x = ( sin x + cos x ) ( − sin x cos x ) 3 sin x − cos x = ( sin x − cos x ) ( + sin x cos x ) II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNGGIÁC Góc I + + + + sin x cos x tan x cot x Góc II + − − − Góc III − − + + III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNGGIÁC ĐẶC BIỆT Hai cung đối cos ( − x ) = cos x sin ( − x ) = − sin x tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x Hai cung bù sin ( π − x ) = sin x cos ( π − x ) = − cos x tan ( π − x ) = − tan x cot ( π − x ) = − cot x Hai cung phụ π sin − x ÷ = cos x 2 π tan − x ÷ = cot x 2 Hai cung π π cos − x ÷ = sin x 2 π cot − x ÷ = tan x 2 sin ( π + x ) = − sin x cos ( π + x ) = − cos x tan ( π + x ) = tan x cot ( π + x ) = cot x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword Góc IV − + − − Hai cung π π sin + x ÷ = cos x 2 π tan + x ÷ = − cot x 2 Với k số ngun ta có: sin ( x + k 2π ) = sin x π cos + x ÷ = − sin x 2 π cot + x ÷ = − cot x 2 cos ( x + k 2π ) = cos x tan ( x + kπ ) = tan x cot ( x + kπ ) = cot x IV CÔNG THỨC CỘNG sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y tan ( x + y ) = tan x + tan y − tan x tan y sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y tan ( x − y ) = tan x − tan y + tan x tan y Đặc biệt: sin x = 2sin x cos x 2 2 TH1: Cơng thức góc nhân đơi: cos x = cos x − sin x = cos x − = − 2sin x tan x tan x = − tan x − cos x + cos x ;cos x = Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin x = 2 sin x = 3sin x − 4sin x TH2: Công thức góc nhân ba: cos x = cos x − 3cos x V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x+ y x− y cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin cos 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = cos sin 2 Chú ý: π π sin x + cos x = sin x + ÷ = cos x − ÷ 4 4 π π sin x − cos x = sin x − ÷ = − cos x + ÷ 4 4 cos x + cos y = cos cos ( x + y ) + cos ( x − y ) 2 sin x sin y = − cos ( x + y ) − cos ( x − y ) sin x cos y = sin ( x + y ) + sin ( x − y ) cos x sin y = sin ( x + y ) − sin ( x − y ) cos x cos y = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword u = v + 2kπ sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π u = v + k 2π cos u = cos v ⇔ u = −v + k 2π u = v + kπ tan u = tan v ⇔ π u ≠ + kπ Đặc biệt: u = v + kπ cot u = cot v ⇔ u ≠ kπ sin x = ⇔ x = kπ cos x = ⇔ x = π + kπ π + k 2π cos x = ⇔ x = k 2π π sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π Chú ý: Điều kiện có nghiệm phươngtrình sin x = m cos x = m là: −1 ≤ m ≤ sin x = ⇔ x = Sử dụng thành thạo câu thần “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa phươngtrình dạng sau phươngtrình bản: π π sin u = cos v ⇔ sin u = sin − v ÷ cos u = sin v ⇔ cos u = cos − v ÷ 2 2 sin u = − sin v ⇔ sin u = sin ( −v ) cos u = − cos v ⇔ cos u = cos ( π − v ) cos x = cos x = ±1 ⇔ Đối với phươngtrình khơng nên giải trực tiếp phải giảiphươngtrình sin x = sin x = ±1 thành phần, việc kết hợp nghiệm khó khăn Ta nên dựa vào công thức sin x + cos x = để cos x = sin x = ⇔ ⇔ sin x = biến đổi sau: cos x = sin x = cos x = ⇔ cos x − = ⇔ cos x = Tương tự phươngtrình sin x = 1 − 2sin x = Bài Giảiphươngtrình sau π cos x − ÷ = − 4 π cos x + ÷− = 3 π 2sin x − ÷+ = 6 π tan − x ÷ = 3 Hướng dẫn giải: π π 3π cos x − ÷ = − ⇔ cos x − ÷ = cos 4 4 π 3π Ta xác định phươngtrình u = x − , v = , nên dựa vào cơng thức nghiệm ta có 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword x− π 3π π 3π = + k 2π x − = − + k 2π 4 4 Vậy nghiệm phươngtrình là: x = π + k 2π ; x = − π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) π π π π 2sin x − ÷+ = ⇔ sin x − ÷ = − ⇔ sin x − ÷ = sin − ÷ 6 6 6 3 π π π x − = − + k 2π x = − 12 + kπ ⇔ ⇔ ( k ∈¢) x − π = 4π + k 2π x = 3π + kπ π π π π cos x + ÷− = ⇔ cos x + ÷ = ⇔ cos x + ÷ = cos 3 3 3 π π π x + = + k 2π x = − 12 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢) π x + π = − π + k 2π x = − + k 2π 12 π π π π tan − x ÷ = ⇔ tan − x ÷ = ⇔ tan − x ÷ = tan 3 3 3 π π π ⇔ − x = + kπ ⇔ x = − kπ , ( k ∈ ¢ ) 6 Chú ý: Đối với phươngtrình tan x = m ( tan x = m ) , m số điều kiện cos x ≠ ( sin x ≠ ) không cần thiết Bài Giảiphươngtrình sau π sin x = sin x + ÷ 4 π π tan x − ÷ = tan x + ÷ 4 6 π π sin x − ÷ = cos x + ÷ 6 4 π π cot x − ÷+ tan − x ÷ = 4 6 Hướng dẫn giải: π π x = − − k 2π x = x + + k 2π π 4 ⇔ ,( k ∈¢) sin x = sin x + ÷ ⇔ π π π 4 x = + k x = π − x − + k 2π 4 π 2π 5π 2π 2x + = − x + k 2π x= +k π 2π 36 − x ÷⇔ ⇔ PT ⇔ cos x + ÷ = cos 4 x + π = − 2π + x + k 2π x = − 11π + k 2π 12 Do PT có dạng tan u = tan v nên ta cần điều kiện cos u ≠ cos v ≠ Để đơn giản ta chọn điều π π π π kiện: cos x + ÷ ≠ ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ Khi đó: 6 π π π π 5π π tan x − ÷ = tan x + ÷ ⇔ x − = x + + kπ ⇔ x = + k ,( k ∈¢) 4 6 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword 5π π + k ,( k ∈¢) 24 Do biến đổi PT dạng tan u = tan v nên ta cần điều kiện cos u ≠ cos v ≠ Để đơn giản ta chọn điều kiện: π π π π cos − x ÷ ≠ ⇔ − x ≠ + kπ ⇔ x ≠ − − kπ 6 Kết hợp nghiệm đường tròn lượnggiác thu nghiệm PT: x = π π π 3π PT ⇔ cot x − ÷ = tan x − ÷ ⇔ tan x − ÷ = tan − 2x ÷ 4 6 6 π 3π 11π π ⇔ x− = − x + kπ ⇔ x = + k ( k ∈¢) 36 Kết hợp nghiệm đường tròn lượnggiác thu nghiệm PT: x = 11π π + k ,( k ∈ ¢) 36 Bài Giảiphươngtrình sau ( + 1) cos x + = x − ( + ) tan x + = cos x − tan cos x + 5sin x − = π 2 sin x − ÷ = cos x 4 Hướng dẫn giải: π x = ± + k 2π cos x = ⇔ PT ⇔ ( k ∈¢) π x = ± + k 2π cos x = sin x = ( lo¹i ) PT ⇔ ( − sin x ) + 5sin x − = ⇔ 2sin x − 5sin x + = ⇔ sin x = ( t / m ) π 5π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) Vậy phươngtrình có nghiệm: x = + k 2π x = 6 tan x = sin x = ( lo¹i ) ⇔ 2sin x − 5sin x + = ⇔ PT ⇔ tan x = sin x = 2 Vậy phươngtrình có nghiệm: x = π 5π + k 2π x = + k 2π , ( k ∈ ¢ ) 6 π − cos x − ÷ π π + cos x PT ⇔ = ⇔ sin x = − cos x ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + k 2 Bài Giảiphươngtrình sau x x sin x + cos x = sin x − sin + cos = − 2sin x 2 π 4 ( sin x + cos x ) − cos − x ÷ = sin x + cos x = cos x Hướng dẫn giải: 1 PT ⇔ − 2sin x cos x = sin x − ⇔ − sin 2 x = sin x − 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword sin x = −1 π π ⇔ sin 2 x − 2sin x − = ⇔ ⇔ x = − + k 2π ⇔ x = − + kπ , ( k ∈ ¢ ) sin x = ( lo¹i ) sin x = 2 ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) PT ⇔ − sin x = − 2sin x ⇔ sin x − 4sin x = ⇔ sin x = ( lo¹i ) sin x = PT ⇔ 1 − sin x ÷− sin x = ⇔ sin x + sin x − = ⇔ sin x = −2 ( lo¹i ) ⇔ 2x = π π + k 2π ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) PT ⇔ − 3sin x cos x = − 2sin 2 x ⇔ − sin 2 x = − 2sin 2 x π ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k , ( k ∈ ¢ ) Bài Giảiphươngtrình sau sin x + cos x + sin x cos x = 4 cos x = sin x − 4 ( sin x + cos6 x ) − sin x cos x − 2sin x − ) cos x − 2sin ( cos x − x π − ÷ =1 Hướng dẫn giải: sin x = −1 2 PT ⇔ − sin x + sin x = ⇔ sin x − sin x − = ⇔ 2 sin x = ( lo¹i ) ⇔x=− π + kπ , ( k ∈ ¢ ) (A-2006) Điều kiện: = ( A 06 ) π x ≠ + k 2π − 2sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ 3π + k 2π PT ⇔ ( sin x + cos6 x ) − sin x cos x = ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin x = sin x = π ⇔ 3sin x + sin x − = ⇔ ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) sin x = − ( lo¹i ) 5π + k 2π Kết hợp nghiệm ta thu nghiệm phươngtrình x = cos x = 4 PT ⇔ cos x = − cos x − ⇔ cos x + cos x − = ⇔ cos x = − ( lo¹i ) π π π ⇔ cos x − = ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword π + k 2π π x π PT ⇔ − cos x − 2sin − ÷ = cos x − ⇔ − cos x − 1 − cos x − ÷÷ = −1 2 4 Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ ± ( ) π π ⇔ cos x − cos − x ÷ = ⇔ cos x − sin x = ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) 2 Bài Giảiphươngtrình sau sin x + cos x − sin x = (D-2013) sin x + cos x = (B-2013) sin x + cos x = + sin x (A-2014) cos 3x + cos x − cos x − = (D-2006) Hướng dẫn giải: PT ⇔ sin x − sin x + cos x = ⇔ cos x sin x + cos x = ⇔ cos x ( 2sin x + 1) = π π x = + k cos x = π ⇔ ⇔ x = − + k 2π sin x = − x = 7π + k 2π PT ⇔ sin x + + cos x = ⇔ cos x = − sin x ⇔ cos x = sin ( −5 x ) π 2π π x = − − k x = + x + k π π ⇔ cos x = cos + x ÷ ⇔ ⇔ ( k ∈¢) π π 2 x = − + k π x = − − x + k 2π 14 PT ⇔ sin x + cos x = + 2sin x cos x ⇔ sin x ( − cos x ) + ( cos x − 1) = sin x = ( lo¹i ) π ⇔ ( sin x − ) ( − cos x ) = ⇔ ⇔ x = ± + k 2π cos x = PT ⇔ cos 3x − cos x + cos x − = ⇔ −2sin x sin x − 2sin x = x = kπ sin x = sin x = ⇔ sin x ( sin x + sin x ) = ⇔ ⇔ ⇔ x = ± 2π + k 2π sin x + sin x = cos x + = MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC DẠNG PHƯƠNGTRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c Cách giải: Chia hai vế phươngtrình cho → a a + b2 C1: Đặt sin x + a a2 + b2 b a + b2 = cos α , cos x = b a2 + b2 a + b2 c a + b2 = sin α Khi PT ⇔ sin ( x + α ) = c a + b2 →x=? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword a C2: Đặt = sin β , b c = cos β Khi PT ⇔ cos ( x − β ) = a +b a +b Điều kiện có nghiệm phương trình: a + b ≥ c 2 2 a + b2 →x=? Chú ý: Khi phươngtrình có a = c b = c dùng cơng thức góc nhân đơi sử dụng phép nhóm nhân tử chung Bài Giảiphươngtrình sau cos x + sin x = 2sin x + cos x = cos x − sin 3x = sin x + cos x = sin x Hướng dẫn giải: Nhận xét: Trong PT ta xác định hệ số a = 1, b = 3, c = thỏa mãn điều kiện a + b ≥ c a + b = 12 + phươngtrình có nghiệm Để giải PT ta cần chia hai vế cho ( 3) = π x = + k 2π π 12 PT ⇔ cos x + sin x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ 2 6 x = 7π + k 2π 12 π x = + k 2π 1 π 12 cos x + sin x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ PT ⇔ 4 2 x = 5π + k 2π 12 π π − 3x = + k 2π 2 π cos x − sin x = ⇔ sin − x ÷ = ⇔ PT ⇔ 2 3 π − 3x = 3π + k 2π π 2π x = 36 − k ⇔ ,( k ∈ ¢) x = − 5π − k 2π 36 PT ⇔ 1 π sin x + cos x = sin x ⇔ sin x + ÷ = sin x 4 2 π π x x = 16 + k 5 x = x + + k 2π ⇔ ⇔ x = π + k π 5 x = 3π − x + k 2π Bài Giảiphươngtrình sau π sin x + sin + x ÷ = 2 3sin x − cos x = + 4sin x ( ) − sin x − ( ) + cos x + − = 2π 6π ; cos x − sin x + = 0, x ∈ ÷ Hướng dẫn giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword PT ⇔ sin x + cos x = ⇔ 1 π sin x + cos x = ⇔ sin x + ÷ = 2 6 π π x = kπ x + = + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢) x = π + kπ x + π = 5π + k 2π 6 PT ⇔ −1 +1 1− sin x − cos x = 8 Nhận xét: Sử dụng máy tính 570ES PLUS ta bấm SHIFT SIN Vậy ta có nên đưa phươngtrình dạng cos 5π +1 5π +1 = thu , tức sin 12 12 8 5π 5π 1− sin x − sin cos x = hay chưa? Câu trả 12 12 5π giá trị cung lượnggiác đặc biệt có mặt SGK? Vì ta nên 12 làm sau cho thuyết phục: lời chưa Bởi kết Ta có sin 5π π π π π 3 +1 π π = sin + ÷ = sin cos + cos sin = + = 12 6 2 2 4 6 Nên PT ⇔ cos 5π 5π −1 5π 5π sin x − sin cos x = − ⇔ sin x + ÷ = − cos ÷ 12 12 12 12 π 5π x+ = − + k 2π 5π 5π 7π π 12 12 ⇔ sin x + ÷ = cos ÷ ⇔ sin x + ÷ = sin − ÷ ⇔ 5π 13π 12 12 12 12 x + = + k 2π 12 12 π 2π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) Vậy phươngtrình có nghiệm: x = − + k 2π x = 3 PT ⇔ sin x − cos x = ⇔ sin x + cos x = 2 π π π 2π x + = + k 2π x=− +k π 18 ⇔ sin x + ÷ = ⇔ ⇔ 3 3 x + π = 5π + k 2π x = π + k 2π 6 π π x − = + k 2π π sin x − cos x = ⇔ sin x − ÷ = ⇔ PT ⇔ 2 6 x − π = 3π + k 2π 5π 2π 5π x = 84 + k 7 x = 12 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢) x = 11π + k 2π 7 x = 11π + k 2π 12 84 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword 2π 5π 2π 6π 2π 6π ; < +k < Nhận xét: Để tìm nghiệm x ∈ ÷ thực chất ta phải chọn số nguyên k thỏa mãn 84 7 2π 11π 2π 6π 2k 11 2k < +k < + < ; < + < để tìm tức ta phải giải bất phươngtrình < 84 7 84 7 84 7 miền giá trị k sau chọn k số nguyên 53π 5π 59π ,x = KL: Vậy phươngtrình có nghiệm thỏa mãn điều kiện là: x = x = 84 12 84 Ngoài ra, ta khơng cần giải BPT nghiệm ngun cách sử dụng 570ES PLUS sau: 2 6 - Trước tiên ta tìm khoảng gần ; ÷ ( 0, 4;0,857 ) 5 7 2X + - Nhập biểu thức thứ vào máy tính (vì máy tính khơng có k nên ta coi X k) CALC với 84 giá trị X = 0; ±1; ±2; ±3 để kiểm tra xem có thỏa mãn hay khơng Khi ta tìm k = , ứng với nghiệm x = 53π 84 - Tương tự cho biểu thức thứ thu k = 1; k = , tương ứng với nghiệm x = Bài Giảiphươngtrình sau 5π 59π x = 12 84 ( cos x − sin x = ( cos x − sin x ) tan x − 3cot x = sin x + cos x ( − cos x ) = cos x 2sin x ) sin x − sin x = (CĐ2004) cos x − cos x Hướng dẫn giải: Nhận xét: Đối với PT dạng a sin x + b cos x = c giải cách dễ dàng cách chia 2 2 a + b Nhưng gặp dạng a sin mx + b cos mx = c sin nx + d cos nx a + b = c + d làm nào? Cứ bình tĩnh quan sát nhé! Chúng ta nhận thấy vế phươngtrình có dạng bậc sin cho cos, ta thử chia vế cho a + b , may a + b = c + d Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế cho vế có cung Từ ta có lời giải sau: 3 cos x + sin x = sin x + cos x 2 2 π π = x + + k 2π x = + kπ 12 ⇔ 2π x = π + k π = − x + k 2π 24 PT ⇔ cos x + sin x = sin x + cos x ⇔ π 7x + π π ⇔ sin x + ÷ = sin x + ÷ ⇔ π 7 x + sin x ≠ π ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ k Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ sin x − 3cos x = sin x + cos x ⇔ sin x + cos x sin x cos x ( ) ( cos x − 4÷ ) sinsinx +x cos ÷= x tan x = − sin x + cos x = ⇔ ⇔ π sin x + ÷ = sin x sin x + cos x = 2sin x 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword tan x + cot x = + sin x cos x + cos x ( tan x − 1) = 2 ( cos x − sin x ) = tan x + cot x cot x − cot x − = cos x + sin x − sin x + tan x Hướng dẫn giải π (ĐHQGHN1997) Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ k sin x + cos x = tan x = −1 sin x + cos x ⇔ ⇔ PT ⇔ ( sin x + cos x ) = sin x cos x sin x = sin x = Giải kết hợp với điều kiện thu được: x = − π π π π + kπ , x = + kπ hay x = + k 4 Điều kiện: cos x ≠ 0,sin x ≠ sin x sin x sin x sin x + cos x cos x + = 8cos x ⇔ = 8cos x PT ⇔ cos x cos x cos x sin x cos x = ⇔ cos x ( − 8cos x cos x sin x ) = ⇔ sin x = π π π 5π π +k ∨ x= +k ĐS: x = + kπ ∨ x = 24 24 (ĐHNT1997) Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ ⇔ 2sin x cos x + = 3+ ⇔ 2sin x + cos x = sin x cos x + cos x sin x sin x cos x sin x = ( lo¹i ) ⇔ + sin x = sin x cos x + ⇔ sin x sin x − cos x = ⇔ sin x = cos x π ⇔ tan x = x = + kπ (DB2003) Điều kiện: cos x ≠ ( ) sin x sin x ⇔ cos x + − cos x = ⇔ + cos x − = + cos x cos x cos x ⇔ 2sin x − 1÷ = + cos x ⇔ ( + cos x ) ( − cos x ) − cos x = cos x π ĐS: x = π + k 2π , x = ± + k 2π cos x.sin x.sin x ( tan x + cot x ) ≠ Điều kiện: cot x ≠ PT ⇔ sin x cos x + cos x sin x ( = ) ( cos x − sin x ) cos x sin x ⇔ = sin x cos x cos x −1 sin x ⇔ sin x cos x − = Kết hợp với điều kiện thu nghiệm phươngtrình là: x = − π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword (A2003) Điều kiện: cos x ≠ 0,sin x ≠ 0, tan x ≠ −1 2 cos x − sin x cos x ( cos x − sin x ) ⇔ = + sin x − sin x cos x sin x cos x + sin x cos x − sin x = ⇔ ( cos x − sin x ) − cos x + sin x ÷ = ⇔ sin x sin x − sin x cos x − = tan x = π ⇔ ⇔ x = + kπ ( t / m ) tan x − tan x + = Bài Giảiphươngtrình sau 3 5 sin x + cos x = ( sin x + cos x ) 6 8 sin x + cos x = ( sin x + cos x ) sin x + cos8 x = ( sin10 x + cos10 x ) + cos x (ĐHNT HCM2000) Hướng dẫn giải cos x = 3 3 ⇔ sin x ( − 2sin x ) = cos x ( cos x − 1) ⇔ cos x ( sin x − cos x ) = ⇔ tan x = 6 (QGHN99) PT ⇔ sin x ( − 2sin x ) − cos x ( cos x − 1) = cos x = ⇔ cos x ( sin x − cos x ) = ⇔ tan x = ±1 PT ⇔ sin x ( − 2sin x ) + cos8 x ( − cos x ) − cos x = 5 ⇔ cos x cos8 x − sin x + ÷ = 4 Bài Giảiphươngtrình sau − tan x ( tan x + 2sin x ) + cos x = (DB2003) tan 3x + cot x = tan x + sin x cos3 x + cos x ( 2sin x − 1) − sin x − ( sin x + cos x ) =0 2sin x − sin x ( cos x + 3) − cos x − 3 cos x + ( ) cos x − sin x − 3 = cos6 x + 2 sin x sin x − cos x − = ( cot x − cos x ) − ( tan x − sin x ) = Hướng dẫn giải (DB2003) Điều kiện: cos x ≠ PT ⇔ − sin x sin x + 2sin x cos x ÷+ cos x = cos x cos x ⇔ 3cos x − sin x ( + cos x ) + cos3 x = ⇔ 3cos x ( + cos x ) − sin x ( + cos x ) = ⇔ ( + cos x ) ( 3cos x − sin x ) = ĐS: x = ± π + kπ , ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword cos x ≠ cos x ≠ π π π ⇔ x ≠ +k ,x ≠ k * Điều kiện: sin x ≠ sin x ≠ PT ⇔ ( tan 3x − tan x ) + ( tan x + cot x ) = sin x 2sin x cos x ⇔ + = cos 3x cos x cos x sin x sin x ⇔ 4sin x sin x + cos x cos x = cos x ⇔ 4sin x sin x + cos x + cos x = cos 3x ⇔ sin x sin x ( cos x + 1) = ⇔ cos x = − ( t / m ) π π π Cách (Bạn Hồng & Thanh Tùng A1) Điều kiện: x ≠ + k , x ≠ k PT ⇔ tan x + cot x = tan x + tan x + cot x ⇔ tan x − tan x − tan x = 2sin x sin x ⇔ ( tan 3x − tan x ) + tan x − tan x = ⇔ + =0 cos 3x cos x cos x cos x ⇔ sin x = ( lo¹i ) 2sin x cos x + sin x cos x = ⇔ sin x ( cos x + 1) = ⇔ cos 3x cos x cos x cos x + = ⇔ cos x = − ( t / m) 1 Vậy phươngtrình có nghiệm x = ± arccos − ÷+ kπ 4 Điều kiện: 2sin x − ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π π +k 2 PT ⇔ cos x ( cos x + sin x ) − cos x ( cos x + sin x ) − ( sin x + cos x ) = ⇔ ( sin x + cos x ) ( cos x − 1) ( cos x − 1) Kết hợp với điều kiện thu nghiệm phương trình: x = k 2π ,( k ∈¢) 3 PT ⇔ 2sin x cos x + 6sin x cos x − cos x − cos x + ( ) ( ) ( ⇔ cos x sin x − cos x + cos x sin x − cos x + ( ) ⇔ sin x − cos x ( cos x + cos x − ) = ( ) cos x − sin x = ) cos x − sin x = 3 PT ⇔ 2 cos x ( cos x − 3cos x ) + 2 sin x sin x − = ⇔ cos x ( cos x cos 3x ) + 2sin x ( 2sin x sin x ) = ⇔ ( + cos x ) ( cos x + cos x ) + ( − cos x ) ( cos x − cos x ) = ⇔ ( cos x + cos x cos x ) = ⇔ cos x cos 2 x = ⇔ cos x = π ⇔ x = ± + kπ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ PT ⇔ ( cot x − cos x + 1) − ( tan x − sin x + 1) = cos x − sin x cos x + sin x sin x − sin x cos x + cos x ⇔ 3 ÷− ÷= sin x cos x cos x − sin x cos x + sin x = ⇔ = sin x cos x 2 π t − 2t − = ví i t = sin x + cos x = cos x − ÷÷ ⇔ tan x = Đối chiếu với điều kiện thu được: x = π 1− ± arccos + k 2π , x = arctan + kπ KĨ THUẬT 3: ĐẶT ẨN PHỤ Chọn góc để đặt ẩn phụ Bài Giảiphươngtrình sau 3π x π x − ÷ = sin + ÷ sin 10 10 π π sin 3x − ÷ = sin x.sin x + ÷ 4 4 3π x − ÷= cos x − 2sin 2 3x 5x π x π sin − ÷− cos − ÷ = cos 4 2 4 Hướng dẫn giải Nhận xét: Nhìn vào phươngtrình ta nghĩ dùng cơng thức biến đổi sin tổng … đừng vội 3π x π 3x − ÷ + ÷ có quan hệ với làm khó lắm, ta xem mối quan hệ hai cung 10 10 nào? 3π x 9π x π 3x − ⇒ 3t = − = π − + ÷ sử dụng cơng thức góc nhân ba Thật ta đặt t = 10 10 10 biến đổi dễ dàng sin t = 1 PT ⇔ sin t = sin 3t ⇔ sin t = ( 3sin t − 4sin t ) ⇔ sin t ( − sin t ) = ⇔ 2 cos t = 3π 3π π − k 2π , x = ± − k 4π , ( k ∈ ¢ ) 5 Chú ý: Nếu không làm quen với cách biến đổi trên, ta làm sau: 3π x 3π π 3x t= − ⇒x= − 2t ⇒ + =π −t 10 10 3π x − ⇒ x = 3π − 2t PT ⇔ cos ( 3π − 2t ) − 2sin t = ⇔ sin t − sin t − = Đặt t = 2 π π kπ Đặt t = x + ĐS: x = − + 4 Vậy nghiệm phươngtrình là: x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword x π 3x 3π x π − ⇒ = 3t + , − = 5t + π 4 3π PT ⇔ sin ( 5t + π ) − cos t = cos 3t + ÷ ⇔ sin 5t + cos t = cos 3t + sin 3t Đặt t = ⇔ sin 5t − sin 3t = cos 3t − cos t ⇔ 2sin t ( cos 4t + sin 2t ) = x π 3π x − ÷ áp dụng cơng thức tổng sang tích cho vế trái Chú ý: Có thể chuyển cos − ÷ = sin 2 4 2 Bài Giảiphươngtrình sau π π 3 3 8cos x + ÷ = cos x tan x − ÷ = tan x − 3 4 x π x π x 2π 3x π cos − ÷− sin − ÷ = 2sin + ÷− 2sin + ÷ 12 12 5 6 Hướng dẫn giải π π 2π + kπ , x = kπ Đặt t = x + ĐS: x = + kπ , x = − π + tan t − ⇔ ( − tan t ) tan t = tan t Đặt t = x − PT ⇔ tan t = − tan t 5π 5π 5π + k 5π , x = − + k 5π , x = − + k 5π (ĐHYTB1997) ĐS: x = 12 Chọn biểu thức để đặt ẩn phụ Bài Giảiphươngtrình sau =6 3sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x = 3sin x + cos x + 1 = cos x + cos x + cos 2 x + cos x = 4sin 2 x cos x cos x cos x ( Hướng dẫn giải t = Đặt t = 3sin x + cos x + 1( t ≠ ) Từ phươngtrình ta có t − 7t + = ⇔ t = Đặt t = sin x + cos x , ( t ≥ ) Từ phươngtrình ta có t = 1, t = −2 (loại) π π Vậy sin x + cos x = ⇔ sin x + ÷ = sin 3 1 ⇒ cos x + = t − Từ phươngtrình ta có t = −1, t = Đặt t = cos x + cos x cos x 2 ⇔ cos x + cos x = ( − cos x ) ( + cos x ) Do ta đặt t = cos x, t ≤ 2t 1+ t2 Ngồi ta khai triển đưa phươngtrình đẳng cấp bậc theo sin cos Đặt t = tan x ⇒ sin x = ( − cos x ) + 2 ⇔3 cos x ) 2 3cot x + 2 sin x = + 2 cos x + tan x = 2sin x ( ) ( − cos x ) = + 2 cos x Do đặt t = cos x, t ≤ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword ( ) 2 Chú ý: Có thể đưa phươngtrình dạng tích ( sin x − cos x ) 3cos x − 2 sin x = KĨ THUẬT 4: NHĨM BÌNH THƯỜNG Biến đổi phươngtrình dạng A2 + B2 = Bài Giảiphươngtrình sau cos x + tan x − cos x + tan x + = + sin 2 x = 2sin x + cos x + 2 sin x cos 2 x + cos x + = sin x ( ) ( Hướng dẫn giải ) PT ⇔ cos x − cos x + + tan x + tan x + = ( ⇔ cos x − ) +( 2 cos x − = π tan x + = ⇔ ⇔ x = − + k 2π tan x + = ) Nhận xét: Vì xuất sin 2x 2sin 2x ta nghĩ đến việc đưa ( sin x − 1) ta biến đổi sau: 2 PT ⇔ sin x − 2sin x + + ( − cos x ) − 2 sin x + = ⇔ ( sin x − 1) + π x = + k 2π sin x − = ⇔ sin x = ⇔ x = 3π + k 2π ( ) Nhận xét: Vì xuất cos 2x cos 2x ta nghĩ đến việc đưa ( cos x ± 1) , phần lại ta biến đổi sin x PT ⇔ cos 2 x + cos x + + 4sin x − sin x + = π x = + k 2π sin x = ⇔ sin x = ⇔ ⇔ ( cos x + 1) + 2sin x − = ⇔ x = 2π + k 2π cos x = − 2 Biến đổi phươngtrình dạng A2 = B2 Bài Giảiphươngtrình sau sin x = tan x + tan x tan x + sin 2 x = cos x cos x + tan x = tan x + cot x = cot x + sin x + cos x 2 sin x = cos x + cos x − cos x cos 3x + cos x + 3cos 2 x + cos x = x 32 cos + sin x = 3sin x Hướng dẫn giải ( ) PT ⇔ + 2sin x cos x = + tan x + tan x ⇔ ( sin x + cos x ) = ( + tan x ) 2 Nhận xét: Ta nhận thấy tan x sin x = 2sin x ta cộng vào vế lượng 4sin x PT ⇔ tan x + tan x sin x + sin 2 x = cos x + 4sin x ⇔ ( tan x + sin x ) = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword Nhận xét: Vì nhận thấy xuất tan x tan x nên ta chuyển vế để đưa dạng đẳng thức ( tan x − 1) PT ⇔ − = tan x − tan x + ⇔ cot x = ( tan x − 1) ⇔ tan x − = ± cot x sin x Nhận xét: Vì nhìn thấy xuất cot x cot x nên ta chuyển vế để xuất ( cot x − 1) PT ⇔ cot x − cot x + + cos x − sin x = ⇔ ( cot x − 1) − =0 + cos x cos x ⇔ ( cot x − 1) = tan x ⇔ cot x − = ± tan x Nhận xét: Do xuất nhiều góc khác nên ta biến đổi cos 3x − cos x = −2sin x sin x , sau vế trái có sin 2x nên ta đưa ( sin x + sin x ) PT ⇔ sin 2 x = cos x − 2sin x sin x ⇔ ( sin x + sin x ) = cos x + sin x ⇔ ( sin x + sin x ) = cos x Nhận xét: Do xuất cos 3x + cos x nên ta nghĩ đến đẳng thức ( cos 3x + cos x ) Vì ta cộng thêm hai vế với cos x cos x vế phải ta dùng cơng thức biến đổi tích sang tổng cos x cos x = cos x + cos x PT ⇔ cos x + cos x cos x + cos x = − 3cos 2 x − cos x + cos x cos x ⇔ ( cos x + cos x ) = − 3cos 2 x + cos x ⇔ ( cos x + cos x ) = sin 2 x 2 x x x + sin x = 3sin x ⇔ 32 cos = 3sin x − sin x ⇔ cos ÷ = 4sin x 2 2 π ⇔ + cos x = sin x ⇔ sin x − ÷ = 4 32 cos KĨ THUẬT 5: XỬ LÝ PHƯƠNGTRÌNH CĨ ĐIỀU KIỆN Biểu diễn nghiệm điều kiện qua hàm số lượnggiác Trong phần cần sử dụng tốt kết sau: sin x ≠ ⇔ cos x ≠ ±1 ; cos x = ±1 ⇔ sin x = ; cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 sin x = ±1 ⇔ cos x = sin x ≠ cos x ≠ ±1 cos x = ±1 sin x = sin x ≠ ⇔ ⇔ sin x = ±1 ⇔ cos x = ⇔ sin x = cos x ≠ sin x ≠ ±1 Bài Giảiphươngtrình sau 1 + = (THTT09) cos x sin x sin x x cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = (B06) 2 sin 2 x + cos x − =0 sin x cos x ( + sin x + cos x ) sin x + + tan x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword π ÷ 4 = cos x sin x + cos x = cos 4 x π π tan − x ÷tan + x ÷ 4 Hướng dẫn giải sin x ≠ ±1, cos x ≠ 0, (THTT09) Điều kiện: sin x ≠ 0, ⇔ sin x ≠ 0, sin x ≠ sin x ≠ ± 2 Khi PT ⇒ 4sin x cos x + cos x = ⇔ sin x ( 2sin x + sin x − 1) = π x = + k 2π Giải nghiệm sin x kết hợp điều kiện ta được: sin x = ⇔ x = 5π + k 2π Điều kiện: sin x > Khi phươngtrình cho trở thành cos 2 x = sin x = ±1 sin 2 x + cos x − = ⇔ cos x − cos 2 x = ⇔ ⇔ sin x = cos x = π Đối chiếu với điều kiện ta được: sin x = ⇔ x = + kπ x (B2006) Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, cos ≠ ⇔ sin x ≠ cos x sin x x x cos x sin x + cos x cos + sin x sin ÷ = ⇔ + =4 PT sin x cos x cos x 2 sin x cos x π x = + k 2π , 12 ⇔ = ⇔ sin x = ( t / m ) ⇔ ( k ∈¢) sin x x = 5π + kπ 12 ⇒ cos x ≠ sin x ≠ ±1 ⇔ (A2010) Điều kiện: tan x ≠ −1 tan x ≠ −1 ( + sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) cos x = cos x Khi PT ⇒ ( cos x + sin x ) ⇔ + sin x + cos x = ⇔ sin x + − 2sin x = π sin x = 1( lo¹i ) x = − + k 2π ⇔ ⇔ sin x = − ( t / m ) 7π x= + k 2π π π π π Điều kiện: sin − x ÷ ≠ 0, cos − x ÷ ≠ 0,sin + x ÷ ≠ 0, cos + x ÷ ≠ 4 4 4 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword π π ⇔ sin − x ÷ ≠ 0, cos + x ÷ ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 2 2 π π Nhận thấy tan − x ÷tan + x ÷ = , phươngtrình cho trở thành 4 4 sin x + cos x = cos 4 x ⇔ − sin 4 x = cos 4 x ⇔ cos 4 x − cos x − = sin x = ⇔ cos x = ⇔ sin x = ⇔ cos x = Đối chiếu với điều kiện ta sin x = ⇔ x = k π ,( k ∈¢) 2 Biểu diễn đường tròn lượnggiác Mỗi cơng (hoặc góc) lượnggiác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác: x = α + k 2π biểu diễn ĐTLG điểm xác định cung α x = α + kπ biểu diễn ĐTLG điểm đối xứng qua tâm O 2π x =α +k biểu diễn ĐTLG điểm cách nhau, tạo thành đỉnh tam giác 2π x =α +k biểu diễn ĐTLG n điểm cách nhau, tạo thành đa giác nội tiếp đường tròn n lượnggiác Ta biểu diễn ĐTLG điểm khơng thỏa mãn điều kiện (đánh dấu ×) điểm nghiệm tìm (đánh dấu ) Những điểm đánh dấu “” mà không trùng với điểm đánh dấu “×” điểm thỏa mãn điều kiện Bài Giảiphươngtrình sau sin x + cos x − sin x − = (D2011) tan x + sin x + sin x = −1 sin x ( sin x + cos6 x ) − sin x cos x − 2sin x ( − 2sin x ) cos x ( + 2sin x ) ( − sin x ) = (A2009) Hướng dẫn giải π x ≠ − + kπ tan x ≠ − ⇔ Điều kiện: cos x ≠ x ≠ π + kπ Khi phươngtrình cho trở thành: sin x + cos x − sin x − = ⇔ cos x ( sin x + 1) − ( sin x + 1) = π sin x = −1 x = − + k 2π ⇔ ( sin x + 1) ( cos x − 1) = ⇔ ⇔ cos x = x = ± π + k 2π Kết hợp với điều kiện đường tròn lượnggiác ta nghiệm PT x = = (A06) π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword π x ≠ + k 2π ⇔ Điều kiện: sin x ≠ Khi phươngtrình trở thành: x ≠ 3π + k 2π ( sin x + cos x ) − sin x cos x = ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin x = π ⇔ 3sin 2 x + sin x − = ⇔ sin x = x = + kπ Kết hợp với điều kiện đường tròn lượnggiác ta nghiệm PT là: x = Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ k 5π + k 2π ( k ∈ ¢ ) π Khi phươngtrình trở thành π sin x = x = k sin x + sin x + sin x = ⇔ sin x ( cos x + 1) = ⇔ ⇔ cos x = − x = ± 2π + k 2π π Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác, ta có nghiệm PT là: x = + kπ Điều kiện: sin x ≠ sin x ≠ − (*) Với điều kiện phươngtrình cho tương đương: ( − 2sin x ) cos x = ( + 2sin x ) ( − sin x ) π π ⇔ cos x − sin x = sin x + cos x ⇔ cos x + ÷ = cos x − ÷ 3 6 π π 2π ⇔ x = + k 2π x = − + k 18 π 2π Kết hợp điều kiện (*) ta nghiệm: x = − + k ( k ∈¢) 18 3 Thử trực tiếp (dùng mệnh đề phủ định) Chúng ta cần lưu ý kết tính chu kì hàm số lượnggiác sau đây: sin ( x + k 2π ) = sin x, ∀x ∈ ¡ cos ( x + k 2π ) = cos x, ∀x ∈ ¡ π + kπ Bài Giảiphươngtrình sau + sin x + cos x = sin x sin x + cot x cos 3x.tan x = sin x tan ( x + kπ ) = tan x, ∀x ≠ cot ( x + kπ ) = cot x, ∀x ≠ kπ 3sin x + cos x = ( + tan x ) − tan x tan x = Hướng dẫn giải Điều kiện: sin x ≠ ⇔ cos x ≠ ±1 Khi phươngtrình cho trở thành sin x ( + sin x + cos x ) = 2 sin x cos x ⇔ + 2sin x cos x + cos x − = 2 cos x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword cos x π cos x = ( t / m ) ⇔ x = + kπ ⇔ cos x sin x + cos x − = ⇔ sin x + cos x = ( *) ( ) Dùng mệnh đề phủ định: Giả sử sin x = ⇔ cos x = ±1 , (*) ⇔ ± = (vơ lí) Tức nghiệm π π (*) thỏa mãn Giải (*) ta được: cos x − ÷ = ⇔ x = + k 2π 4 π π Vậy phươngtrình có nghiệm: x = + kπ , x = + k 2π Điều kiện: cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 Khi phươngtrình cho trở thành ⇒ cos x ( 3sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) − ⇔ cos x ( 3sin x + cos x ) − cos x = 3sin x + cos x − cos x = 1( t / m ) ⇔ x = k 2π ⇔ ( 3sin x + cos x − 1) ( cos x − 1) = ⇔ 3sin x + cos x = 1(*) Xét (*): Giả sử cos x = ⇔ sin x = ±1 , (*) ⇔ ±3 − = (vơ lí) Tức nghiệm (*) thỏa mãn + k 2π (với cos α = ;sin α = ) 13 13 13 + k 2π Vậy phươngtrình có nghiệm: x = k 2π ; x = α ± arccos 13 π π Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ + m , ( m ∈ ¢ ) Khi phươngtrình trở thành 10 π x = k 2sin x cos x = 2sin x cos x ⇔ sin x = sin12 x ⇔ ( k ∈¢) π π x = +k 20 10 π π π k −1 + Giả sử k = + m ⇔ 5k = + 2m(*) Suy m = 2k + 10 k −1 ⇔ k = s + (tức k số lẻ) Mặt khác, k , m ∈ ¢ nên tồn s ∈ ¢ cho: s = π Suy x = k nghiệm PT k ≠ s + Chọn k = s thu nghiệm x = sπ ( s ∈ ¢ ) π π π π + k = + m ⇔ 2k − 4m = ⇔ k − 2m = (**) + Giả sử 20 10 10 Ta nhận thấy k − 2m ∈ ¢ , ∉ ¢ nên khơng tồn k , m ∈ ¢ thỏa mãn (**) π π +k Do x = nghiệm PT với k ∈ ¢ 20 10 π π + k ( k, s ∈ ¢ ) Vậy phươngtrình có nghiệm: x = sπ x = 20 10 Giải (*) ta được: x = α ± arccos http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword π π x ≠ + m ( 1) cos x ≠ 10 ⇔ Điều kiện: ( m, n ∈ ¢ ) cos x ≠ x ≠ π + n π (2) π π π ⇔ tan x = cot x ⇔ tan x = tan − x ÷ ⇔ x = + k tan x 14 2 + Đối chiếu điều kiện (1): π π π π + 2m +k = +m ⇔ k = m+ Giả sử (*) 14 10 5 + 2m t −1 ⇔ m = 2t + Do k , m ∈ ¢ nên tồn t ∈ ¢ cho: t = t −1 ⇔ t = 2s + Mặt khác, t , m ∈ ¢ nên tồn s ∈ ¢ cho: s = π π Thay vào (*) ta được: k = s + Do x = + k thỏa mãn điều kiện (*) với k ≠ s + 14 + Đối chiếu điều kiện (2): π π π π + k = + n ⇔ 4k − 14n = ( **) Giả sử 14 Ta nhận thấy vế trái (**) số chẵn, vế phải (**) số lẻ nên không tồn k , n ∈ ¢ thỏa mãn điều kiện (**) Do PT ⇔ tan x = π π + k thỏa mãn điều kiện (**) 14 π π Vậy phươngtrình có nghiệm: x = + k với k ≠ s + 14 x = LƯỢNGGIÁC TRONG ĐỀ THI 2002 – 2014 Bài (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) phương trình: cos 3x + sin x sin x + ÷ = cos x + + 2sin x Bài (ĐH B2002) Giảiphương trình: sin x − cos x = sin x − cos x ĐS: x = π 5π ;x = 3 ĐS: x = kπ kπ ;x = ( k ∈¢) Bài (ĐH D2002) Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm phương trình: cos 3x − cos x + 3cos x − = Bài (ĐH A2003) Giảiphương trình: cos x cot x − = + sin x − sin x + tan x Bài (ĐH B2003) Giảiphương trình: cot x − tan x + 4sin x = sin x Bài (ĐH D2003) Giảiphương trình: ĐS: x = π 3π 5π 7π ;x = ;x = ;x = 2 2 ĐS: x = π + kπ ( k ∈ ¢ ) ĐS: x = ± π + kπ ( k ∈ ¢ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword x π x π sin − ÷tan x − cot = ĐS: x = π + k 2π ; x = − + kπ 2 4 Bài (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos A + 2 cos B + 2 cos C = Tính ba góc tam giác ABC Bài (ĐH B2004) Giảiphương trình: ĐS: A = 90°; B = C = 45° 5sin x − = ( − sin x ) tan x ĐS: x = π 5π + k 2π ; x = + k 2π 6 Bài (ĐH D2004) Giảiphương trình: ( cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x − sin x ĐS: x = ± π π + k 2π ; x = − + kπ Bài 10 (ĐH A2005) Giảiphương trình: ĐS: x = cos 3x cos x − cos x = kπ ( k ∈¢) Bài 11 (ĐH B2005) Giảiphương trình: 2π π + k 2π ; x = − + kπ + sin x + cos x + sin x + cos x = ĐS: x = ± Bài 12 (ĐH D2005) Giảiphương trình: π π cos x + sin x + cos x − ÷sin x − ÷− = 4 4 Bài 13 (ĐH A2006) Giảiphương trình: ĐS: x = π + kπ ( k ∈ ¢ ) ĐS: x = 5π + k 2π ( k ∈ ¢ ) ĐS: x = π 5π + kπ ; x = + kπ 12 12 ( cos6 x + sin x ) − sin x cos x =0 − 2sin x Bài 14 (ĐH B2006) Giảiphương trình: x cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 2 Bài 15 (ĐH D2006) Giảiphương trình: cos 3x + cos x − cos x − = ĐS: x = kπ ; x = ± 2π + k 2π ĐS: x = k 2π ; x = π π + k 2π ; x = − + kπ Bài 16 (ĐH A2007) Giảiphương trình: ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin x 2 Bài 17 (ĐH B2007) Giảiphươngtrình 2sin 2 x + sin x − = sin x ĐS: x = π kπ π k 2π 5π k 2π + ;x = + ;x = + 18 18 ĐS: x = π π + k 2π ; x = − + k 2π Bài 18 (ĐH D2007) Giảiphương trình: x x sin + cos ÷ + cos x = 2 2 Bài 19 (ĐH A2008) Giảiphương trình: 1 7π + = 4sin − x÷ π sin x sin x − ÷ Bài 20 (ĐH D2008) Giảiphương trình: ĐS: x = − π π 5π + kπ ; x = − + kπ ; x = + kπ 8 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x ĐS: x = π kπ π + ; x = − + kπ Bài 21 (ĐH D2008) Giảiphương trình: 2sin x ( + cos x ) + sin x = + cos x Bài 22 (ĐH A2009) Giảiphương trình: ( − 2sin x ) cos x = ( + 2sin x ) ( − sin x ) ĐS: x = ± 2π π + k 2π ; x = + kπ ĐS: x = − π k 2π + ( k ∈¢) 18 ĐS: x = − π π k 2π + k 2π ; x = + 42 Bài 23 (ĐH B2009) Giảiphương trình: sin x + cos x sin x + cos x = ( cos x + sin x ) Bài 24 (ĐH D2009) Giảiphương trình: cos x − 2sin x cos x − sin x = ĐS: x = π kπ π kπ + ;x = − + 18 Bài 25 (ĐH A2010) Giảiphương trình: π ( + sin x + cos x ) sin x + ÷ 4 = cos x + tan x Bài 26 (ĐH B2010) Giảiphương trình: ĐS: x = − ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x = ĐS: x = π kπ + ( k ∈¢) sin x − cos x + 3sin x − cos x − = ĐS: x = π 5π + k 2π ; x = + k 2π 6 Bài 28 (ĐH A2011) Giảiphương trình: + sin x + cos x = sin x sin x + cot x Bài 29 (ĐH B2011) Giảiphương trình: ĐS: x = π π + kπ ; x = + k 2π sin x cos x + sin x cos x = cos x + sin x + cos x ĐS: x = π π k 2π + k 2π ; x = + 3 Bài 30 (ĐH D2011) Giảiphương trình: sin x + cos x − sin x − =0 + tan x Bài 31 (ĐH A2012) Giảiphương trình: ĐS: x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) ĐS: x = π 2π + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π ĐS: x = 2π k 2π + k 2π ; x = ( k ∈¢) 3 ĐS: x = π kπ 7π π + ;x = + k 2π ; x = − + k 2π 12 12 π 7π + k 2π ; x = + k 2π 6 Bài 27 (ĐH D2010) Giảiphươngtrình sin x + cos x = cos x − Bài 32 (ĐH B2012) Giảiphương trình: ( ) cos x + sin x cos x = cos x − sin x + Bài 33 (ĐH D2012) Giảiphương trình: sin x + cos x − sin x + cos x = cos x Bài 34 (ĐH A2013) Giảiphương trình: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword π + tan x = 2 sin x + ÷ 4 Bài 35 (ĐH B2013) Giảiphương trình: sin x + cos x = ĐS: x = − π π + kπ ; x = ± + k 2π ĐS: x = − π k 2π π k 2π + ;x = − + 14 Bài 36 (ĐH D2013) Giảiphương trình: ĐS: x = sin 3x + cos x − sin x = π kπ π 7π + ; x = − + k 2π ; x = + k 2π 6 Bài 37 (ĐH A2014) Giảiphươngtrình ĐS: x = ± sin x + cos x = + sin x π + k 2π ( k ∈ ¢ ) Bài 38 (ĐH B2014) Giảiphương trình: 3π + k 2π ( k ∈ ¢ ) Hết ( sin x − cos x ) = − sin x ĐS: x = ± http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu fileword ... x + = MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c Cách giải: Chia hai vế phương trình cho → a a + b2 C1:... LƯỢNG GIÁC Sử dụng phép biến đổi góc lượng giác Khi việc giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ góc (cung) để từ kết hợp với phép biến đổi góc đặc biệt, cơng thức cộng lượng giác. .. + k 2π 42 Sử dụng công thức hạ bậc Khi giải phương trình lượng giác mà bậc sin cos bậc chẵn ta thường hạ bậc từ đưa phương trình Bài Giải phương trình sau sin x + sin 2 x + sin x = sin