7 TIEP TUYEN

TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC • Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M ( x0;f(x0)) Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( x0;f(x0)) là: ( y0 = f(x0)) • Điều kiện cần đủ để hai đường ( C1) : y = f(x) y – y0 = f ′(x0).(x – x0 ) ( C ) : y = g(x) tiếp xúc  f(x0) = g(x0) điểm có hồnh độ x0 hệ phương trình  có nghiệm x0 f '(x0) = g'(x0) Nghiệm hệ hồnh độ tiếp điểm hai đường • Nếu (C1) : y = px + q  ( C ) : y = ax2 + bx + c (C1) ( C ) iếp xúc ⇔ phương trình ax2 + bx + c = px + q có nghiệm kép Các dạng tiếp tuyến đồ thị hàm số thường gặp - Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M ( x0;y0 ) , hoành độ x0 , tung độ y0 - Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A ( xA ;yA ) cho trước - Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Phương pháp: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C ) M ( x0;y0 ) điểm ( C ) Tiếp tuyến với đồ thị ( C ) M ( x0;y0 ) có: - Hệ số góc: k = f '( x0 ) - Phương trình: y − y0 = k ( x − x0 ) , hay y − y0 = f '( x0 ) ( x − x0 ) Vậy, để viết phương trình tiếp tuyến M ( x0;y0 ) cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính cách thay x0 vào hàm số y0 = f ( x0 ) ) - Hệ số góc k = f '( x0 ) B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP 167 Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm ( x0;y0) Phương pháp Hai đồ thị tiếp xúc 1.1 Định nghĩa: Hai đồ thị hai hàm số y = f ( x)  y = g ( x) gọi tiếp xúc điểm M M chúng có tiếp tuyến 2.1 Định lí 1: Hai đồ thị hai hàm số y = f ( x)  y = g ( x) tiếp xúc f(x) = g(x) hệ phương trình:  có nghiệm nghiệm hệ f '(x) = g'(x) tọa độ tiếp điểm Tiếp tuyến đồ thị hàm số 1.2 Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) Một cát tuyến MM giới hạn đường thẳng M 0T M dần tới M M 0T gọi tiếp tuyến đồ thị M gọi tiếp điểm Định lí 2: Đạo hàm f ( x) x = x0 hệ số góc tiếp tuyến ( ) M x0;f ( x0 ) Nhận xét: Hệ số góc tiếp tuyến có dạng f '( x0 ) 2.2 Các tốn phương trình tiếp tuyến: Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M(x0;f(x0)) Phương pháp: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M(x0;y0) là: y = f '(x0)(x − x0) + y0 với y0 = f(x0) Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k Phương pháp: Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = kx + b f(x) = kx + b (1) * Điều kiện tiếp xúc hệ phương trình:  (2) f '(x) = k Từ (2) ta tìm x , vào (1) ta có b Ta có tiếp tuyến cần tìm Cách 2: * Giải phương trình f '(x) = k giải phương trình ta tìm nghiệm x1,x2 , ,xn * Phương trình tiếp tuyến: y = f '(xi )(x − xi ) + f(xi ) (i = 1,2, ,n) Chú ý: Đối với toán ta cần lưu ý số vấn đề sau: 168 * Số tiếp tuyến đồ thị số nghiệm phương trình : f '(x) = k *Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 d2 : y = k2x + b2 Khi i) tan α = k1 − k2 , α =·(d1,d2) 1+ k1.k2 k1 = k2 ii) d1 / /d2 ⇔   b1 ≠ b2 iii) d1 ⊥ d2 ⇔ k1.k2 = −1 Bài toán 01: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm Phương pháp Bài toán : Hai đường cong ( C ) : y = f ( x) ( C') : y = g ( x) tiếp xúc M ( x0;y0 ) Khi điểm M ∈ ( C ) ∩ ( C') tiếp tuyến M ( C ) trùng với tiếp tuyến f ( x0 ) = g ( x0 ) M ( C') hệ phương trình sau:  có nghiệm x0 f '( x0 ) = g'( x0 ) Lưu ý : Mệnh đề sau không cho trường hợp: ( C ) : y = f ( x) tiếp xúc ⇒ f ( x) − ax − b = có nghiệm kép  ( d ) : y = ax + b Hàm f ( x) nhận x0 làm nghiệm bội k f ( x0 ) = f '( x0 ) = = f ( k−1) ( x0 ) = f k ( x0 ) ≠ Nghiệm bội lớn nghiệm kép Phép biến đổi tương đương phương trình nói chung khơng bảo tồn số bội nghiệm Ví dụ Đường cong y = x không tiếp xúc với trục hồnh 0, tức phương trình x = không nhận làm nghiệm bội lớn Khi đồ thị ( C ) : y = x3 hàm số tiếp xúc với trục hồnh x = phương trình x3 = nhận làm nghiệm bội Ví dụ Đồ thị ( C ) : y = sinx hàm số tiếp xúc với đường thẳng ( d ) : y = x x = phương trình sinx − x = khơng thể có nghiệm kép Như vậy, biến đổi tương đương phương trình bảo tồn tập nghiệm, khơng bảo toàn số bội nghiệm Đây sai lầm dễ mắc phải giải toán tiếp tuyến Bài toán : 169 * Đường cong ( C ) : y = f ( x) có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 hàm số y = f ( x) khả vi x0 Trong trường hợp ( C ) có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến có hệ số góc f '( x0 ) ( * Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = f ( x) điểm M x0;f ( x0 ) dạng : y = f '( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) Các ví dụ ) có Ví dụ : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) : Tại điểm M ( −1;3) ; Tại điểm có hồnh độ ; Tại điểm có tung độ ; Tại giao điểm (C) với trục tung ; Có hệ số góc ; Song song với đường thẳng (d ): 27x − 3y + = ; Vng góc với đường thẳng (d’ ) : x + 9y + 2013 = Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = 3x2 + 6x Phương trình tiếp tuyến y = y'( −1) ( x + 1) + ( t) M ( −1;3) có phương trình : Ta có: y'( −1) = −3 , phương trình ( t) là: y = −3x + Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( ) M x0;f ( x0 ) y = f ( x) điểm Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) M ( x0;y0 ) là: y = f '( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Thay x = vào đồ thị (C) ta y = 21 Tương tự câu 1, phương trình ( t) là: y = 24x − 27 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) biết hoành độ tiếp điểm x = x0 , y0 = f ( x0 ) , y'( x0 ) ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = f '( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Thay y = vào đồ thị (C) ta x2 ( x + 3) = ⇔ x = x = −3 Tương tự câu 1, phương trình ( t) là: y = 1, y = 9x + 28 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) biết tung độ tiếp điểm y0 Gọi M ( x0 ;y0 ) tiếp điểm 170 Giải phương trình f ( x) = y0 ta tìm nghiệm x0 Tính y'( x0 ) ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = f '( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Trục tung Oy : x = ⇒ y = 1.Tương tự câu 1, phương trình ( t) là: y = Gọi ( x0;y0 ) tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến ( t) Ta có : y'( x0 ) = 3x02 + 6x0 , theo giả thiết y'( x0 ) = , tức 3x02 + 6x0 = ⇒ x0 = −3 x0 = Tương tự câu Gọi ( x0;y0 ) tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến ( t) Theo toán: ( t) P ( d ) : y = 9x + ⇒ y'( x0 ) = Tương tự câu Gọi ( x0;y0 ) tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến ( t) 2013 ⇒ y'( x0 ) = Tương tự câu Theo toán: ( t) ⊥ ( d') : y = − x − 9 Ví dụ Cho hàm số: y = x3 − ( m − 1) x2 + ( 3m + 1) x + m − Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ qua điểm A ( 2; −1) Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = x3 − (2m + 1)x2 + (m + 3)x − (d) tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) 17 Lời giải Hàm số cho xác định với ∀x ∈ ¡ Ta có: y' = 3x2 − 2( m − 1) x + 3m + Với x = 1⇒ y ( 1) = 3m + 1⇒ y'( 1) = m + Phương trình tiếp tuyến điểm có x = 1: y = ( m + 6) ( x − 1) + 3m + Tiếp tuyến qua A ( 2; −1) nên có: −1 = m + + 3m + ⇔ m = −2 Vậy, m = −2 giá trị cần tìm Hàm số cho xác định với ∀x ∈ ¡ Ta có: y' = 3x2 − 2( 2m + 1) x + m + Phương trình tiếp tuyến (d) : y = y'(2)(x − 2) + y(2) 171 y = ( 11– 7m) ( x – 2) + – 6m = ( 11– 7m) x + 8m – 15 ⇔ (11− 7m)x − y + 8m − 15 = d(0,(d)) = 8m − 15 (11− 7m) + = 17 ⇔ 17(8m − 15)2 = 49[(11− 7m)2 + 1] ⇔ 1313m2 − 3466m + 2153 = ⇔ m = 1, m = 2153 1313 Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = −x4 − x2 + , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x − x − x + có đồ thị (C) Tìm đồ thị (C) điểm mà 3 tiếp tuyến đồ thị vng góc với đường thẳng y = − x + 3 Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Gọi ( t) tiếp tuyến đồ thị ( C ) hàm số ( t) vng góc với Cho hàm số y = x − 1, nên đường thẳng ( t) có hệ số góc −6 Cách 1: Gọi M ( x0;y0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến ( t) đồ thị ( C ) đường thẳng y = hàm số Khi đó, ta có phương trình: y'( x0 ) = −6 ⇔ −4x03 − 2x0 = −6 ( ) ⇔ ( x0 − 1) 2x02 + 2x0 + = ( ∗) Vì 2x02 + 2x0 + > 0,∀x0 ∈ ¡ nên phương trình ( ∗) ⇔ x0 = 1⇒ y0 = y ( 1) = ⇒ M ( 1;4) Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −6( x − 1) + = −6x + 10 Cách 2: Phương trình ( t) có dạng y = −6x + m ( t) tiếp xúc ( C ) điểm M ( x0;y0 ) hệ phương trình sau có nghiệm x0  − x4 − x2 + = −6x + m x0 = 0 có nghiệm x0 ⇔   m = 10  −4x0 − 2x0 = −6 Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = x2 − 1 Gọi M(x0;y0) ∈ (C) ⇔ y0 = x03 − x0 + , 3 Tiếp tuyến ∆ điểm M có hệ số góc: y'(x0) = x02 − 1 Đường thẳng d: y = − x + có hệ số góc k2 = − 3 172  x = ⇒ y0 =  1 ∆ ⊥ d ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ (x02 − 1) − ÷ = −1 ⇔ x02 = ⇔    3  x0 = −2 ⇒ y0 =  4 Vậy, có điểm M ( −2;0) ,  2; ÷ tọa độ cần tìm  3 Ví dụ 3− x (1) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết x+ (d) cách hai điểm A ( −1; − 2) B( 1;0) Cho hàm số y = Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x − (1) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cách hai điểm A ( 2;7) B( − 2;7) Lời giải Cách Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y = f '(x0)(x − x0) + f(x0) ( x0 hoành độ tiếp điểm (d) (C)) =− (x0 + 2)2 (x − x0) + − x0 x0 + =− (x0 + 2)2 x+ (−x02 + 6x0 + 6) (x0 + 2)2 ⇔ 5x + (x0 + 2)2 y + x02 − 6x0 − = d(A ,(d)) = d(B,(d)) ⇔ ⇔ x02 + 14x0 + 19 = −5 − 2(x0 + 2)2 + x02 − 6x0 − 25 + (x0 + 2)4 x02 − 6x0 − = + x02 − 6x0 − 25 + (x0 + 2)4  x2 + 14x + 19 = x2 − 6x − 0 ⇔ 2  x0 + 14x0 + 19 = − x0 + 6x0 +  x0 = −1 ⇔ ⇔ x0 = −1  x0 + 4x0 + = Vậy phương trình ( d ) : y = − 5x – Cách Tiếp tuyến (d) cách hai điểm A, B suy (d) song song với đường thẳng AB (d) qua trung điểm I(0; - 1) đoạn AB * Trường hợp 1: (d) //AB y − yB = Hệ số góc đường thẳng AB: kAB = A xA − xB (d) // AB suy hệ số góc (d) : f’( x0 ) = 1⇒ − = 1(*) Phương (x0 + 2)2 trình (*) vơ nghiệm trường hợp khơng xảy * Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I đoạn AB Phương trình (d) có dạng y = kx – 173  − x0 = kx0 − (2)   x0 + (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 ⇔  có nghiệm − = k (3)  (x + 2)2  x0 Thay k = − (x0 + 2) vào (2) ta đươc − x0 x0 + =− (x0 + 2)2 −1 x0 ≠ −2 x ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ x0 = −1 x0 = −1 (3 − x0)(x0 + 2) = −5 − (x0 + 2) Thay x0 = −1vào (2) ta k = −5 Vậy phương trình ( d ) : y = − 5x – Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng : y = (3x02 − 12x0 + 9)(x − x0) + x03 − 6x02 + 9x0 − = (3x02 − 12x0 + 9)x − 2x03 + 6x02 − ⇔ (3x02 − 12x0 + 9)x − y − 2x03 + 6x02 − = (*) d(A ,(D)) = d(B,(D)) ⇔ 2(3x02 − 12x0 + 9) − − 2x03 + 6x02 − (3x02 − 12x0 + 9)2 + = −2(3x02 − 12x0 + 9) − − 2x03 + 6x02 − (3x02 − 12x0 + 9)2 + ⇔ −2x03 + 12x02 − 24x0 + 10 = −2x03 + 24x0 − 26  −2x3 + 12x2 − 24x + 10 = −2x3 + 24x − 26 (1) 0 0 ⇔  −2x03 + 12x02 − 24x0 + 10 = 2x03 − 24x0 + 26 (2) 12x2 − 48x + 36 =  x = ∨ x = 0 ⇔ ⇔ x = − ∨ x  4x03 − 12x02 + 16 = 0=2  Lần lượt thay x0 = ∨ x0 = 1∨ x0 = −1 ∨ x0 = vào (*) ta phương trình tiếp tuyến (D) y + = 0, y −  3 = 0, y = 24x + 7, y = − 3x + Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x2 + , biết d cắt trục Ox, Oy A , B thỏa mãn: OB = 9OA Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = x3 − 6x2 + 9x − điểm M , biết M điểm cực trị ( C ) tạo thành tam giác có diện tích Lời giải Gọi M x0;y ( x0 ) toạ độ tiếp điểm ( 174 ) Theo toán, đường thẳng d đường thẳng qua điểm phân biệt A ,B Gọi β góc tạo d Ox, d có hệ số góc k = ± tan β OB =9 Dễ thấy, tam giác AOB vuông O , suy tan β = OA Nói khác đường thẳng d có hệ số góc ±9 , nghĩa ta ln có:  3x2 − 6x − =  y'( x0 ) = ⇔  ⇔ x02 − 2x0 − = ⇔ x0 = −1 x0 =  y'( x0 ) = −9  3x02 − 6x0 + = x02 − 2x0 + > 0,∀x0 ∈ ¡ Với x0 = −1 suy phương trình tiếp tuyến y = 9x + Với x0 = suy phương trình tiếp tuyến y = 9x − 25 Vậy, có tiếp tuyến y = 9x + , y = 9x − 25 thỏa đề Hàm số cho có điểm cực trị A ( 1;2) , B( 3; −2) đường thẳng qua cực trị AB : 2x + y − = Gọi M ( x0;y0 ) tọa độ tiếp điểm đồ thị ( C ) hàm số tiếp tuyến ( d) cần tìm Khi y0 = x03 − 6x02 + 9x0 − Ta có: AB = , d ( M;AB) = 2x0 + y0 − Giả thiết SMA B = ⇔ AB.d ( M ;AB) = ⇔ 2x0 + y0 − = ⇔ 2x0 + y0 = 10 2x0 + y0 = −2 2x0 + y0 = −2 TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ:   y0 = x0 − 6x0 + 9x0 −  y0 = −2 − 2x0   y = −2 ⇔ ⇔ hay M ( 0; −2) x0 x0 − 6x0 + 11 = x0 = ( ) Tiếp tuyến M là: y = 9x − 2x0 + y0 = 10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ:   y0 = x0 − 6x0 + 9x0 −  y0 = 10 − 2x0   y = ⇔ ⇔ hay M ( 4;2) ( x0 − 4) x0 − 6x0 + 11 = x0 = Tiếp tuyến M là: y = 9x − 34 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y = 9x − y = 9x − 34 ( ) Ví dụ Gọi (C) đồ thị hàm số y = x−1 x+ 175 Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hồnh độ Viết phương trình tiếp tuyến (C) M Gọi (d) tiếp tuyến (C) , (d) cắt đường tiệm cận đứng (C) A , cắt đường tiệm cận ngang (C) B gọi I tâm đối xứng (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết: i) IA = 4IB ii) IA + IB nhỏ nhất Lời giải Khoảng cách từ M đến trục Ox ⇔ yM = ±5  yM = −5  M ∈ (C)   xM = − ⇔ xM − ⇔  TH1:   yM = −5 −5 =  y = − xM +  M   yM = M ∈ (C)  x = −4 ⇔ xM − ⇔  M TH2:   yM = 5 = x +  yM = M    Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M  − ; −5÷ y = 9x + 16   Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( − 4;5) y = 4x + 21 i) Ta có ·ABI góc hình học hợp tiếp tuyến (d) với trục hoành IA · =± = ±4 suy hệ số góc (d) k ± tanABI IB Phương trình tiếp tuyến ( d ) : y = 4x + y = 4x + 21 ii) Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y= (x0 + 3)2 (x − x0) + x0 − = x+ x0 + (x + 3)2 x02 − 2x0 − Tiệm cận đứng (C) : ( D1) : x = − (x0 + 3)2 Tiệm cận ngang (C) : ( D2 ) : y = A giao điểm (d) ( D1 ) ⇒ yA = x02 − 2x0 − 15 (x0 + 3)2 B giao điểm (C) với ( D2 ) ⇒ xB = 2x0 + IA + IB = yA − yI + xB − xI = x02 − 2x0 − 15 (x0 + 3) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có 176 − + 2x0 + = + 2x0 + x0 + Khoảng cách từ (t) đến điểm I(1;1) lớn nhất Lời giải uur Tịnh tiến OI với I(1;1), hệ trục Oxy ⇒ hệ trục IXY  x = X + xI = X + Công thức chuyển hệ tọa độ :   y = Y + yI = Y + X = x − = − = Đối với hệ trục IXY A có tọa độ  Y = y − 1= − 1= X + 1+ X + 2 = ⇔ Y = = F(X) Hàm số cho trở thành : Y + = (X + 1) − X X 2 Phương trình đường tròn (γ ) (X − 1) + (Y − 5) = 45, ( γ ) có tâm A(1;5) , bán kính R = Phương trình tiếp tuyến (D) (C) điểm có hồnh độ X0 Y = F'(X 0)(X − X 0) + F(X0) = − ( ) X02 (X − X 0) + (D) tiếp xúc (C) ⇔ d A ,( D ) = R ⇔ d[A ,(D)) = + 5X02 − 4x0 + X04 2 =− X+ X0 X0 ⇔ 2X + X 0Y − 4X0 = X0 = ⇔ [(d(A ,(D))]2 = (5X02 − 4X0 + 2)2 + X04 = 45 ⇔ 25X 04 + 16X02 + − 40X03 + 20X02 − 16X0 = 180 + 45X04 ⇔ 5X04 + 10X03 − 9X 02 + 4X + 44 = ⇔ (X0 + 2)2(5X02 − 10X0 + 11) = ⇔ X = −2 Vậy phương trình (D): Y = − X − ,suy phương trình (D) hệ trục 1 xuất phát Oxy : y − = − (x − 1) − = − x − 2 2 Đối với hệ tọa độ IXY , phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : 4X0 2X + X02Y − 4X = , d(I,(d)) = + X04 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có : + X04 ≥ 4X 04 = 4X02 ⇒ d(I,(d)) ≤ 4X0 4X02 = 4X0 2X0 = ⇒ d(I,(d)) = ⇔ X 04 = ⇔ X0 = ± Khi phương trình tiếp tuyến (d): Y = − X + 2,Y = − X − 2 Suy phương trình (d) hệ trục Oxy y = −x + ± 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 196 Bài tập : Tìm m để tiếp tuyến đồ thị y = x3 − mx + m − điểm M có hồnh độ x = −1 cắt đường tròn (C) có phương trình (x − 2)2 + (y − 3)2 = theo dây cung có độ dài nhỏ nhất Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị qua điểm cho trước Phương pháp Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) , biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ;yA ) Phương pháp: Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x − xA ) + yA f(x) = k(x − xA ) + yA (1) Điều kiện tiếp xúc: hệ pt  có nghiệm (2) f '(x) = k Thay (2) vào (1), ta được: f(x) = f '(x)(x − xA ) + yA , giải pt ta tìm nghiệm x1,x2 , ,xn Thay vào (2) ta tìm k từ suy phương trình tiếp tuyến Cách 2: Gọi M(x0;y0) tiếp điểm Khi tiếp tuyến có dạng: y = f '(x0)(x − x0) + y0 Vì tiếp tuyến qua A nên ta có: yA = f '(x0)(xA − x0) + y0 , giải phương trình ta tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Chú ý: * Nếu giải theo cách số tiếp tuyến đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm phương trình: f(x) = f '(x)(x − xA ) + yA * Nếu giải theo cách số tiếp tuyến phụ thuộc vào số nghiệm phương trình yA = f '(x0)(xA − x0) + f(x0) (với ẩn x0 ) Bài toán 01: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC Phương pháp Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = f ( x) qua điểm M ( x1;y1 ) Cách : • Phương trình đường thẳng ( d ) qua điểm M có hệ số góc k có dạng : y = k ( x − x1) + y1 • ( d) tiếp xúc với đồ thị ( C ) N ( x0;y0 ) f ( x0 ) = k ( x0 − x1 ) + y1 hệ:  có f '( x0 ) = k nghiệm x0 Cách : 197 • Gọi N ( x0;y0 ) tọa độ tiếp điểm đồ thị ( C ) tiếp tuyến ( d ) qua điểm M , nên ( d ) có dạng y = y'0 ( x − x0 ) + y0 • ( d) qua điểm M nên có phương trình : y1 = y'0 ( x1 − x0 ) + y0 ( *) • Từ phương trình ( *) ta tìm tọa độ điểm N ( x0;y0 ) , từ ta tìm phương trình đường thẳng ( d ) Các ví dụ Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị ( C ) : y = x + 3x − x , biết d song song đường thẳng x + y − = Cho hàm số y = 2x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Tìm phương trình đường  19  thẳng qua điểm A  ;4÷ tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số  12  Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Cách 1: Tiếp tuyến d song song với đường thẳng x + y − = nên d có dạng y = −x + b d tiếp xúc với ( C ) điểm có hồnh độ x0 hệ phương trình  x3 3x2  + − x0 = − x0 + b ( 1) 3 có nghiệm x0  3x  x0 + − = −1 ( 2) Phương trình ( 2) ⇔ 2x02 + 3x0 = ⇔ x0 = x0 = − Với x0 = thay vào phương trình ( 1) , ta b = d : y = −x 9 thay vào phương trình ( 1) , ta b = d : y = −x + 16 16 Cách 2: Gọi x0;y ( x0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d ( C ) , với Với x0 = − ( y ( x0 ) = x03 + 3x02 ) − x0 , tiếp tuyến d có hệ số góc y'( x0 ) = x0 + d | | x + y − = ⇒ y'( x0 ) = −1 tức x02 + 3x0 198 −1 − = −1 hay nghiệm x0 = Phần lại giành cho bạn đọc 2 Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = 6x2 − 6x x0 = − 3x0 Gọi M(x0;y0) ∈ (C) ⇔ y0 = 2x03 − 3x02 + y'(x0) = 6x02 − 6x0 Phương trình tiếp tuyến ∆ (C) M có dạng: y − y0 = y'(x0)(x − x0) ⇔ y − (2x03 − 3x02 + 5) = (6x02 − 6x0 )(x − x0 ) ⇔ y = (6x02 − 6x0)x − 4x03 + 3x02 + A ∈ ∆ ⇔ = (6x02 − 6x0) 19 − 4x03 + 3x02 + ⇔ 8x03 − 25x02 + 19x0 − = ⇔ x0 = 12 x = ⇒ ∆ : y = Với x0 = x0 = Với x0 = ⇒ ∆ : y = 12x − 15 21 645 ⇒ ∆ :y = − x+ 32 128 Ví dụ : Cho hàm số y = x4 − 3x2 + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp 2  3 tuyến đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm M  0; ÷  2 Với x0 = x+ có đồ thị ( C ) điểm A ( 0;m) Xác định m để x−1 từ A kẻ tiếp tuyến đến ( C ) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Lời giải  3 Đường thẳng x = qua điểm M  0; ÷ khơng phải tiếp tuyến đồ  2 Cho hàm số: y = thị ( C )  3 d đường thẳng qua điểm M  0; ÷ có hệ số góc k có phương trình  2 y = kx + Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị ( C ) tai điểm có hồnh độ x0 1 3  x0 − 3x0 + = kx0 + 2 x0 nghiệm hệ phương trình :  2x3 − 6x = k  Thay ( 2) vào ( 1) ( ) ( 1) ( 2) 2 rút gọn ta x0 x0 − = ⇔ x0 = x0 = ± Khi x0 = k = lúc phương trình tiếp tuyến y = 199 3 Khi x0 = k = −2 lúc phương trình tiếp tuyến y = −2 2x + 3 Vậy, có ba tiếp tuyến y = , y = 2x + , y = −2 2x + 2 2 Cách 1: Gọi điểm ⇔ − < m ≤ Tiếp tuyến ∆ M ( C ) có phương trình : Khi x0 = − k = 2 lúc phương trình tiếp tuyến y = 2x + m ( x0 − 1) = 3x0 + ( x0 + 2) ( x0 − 1) = (với x0 ≠ ) ⇔ ( m − 1) x02 − 2( m + 2) x0 + m + = ( ∗) Yêu cầu tốn ⇔ ( ∗) có hai nghiệm a,b khác cho ( a + 2) ( b + 2) = ab + 2( a + b) + < hay là: ( a − 1) ( b − 1) ab − ( a + b) + m ≠   m > −  < m ≠ giá trị cần tìm Cách 2: Đường thẳng d qua A , hệ số góc k có phương trình: y = kx + m Vậy − d tiếp xúc với ( C ) điểm có hồnh độ x0  x0 + = kx0 + m   x0 − ⇔ hệ  có −3  =k  ( x − 1)  nghiệm x0 Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: x0 + −3x = + m ⇔ ( m − 1) x02 − 2( m + 2) x0 + m + = x0 − ( x − 1) ( ∗) Để từ A kẻ hai tiếp tuyến ( ∗) có hai nghiệm phân biệt khác ∆ ' = 3( m + 2) >  m > −2 ⇔ m ≠ ⇔ ( i)  m − 1− m + + m + ≠  m ≠ ( )  Khi tọa độ hai tiếp điểm là: M ( x1;y1 ) , M ( x2;y2 ) với x1,x2 nghiệm ( ∗) y1 = 200 x1 + x1 − ; y2 = x2 + x2 − Để M1, M2 nằm hai phía Ox y1.y2 < ⇔ Áp dụng định lí Viet: x1 + x2 = 2( m + 2) m−1 ; x1x2 = x1x2 + 2( x1 + x2 ) + x1x2 − ( x1 + x2 ) + < ( 1) m+ m−1 9m + < 0⇔ m > − −3 Kết hợp với ( i ) ta − < m ≠ giá trị cần tìm Ví dụ : 5x 61 + Tìm tất điểm đường thẳng d : y = để từ kẻ đến đồ 24 ⇒ ( 1) ⇔ x3 x2 − + 2x + có tiếp tuyến tương ứng với tiếp điểm có hồnh 3 độ x1,x2 ,x3 thỏa mãn: x1 < x2 < < x3 thị y = − Tìm tất giá trị k để tồn tiếp tuyến với ( C ) : y = x3 + 6x2 + 9x + phân biệt có hệ số góc k , đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm tiếp tuyến với ( C ) cắt trục Ox,Oy tương ứng A ,B cho OB = 2012.OA Lời giải  5m 61  + ÷∈ d , tiếp tuyến ( t) điểm N ( x0;y0 ) qua M : M  m; 24    x0 = >  1  3m x0 +  − m ÷x02 − mx0 + − =0 ⇔  24  x +  − m  x + − 3m = ∗ 2  ( ) ÷ 3  12    Theo toán, phương trình ( ∗) có hai nghiệm phân biệt âm, tức :  7m  m + − 12 > m < − ; m >   5  ⇔ m <  −m>0 18  18  5 3   2m − < m <   5 < xM < 18 Hoành độ tiếp điểm x0 tiếp tuyến dạng y = kx + m với ( C ) Vậy, điểm M thỏa toán là: xM < − nghiệm phương trình f '( x0 ) = k ⇔ 3x02 + 12x0 + − k = ( 1) 201 Để tồn tiếp tuyến với ( C ) phân biệt phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt, ∆ ' = + 3k > hay k > −3 ( 2) Khi tọa độ tiếp điểm ( x0;y0 ) tiếp tuyến với ( C ) nghiệm hệ ( )   y = x3 + 6x2 + 9x +  y0 = ( x0 + 2) 3x0 + 12x0 + − 2x0 − 0 0 ⇔ phương trình:  3x2 + 12x + = k 3x0 + 12x0 + = k   k−6 2k − x +  y = ( x + 2) k − 2x0 − = 3 ⇔ 3x2 + 12x + = k  Vậy phương trình đường thẳng qua tiếp điểm ( d ) : k−6 2k − x+ 3 Do ( d ) cắt trục Ox,Oy tương ứng A B cho OB = 2012.OA nên xảy ra: • Nếu A ≡ O B ≡ O , trường hợp thỏa ( d ) qua O y= Nếu A ≠ O , tam giác AOB vng O cho OB k−6 · tanOAB = = 2012 ⇒ = ±2012 ⇒ k = 6042 k = −6030 ( khơng OA thỏa ( 2) ) Khi k = • , k = 6042 thỏa tốn CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x có đồ thị (C) Tìm phương trình  4 đường thẳng qua điểm A  ; ÷ tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số  3 Vậy k = Bài 2: Cho hàm số y = x − 3x2 + (C) Tìm phương trình tiếp tuyến qua 2  3 điểm A  0; ÷ tiếp xúc với đồ thị (C)  2 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) : y =  1 + x2 + 3x − qua điểm A  0; ÷  3 x3 y = −x4 + 4x2 − qua điểm cực tiểu đồ thị 202  23  y = x3 − 3x2 + qua điểm A  ; −2÷   y = x3 − 2x2 + x + qua điểm M ( −4; −24) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = tuyến qua điểm M(6;4) Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị ( C ) : y = điểm A ( −6;5) x2 − 2x + , biết tiếp x− x+ , biết d qua x− Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 11 có đồ thị ( C ) Lập phương trình tiếp  29  tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm I  ;184÷   Bài 5: Gọi (C) đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 9x –7 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(- 2;7) Bài 6: Cho hàm số y = (2 − x)2 x2 , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) với Parabol y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(2;0) Bài tốn 02: TÌM ĐIỂM M ĐỂ QUA ĐĨ KẺ ĐƯỢC n TIẾP TUYẾN Các ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y = −x3 + 3x − 2, có đồ thị ( C ) Tìm tọa độ điểm đường thẳng y = −4 mà từ kẻ đến đồ thị ( C ) hai tiếp tuyến Lời giải Hàm số cho xác định liên tục ¡ Gọi A điểm nằm đường thẳng y = −4 nên A ( a; −4) Đường thẳng ∆ qua A với hệ số góc k có phương trình y = k ( x − a) − Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đồ thị ( C ) hệ phương trình ( ) − x3 + 3x − = k ( x − a) − x3 − 3x − = x2 − ( x − a) ⇔ sau có nghiệm:  −3x2 + = k −3x2 + = k ( x + 1)  2x2 − ( 3a + 2) x + 3a + 2 = ( 1)    ⇔ −3x2 + = k ( 2) 203 x = Phương trình ( 1) tương đương với:  g ( x) = 2x − ( 3a + 2) x + 3a + = Qua A kẻ hai tiếp tuyến đến ( C ) ( 2) có giá trị k khác , ( 1) có nghiệm phân biệt x1,x2 , đồng thời thỏa k1 = −3x12 + 3, k2 = −3x22 + có giá trị k khác Trường hợp 1: g ( x) phải thỏa mãn có nghiệm −1 nghiệm khác −1 hay g ( −1) = 6a + =  ⇔ ⇒ a = −1 kiểm tra ( 2) thấy thỏa  3a + a ≠ − ≠ −    Trường hợp 2: g ( x) phải thỏa mãn có nghiệm kép khác −1 hay  3a + 2 − 3a + = ) ( ) ( 3( 3a + 2) ( a − 2) = ⇒  3a +  ≠ −1 3a + ≠ −2  ⇒ a= − a = 2, kiểm tra ( 2) thấy thỏa   Vậy, điểm cần tìm A ( −1; −4) , A ( 2; −4) A  − ; −4÷   Ví dụ Cho hàm số y = 3x − x3 có đồ thị ( C ) Tìm đường thẳng (d): y = − x điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Lời giải Gọi M(m; −m) ∈ d Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k có dạng: y = k(x − m) − m ∆ tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 hệ sau có nghiệm x0 : 3x − x3 = k(x − m) − m (1) 0 (∗)  (2) 3 − 3x0 = k Thay (2) vào (1) ta được: 2x03 − 3mx20 + 4m = ⇔m = 2x03 3x02 − (∗∗) (∗) có nghiệm x0 đồng thời (2) Từ M kẻ tiếp tuyến với (C) ⇔ tồn giá trị k khác 204 Khi (∗∗) có nghiệm x0 phân biệt thỏa mãn (2) Xét hàm số f(x0) = 2x03 3x02 − có giá trị k khác  3 Tập xác định D = ¡ \ ±1; ±    6x04 − 24x02 f ′(x0) = ⇔ x0 = x0 = ±2 (3x02 − 4)2 Dựa vào bảng biến thiên suy ⇔m = ±2 Kiểm tra (2) , ta thấy thỏa mãn Vậy: M(−2;2) M(2; −2) Ta có: f′(x0) = Ví dụ Lấy điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y = −2x3 − 3x2 + Chứng minh có nhiều nhất hai đường thẳng qua điểm M tiếp xúc với Lời giải ( ( C) ) Gọi M a; −2a − 3a + điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số Đường thẳng ( d) qua M có hệ số góc k , có phương trình: y = k ( x − a) − 2a3 − 3a2 + Đường thẳng ( d ) tiếp xúc với đồ thị ( C) N ( x0;y0 ) hệ phương  −2x3 − 3x2 + = k ( x − a) − 2a3 − 3a2 + ( 1)  0 trình:  có nghiệm x0 Thay ( 2)  −6x0 − 6x0 = k ( 2) vào ( 1) , biến đổi rút gọn ta phương trình : −2a − ( x0 − a) ( 4x0 + 2a + 3) = tức x0 = a x0 = Vậy hệ phương trình ( 1) , ( 2) có nhiều nhất nghiệm, tức có nhiều nhất đường thẳng qua M tiếp xúc với đồ thị ( C ) Ví dụ 4: Cho hàm số y = −2x3 + 4x2 + , có đồ thị ( C) Gọi d đường thẳng qua A ( 0;1) có hệ số góc k Tìm k để d cắt ( C) điểm phân biệt B,C khác A cho B nằm A C đồng thời A C = 3AB ; Tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến ( C) Lời giải 205 d : y = kx + Với k < ( d ) cắt ( C) điểm phân biệt B C khác A Khi B( xB ;kxB + 1) , C ( xC ;kxC + 1) , xB < xC với xB ,xC nghiệm phương trình 2x2 − 4x + k = k suy k = 2 Gọi M ( 0;m) ( t) qua M có hệ số góc a nên ( t) : y = ax + m A C = 3AB tức xC = 3xB xB + xC = 2, xB.xC = −2x3 + 4x2 + = kx + m t C x ( ) tiếp xúc ( ) điểm có hồnh độ hệ  02 có −6x0 + 8x0 = x0 nghiệm x0 suy 4x03 − 4x02 + 1− m = có nghiệm x0 ( ∗) Theo tốn phương trình ( ∗) có nghiệm, từ có m = 11 m = 27 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để (Cm): y = x3 − (m + 2)x2 + 2mx + tiếp xúc với đường thẳng y = x− (0;m) điểm thuộc trục Oy 2x − , m ≤ Chứng minh ln tồn nhất tiếp tuyến (C) qua M tiếp điểm tiếp tuyến với (C) có hồnh độ dương Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3x + Tìm đường thẳng d : y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với (C) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Chứng minh từ điểm thuộc đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến nhất đến đồ thị hàm số y = x3 − 6x2 + 9x − Gọi (C) đồ thị hàm số y = ( ) Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị ( H ) : y = x2 − hàm số điểm phân biệt Cho hàm số y = x4 − 2x2 + , có đồ thị ( C ) a Tìm đồ thị ( C ) điểm B mà tiếp tuyến với ( C ) điểm song song với tiếp tuyến với ( C ) điểm A ( 1;2) b Tìm đường thẳng y = điểm mà qua ta kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị ( C ) Cho hàm số : y = x4 − 2x2 có đồ thị 206 ( C) a Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ b Tìm điểm M trục Oy để từ M kẻ tiếp tuyến đến ( C ) c Tìm điểm N đường thẳng ( d ) : y = để từ N kẻ tiếp tuyến đến ( C ) Bài 3: mx + (m − 1)x2 + (4 − 3m)x + có đồ thị ( C m ) Tìm m giá trị cho đồ thị ( C m ) tồn điểm nhất có hồnh độ Cho hàm số y = âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ( d ) : x + 2y − = mx + (m − 1)x2 + (4 − 3m)x + có đồ thị ( C m ) Tìm giá trị m cho đồ thị ( C m ) tồn hai điểm có hồnh độ Cho hàm số y = dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ( d ) : x + 2y − = x+ có đồ thị ( C ) Cho điểm A(0;a) Tìm a để từ A x−1 kẻ tiếp tuyến tới đồ thị ( C ) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành x+ Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Tìm Oy tất điểm từ x−1 kẻ nhất tiếp tuyến tới ( C ) Cho hàm số: y = 2x3 + x2 + 4x − , gọi đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn nhất Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2;9) Gọi M, N hai điểm thuộc (C) có hồnh độ x1, x2 ( x1 ≠ x2 ) , Bài 4: Cho hàm số y = − tìm hệ thức x1, x2 cho hai tiếp tuyến (C) M,N song song với nhau, chứng minh đường thẳng M 1M qua điểm cố định x2 2− x Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng  y = x + Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2; - 2) Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến (C) M Bài 5: Gọi (C) đồ thị hàm số y = 207 Bài 6: Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + mx + m + (d) tiếp tuyến (Cm) điểm có hồnh độ x = - Tìm m để (d) qua điểm A(0;8) (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài 7: Cho hàm số y = x4 − 2x2 + , có đồ thị ( C ) Tìm tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol ( P ) : y = x2 + m Gọi (d) tiếp tuyến (C) điểm M có hồnh độ x = a Tìm a để (d) cắt lại (C) hai điểm E, F khác M trung điểm I đoạn E, F nằm parabol (P’): y = − x2 + Bài 8: x2 − x + tiếp xúc với Parabol y = x2 + m x−1 Tìm m để đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc với Tìm m để đồ thị hàm số y = (C1) : y = mx3 + (1− 2m)x2 + 2mx (C 2) : y = 3mx3 + 3(1− 2m)x + 4m − Tìm tham số m để đồ thị (Cm) hàm số y = x3 − 4mx2 + 7mx − 3m tiếp xúc với parabol ( P ) : y = x2 – x + x2 − x + có đồ thị (C) x−1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : 3x − 4y + = Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ M(−1;3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) Biện luận theo m ≠ số tiếp tuyến (C) mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ∆ m : x − my + m + = Bài 10: x+ Cho hàm số: y = có đồ thị (C) điểm A ( 0;m) Xác định m để x−1 từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Tìm tham số m để đồ thị (C) : y = −x3 + 2(m + 1)x2 − 5mx + 2m hàm số tiếp xúc với trục hoành Gọi ( C m ) đồ thị hàm số y = x4 − (m + 1)x2 + 4m Tìm tham số m để Bài 9: Cho hàm số y = ( Cm ) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = hai điểm phân biệt Bài 11: Cho hàm số y = 208 2x − (1) x−1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Gọi (d) tiếp tuyến (C) , A, B giao điểm (d) với trục hoành trục tung Viết phương trình (d) cho i) HB = 4.HA với H hình chiếu vng góc gốc tọa độ O lên (d) ii) Diện tích tam giác OAB x2 − 3x (1) 1− x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cắt trục tung điểm A cho OA = 3.Cho hai điểm M(1;0) , N(0;3) a) Chứng tỏ đường thẳng MN (C) khơng có điểm chung b) Viết phương trình tiếp tuyến (D)của (C) song song với đường thẳng MN tìm E (C) cho tam giác EMN có diện tích nhỏ nhất Bài 13: Tìm tất điểm Oy cho từ ta vẽ Bài 12: Cho hàm số y = nhất tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y = x + 4x2 + 2x + có đồ thị ( C ) x−1 Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) Gọi M 1M hai điểm thuộc (C) có hồnh độ x1,x2 (x1 ≠ x2) Bài 14: Cho hàm số y = 2x − 1+ Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 cho hai tiếp tuyến (C) M 1M song song với Chứng minh giao điểm I hai đường tiệm cận (C) trung điểm đoạn M 1M Bài 15: Cho hàm số: y = −4x3 + 3x + , có đồ thị ( C ) Tìm a để phương trình 4x3 − 3x + 2a2 − 3a = có hai nghiệm âm nghiệm dương; Tìm điểm đường thẳng y = để từ vẽ ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị ( C ) Bài 16: x2 − x + m Tìm tham số m để đồ thị hàm số ( C m ) : y = với m ≠ cắt trục x−1 hoành điểm phân biệt A ,B cho tiếp tuyến điểm A ,B vng góc với Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị x+ ( C) Tìm đường thẳng y=x điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến ( C ) , đồng thời tiếp tuyến vng góc với Cho hàm số y = x3 + 3x2 + có đồ thị ( C ) 209 a Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) kẻ từ điểm ( 1;5) b Tìm đường thẳng y = 9x − , điểm kẻ đến ( C ) ba tiếp tuyến Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị Phương pháp Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x) ( C') : y = g ( x) Hãy tìm tất tiếp tuyến chung ( C ) ( C') Giả sử ( T ) tiếp tuyến chung ( C ) ( C') ( T ) tiếp xúc với ( C ) ( C') điểm có hồnh độ x1,x2 Khi đó: ( T ) : y = f '( x1) ( x − x1) + f ( x1) ( T ) : y = f '( x2 ) ( x − x2 ) + f ( x2 ) f '( x1) = f '( x2 ) Ta có hệ  ( *) f ( x1 ) − x1f '( x1 ) = f ( x2 ) − x2f ' ( x2 ) Giả sử xi nghiệm hệ ( *) với i = 1,2,3, ,n tiếp tuyến cần tìm ( Ti ) : y = f '( xi ) ( x − xi ) + f ( xi ) Ví dụ Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong ( C ) : y = x3 + ( C') : y = x2 + x Lời giải Giả sử ( T ) tiếp tuyến chung ( C ) ( C') ( T ) tiếp xúc với ( C ) ( C') điểm có hồnh độ ( x0;y0 ) nên hệ sau có nghiệm: x3 + = x2 + x 0   '  x0 + = x0 + x0  ( ) ( ) ' x3 + = x2 + x 0   ⇒ x0 = 1,y ( 1) = có nghiệm x0 ⇔   x0 =    x0 =  Vậy M ( 1;2) tiếp điểm hai đường cong cho y'( 1) = nên phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong cho y = 3x − CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài tập Tìm tham số m để đồ thị y = x3 − 4mx2 + 7mx − 3m tiếp xúc với parabol: y = x2 − x + 210