7 tiep tuyen

TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC  Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0  x0 ; f(x0 )  Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0  x0 ; f(x0 )  là:  y0 f(x0 )  Điều kiện cần đủ để hai đường  C1  : y f(x) y – y0  f (x0 ).(x – x0 )  C2  : y g(x) tiếp xúc  f( x0 ) g( x0 ) điểm có hồnh độ x0 hệ phương trình  có nghiệm x0 f '( x0 ) g '( x0 ) Nghiệm hệ hồnh độ tiếp điểm hai đường  Nếu (C1 ) : y px  q  C2  : y ax  bx  c (C1 )  C2  iếp xúc  phương trình ax2  bx  c px  q có nghiệm kép Các dạng tiếp tuyến đồ thị hàm số thường gặp - Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ; y0  , hoành độ x0 , tung độ y0 - Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A  x A ; y A  cho trước Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Phương pháp: Cho hàm số y f  x  có đồ thị  C  M  x0 ; y0  điểm  C  Tiếp tuyến với đồ thị  C  M  x0 ; y0  có: - Hệ số góc: k f '  x0  - Phương trình: y  y0 k  x  x0  , hay y  y0 f '  x0   x  x0  Vậy, để viết phương trình tiếp tuyến M  x0 ; y0  cần đủ ba yếu - tố sau: Hoành độ tiếp điểm: x0 Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính cách thay x0 vào hàm số y0 f  x0  ) - Hệ số góc k f '  x0  B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 167 Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm  x0 ;y  Phương pháp Hai đồ thị tiếp xúc 1.1 Định nghĩa: Hai đồ thị hai hàm số y f  x  y g  x  gọi tiếp xúc điểm M M chúng có tiếp tuyến 2.1 Định lí 1: Hai đồ thị hai hàm số y f  x  y g  x  tiếp xúc f(x) g(x) hệ phương trình:  có nghiệm nghiệm hệ tọa độ tiếp điểm f '(x) g '(x) Tiếp tuyến đồ thị hàm số 1.2 Định nghĩa: Cho hàm số y f  x  Một cát tuyến MM0 giới hạn đường thẳng M0 T M dần tới M0 M0 T gọi tiếp tuyến đồ thị M0 gọi tiếp điểm   Định lí 2: Đạo hàm f  x  x x0 hệ số góc tiếp tuyến M x0 ; f  x0  Nhận xét: Hệ số góc tiếp tuyến có dạng f '  x0  2.2 Các tốn phương trình tiếp tuyến: Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f  x  điểm M(x0 ; f(x )) Phương pháp: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f(x) M(x0 ; y0 ) là: y f '(x0 )(x  x0 )  y với y0 f(x0 ) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f(x) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k Phương pháp: Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y kx  b f(x) kx  b (1) * Điều kiện tiếp xúc hệ phương trình:  (2) f '(x) k Từ (2) ta tìm x , vào (1) ta có b Ta có tiếp tuyến cần tìm Cách 2: * Giải phương trình f '(x) k giải phương trình ta tìm nghiệm x1 , x2 , ,x n * Phương trình tiếp tuyến: y f '(xi )(x  x i )  f(x i ) (i 1, 2, , n) Chú ý: Đối với toán ta cần lưu ý một số vấn đề sau: * Số tiếp tuyến đồ thị số nghiệm phương trình : f '(x) k *Cho hai đường thẳng d1 : y k1x  b1 d2 : y k x  b2 Khi 168http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word i) tan   k1  k ,  ·(d1 ,d )  k1 k k1 k ii) d1 / /d2    b1 b2 iii) d1  d  k1 k  Bài toán 01: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm Phương pháp Bài toán : Hai đường cong  C  : y f  x   C'  : y g  x  tiếp xúc M  x0 ; y0  Khi điểm M   C    C'  tiếp tuyến M  C  trùng với tiếp tuyến M  C'  f  x0  g  x0  hệ phương trình sau:  có nghiệm x0 f '  x0  g '  x0  Lưu ý : Mệnh đề sau không cho trường hợp:  C  : y f  x  tiếp xúc  f  x   ax  b 0 có nghiệm kép   d  : y ax  b k Hàm f  x  nhận x0 làm nghiệm bội k f  x0  f '  x0   f    x0  0 f k  x0  0 Nghiệm bội lớn nghiệm kép Phép biến đổi tương đương phương trình nói chung khơng bảo tồn số bội nghiệm Ví dụ Đường cong y  x không tiếp xúc với trục hồnh , tức phương trình x 0 không nhận làm nghiệm bội lớn Khi đồ thị  C  : y x3 hàm số tiếp xúc với trục hoành x 0 phương trình x3 0 nhận làm nghiệm bội Ví dụ Đồ thị  C  : y sin x hàm số tiếp xúc với đường thẳng  d  : y x x 0 phương trình sin x  x 0 khơng thể có nghiệm kép Như vậy, biến đổi tương đương phương trình bảo tồn tập nghiệm, khơng bảo tồn số bội nghiệm Đây sai lầm dễ mắc phải giải toán tiếp tuyến Bài toán : * Đường cong  C  : y f  x  có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 hàm số y f  x  khả vi x0 Trong trường hợp  C  có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến có hệ số góc f '  x0  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 169   * Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y f  x  điểm M x0 ; f  x0  có dạng : y f '  x0   x  x0   f  x0  Các ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y x3  3x  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) : Tại điểm M   1;  ; Tại điểm có hồnh độ ; Tại điểm có tung độ ; Tại giao điểm (C) với trục tung ; Có hệ số góc ; Song song với đường thẳng (d ): 27x  3y  0 ; Vng góc với đường thẳng (d’ ) : x  9y  2013 0 Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2  6x  t  M   1;  có phương trình : y y'   1  x  1  y'   1  , phương trình  t  là: y  3x  Phương trình tiếp tuyến Ta có: Chú ý:   Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f  x  điểm M x0 ; f  x0  Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f  x  M  x0 ; y0  là: y f '  x0   x  x0   y Thay x 2 vào đồ thị (C) ta y 21 Tương tự câu 1, phương trình  t  là: y 24x  27 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f  x  biết hoành độ tiếp điểm x x0 , y0 f  x0  , y'  x0   phương trình tiếp tuyến: y f '  x0   x  x   y0 Thay y 1 vào đồ thị (C) ta x  x   0  x 0 x  Tương tự câu 1, phương trình  t  là: y 1 , y 9x  28 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f  x  biết tung độ tiếp điểm y0 Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Giải phương trình f  x  y0 ta tìm nghiệm x0 Tính y'  x0   phương trình tiếp tuyến: y f '  x0   x  x   y0 Trục tung Oy : x 0  y 1 Tương tự câu 1, phương trình  t  là: y 1 Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến 170http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  t Ta có : y'  x0  3x0  6x0 , theo giả thiết y'  x0  9 , tức 3x02  6x0 9  x0  x0 1 Tương tự câu Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến Theo toán:  t  P  d  : y 9x   y'  x0  9 Tương tự câu Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến Theo toán:  t    d'  : y   t  t 2013 x  y'  x0  9 Tương tự câu 9 Ví dụ Cho hàm số: y x3   m  1 x   3m  1 x  m  Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ qua điểm A  2;  1 Gọi (Cm) đồ thị hàm số y x3  (2m  1)x  (m  3)x  (d) tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) 17 Lời giải Hàm số cho xác định với x  ¡ Ta có: y' 3x   m  1 x  3m  Với x 1  y  1 3m   y'  1 m  Phương trình tiếp tuyến điểm có x 1 : y  m    x  1  3m  Tiếp tuyến qua A  2;  1 nên có:  m   3m   m  Vậy, m  giá trị cần tìm Hàm số cho xác định với x  ¡ Ta có: y'  3x   2m  1 x  m  Phương trình tiếp tuyến (d) : y y'(2)(x  2)  y(2) y  11 – 7m   x –   – 6m  11 – 7m  x  8m – 15  (11  7m)x  y  8m  15 0 d(0,(d))  8m  15 (11  7m)   17  17(8m  15) 49[(11  7m)  1]  1313m  3466m  2153 0  m 1, m  2153 1313 Ví dụ : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 171 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  x  x2  , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  2 Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Tìm đồ thị (C) điểm mà 3 tiếp tuyến đồ thị vng góc với đường thẳng y  x  3 Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Gọi  t  tiếp tuyến đồ thị  C  hàm số  t  vng góc với đường thẳng y  x  , nên đường thẳng  t  có hệ số góc  Cách 1: Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến  t  đồ thị  C  hàm số Khi đó, ta có phương trình: y'  x0     4x0  2x0      x0  1 2x02  2x0  0   Vì 2x02  2x0   0, x0  ¡ nên phương trình    x0 1  y0 y  1 4  M  1;  Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  1   6x  10 Cách 2: Phương trình  t  có dạng y  6x  m  t tiếp xúc  C  điểm M  x0 ; y0  hệ phương trình sau có nghiệm x0  x4  x   6x  m x0 1 0 có nghiệm x0    m 10  4x0  2x0  Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' x2  1 Gọi M(x0 ; y0 )  (C)  y  x03  x0  , 3 Tiếp tuyến ∆ điểm M có hệ số góc: y'(x0 ) x 02  Đường thẳng d: y  x  có hệ số góc k  3   d  k1 k   (x02  x0 2  y0   1   1)      x 4    3 x   y   0  4 Vậy, có điểm M   2;  ,  2;  tọa độ cần tìm  3 172http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ 3 x (1) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cách x2 hai điểm A   1;   B  1;  Cho hàm số y  Cho hàm số y x3  6x2  9x  (1) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cách hai điểm A  2;  B   2;  Lời giải Cách Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y f '(x0 )(x  x0 )  f(x0 ) ( x0 hoành độ tiếp điểm (d) (C)) = (x  2)2 (x  x0 )   x0 x0   (x  2)2 x (  x 02  6x0  6) (x  2)2  5x  (x0  2)2 y  x02  6x0  0 d(A,(d)) d(B,(d))    2(x0  2)2  x02  6x  25  (x0  2)4   x 02  6x  25  (x0  2)4  x2  14x  19 x  6x  0  x02  14x0  19  x02  6x     x02  14x  19  x 02  6x0   x0    x0   x0  4x0  0 Vậy phương trình  d  : y  5x – Cách Tiếp tuyến (d) cách hai điểm A, B suy (d) song song với đường thẳng AB (d) qua trung điểm I(0; - 1) đoạn AB * Trường hợp 1: (d) //AB yA  yB 1 Hệ số góc đường thẳng AB: k AB  xA  xB (d) // AB suy hệ số góc (d) : f’  x0  1   (x0  2)2 1 (*) Phương trình (*) vơ nghiệm trường hợp khơng xảy * Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I đoạn AB Phương trình (d) có dạng y = kx –   x0 kx0  (2)   x0  (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0   có nghiệm x0  k (3)  (x  2)2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 173 Thay k  (x0  2) vào (2) ta đươc x0    (3  x0 )(x0  2)   (x  2) Thay x0  vào (2) ta k   x0 x0   (x0  2)2 1 x0   x0   x0  Vậy phương trình  d  : y  5x – Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng : y (3x02  12x0  9)(x  x0 )  x 03  6x 02  9x  (3x02  12x0  9)x  2x03  6x02   (3x02  12x0  9)x  y  2x03  6x 02  0 (*) d(A,(D)) d(B,(D))  2(3x02  12x0  9)   2x03  6x02  (3x02  12x0  9)2    2(3x 02  12x  9)   2x 03  6x 02  (3x02  12x  9)2    2x03  12x02  24x0  10   2x03  24x  26   2x  12x  24x  10  2x  24x  26 (1) 0 0  3   2x0  12x0  24x0  10 2x0  24x0  26 (2)  12x  48x  36 0  x 3  x0 1 0    4x0  12x  16 0  x0   x0 2 Lần lượt thay x0 3  x0 1  x0   x0 2 vào (*) ta phương trình tiếp tuyến (D) y  0, y  0, y 24x  7, y  3x  Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C  : y x3  3x2  , biết d cắt trục Ox, Oy A, B thỏa mãn: OB 9OA Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y x3  6x2  9x  điểm M, biết M điểm cực trị  C  tạo thành tam giác có diện tích Lời giải   Gọi M x0 ; y  x0  toạ độ tiếp điểm Theo tốn, đường thẳng d đường thẳng qua điểm phân biệt A, B Gọi  góc tạo d Ox , d có hệ số góc k tan  OB 9 Dễ thấy, tam giác AOB vuông O , suy tan   OA 174http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Nói khác đường thẳng d có hệ số góc 9 , nghĩa ta ln có:  3x  6x  0  y'  x0  9    x02  2x0  0  x0  x0 3 y' x   3x0  6x0  0    x02  2x0   0, x0  ¡ Với x0  suy phương trình tiếp tuyến y 9x  Với x0 3 suy phương trình tiếp tuyến y 9x  25 Vậy, có tiếp tuyến y 9x  , y 9x  25 thỏa đề Hàm số cho có điểm cực trị A  1;  , B  3;   đường thẳng qua cực trị AB : 2x  y  0 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị  C  hàm số tiếp tuyến  d  cần tìm Khi y0 x03  6x02  9x0  Ta có: AB 2 , d  M; AB   2x0  y0  Giả thiết SMAB 6  AB.d  M; AB  6  2x0  y0  6  2x0  y0 10 2x0  y0  2x0  y  TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ:   y0 x0  6x0  9x0   y   2x0   y    hay M  0;   x0 0 x0 x0  6x0  11 0 Tiếp tuyến M là: y 9x  2x0  y 10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ:   y0 x0  6x0  9x0   y 10  2x0   y 2   hay M  4;  x0 4  x0   x0  6x0  11 0 Tiếp tuyến M là: y 9x  34 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y 9x  y 9x  34     x x3 Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hồnh độ Viết phương trình tiếp tuyến (C) M Gọi (d) tiếp tuyến (C) , (d) cắt đường tiệm cận đứng (C) A , cắt đường tiệm cận ngang (C) B gọi I tâm đối xứng (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết: Ví dụ Gọi (C) đồ thị hàm số y  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 175 i) IA = 4IB ii) IA + IB nhỏ nhất Lời giải Khoảng cách từ M đến trục Ox  yM 5  yM     xM  xM       x   y   M M   yM 5 M  (C)  x   xM    M TH2:   yM 5  y M 5 5  x  M  M  (C)  TH1:   yM    Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M   ;   y 9x  16   Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M   4;  y 4x  21 i) Ta có ·ABI góc hình học hợp tiếp tuyến (d) với trục hoành suy hệ số IA góc (d) k tan·ABI  4 IB d : Phương trình tiếp tuyến   y 4x  y 4x  21 ii) Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y (x0  3)2 (x  x )  x0  x0   (x  3)2 x x02  2x0  (x0  3)2 Tiệm cận đứng (C) :  D1  : x  Tiệm cận ngang (C) :  D2  : y 1 A giao điểm (d)  D1   y A  x02  2x0  15 (x0  3)2 B giao điểm (C) với  D2   x B 2x0  IA  IB  y A  yI  x B  xI  x02  2x0  15 (x0  3)   2x0    2x0  x0  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có IA  IB 2 2x0  8 x0  IA  IB 8   2x0   (x  3)2 4  x0   IA  IB  8  d: y x,  x0    x0  y x  Ví dụ 176http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word