Dạng 7 1 các bài toán tiếp tuyến (không tham số) đáp án

(Microsoft Word D?ng 7 1 Các bài toán ti?p tuy?n (không tham s?)) Trang 1  DẠNG 7 1 CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (KHÔNG THAM SỐ) PHẦN 15 PHƯƠNG PHÁP Cho hàm số  y f x liên tục trên K ,  f x có đạo.

Chuyên đề 7: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN, SỰ TIẾP XÚC  DẠNG 7.1: CÁC BÀI TỐN TIẾP TUYẾN (KHƠNG THAM SỐ) PHẦN 15 PHƯƠNG PHÁP Cho hàm số y  f  x  liên tục K , f  x  có đạo hàm x0  K  C  đồ thị hàm số y  f  x  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  x0 ; y0    C  là: y  k  x  x0   y0 * , với k  f '  x0  Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm M  x0 ; y0    C  Phương pháp : Áp dụng * Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm M   C  biết M có hồnh độ x0 Phương pháp : Tính y0  f  x0  k  f '  x0  áp dụng * Bài toán 3.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm M   C  biết M có tung độ y0 Phương pháp : Giải phương trình y0  f  x  , với nghiệm x0 tìm được, tính k  f '  x0  áp dụng  * Bài tốn 4.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết tiếp tuyến có hệ số góc k Phương pháp : Giải phương trình k  f   x  , với nghiệm x0 tìm được, tính y0  f  x0  áp dụng  * Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết tiếp tuyến qua điểm A  xA ; y A  Phương pháp : Cách : Giả sử tiếp điểm M  x0 ; f  x0   , phương trình tiếp tuyến có dạng d : y  f   x0  x  x0   f  x0  Dùng điều kiện d qua A  xA ; y A  để tìm x0 , suy phương trình tiếp tuyến cần tìm Cách : Gọi d đường thẳng qua A  xA ; y A  có hệ số góc k , có phương trình y  k  x  xA   y A  f  x   k  x  x A   y A d tiếp tuyến  C  hệ  có nghiệm  f   x   k Với giá trị k thỏa mãn hệ này, ta tiếp tuyến cần tìm BÀI TẬP TỰ LUẬN  MỨC ĐỘ Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x3  x  điểm M  1; 2  Lời giải Ta có: y   x  x ; y   1  Do phương trình tiếp tuyến M  1; 2  đồ thị hàm số cho là: y   x  1   y  x  Trang Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  3x  biết hoành độ tiếp điểm Lời giải Ta có: y 1  ; y  1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  3x  điểm có hồnh độ là: y   x  1   y  x  Câu  MỨC ĐỘ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  hàm số y  x  x  giao điểm đồ thị trục hoành Lời giải x  Ta có phương trình hồnh độ giao điểm  C  trục hoành là: x  x     x  Tại điểm 1;0  , tiếp tuyến có hệ số góc y  1  1, phương trình tiếp tuyến là: y    x  1  y   x  Tại điểm  2;0  , tiếp tuyến có hệ số góc y     , phương trình tiếp tuyến là: y  x  Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x 1 biết hệ số góc tiếp tuyến 1 x2 Lời giải Ta có: y   1  x  2 Hệ số góc tiếp tuyến 1 suy hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình x  1     x   x  2 Với x  , tọa độ tiếp điểm  3;2  , phương trình tiếp tuyến y    x  3   y   x  Với x  , tọa độ tiếp điểm 1;0  , phương trình tiếp tuyến y    x  1  y   x  Câu  MỨC ĐỘ Biết tiếp tuyến điểm A có hồnh độ đồ thị  C  hàm số y  x3  x cắt  C  điểm B khác với tiếp điểm A , tính AB Lời giải Ta có y     ; y    4 nên phương trình tiếp tuyến  C   2; 4  d : y  4 x  Phương trình hoành độ giao điểm  C  d x3  x  4  x3  3x      x  1 Vậy A  2; 4  , B  1; 4  Suy AB  Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  hàm số y   x3  3x  biết tiếp tuyến qua điểm A  2; 4  Lời giải Ta có: y   3 x  Trang Gọi tọa độ tiếp điểm  x0 ;  x03  x0   , phương trình tiếp tuyến y   3 x02  3  x  x0   x03  x0  Tiếp tuyến qua điểm A  2; 4  nên  x0  4   3x02  3   x0   x03  3x0   x03  3x02      x0  1 Với x0  , phương trình tiếp tuyến y  9 x  14 Với x0  1 , phương trình tiếp tuyến y  4  MỨC ĐỘ Câu x 1 biết tiếp tuyến cắt hai trục 2x  Ox Oy hai điểm A B cho OB  5OA Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  hàm số y  Lời giải Ta có: y   5  x  3 , x Tiếp tuyến cắt hai trục Ox Oy hai điểm A B cho OB  5OA suy tan OAB  , hay tiếp tuyến có hệ số góc k thỏa mãn k  Vì y   5  x  3  , x  nên tiếp tuyến đồ thị hàm số có hệ số góc âm, suy k  5 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình 5  x  3 x   5   x  Tại điểm  2;3 , tiếp tuyến đồ thị có phương trình y  5  x     y  5 x  13 Tại điểm 1;   , tiếp tuyến đồ thị có phương trình y  5  x  1   y  5 x  Câu x 1 biết tiếp tuyến cắt hai trục 2x  Ox Oy hai điểm A B cho diện tích tam giác OAB Lời giải Ta có: y   , x 2  x  3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  hàm số y  Tiếp tuyến cắt hai trục Ox Oy hai điểm A B cho diện tích tam giác OAB suy OA.OB  suy phương trình tiếp tuyến m 1   m  3 Gọi hoành độ tiếp điểm m , m   y  2m   x m  2m  3 Trang Đường thẳng cắt hai trục tọa độ Ox Oy hai điểm A  2m  4m  3;0   m  4m    B  0;   m       2m OA.OB    4m    2m   2 m  1   m  1 1 x Với m  1 , phương trình tiếp tuyến thỏa mãn y  x  Với m  , phương trình tiếp tuyến thỏa mãn y  Câu PHẦN 16 MỨC ĐỘ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục khoảng K có đồ thị đường cong  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  a; f  a   ,  a  K  A y  f  a  x  a   f   a  B y  f   a  x  a   f  a  C y  f   a  x  a   f  a  D y  f   a  x  a   f  a  Lời giải Chọn C Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  a; f  a   có dạng y  f  a   f   a  x  a   y  f   a  x  a   f  a  Câu Cho hàm số y   x3  3x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục tung A y  x  B y  2 x  C y  3 x  Lờigiải D y  x  Chọn D Ta có  C   Oy  A  0; 2  y  3x  ; y    Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  0; 2  có dạng y   x  0   y  3x  Câu 3 x  x  3x  B.Có hệ số góc 1 D.Song song với đường thẳng x  Lời giải Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y  A Song song với trục hồnh C Có hệ số góc dương Chọn A x  Ta có y  x  x  , y    Điểm cực tiểu đồ thị hàm số  3; 5 x  Suy tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cực tiểu có phương trình y  5 Trang Câu Cho hàm số y   x  3x  có đồ thị  C  Đồ thị  C  tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ bằng? A B 1 C Lời giải D Chọn B   x  x   Xé thệ phương trình :   x  1  3 x   Vậy  C  tiếp xúc với Ox điểm có hồnh độ x  1 Câu Gọi M giao điểm trục tung với đồ thị hàm số  C  : y  x  x  Tiếp tuyến  C  M có phương trình 1 A y   x  B y  x  2 C y   x  D y  x  Lời giải Chọn B Ta có y  2x 1 x2  x    y    x0     y0  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  0;1 có dạng y Câu 1  x  0   y  x  2 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  B A 10  4x điểm có tung độ y  1 x2 5 C  D 9 Lời giải Chọn B Ta có: y '   x  2 Theo giả thiết: y0  1   x0  1  x0  x0  1 Vậy hệ số góc tiếp tuyến là: y '  x0   y '    3 Câu Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x3  x  điểm có hồnh độ có phương trình A y  x  15 B y  x  15 C y  8 x  17 Lời giải D y  x  16 Chọn B Đạo hàm: y  3x2  Suy ra: y    Ta có: y    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x     y  x  15 Câu Cho hàm số y  x  x2  có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  M 1;  Trang A y  x  B y  8x  C y  8x 12 D y  8x  Lời giải Chọn D Tập xác định D  ℝ Ta có: y  x3  x , x  ℝ Do x0   y  x0   y 1  Nên phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  M 1;  y   x 1   8x  Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A x điểm M  2;2  có hệ số góc k x 1 B C D 1 Lời giải Chọn C Ta có y  Suy  x  1 k  y  2   Câu 10 Cho hàm số y  x3  3x2  x  Tiếp tuyến đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ có phương trình A y  3x  B y  3x  12 C y  3x  D y  3x  Lời giải Chọn C Ta có: y  3x  x    x  1   Dấu "  " xảy x   y  Do đó, tiếp tuyến đồ thị có hệ số góc nhỏ nhấ tbằng tiếp tuyến điểm M 1;  Phương trình tiếp tuyến là: y   x  1   y  3x  PHẦN 17 MỨCĐỘ Câu Cho hàm số y  x  x Có tiếp tuyến đồ thị hàm số song song với trục hoành A B C Lời giải D Chọn D Ta có y   x  x Gọi M  xo ; yo  tọa độ tiếp điểm Hệ số góc tiếptuyến đồ thị M  xo ; yo  là: k  y  xo   xo  xo  xo   yo  Để tiếp tuyến song song với trục hồnh k   3xo  xo     xo   y o  4  M  0;    M  2;   Với M1  0;0  tiếp tuyến là: y  (loại ) tiếp tuyến trùng với trục hoành Trang Với M  2;   tiếp tuyến là: y  4 (Thỏa mãn) Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề Câu Đồ thị hàm số y  x  x có tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  16 A B C.1 D Lời giải Chọn C TXĐ D  ℝ y  x  Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm đồ thị hàm số tiếp tuyến Khi đó, hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 y  x0   3x02   x0  Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  16 nên y  x0    3x02      x0  2  Tại x0  , y0  ta có phương trình tiếp tuyến với đồ thị là: y  x  16 (loại trùng với đường thẳng đề cho)  Tại x0  2 , y0  2 ta có phương trình tiếp tuyến với đồ thị là: y  x  16 (thỏa mãn) Vậy có tiếp tuyến thỏa yêu cầu đề Câu Tiếp tuyến parabol y   x điểm M 1;3 tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông có diện tích 25 A B C 25 D Lời giải Chọn A Ta có y  2 x Hệ số góc tiếp tuyến điểm M 1;3 k  y 1  2 Phương trình tiếp tuyến điểm M 1;3 y  2  x  1   y  2 x  5  Tiếp tuyến cắt Ox, Oy A  ;0  , B  0;5   OA  , OB  2  25 Do tam giác OAB vng O nên có diện tích là: S  OA.OB  (đvdt) Câu Đồ thị hàm số y  b A  x2  x  tiếp xúc với parabol y  x  3x  điểm A  a ; b  Giá trị x 1 B C  Lời giải D  Chọn C Vì A  a ; b  tiếp điểm đồ thị hai hàm số y   x2  x  y  x  3x  nên a x 1   x2  x   x  3x   x 1  nghiệm hệ phương trình  I    x  x2  x    x  1 Trang Câu  x 1 x      x  1    x  Ta có  I    x  x   2 x  x  x    x    x  Vậy a  Suy b  3 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  có hệ số góc nhỏ đường thẳng A y  B y  3 x  C y  x D y  3 x  Lời giải Chọn D Ta có y  x  x Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Khi hệ số góc tiếp tuyến M k  x0  x0 Nhận thấy k  x0  x0   x0  1   3, x0 Dấu “  ” xảy x0  Vậy hệ số góc k đạt giá trị nhỏ nhấ tbằng 3 điểm M 1 ; 1 Xét phương án đề bài, có phương án D thỏa mãn điều kiện: Hệ số góc 3 điểm M nằm đường thẳng Câu Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y  ax  bx  điểm A  1;1 vuông góc với đường thẳng x  y   Tính a  b A a  b  2 B a  b  13 C a  b  5 Lời giải D a  b  10 Chọn C Đặt y  f  x   ax  bx  Ta có f   x   ax  2bx Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A  1;1 k1  f   1  4a  2b Đường thẳng x  y   có hệ số góc k  Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng nên k1.k2  1  k1  2 hay 4a  2b  2 Mặt khác đồ thị hàm số cho qua điểm A  1;1 nên  a  1  b  1  hay Câu7 a  b  1 4a  2b  2 a  2  Ta có hệ  Suy a  b  2   3     5 a  b  1 b  3 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x)  x  x  x  song song với đường thẳng d : x  y   có phương trình là: A x  y   B x  y   C x  y   D x  y   Lời giải Chọn D Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị hàm số d : x  y    y  2 x  y   f   x   3x2  x  Vì tiếp tuyến đồ thị hàm số song song với d nên k  f   x0   2  x0   x02  x0   2  x02  x0     x0    y0  1 y   Trang Với x0  0, y0  1 , suy tiếp tuyến là: x  y   Với x0  2, y0  , suy tiếp tuyến là: x  y   ( loại trùng với đường thẳng d ) Vậy phương trinh trình tiếp tuyến là: x  y   Câu Cho hàm số y   x3  3x  x  có đồ thị  C  , phương trình tiếp tuyến  C  có hệ số góc lớn là: A y  10 B y  12 C y  D y  Lời giải Chọn C Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm đồ thị  C  Ta có y  3 x  x  Phương trình tiếp tuyến x0   C  có hệ số góc lớn b  y0  1  2a  y 1  Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  y 1 x  1   y  Câu Cho hàm số y  x3  x  x  Tiếp tuyến đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ có phương trình là: A y  x  12 B y  x  C y  x  D y  x  Lời giải Chọn B TXĐ: D = ℝ Ta có: y '  x  x  Gọi d làtiếptuyếncủađồthịhàmsốtạiđiểm M ( x0 ; y0 ) Suy hệsốgóccủa d tạiđiểm M ( x0 ; y0 ) k  y '( x0 )  3( x0  1)2   ⇒ k  x0 = ⇒ y0 = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y  3( x  1)  hay y  3x  3x  điểm A  0; 2  cắt trục hoành trục tung x 1 M N Tính diện tích tam giác OMN A SOMN  B SOMN  C S OMN  D SOMN  5 Lời giải Chọn B Ta có y '   y '0   x  1 Câu 10 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  Phương trình tiếp tuyến A  0; 2  d : y    x    y  x  1 2 2  Từ ta có M  ;0  N  0; 2  nên SOMN  OM  ON     2 5 5  PHẦN 18 MỨCĐỘ Trang Câu x3  x  x  , gọi đồ thị hàm số  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  qua điểm A  2;9  Cho hàm số y   A y   x  B y   x  C y  x  25 Lời giải D y   x  25 Chọn D Phương trình đường thẳng  d  qua điểm A  2;9  có hệ số góc k y  k ( x  2)   x03   x  x0   k ( x0  2)  (1)  d  tiếp xúc với  C  điểm có hồnh độ x0 hệ   2 x  x   k (2) 0  có nghiệm x0 x03  x02  x0   (2 x02  x0  4)( x0  2)   x03  15 x02  12 x0    x0  Thay   vào 1 ta được:  Thay x0  vào   ta k  8 Vậy phương trình tiếp tuyến  d  y   x  25 Câu Cho hàm số y  x  x  Tìm đường thẳng d : y  điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với  C  A ( 1; 4) ;  7;  ; (2; 4) B ( 1; 4) ;  7;  ; (9; 4)   D (  1; 4) ;   ;  ; (2; 4)   Lời giải C (  2; 4) ;  5;  ; (2; 4) Chọn D Gọi M  m;   d Phương trình đường thẳng  qua M có dạng: y  k  x  m    tiếp tuyến  C   Hệ phương trình sau có nghiệm x :  x  3x   k ( x  m)   3x   k (1) (2)  * Thay   vào 1 ta được: ( x  1)  x  (3m  2) x  3m     3  x  1 x  (3m  2) x  3m     Theo tốn  * có nghiệm x , đồng thời   có giá trị k khác nhau, tức phương trình  3 có nghiệm x phân biệt thỏa mãn giá trị k khác + TH1:   có nghiệm phân biệt, có nghiệm 1  m  1 + TH2:   có nghiệm kép khác 1  m   m    Vậy điểm cần tìm là: ( 1; 4) ;   ;  ; (2; 4)   Câu Cho hàm số y  x  x  , có đồ thị  C  Tìm đường thẳng y  điểm mà qua ta kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C  Trang 10 Câu 2x 1 có đồ thị  C  Tiếp tuyến với đồ thị  C  M  2;5  cắt hai đường x 1 tiệm cận E F Khi độ dài EF Cho hàm số y  A 10 B 10 13 C D 13 Lời giải Chọn B Tiệm cận đứng đồ thị  C  là: x  Tiệm cận ngang đồ thị  C  là: y  Ta có y   3  x  12 Tiếp tuyến với  C  M  2;5  là: y  y    x     y  3   12  x  2   y  3x  11 Gọi E giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng suy E 1;8 Gọi F giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận ngang suy F  3;  Vậy EF  Câu   12    82 Cho hàm số y   40  10 2x  có đồ thị  C  Một tiếp tuyến  C  cắt hai tiệm cận  C  x2 hai điểm A , B AB  2 Hệ số góc tiếp tuyến A  B 2 C  D 1 Lời giải Chọn D 1 Ta có y  Đường tiệm cận đứng x  ; đường tiệm cận ngang y   x  2   Gọi M  x0 ;    C  x0    Phương trình tiếp tuyến  C  M có phương trình d : y    x0    x  x0    x0    Gọi A giao điểm tiếp tuyến với đường tiệm cận đứng A  2;   x0    Gọi B giao điểm tiếp tuyến với đường tiệm cận ngang B  x0  2;     x0  2 Theo đề ta có AB  2 nên  x0         x0       x0   x0   Với x0  y  3  1 Với x0  y 1  1 Vậy hệ số góc tiếp tuyến k  1 Trang 12 Câu Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  Biết tiếp tuyến điểm M  C  x2 cắt hai tiệm cận  C  A B Độ dài ngắn đoạn thẳng AB A B D 2 C Lời giải Chọn D   Lấy điểm M  m;     C  với m  Ta có y '  m    m2   m  2 Tiếp tuyến M có phương trình d : y    m  2  x  m   m2   Giao điểm d với tiệm cận đứng A  2;   m2  Giao điểm d với tiệm cận ngang B  2m  2;2   2 Ta có AB   m     , suy AB  2 Dấu “=” xảy  m    ,   m     nghĩa m  m  PHẦN 19 MỨCĐỘ Câu Cho hàm số y  2x có đồ thị  C  điểm M  x0 ; y0    C   x0   Biết khoảng cách x2 từ I  2;  đến tiếp tuyến  C  M lớn nhất, mệnh đề sau đúng? A x0  y0  B x0  y0  C x0  y0  2 D x0  y0  4 Lờigiải Chọn D Phương trình tiếp tuyến  C  M có dạng d : y  y  x0   x  x0   y0 Ta có M  x0 ; y0    C   y0  Lại có y   x  2 Do d : y  x0 x0   y  x0    x0    x0    x  x0   x0 x0   d : y  x0    x  x0  x0  x0    d : x   x0   y  x02  2 8   x0    x02  d I;d     x0    16  x0  x0    16   x0    16  x0   Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có Trang 13  x0    16  x0   2  x0   Dấu “  ” xảy   x0    16  x0   16  x0   2    d I;d    x0    x0       x0  4 Bài x0  nên x0  4  y0   x0  y0  4 Câu Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  Gọi M  x0 ; y0  (với x0  ) điểm thuộc  C  , biết tiếp 2x  tuyến  C  M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho S OIB  8SOIA (trong O gốc tọa độ, I giao điểm hai tiệm cận) Tính giá trị S  x0  y0 A S  B S  17 C S  23 D S  Lời giải Chọn A Ta có y  2  2x  2 , TCĐ: x   d1  , TCN: y   d  , I 1;1 Phương trình tiếp tuyến  điểm M  x0 ; y0  có dạng y  2  x0    x  x0   x0  x0    x   A    d1  A 1;  , B    d  B  x0  1;1 , IB   x0  2;  , IA   0;   x0    x0   1 S OIB  8SOIA  1.IB  .1.IA  IB  8IA  x0     x0  1  x0  2  x0  (do x0  )  y0  5  S  x0  y0    4 cho tiếp tuyến M với trục x 1 tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Giá trị 4x0  y0 Câu Điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số y  A B 7 C Lời giải D 1 Chọn D Trang 14 - Ta có : y   y  x0  1  x  1  Phương trình tiếp tuyến M  x0 ; y0  đồ thị hàm số  x  x0   1 , với x0  y0  x0  x0  - Gọi A , B giao điểm tiếp tuyến với trục tọa độ, ta có:  2x 1  A   x0  1;0  , B   0;    x  1    x0   x0  1  4  OA.OB   x0  2  x0  1  x0  1 - Khi đó: S△OAB    x0    x0  1   x0   y0  4  x0   2  x0  1 Vậy x0  y0  1 Câu Gọi S tập hợp điểm thuộc đường thẳng y  mà qua điểm thuộc S kẻ x2 đồng thời hai tiếp tuyến vng góc với x 1 Tính tổng hồnh độ T tất điểm thuộc S hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số y  A T  B T  C T  1 D T  Lời giải Chọn D x2  x 1 x 1 x 1 Gọi điểm A  a;    d  : y  Đường thẳng qua A có dạng y  k  x  a   y  x2  x 1  k  x  a   Điều kiện tiếp xúc hệ sau có nghiệm :   x  x2  k   x  1  1  a  k  4k   Để tiếp tuyến vng góc  4 1  a  a   1    a  1 Vậy tổng hai hoành độ là: Câu 2x 1 Gọi M điểm thuộc đồ thị (C ) Gọi tiếp x 1 tuyến đồ thị (C ) M cắt tiệm cận (C ) hai điểm P Q Gọi G Cho hàm số có đồ thị (C ) : y  trọng tâm tam giác IPQ (với I giao điểm hai đường tiệm cận của) (C ) Diện tích tam giác GPQ A B C D Lời giải Chọn A Trang 15 y  3  2a   Giả sử M  a;   C  ( x  1)  a 1  Phương trình tiếp tuyến điểm M d : y  3 2a  ( x  a)  (a  1) a 1 Đồ thị (C ) có hai tiệm cận có phương trình d1 : x  ; d : y  2a   d cắt  d1  điểm P  1;  ; d cắt d điểm Q (2a  1; 2) , d1 cắt d điểm I (1; 2)  a 1  IP  ; IQ  a  a 1 Câu 6 1 Ta có SGPQ  S IPQ  IPIQ  | a  1| 2 6 | a  1| x2 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận  C  Tiếp x2 tuyến  C  cắt hai đường tiệm cận  C  hai điểm A , B Giá trị nhỏ chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB A 2 B 8 C 2 Lời giải D 4 Chọn A Tập xác định: D  ℝ \ 2 ; y  4  x  2 lim y    tiệm cận đứng đường thẳng x  ; lim y   tiệm cận ngang đường x  2 x  thẳng y  , suy I  2;1 Phương trình tiếp tuyến  C  có dạng: d : y  4  x0    x  x0   x0  x0   x 6 Tiếp tuyến  C  cắt hai đường tiệm cận  C  hai điểm A , B nên A  2; ,  x0   B  x0  2;1 Do tam giác IAB vuông I nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác R  AB Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là: P  AB. Chu vi bé AB nhỏ Trang 16       2 Ta có BA    x0 ;  ; AB    x0       x0      x0     x0    x0    4.64  Vậy Pmin  2. Câu Cho hàm số y  x 1 có đồ thị  C  Gọi điểm M  x0 ; y0  với x0  1 điểm thuộc  C  ,  x  1 biết tiếp tuyến  C  điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x  y  Hỏi giá trị x0  y0 bao nhiêu? A  B C D  Lời giải Chọn A  x 1  Gọi M  x0 ;  C với x0  1 điểm cần tìm   x  1      Gọi  tiếp tuyến  C  M ta có phương trình  : y  f '( x0 )( x  x0 )  x0  x 1 ( x  x0 )   2( x0  1)  x0  1 2( x0  1)  x  x0    x  x0   Gọi A    Ox  A   ;  B    Oy  B  0;     2( x0  1)  Khi  tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm  x02  x0  x02  x0   ; G   6( x0  1)2   Do G thuộc đường thẳng x  y   4 4  x0  1 x02  x0  x02  x0   0 6( x0  1)2 (vì A, B khơng trùng O nên x02  x0   ) 1    x0    x0     x 1   x    2   3 Vì x0  1 nên chọn x0    M   ;    x0  y0    2 PHẦN 20 MỨCĐỘ Câu Cho hàm số y  f  x   x  x  x   C  Tồn hai tiếp tuyến  C  phân biệt có hệ số góc k , đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến với  C  cắt Trang 17 trục Ox, Oy A, B cho tam giác OAB có diện tích Hỏi có giá trị k thỏa mãn yêu cầu toán ? A B C Lời giải D Chọn A Ta có y '  x  12 x  C  có hai tiếp tuyến hệ số góc k  Phương trình 3x  12 x   k 1 có hai nghiệm phân biệt   '  36    k    k  3 *  x1  x2  4  Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình 1 Theo vi et ta có:  9k  x1 x2  Gọi M , N hai tiếp điểm  M  x1 ; x13  x12  x1   , N  x2 ; x23  x22  x2   MN   x2  x1 ; x23  x13  x22  x12  x2  x1    x2  x1  1; x22  x2 x1  x12  x2  x1    k 6   x2  x1   1;   Đường thẳng MN có VTPT n   k  6;  3 , k    Gọi I trung  x  x x  x23  x12  x22  x1  x2   MN  I  ;    điểm  x1  x2   x1 x2  x1  x2    x1  x2   12 x1 x2   x1  x2       2;    2;1     Đường thẳng MN qua I  MN :  k   x     y  1    k   x  y  2k     2k   2k   A  MN  Ox  A  ;0  , B  MN  Oy  B  0;    k 6    2k  2k S OAB   OA.OB       2k   k  k 6  15  k  81  36k  4k  6k  36  4k  42k  117  ( thỏa mãn *     81  36     36  30  45  k k k k k 15    k   2 Câu Cho hàm số y  f  x  ; y  f  f  x   ; y  f  x   có đồ thị  C1  ;  C2  ;  C3  Đường thẳng x  cắt  C1  ;  C2  ;  C3  M , N , P Biết phương trình tiếp tuyến  C1  M  C2  N y  x  y  12 x  Biết phương trình tiếp tuyến  C3  P có dạng y  ax  b Giá trị a  b A B C Lời giải D Chọn A  f  1  Ta có y  x   f  1 x  1  f 1  f  1 x  f  1  f 1    f 1  Phương trình tiếp tuyến N có dạng: y  f  1 f   f 1   x  1  f  f 1   f    x  1  f    f   5 x  f   5  f  5 Trang 18 3 f     12  f     Mà y  12 x  nên suy    f    f     5  f    Mặt khác, y  f  x    y   x f   x    y  1  f     Suy phương trình tiếp tuyến  C3  có P dạng: y  y 1 x  1  y 1   x  1  f  5  x    x   a  8; b  1  a  b  Câu Cho hàm số y  x  11x có đồ thị  C  Gọi M điểm  C  có hồnh độ x1  2 Tiếp tuyến  C  M cắt  C  điểm M khác M , tiếp tuyến  C  M cắt  C  điểm M3 khác M , , tiếp tuyến M n 1  n  ℕ, n   Gọi  xn ; yn  C   C  M n 1 cắt điểm M n khác tọa độ điểm M n Giá trị n cho 11xn  yn  2019  A 675 B 673 C 674 Lời giải D 672 Chọn B Phương trình tiếp tuyến  C  M k  xk ; yk  có dạng: y   xk2  11  x  xk   xk3  11xk Phương trình hồnh độ giao điểm: x3  11x   3xk2  11  x  xk   xk3  11xk   x  xk   x  xk    x  xk  (ta loại x  xk )  x  2 xk  xk 1  2 xk Ta có: x1  2; x2  2 x1 ; x3  2 x2 ; ; xn  2 xn1 Đây cấp số nhân có x1  2; q  2 Suy xn   2  n 1 x1   2  n Theo đề bài: 11xn  yn  2019   xn3  2 2019   2    2  3n 2019  n  673 x2  x  đường thẳng d : x  y   Qua điểm M tùy ý đường thẳng d kẻ tiếp tuyến MT1 , MT2 tới  P  ( với T1 , T2 tiếp điểm) Biết đường thẳng Câu Cho parabol  P  : y  T1T2 qua điểm I  a; b  cố định Phát biểu sau đúng? A b   1;3 B a  b C a  2b  D a.b  Lời giải Chọn A Ta đặt T1  x1; y1  , T2  x2 ; y2  M  m; m  1  d Ta có phương trình tiếp tuyến  P  T1 là: y   x1  1 x  x1   Vì M thuộc tiếp tuyến nên m    x1  1 m  x1   x12  x1  x12  x1  1 Ta có phương trình tiếp tuyến  P  T2 là: y   x2  1 x  x2   x22  x2  Trang 19 Vì M thuộc tiếp tuyến nên m    x2  1 m  x2    x1  x2  2m  Từ 1 ,   suy   x12  x22 2 x  2 x  x22  x2   2  x1.x2  4m  Suy x1 , x2 nghiệm phương trình X  mX  4m    x1  m  m  m  ; x2  m  m  4m  ( Vì m  4m   m) Phương trình đườngthẳng T1T2 là: Câu Cho hàm số y  x  x1 x1  x2   m  x    x  y    I  2;  y  y1 y1  y2 x2 có đồ thị  C  điểm A  0; a  Hỏi có tất giá trị nguyên x 1 a đoạn  2018; 2018 để từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến đến  C  cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh? A 2019 B 2017 C 2020 Lời giải D 2018 Chọn A  x 2 Gọi tiếp điểm M  x0 ;  Khi phương trình tiếp tuyến  C  M là: x0    x 2 3 (d) y  f   x0  x  x0   y0  x  x0    x0   x0  1 (d) qua A  0; a   x0  x0  1  x0   a   a  1 x02   a   x0  a   0,  x0  1 (1) x0  Từ A kẻ tiếp tuyến đến  C   phương trình 1 có nghiệm x0 phân biệt khác    a     a  1 a      a  2 Khi phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 a    a    a   Hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh  x   x2     x1 x2   x1  x2     y1 y2   x1 x2   x1  x2    x1  1 x2  1  a  2 a2 2 4 9a  a 1  a 1 0   3a    a   3 a  2  a  2  1 a 1 a 1 Vậy a   Mà a nguyên a   2018; 2018  a  0;1; 2; ;2018 Vậy có 2019 giá trị nguyên a thỏa mãn x  2mx  2m2  cắt trục hoành hai điểm x 1 phân biệt tiếp tuyến với (Cm) hai điểm vng góc với Khi ta có: Câu Goi m giá trị để đồ thị (Cm) hàm số y  A m  1;2  B m   2; 1 C m   0;1 D m   1;0  Trang 20 Lời giải Chọn C x  2mx  2m2   0(1) x 1 (Cm ) cắt Ox hai điểm phân biệt A; B phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) trục Ox là:  g  x   x  2mx  2m2   có hai nghiệm phân biệt x1; x2      1  m     g (1)  m  Ta có: y   x  2m  x  1   x  2mx  2m2  1  x  12 Hệ số góc (Cm) hai điểm A, B là: k1   x1  2m  x1  1   x12  2mx1  2m2  1 k2   x1  1   x2  2m  x2  1   x22  2mx2  2m2  1  x2  1 2 x1  m x1   x2  m x2  Hai tiếp tuyến vng góc với  k1k2  1 x  m x2  m   1 x1  x2    x1 x2  m  x1  x2   m    x1 x2   x1  x2        m  1  x1  x2   2m Lại có:  Do    m  m     m   x1x2   2m   Đối chiếu điều kiện ta có m  x3 Câu Cho hàm số y  có đồ thị  C  , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y   x x 1 cho qua M có hai tiếp tuyến  C  với hai tiếp điểm tương ứng A , B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định H Độ dài đoạn OH A 34 B 10 C 29 Lời giải D 58 Chọn D Gọi M  m;1  2m   d Gọi  đường thẳng qua M có hệ số góc k , phương trình đường thẳng  : y  k  x  m    2m x3  x   k  x  m    2m  Để  tiếp tuyến đồ thị  C  hệ phương trình  có nghiệm   k   x  1 Trang 21 k Thay vào  x  1 mx    m  x  m   * Qua M kẻ hai tiếp phương tuyến x3  k  x  m    2m x 1 trình với C  ta phương trình g  x   mx    m  x  m   có hai nghiệm phân biệt x  a  m   m        m   m  m      m     g 1  m   2m  m   Gọi A  xA ; y A  , B  xB ; yB  hai tiếp điểm, với x A , xB hai nghiệm phương trình *   m  2  x A  xB  m Theo địnhlý Vi-et ta có   m x x    A B m  m2 m3 Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB I  ;   m m 1   m  xB  x A   Mặt khác AB   xB  x A ;   vectơ pháp tuyến đường thẳng AB m 1   n   2m;1  m  Phương trình đường thẳng qua hai điểm AB có vectơ pháp tuyến n   2m;1  m   m2 m3 qua điểm I  ;  2mx  1  m  y   m   m m 1  Gọi H  xH ; yH  điểm cố định mà đường thẳng AB qua Khi đó, 2mxH  1  m  yH  m    m  xH  yH  1  yH   với m  m   xH  y H    xH  3 Suy    H  3; 7   yH    yH  7 Vậy OH   3   7  2  58 PHẦN 21 MỨCĐỘ Câu Có điểm M thuộc đồ thị  C  hàm số y  x  x   cho tiếp tuyến M  C  cắt  C  trục hoành hai điểm phân biệt A B (khác M ) cho M trung điểm AB ? A B C Lời giải D Chọn D Ta có: y  x  x  3  x3  x  y  3x  Phương trình tiếp tuyến  d  M  x0 ; x03  x0   C  Trang 22 y   x02    x  x0   x03  x0  y   x02   x  x03 Xét phương trình hồnh độ giao điểm  d   C  :  x  x0  3 x  x03  x  3x  x  3x02 x  x03    x  x0   x  x0      x  2 x0  xA  2 x0 , A khác M nên x0   3x Phương trình hồnh độ giao điểm  d  trục hoành:  3x  3 x  x03   x  Khi x A  2 x0 , xB  x03  x0  1, x0  1 x02  x03 , xM  x0 , x0  ℝ \ 1;0;1 x02  Do A, B M thẳng hàng nên để M trung điểm AB xA  xB  xM  2 x0  x03  x0  10 x02  12   x0   x0  Vậy có điểm M thỏa mãn toán 2x 1 Câu Cho hàm số y  có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp x2 tuyến   C  M cắt đường tiệm cận A B cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi tiếp tuyến   C  tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn thuộc khoảng ? A  29; 30  B  27; 28 C  26; 27  D  28; 29  Lời giải Chọn B Ta có IA.IB = Tam giác IAB vuông I ⇒ bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có R = AB 1 AB  IA2  IB  IA.IB  2 Đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Rmin ⇔ IA = IB R hệ số góc tiếp tuyến ± 3 Hệ số góc k   1  x   ( x  2) Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x   y  ( x   3)  3   x    1  Diện tích tam giác tạo trục tọa độ tiếp tuyến  1  34 2  27,86 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x   y  ( x   3)  3   x    2   Trang 23 Diện tích tam giác tạo trục tọa độ tiếp tuyến    2   0, 26 Khi tiếp tuyến   C  tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn thuộc khoảng  27; 28 Câu Cho hàm số y  f (x ) xác định có đạo hàm ℝ thỏa mãn  f (1  x)  x   f (1  x ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x ) điểm có hoành độ 1 A y   x  7 B y  x 7 C y   x  7 Lời giải D y   x  Chọn A Từ giả thiết  f (1  x ) 2  x   f (1  x )3 , đặt f 1  a f  1  b a  Ta cho x   a   a    a  1 Đạo hàm vế ta f 1  x  f  1  x     f 1  x   f  1  x  Cho x  ta có ab   3a 2b  Xét a  thay vào ab   3a 2b vô lý  Xét a  1 thay vào 4b   3b  b   Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm 1 y    x  1    x  7 x2 Câu Cho hàm số y  có đồ thị  C  Gọi d khoảng cách từ điểm A 1;1 đến tiếp x 1 tuyến đồ thị  C  Tìm giá trị lớn d A B C 2 Lời giải D 3 Chọn B Lấy x0 khác Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ x0 y  3  x0  1  x  x0   x0  x0  Khoảng cách từ A 1;1 đến tiếp tuyến là: x 2 d 1  : x0  x0   x0  Câu x0  1  x0   x0  1  x0  1  x0   4  x0  1   x0  1  x0   x0  1  Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  1  x  f 1  x  * Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  Trang 24 x  y  x  3 C y  x  y  x  3 x  y  x  3 D y  x  y  x  3 Lời giải A y  B y  Chọn C  f 1  Cho x  ta có *  f 1   f 1    f 1  1 *  f ' 1  x    f 1  x  f ' 1  x  ** Cho x  ta có **  f ' 1   f 1 f ' 1 *** Nếu f 1  ***  f ' 1  Suy phương trình tiếp tuyến y  x 1 1 Nếu f 1  1 ***  f ' 1  Suy phương trình tiếp tuyến y  x  3 Câu Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm ℝ thỏa mãn    f  x   x   f   x   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh     a a độ có hệ số góc k   , a  0, b  với phân số tối giản Tính a  b b b A.4 B C D Lời giải Chọn A Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ k  f   3  f  3  3 Từ giả thiết suy  f  2.02     f       f  3     f  3       f  3  1    Mặt khác  f  x  f  x    f   x    f   x              2.4.0 f    2.0  f   2.0     1 f      f      2.4 x f   x f  x    1 f    x   f   x   2 2   f   3  f  3   Nếu f  3   vô lý nên f  3   f  3  1  f   3   Vậy a  1, b  Câu Cho hàm số y  f  x  xác định, có đạo hàm liên tục ℝ thỏa mãn f 1  x   f 1  x   f 1  x   x  f  x   x  ℝ Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x  song song với đường thẳng sau A y  x  3 B y   x  3 C y   x  3 Lời giải D y  x  3 Chọn D Theo đề ta có f 1  x   f 1  x   f 1  x   x  * Trang 25  f 1  Thay x  vào biểu thức *  ta có f 1  f 1  f 1     f 1    Vì f  x   x  ℝ nên f 1  Lấy đạo hàm vế theo biến x biểu thức *  ta được:  f ' 1  x   f 1  x  f ' 1  x   24 f 1  x  f ' 1  x   ** Thay x  f 1  vào biểu thức ** ta  f ' 1  f ' 1  24 f ' 1   f ' 1  Vậy phương trình tiếp tuyến y  x  3 Trang 26 ... x1; y1  , T2  x2 ; y2  M  m; m  1? ??  d Ta có phương trình tiếp tuyến  P  T1 là: y   x1  1? ?? x  x1   Vì M thuộc tiếp tuyến nên m    x1  1? ?? m  x1   x12  x1  x12  x1  ? ?1? ??... ? ?1? ??  Ta có y  x   f  ? ?1? ?? x  1? ??  f ? ?1? ??  f  ? ?1? ?? x  f  ? ?1? ??  f ? ?1? ??    f ? ?1? ??  Phương trình tiếp tuyến N có dạng: y  f  ? ?1? ?? f   f ? ?1? ??   x  1? ??  f  f ? ?1? ??   f    x  1? ??... x2  1? ??   x22  2mx2  2m2  1? ??  x2  1? ?? 2 x1  m x1   x2  m x2  Hai tiếp tuyến vng góc với  k1k2  ? ?1 x  m x2  m   ? ?1 x1  x2    x1 x2  m  x1  x2   m    x1 x2   x1 