2 2 CUC TRI

Dạng 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp Tiến hành theo bước sau: Bước Tìm tập xác định hàm số f Bước Tính f '(x) Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục (a,b) x0 �(a;b) Thế điểm x0 điểm cực trị hàm số f đạo hàm f '(x) đổi dấu x qua x0 ” Bước 4.Giải yêu cầu cực trị (nếu có) Chú ý: * Nếu ta gặp biểu thức đối xứng hoành độ điểm cực trị hoành độ điểm cực trị nghiệm tam thức bậc hai ta sử dụng định lí Viét * Khi tính giá trị cực trị hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng kết sau: Định lí 1: Cho hàm đa thức y  P  x , giả sử y   ax  b P' x  h  x x0 điểm cực trị hàm số giá trị cực trị hàm số là: y  x0   h  x0  y  h  x gọi phương trình quỹ tích điểm cực trị Chứng minh: Giả sử x0 điểm cực trị hàm số, P  x hàm đa thức nên P' x0   � y  x0    ax0  b P' x0   h  x0   h  x0  (đpcm) Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ y  u  x v  x x0 điểm cực trị hàm số giá trị cực trị hàm số: y  x0   Và y  u' x v' x u' x0  v' x0  phương trình quỹ tích điểm cực trị Chứng minh: Ta có y'  u' x v  x  v' x u  x v2  x � y'  � u' x v  x  v' x u  x    Giả sử x0 điểm cực trị hàm số x0 nghiệm phương trình   � u' x0  v' x0   u  x0  v  x0   y  x0  Bài tốn 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ CÙNG DẤU, TRÁI DẤU Phương pháp Giả sử y'  ax2  bx  c 70  Hàm số có hai điểm cực trị dương � y'  có hai nghiệm dương phân biệt :  x1  x2 ۹ a 0,   0, x1  x2  0, x1.x2   Hàm số có hai điểm cực trị âm � y'  có hai nghiệm âm phân biệt x1  x2  ۹ a 0,   0, x1  x2  0, x1.x2   Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu � y'  có hai nghiệm trái dấu x1   x2 ۹ a 0, x1.x2   Hàm số có hai cực trị có giá trị cực trị dấu � y1.y2  Ví dụ : Định m để hàm số y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3 có cực trị trái dấu Lời giải Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'  3x2  6mx  3(m2  1) Hàm số có cực trị trái dấu y'  có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x1   x2 � 9(m2  1)  � 1  m  Vậy, với 1 m  hàm số có cực trị trái dấu CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số : y  mx3  mx2  x  có hai điểm cực trị hai giá trị cực trị dấu y  x3  6x2  3 m  2 x  m  đạt cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị dấu y  x3  3mx2  3(m2  1)x  6m  có hai cực trị trái dấu Bài 2: Tìm m để hàm số : y  x3  (m  1)x2  (6  2m)x  m đạt cực trị hai điểm trái dấu y  (m  1)x3  3(m  1)x2  2mx  m có điểm cực đại, cực tiểu Chứng minh hai điểm cực trị cách đường thẳng d : x  y  x3  (2m  1)x2  3mx  m có cực đại cực tiểu đồng thời giá trị cực đại cực tiểu hàm số trái dấu Bài tốn 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Phương pháp Giả sử y'  ax2  bx  c  Hàm số có hai cực trị nằm phía tung � y1.y2   Hàm số có hai cực trị nằm phía trục tung � x1.x2   Hàm số có hai cực trị nằm trục hoành � y1  y2  0, y1.y2  71  Hàm số có hai cực trị nằm trục hoành � y1  y2  0, y1.y2   Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành � y1.y2  Các ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y  x3  3x2  mx  m – ( m tham số) có đồ thị  Cm  Xác định m để  C m  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh Lời giải Hàm số cho xác định D  � Phương trình hồnh độ giao điểm  C m  trục hoành: x3  3x2  mx  m –   1 � x  1 g(x)  x  2x  m    2  Cm  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh  1 có nghiệm phân biệt tức phương trình  2 có nghiệm phân biệt � �  3 m  � � m khác 1 � � g(1)  m  �0 � Vậy, với m  hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh x  mx2  (2m  1)x  ( m tham số) có đồ thị  C m  Xác định m để  C m  có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung Lời giải Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'  x2  2mx  2m  Ví dụ : Cho hàm số y  Đồ thị  C m  có điểm cực đại cực tiểu nằm phía trục � � m2  2m  1 � tung  y �  có nghiệm phân biệt dấu  � 2m   � � m � �� m � � Vậy, với  m �1 hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung Ví dụ : Cho hàm số y  x3  (2m  1)x2  (m2  3m  2)x  ( m tham số) có đồ thị  C m  Xác định m để  C m  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung 72 Lời giải Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'   x2   2m  1 x  (m2  3m  2) Đồ thị  C m  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung  y� có nghiệm trái dấu  3(m2  3m  2)    m  Vậy, với  m  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y  x4  2mx2  Tìm giá trị m để tất điểm cực trị đồ thị nằm trục toạ độ Bài 2: Tìm m để hàm số : y  2x3  mx2  12x  13 có điểm cực đại cực tiểu điểm cách trục tung mx2  3mx  2m  có hai điểm cực đại, cực tiểu hai điểm nằm x1 hai phía với trục Ox Bài Với giá trị m�� đồ thị hàm số y  y   mx2  m2  x  4m3  m x m tương ứng có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  II  điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  IV  mặt phẳng tọa độ Bài tốn 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Phương pháp Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng  qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB � d – Giải điều kiện: � I �d � Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: d(A ,d)  d(B,d) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khoảng cách hai điểm A, B lớn (nhỏ nhất) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị) – Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) AB 73 Cực trị hàm đa thức bậc 3: Hàm số: y  ax3  bx2  cx  d  a �0 Đạo hàm: y'  3ax2  2bx  c Điều kiện tồn cực trị  có nghiệm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y� Hồnh độ x1,x2 điểm cực trị nghiệm phương trình y�  Kỹ tính nhanh cực trị Giả sử  '  b2  3ac  y'  có nghiệm phân biệt x1,x2 với x1,2   b � b  3ac hàm số đạt cực trị x1,x2 3a Theo định nghĩa ta có cực trị hàm số là: � � � � 2 y1  y  x1   y � b  b  3ac �; y2  y  x2   y � b  b  3ac � 3a 3a � � � � Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm Bước 1: Thực phép chia y cho y' ta có:     � b2 � y  x  b y' � c x  d  bc � 9a � 3a � 9a y  y'.q(x)  r(x) hay với bậc r  x  � b2 � 2� y  y x  r x  c  x  d  bc     � � � 1 �y' x1  � � 3� 3a �1 9a nên � Bước 2: Do � 2� y' x  �   �y  y  x   r  x   c  b x  d  bc � � � 2 � 3� 3a �2 9a � Hệ quả: Đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y  r  x     Đối với hàm số tổng quát : y  ax3  bx2  cx  d (a �0) đường thẳng   � b2 � qua cực đại, cực tiểu có phương trình: y  � c x  d  bc � � 3a � 9a Chú ý: Gọi  góc hai đường thẳng d1 : y  k1x  b1, d2 : y  k 2x  b2 tan  k1  k2 1 k1k2 Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vng góc) với đường thẳng d : y  px  q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu 74 ) p Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y  px  q góc  – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu kp  tan (Đặc biệt d  Ox, giải điều kiện: – Giải điều kiện: 1 kp – Giải điều kiện: k  p (hoặc k   k  tan ) Các ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y   x3  3mx2  3m  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d : x  8y  74  Lời giải Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'  3x2  6mx Đồ thị  C m  có điểm cực đại cực tiểu � y'  có nghiệm phân biệt x1;x2 � m �0 uuu r Khi điểm cực trị là: A(0; 3m  1), B(2m;4m3  3m  1) � AB(2m;4m3) Trung điểm I AB có toạ độ: I(m;2m3  3m  1) u r Đường thẳng d : x  8y  74  có VTCP u  (8; 1) �� I d A B đối xứng với qua d  � AB  d � � m  8(2m3  3m  1)  74  � � �uuu ru r AB.u  � � � m Vậy, với m  đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d : x  8y  74  Chú ý: Bài tốn u cầu sau: ‘’ Cho hàm số y   x3  3mx2  3m có đồ thị  C m Tìm đồ thị hàm số điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d : x  8y  74  ’’ Ví dụ : Cho hàm số y  x3  3x2  mx  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Xác định m để  C m  có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y  x  Lời giải Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'  3x2  6x  m 75 Đồ thị  C m  có điểm cực đại cực tiểu � y'  có nghiệm phân biệt x1;x2 �  '   3m  � m  3 Gọi hai điểm cực trị A  x1; y1 ;B x2; y2  �1 � �2m � � m� y' �  2� x � 2 � Thực phép chia y cho y' ta được: y  � x  � 3� �3 �3 � � 3� �2m � � m� �2m � � m� � y1  y  x1   �  2� x1  � 2 � ; y2  y  x2    �  2� x2  �2  � �3 � � 3� �3 � � 3� Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị �2m � � m�  : y   �  2� x � 2 � � � � 3� Các điểm cực trị cách đường thẳng y  x  � xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường �2m � thẳng y  x  �  �  2� � m   (thỏa mãn) �3 � TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y  x  � yI  xI  � y1  y2 x1  x2 �2m � � m�   �  �  2� x1  x2   2�  �  x1  x2    2 �3 � � 3� �2m � 2m � �  3�   � m0 �3 � Vậy, giá trị cần tìm m là: m   , m  đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y  x  Ví dụ : Cho hàm số y  x3  3x2  mx  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Tìm m để  C m  có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d: y  4x  Lời giải Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'  3x  6x  m Đồ thị  C m  có điểm cực đại cực tiểu � y'  có nghiệm phân biệt x1;x2 � y'  có nghiệm phân biệt x1;x2 �  '   3m  � m  3 Gọi hai điểm cực trị A  x1; y1 ;B x2; y2  �1 � �2m � � m� y' �  2� x � 2 � Thực phép chia y cho y' ta được: y  � x  � 3� �3 �3 � � 3� �2m � � m� �2m � � m� � y1  y  x1    �  2� x1  � 2 � ; y2  y  x2    �  2� x2  � 2 � 3 � � � � � � � 3� 76 � Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị d :  �2m � � m� y   �  2� x � 2 �   �3 � � 3� Đường thẳng qua điểm cực trị song song với d :  y  4x  � �2m �  �  2� 4 � � �3 � �� � m  (thỏa mãn) � m � �2  � ��3 � � 3� � Vậy, m  thỏa mãn tốn Ví dụ : Cho hàm số y  x3  3x2  mx  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Tìm m để  C m  có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x  4y –  góc 450 Lời giải Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'  3x2  6x  m Đồ thị  C m  có điểm cực đại cực tiểu � y'  có nghiệm phân biệt x1;x2 � y'  có nghiệm phân biệt x1;x2 �  '   3m  � m  3 Gọi hai điểm cực trị A  x1; y1 ;B x2; y2  �1 � �2m � � m� y' �  2� x � 2 � Thực phép chia y cho y' ta được: y  � x  � 3 � � � � � 3� �2m � � m� �2m � � m� � y1  y  x1    �  2� x1  � 2 � ; y2  y  x2    �  2� x2  � 2 � �3 � � 3� �3 � � 3� � Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị  : �2m � � m� y   �  2� x � 2 � �3 � � 3� �2m � Đặt k   �  2� Đường thẳng d : x  4y –  có hệ số góc  � � � � 39 � 1 k k   1 k m  � � � o 10 �� �� �� Ta có: tan45  1 � � � 1 k k   1 k k m  � � � � 4 � � Đối chiếu điều kiện , suy giá trị m cần tìm là: m   Vậy, với m   thỏa mãn tốn k 77 Ví dụ : Cho hàm số y  x3  6mx2  9x  2m ( m tham số) có đồ thị  Cm  Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị Lời giải Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'  3x2  12mx   có nghiệm phân biệt , tức Hàm số có điểm cực trị  phương trình y� phải có:  m  (*) 2 �x 2m � y�  (6  8m2)x  4m � đường thẳng qua điểm Khi ta có: y  �  � �3 � cực trị đồ thị hàm số (1) có PT là:  : y  (6  8m2)x  4m  '  4m2   � m  Theo toán d(O, )  4m 2 (6  8m )   � 64m4  101m2  37  37 Đối chiếu điều kiện, ta thấy m  �1 thỏa Vậy, với m  �1 thỏa mãn tốn Ví dụ Giả sử đồ thị y = mx3 - 3mx2 +( 2m +1) x +3 - m , có đồ thị  Cm  � m  �1 m  � �1 �2 � � có cực trị Tìm m để khoảng cách từ I � ;4 �đến đường thẳng qua cực trị  Cm  lớn Lời giải TXĐ: D  � Ta có: y '  3mx2  6mx  2m  Để  Cm  có cực trị y '  có nghiệm phân biệt đồng thời m �0 � � đổi dấu lần qua nghiệm , tức ta ln có: � 3m  3m  � � m  m  Với m  m   Cm  ln có cực trị, đồng thời hoành độ cực trị thỏa mãn phương trình 3mx2  6mx  2m     78 Và y    1  x  1 3mx2  6mx  2m   �   2m  x  10  m � �, suy 3� y �   2m  x  10  m � �do   đường thẳng qua cực trị 3� Đặt  : y  �   2m  x  10  m � ��  :   2m  x  3y  10  m  3� 2m  1 d  I;     18 Cách 1:   2m    1 2m  2m    d  I;    Hay Vậy, với m  �2 �3 �  � � �2m  � 2 � � , đẳng thức xảy m  max d  I;    �1 � �2 � Gọi N hình chiếu vng góc I lên  , d  I;   �IN �IM , khoảng cách từ I đến  IM IM   tức k IM k   1  2m �  1 � m   ;3 �với m �� Cách 2: Dễ thấy  qua điểm cố định M � CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y  x3  3x2  mx Với giá trị m đồ thị hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x  2y   Bài 2: Cho hàm số y  x3  3(m  1)x2  9x  m  Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x  2y  Bài 3: Cho hàm số y  x3  mx2  7x  Tìm m để đồ thị điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị vng góc với đường thẳng d: y  3x  Tìm m để hàm số: y  x3  mx2   5m  4 x  có cực đại , cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường thẳng  d  : 8x  3y   Bài 4: Tìm m để hàm số : 79 m 3 m  1 x3  x    m x  m  có cực trị số nằm hai  2 điểm cực trị hàm số m Tìm giá trị để hàm số: y   y  x3  3 m  1 x2  3m2  7m  x  m2  có điểm cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ Tìm giá trị m để hàm số: y  mx3  (2m  1)x2  mx  có điểm cực đại điểm cực tiểu ,đồng thời điểm cực đại đồ thị hàm số có hồnh độ lớn 1 Cho hàm số y  x3  mx2  mx  1, với m tham số thực Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho x1  x2 �8 x  mx2  (m2  3)x Tìm giá trị m để hàm số cho có điểm cực trị x1,x2 với x1  0,x2  x12  x22  Cho hàm số y  Cho hàm số y  x2  m  x  1 x có hai cực trị x1 ;x2 thỏa mãn �1 1� � x12  x22  6�  �x � � x2 � x2  m2x  2m2  5m  Tìm tham số m để hàm số: y  đạt cực tiểu x x � 0;2m , m  Tìm m để hàm số : y  (x  m)(x2  3x  m  1) có cực đại cực tiểu x1, x2 thoả x1.x2  2x2  3x  m có điểm cực đại cực tiểu x m thỏa mãn y(x1)  y(x2)  10 Tìm m để đồ thị hàm số: y  điểm có hồnh độ x1,x2 Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số: y  y  x2  mx2  x  m có cực đại cực tiểu có hồnh độ x1 ,x2 x m  y  x1 �4 2x2  3x  m  có điểm cực đại cực tiểu điểm có hồnh độ x x1 ,x2 thỏa mãn y  x2   y  x1   y  85 mx  3mx2   3m  1 x  có cực đại x � 3;0 y  x3  mx2   2m  1 x  có điểm cực trị dương 3 y  y  x3  3x2  mx  có điểm cực đại cực tiểu điểm có hồnh độ x1 ,x2 thỏa mãn: x13  4x1  x2 Bài 3: Cho hàm số y  x3  (1– 2m)x2  (2– m)x  m  ( m tham số) có đồ thị  C m  Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ m Cho hàm số y  x3  (m  2)x2  (m  1)x  Tìm m để hàm số có cực đại x1 , cực tiểu x2 thỏa mãn x1  x2  x3  mx2  2(5m  8)x  Xác định tham số m để hàm số đạt cực trị hai điểm có hồnh độ bé Cho hàm số y    2 Tìm m để đồ thị hàm số: y  x  3 m  1 x  3m  7m  x  m  đạt cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ Tìm m để đồ thị hàm số: y  x3 – 3x2   6m  3 x – 3m đạt cực trị hai điểm có hồnh độ lớn 2 Tìm m để đồ thị hàm số: y  x3  6x2  3mx   m số có điểm cực đại M( x1;y1) điểm cực tiểu M 2(x2 ;y2) thỏa mãn điều kiện Bài : Tìm giá trị m để hàm số y1  y2 (x1  x2)(x1x2  2) 0 1 y = x3 - ( m + 4) x2 +( 2m +5) x +1 Có hai cực trị lớn - ; Có hai cực trị nhỏ ; Có cực trị lớn - 1; Có cực trị lớn ; Bài 5: Cho hàm số : y = cực trị : Trong khoảng (�;1) Có cực trị khoảng ( 3;5) ; Khơng có cực trị x  mx2  (m2  m  1)x  Tìm m để hàm số có Trong khoảng (1; �) 86 x1,x2 thoả mãn x1   x2 x1,x2 thoả mãn  x1  x2 Bài 6: Cho hàm số y  x3  ax2  3ax  Tìm a để hàm số cho đạt cực trị x x , phân biệt thoả mãn điều kiện: x12  2ax2  9a a2  a2 x22  2ax1  9a 2 Bài 7: Cho hàm số y  x3  3x2  Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y  3x  tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Cho hàm số y   x3  (m  1)x2  2(m  2)x  Tìm m để hàm số đạt cực trị x1,x2 cho biểu thức: P  x1  x2  đạt giá trị nhỏ x1x2 mx2  4x  m   1 x 1.Với giá trị m hàm số  1 có hai cực trị dấu; Bài 8: Cho hàm số: y  Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  3 x  10 cắt đồ thị hàm số  1 hai điểm phân biệt A  x1;y1  , B x2;y2  Trong trường hợp này, tìm hệ thức y1 y2 độc lập m Bài 9: Tìm tham số m để hàm số: 2x2  mx  2m  có x1 2  x1  1 x2  y hai điểm cực trị x1,x2 thỏa mãn y  x3  3 m  1 x2  3m m  2 x  12m  có hai điểm cực trị A B cho AM  BM nhỏ nhất, với M  3;2 y  x3   1 2m x2    m x  m  có hai điểm cực trị, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ y  x2  m2x  2m2  5m  đạt cực tiểu x � 0;2m , m  x Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Bài tốn 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CÙNG ĐIỂM K TẠO THÀNH TAM GIÁC THỎA MÃN TÍNH CHẤT NÀO ĐĨ Phương pháp 87 Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng  qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B  với trục Ox, Oy – Giải điều kiện SIA B  S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng  qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện SIA B  S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân tam giác  có nghiệm phân biệt – Tìm điều kiện để phương trình y� – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B, C Lập luận ABC cân A uuu r uuur – Giải điều kiện: ABC vuông A  AB.AC  ; ABC  AB  BC Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S cho trước  có nghiệm phân biệt – Tìm điều kiện để phương trình y� – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B, C Lập luận ABC cân A – Kẻ đường cao AH – Giải điều kiện: S  SA BC  AH.BC Ví dụ 1 Tìm tham số thực m để hàm số: y  x4  2 m  1 x2  m  1 có cực trị A ,B,C cho: OA  BC , O gốc tọa độ , A cực trị thuộc trục tung, B,C điểm cực trị lại Đề thi Đại học khối B – năm 2011 Cho hàm số y  x4  2(m  1)x2  m2  1 ,với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Đề thi Đại học khối A,A1 – năm 2012 Cho hàm số y  x3  3mx2  3m3  1 , m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số  1 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OABcó diện tích 48 Đề thi Đại học khối B– năm 2012 Lời giải TXĐ: D  � 88 y'  4x3  4 m  1 x � y'  � x  hay x2  m  Hàm số có cực trị y'  đổi dấu lần qua nghiệm x hay x2  m  có nghiệm phân biệt khác � m   tức m  1 Khi đồ thị hàm số có cực trị    A  0;m , B  m  1; m2  m  , C  m  1; m2  m  Theo tốn, ta có: OA  BC � m2  4 m  1 � m  �2 thỏa m  1 TXĐ: D  � Đạo hàm y'   4 x3  – 4 m   1 x y'  � 4x3 – 4 m   1 x   0 � x  0,x2   m  1 Hàm số có cực trị điều kiện cần y'  có nghiệm phân biệt Điều xảy m   � m  1    Khi y'  4x x  m  x  m  đổi dấu qua điểm x  0,x   m  1,x  m  nên hàm số có cực trị điểm Với m  1 đồ thị hàm số có điểm cực trị :     A 0;  m2  ,B    m   1; –2m – ,  C   m   1;–2m – Cách 1: Nhận xét: A �Oy ,B C đối xứng qua Oy nên tam ABC cân A tức AB  AC nên tam giác vng cân A Gọi M trung điểm BC � M  0; 2m – 1 Do để tam giác ABC vuông cân � BC  2AM  (đường trung tuyến nửa cạnh huyền)   � m   2  m2     2m   1  2  m   1 �  1   m   1 m    m  1 2 �    m   1 �  m   0  m  1 Cách 2: ABC vng cân Ta có: AB2  AC   m  1   m  1 BC  4 m  1 Theo định lý pitago ta có: � m  1 � m  1 2AB2  BC2 � (m  1)4  m  � � �� m  1 � m � So với điều kiện m  1 , m cần tìm m    Cách 3: ABC vuông cân � AB.AC  �   m  1  2m  1 m2   � m4  4m3  6m2  3m  � m  m  1 (loại) Cách 4: uuu r uuu r � Sử dụng góc ABC vng cân � cos AB,BC  450 , từ tìm m   89  Cách 1: Ta có: y'  3x2 – 6mx Hàm số có cực trị y'  có nghiệm phân biệt  m �0 đổi dấu qua nghiệm x  x  2m    3 Khi hàm số có hai điểm cực trị A 0;3m ,B 2m; m  B,OA � Nhận xét: A thuộc Oy nên OA  yA  3m ,d � � � m SA BC  48 3m3 2m  48 � m4  16 � m  �2 thỏa điều kiện toán Cách 2: Để hàm số có hai cực trị y'  có nghiệm phân biệt đổi � ۹ dấu qua nghiệm, nghĩa phải có: �y'�0 36m2 m Với m �0 hàm số có cực đại A  x1;y1 B x2;y2  Trong đó: y' x1   y' x2   y1  2m2x1  3m3 , y2  2m2x1  3m3 SOAB  48 � �  x2  x1 Hay  x2  x1  1 4m    y2  y1  3m3 4m4  3m3 4m4   96 �  96  x2  x1  4x1x2 3m3  96  2m 3m3  96 � m4  16 � m  �2 Ví dụ 2.Cho hàm số: y  x2  2mx  m  1 Tìm tham số m để đồ thị hàm x m số  1 có điểm cực đại điểm cực tiểu đồng thời: Đường thẳng qua hai điểm tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích 1; Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông O Lời giải TXĐ: D  �\   m Hàm số có có điểm cực đại điểm cực tiểu phương trình x2  2mx  2m2  m  có hai nghiệm phân biệt khác m tức m   m  Phương trình đường thẳng qua hai cực trị : y  2x  m , theo toán ta có: A  m;0 B 0; 2m SA OB  OA.OB � m  90 m  phương trình đường thẳng qua điểm cực đại C  x1;y1 cực tiểu D  x2;y2  : y  2x  m , C  x1;2x1  m uuur uuur D  x2;2x2  m Tam giác OCD vuông O OC.OD  tức m   5x1x2  2m  x1  x2   m2    Áp dụng định lý vi – ét x1  x2  2m; x1x2  2m2  m ,   trở thành 5m  m  1  � m  1 m  Đối chiếu điều kiện, ta thấy m  1 thỏa   2 Ví dụ : Cho hàm số y  x x  a ; với a tham số thực, x biến số thực.Chứng minh đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác nhọn a  2 Lời giải Hàm số cho xác định � a Ta có: y'  4x3  2ax y'  � x  x2   a Để hàm số có cực trị �   � a  , phương trình y'  có nghiệm x  x    a a x   2 � a a2 � � a a2 �  ; � ;B�   ; � Giả sử hàm số có điểm cực trị : O  0;0 ;A � � 4� � 4� � � � � a4 a � OAB cân O, ta cần chứng  16 minh OAB có góc � AOB nhọn OA B có góc nhọn Suy : OA = OB = a a4 uuur uuu r  OA.OB � 16  a  8a  a   uuur uuu Ta có : cosAOB r  a a4 a4  8a a3  OA OB   16 a3  � �  � a3   ( a < nên AOB góc nhọn � cosAOB  � a 8 a3   ) a  2 Kết hợp điều kiện có cực trị hàm số ta a  2 Vậy, hàm số có cực trị lập thành tam giác nhọn a  2 Ví dụ : Cho hàm số y  x3  3x2  mx   1 Xác định m để hàm số  1 có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Lời giải 91 Hàm số cho xác định � Ta có: y'  3x2  6x  m Hàm số có cực trị y'  có nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm, tức phải có: �  '   3m  hay m  3 Với m  3 đồ thị hàm số có cực trị � 2m � m y   x  1 y' �   2� x  2 3 � � � 2m � m   2� x  2 Suy y  � đường thẳng d qua điểm cực trị � � � 6 m � ;0� , Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox Oy A � �2(m  3) � � 6 m � B� 0; � � � Tam giác OAB  cân � OA  OB � m6 6 m  � m  6, m   ,m   2(m  3) 2 Với m  A �B �O so với điều kiện ta nhận m   Vậy, với m   3 thỏa mãn tốn Ví dụ : Cho hàm số y  2x3  3(2m  1)x2  6m(m  1)x   1 Xác định m để M(2m3;m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số  1 tam giác có diện tích nhỏ Lời giải Hàm số cho xác định � Ta có: y'  6x2  6(2m  1)x  6m(m  1) y'  � x  m, x  m  � m ��, hàm số ln có cực đại, cực tiểu Tọa độ điểm cực đại, cực tiểu đồ thị A(m;2m3  3m2  1), B(m  1;2m3  3m2) Suy AB  phương trình đường thẳng AB: x  y  2m3  3m2  m   Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ khoảng cách từ M tới AB nhỏ 1 3m2   � d(M;AB)  mind(M ;AB) Ta có: d(M ,AB)  đạt m 2 =0 Vậy, với m = thỏa mãn tốn Ví dụ : Cho hàm số: y  x3  3mx  ( m tham số) có đồ thị  C m  Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng qua cực đại, cực 92 tiểu đồ thị hàm số  C m  cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính hai điểm phân biệt A ,B cho diện tích tam giác IAB lớn Lời giải Hàm số cho xác định � Ta có: y'  3x2  3m với m  hàm số ln có cực đại, cực tiểu Khi đó, phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu  : 2mx  y   Điều kiện để đường thẳng  cắt đường tròn hai điểm phân biệt 2m  d  I,   R �  1� m  4m  1 1 SIA B  IA.IB.sinAIB � R  Dấu “=” xảy IA vng góc 2 IB Gọi H trung điểm AB, ta có HI  HA  HB 2m  R R � 12 IH  HB2  R � IH  � d  I,    �  � m 2 4m2  � 12 thỏa mãn toán CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho hàm số y  x4  (3m  1)x2  Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy lần độ dài cạnh bên Vậy, với m  Cho hàm số y  x4  2mx2  2m   1 Định m để hàm số  1 có ba cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số  1 tạo thành tam giác có   chu vi 1 65 x2   a  1 x  a  b Tìm giá trị tham số thực a, b x1 cho hàm số đạt cực tiểu x  đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo Cho hàm số y    với hai trục tọa độ tam giác có chu vi 1 Bài Cho hàm số y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3  4m  Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A, B cho OAB vuông O 93 Cho hàm số y  x4  2(m  2)x2  m2  5m  Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Bài Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số: y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3  có hai điểm cực trị A ,B cho tam giác OAB có diện tích 4( O gốc tọa độ ) y  x4  2m2x2  có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân y  x4  2m(m  1)x2  m  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 2 y =- x + 3x + m - x - 3m - có cực trị điểm O tạo ( ) thành tam giác vuông O Bài Cho hàm số y  x3  3x2  m Xác định m để đồ thị hàm số cho �  1200 có hai điểm cực trị A, B cho AOB Cho hàm số y  x4  2mx2  m2  m Với giá trị m đồ thị có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200 Bài Tìm m để đồ thị hàm số: y  x4  2mx2  m  có điểm cực trị tam giác mà đỉnh điểm cực trị đồ thị có diện tích Cho hàm số y  x3  3x2  m2  m  Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực đại, cực tiểu A B để diện tích tam giác ABC 7, với điểm C(–2; ) Cho hàm số y  x3  3x2  4mx  Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị cắt trục Ox, Oy A ,B cho diện tích tam giác OAB , O gốc tọa độ 20 Bài Với giá trị m �� đồ thị hàm số y   x4  4mx2  4m có � 31� 0; � làm trực tâm cực trị đỉnh tam giác nhận điểm H � � 4� Tìm m để đồ thị hàm số: y  x4  2mx2  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm 94 Cho hàm số y  x3  3(m  1)x2  12mx  3m  Tìm m để hàm số có hai � 9� 1, �lập điểm cực trị A B cho hai điểm với điểm C � 2� � thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Tìm m để đồ thị hàm số: y  x4  mx2  4x  m có ba điểm cực trị Sao cho tam giác có đỉnh ba điểm cực trị nhận gốc toạ độ làm trọng tâm Bài Tìm tham số thực m để hàm số: y  2x3  3 m  1 x2  6mx  m3 có cực đại A cực tiểu Bsao cho: Khoảng cách A Bbằng C Hai điểm A B tạo với điểm  4;0 tam giác vng C m Bài Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y  x4  mx2   có cực trị A �Oy , B, C cho: Tam giác ABC vng A Diện tích tam giác ABC 32 Diện tích tứ giác OABC 52 Tứ giác ABOC hình bình hành Bài Cho hàm số: y   1 x2  2mx  m  1 Tìm tham số m để đồ thị hàm số x m có điểm cực đại điểm cực tiểu đồng thời: Đường thẳng qua hai điểm tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích 1; Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vng O Bài tốn 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRỊN, HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI… Các ví dụ Ví dụ : Tìm m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  có cực trị tạo tam giác ngoại tiếp đường tròn có bán kính r  Lời giải TXĐ: D  �   Ta có: y'  4x  4mx  4x x  m Hàm số có cực đại, cực tiểu y' có nghiệm phân biệt đổi dấu x qua nghiệm đó, phương trình x2  m  có nghiệm phân biệt khác � m     Với m  hàm số có điểm cực trị A  0;2 , B  m;2  m , C r 95 � S  pr � m3   m2  1� m  2  m;2  m2 Vậy, với m  thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ Giả sử đồ thị ( ) y = x - m2 +1 x2 +3 có cực trị A, B, C Tìm m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính Lời giải TXĐ: D  � ( ) 2 Ta có: y ' = 4x x - m - Dễ thấy, " m �� y ' = có nghiệm x = x =- m2 +1 x = m2 +1 nên đồ thị hàm số có cực trị 2� � 2� � 2 � � - m2 +1;3 - m2 + � Giả sử A ( 0;3) , B� , C� � � m +1;3 - m +1 � � � � � � � � � � � ( Ta có: AB = AC = ( ) ( m2 +1) ) ( ) + m2 +1 , BC = m2 +1 , I trung điểm BC � AI = m2 +1 1 BC.AI = ( AB + AC + BC) r với r bán kính 2 đường tròn nội tiếp tam giác ABC Diện tích tam giác ABC : r =1 � ( m2 +1) ( m2 +1) m2 +1 = hay 2 ( m +1) + m +1 + m +1 =1 + ( m2 +1) +1 ( *) Đặt t = m2 +1 � t - �0 � � � t =2 Phương trình ( *) viết lại: t = + + t � � 2 � t = + t � � � Với t = tức m +1 = � m =�1 ( Ví dụ Giả sử đồ thị ) y  mx3  3mx2   2m  1 x   m , có đồ thị  C m  có �1 � cực trị Tìm m để khoảng cách từ I � ;4�đến đường thẳng qua �2 � cực trị  C m  lớn Lời giải Hàm số cho xác định � 96 Ta có: y'  3mx2  6mx  2m  Để  C m  có cực trị y'  có nghiệm phân biệt đồng thời � m �0 � � m đổi dấu lần qua nghiệm , tức ta ln có: � 3m  3m  � m  Với m  m   C m  ln có cực trị, đồng thời hồnh độ cực trị thỏa mãn phương trình 3mx2  6mx  2m     1 Và y   x  1 3mx2  6mx  2m   �   2m x  10  m� �, suy 3�  y �   2m x  10  m� �do   đường thẳng qua cực trị 3�  2m x  3y  10  m  Đặt  : y  �   2m x  10  m� ��  :  3� 2m  1 d  I;     18 Cách 1:   2m   1 2m  2m      d  I;    � �3 � , đẳng thức xảy m  1  � � �2m  2� � � Vậy, với m  max d  I;    �1 �  ;3�với m �� Cách 2: Dễ thấy  qua điểm cố định M � �2 � Hay Gọi N hình chiếu vng góc I lên  , d  I;   �IN �IM , khoảng cách từ I đến  IM IM   tức kIM k  1  2m  1 � m  CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm giá trị m để hàm số: � Cho hàm số y  x4  2mx2  2m   1 Định m để hàm số  1 có ba cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số  1 tạo thành tam giác có   chu vi 1 65 y  x4  2mx2  m có cực trị đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp 97 Xác định giá trị tham số m�� để hàm số: y  x4  2mx2  có cực trị �3 � tạo tam giác có đường tròn ngoại tiếp qua điểm D � ; � �5 � Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số: y  x4  2(m  1)x2  2m  có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp x4  2mx2  m có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp y  x4  2mx2  m có cực trị đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp 4 hàm số có cực trị với gốc tọa độ tạo y = x - 2mx +2m thành tứ giác nội tiếp Bài Tìm m để đồ thị hàm số: y  x4  2mx2  m  có điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 Bài Cho hàm số y  x3  (m  1)x2   m  1 Tìm m để điểm cực 3 đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho nằm hai phía ( phía phía ngồi ) đường tròn (K): x2  y2  4x   m2  Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại A, điểm cực tiểu B,C cho tứ giác ABOC hình thoi.( O gốc tọa độ ) Bài 6: Cho hàm số y  x4  (3m  1)x2  2m  (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) Bài Cho hàm số y  x4  mx2  có ba điểm cực trị A , B, C với điểm D(7;3) nội tiếp đường tròn 1 Xác định tham số thực m để hàm số : y  x3   m  1 x2   m  2 x  � 7� 3; � gốc tọa độ tạo thành hình bình hành có cực trị A ,B D � � 2� OADB theo thứ tự Bài 7: Cho hàm số y  x3 – 3mx2  3(m2 – 1)x – m3 ( m tham số) có đồ thị  C m  Chứng minh  C m  ln có điểm cực đại điểm cực tiểu chạy đường thẳng cố định 98 Bài 8: Chứng tỏ có điểm A mặt phẳng toạ độ x2  m  m  1 x  m3  cho điểm cực đại đồ thị f  x  ứng với x m giá trị thích hợp m điểm cực tiểu đồ thị ứng với giá trị m thích hợp khác Tìm toạ độ A 99