2 cuc tri người dạy toán

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số • • y = f ( x) xác định liên tục khoảng f ( x ) < f ( x0 ) x ∈ ( x0 − h; x0 + h ) x ≠ x0 h>0 Nếu tồn số cho với ta nói hàm số f ( x) x0 đạt cực đại f ( x ) > f ( x0 ) x ∈ ( x0 − h; x0 + h ) x ≠ x0 h>0 Nếu tồn số cho với ta nói hàm số f ( x) đạt cực tiểu x0 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số • f ( x) liên tục K = ( x0 − h; x0 + h) x0 − h x f ′( x ) Nếu f ′( x) < hàm số khoảng f ( x) x0 + h x0 + − f ( x0 ) f ( x) ( x0 − h; x0 ) f ′( x) > ( x0 ; x0 + h) x f ′( x ) f ( x) Chú ý: y = f ( x) K \{x0 } h>0 K có đạo hàm trên , với f '( x) > ( x0 − h; x0 ) ( x0 ; x0 + h) x0 f '( x) < Nếu khoảng điểm cực đại hàm số • x0 ∈ K K x0 − h − x0 + h x0 f ( x0 ) + x0 điểm cực tiểu  Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) f ( x0 ) f CD ( fCT ) hàm số; gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu , M ( x0 ; f ( x0 ) ) điểm gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số  Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi tắt cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số y = f ( x)  Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số cực tiểu x0 f ' ( x0 ) = x0 có đạo hàm khoảng K đạt cực đại  Khi ta xét từ trái sang phải đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua cực đại; ngược lại đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x0 x0 x0 x0 điểm điểm cực tiểu  Ta quan sát hai đồ thị đây: f ( x) x0 Như điểm cực trị hàm số II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP f ′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) khơng xác định DẠNG 1: Tìm cực trị hàm số PHƯƠNG PHÁP: Cách 1: dùng quy tắc Cách 2: dùng quy tắc Ví dụ 1: Điểm cực tiểu hàm số A x=0 y = x3 − 3x + B x=2 C x = −2 D y = −2 Lời giải Chọn B Cách : Trình bày tự luận (dùng quy tắc 1) Tập xác định Ta có : D=¡ y′ = x − x , cho  x = ⇒ y ( 0) = y′ = ⇔ x − x = ⇔   x = ⇒ y ( ) = −2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận điểm cực tiểu hàm số x=2 Cách : Trình bày tự luận (dùng quy tắc 2) Tập xác định D=¡ y′ = x − x Ta có : Lại có y′′ = x − , cho ; với x = y′ = ⇔ 3x − x = ⇔  x = y′′ ( ) = −6 < Vậy điểm cực tiểu hàm số Ví dụ 2: Giả sử điểm P = 12a + b M ( a; b ) x=2 y′′ ( ) = > điểm cực đại đồ thị hàm số y = − x4 + x2 − 8x + Tính A P = 298 B P =1 C P = 10 D P = −23 Lời giải Chọn B Tập xác định Ta có : D=¡ y′ = −4 x3 + 12 x − , cho  x = −2 ⇒ y ( −2 ) = 25 y′ = ⇔ −4 x3 + 12 x − = ⇔   x = ⇒ y ( 1) = −2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại Từ suy  a = −2 ⇒ P = 12a + b =  b = 25 Nhận xét : phương trình y′ = ( −2; 25) x =1 Ví dụ 3: Xét A 2019 hàm số B 2020 y = 2sin x − kép nên x =1 điểm cực trị ( −2;1) y′ hàm số Để nhận biết nghiệm kép nhanh ta tiến hành xét dấu khoảng y′ ( ) = −8 < cách tính x ∈ ( 0; 2020π ) có nghiệm có điểm cực đại ? C 1010 Lời giải Chọn B D 1009 y ′ = cos x y′ = ⇔ cos x = ⇔ x = , cho y ′′ = −8sin x suy π π + k ,k ∈¢ π  −8 k = 2n π y′′  + k ÷ =  ,( n ∈¢)  8 k = 2n + 4 x= Vậy hàm số đạt cực đại điểm x ∈ ( 0; 2020π ) ⇒ < π + nπ , n ∈ ¢ y = f ( x) f ′ ( x ) = x 2019 ( x + 1) xác định liên tục tập 2020 A ( − x) B ¡ π −1 8079 + nπ < 2020π ⇔ f ′ ( x) > f ′( x) = x = { −2; 0;1;3} Từ ta vẽ bảng biến thiên Dựa vào BBT suy hàm số y = f ( x) có điểm cực trị BÀI TẬP LUYỆN DẠNG Câu Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau D Hàm số có giá trị cực đại A Câu B C −3 [2D1-2.2-1] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số sau D y = f ( x) có bảng biến thiên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có cực trị x=0 x =1 B Hàm số đạt cực đại đạt cực tiểu −1 C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ D Hàm số có giá trị cực tiểu Câu [2D1-2.2-1] (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số hàm sau: Hỏi hàm số A y = f ( x) B y = f ( x) liên tục ¡ có bảng xét dấu đạo có điểm cực trị? C D Câu [2D1-2.2-1] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số cực đại hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm giá trị y −2 A Câu yCD = B yCD = − − O C x yCD = D C xCT = −1 xCT = B D xCT = −2 xCT = −1 xCT = xCT y = ax + bx3 + cx + d [2D1-2.2-1] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số ( a, b, c, d ∈ ¡ ; a ≠ ) có đồ thị hình vẽ bên Các điểm cực tiểu hàm số xCT = A yCD = 49 = 32 Câu [2D1-2.1-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm giá trị cực đại hàm số y = x3 − 3x − x + −26 −20 A B C D Câu [2D1-2.1-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Số sau điểm cực đại hàm số y = x − x3 + x + A B C D y= Câu Câu [2D1-2.1-2] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Hàm số nhiêu điểm cực trị? A B C D có bao [2D1-2.1-2] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hàm số f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x + ) có Số điểm cực trị hàm số cho A B C D y = f ( x) Câu 10 [2D1-2.1-2] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho y = f ( x + 1) Khi số cực trị hàm số A B C Câu 11 2x + x +1 có đạo hàm f ( x) f ' ( x ) = ( x − 2)( x − 3) D y = f ( x) f ′( x) [2D1-2.3-3] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ 2017] Cho hàm số có đồ thị y = f ( x) K K khoảng hình vẽ bên Khi , hàm số có điểm cực trị? A B C Câu 12 [2D1-2.4-3] (THPT Kiến An - HP - Lần - 2017 - 2018) Cho hàm số ¡ có đồ thị hàm số y = f ′( x) đường cong D y = f ( x) xác định hình bên Hỏi hàm số A y = f ( x) B có điểm cực trị ? C D BẢNG ĐÁP ÁN DẠNG 1.B 11.D 2.B 12.D 3.A 4.C 5.B 6.A 7.A 8.B 9.A 10.C DẠNG 2: Hàm số đạt cực trị điểm cho trước PHƯƠNG PHÁP:  Định lí Fermat: Nếu hàm số Ví dụ 1: Tìm A m m =1 để hàm số f ( x) đạt cực trị x0 f ( x) có đạo hàm f ( x ) = − ( m + 5m ) x3 + 6mx + x − B m = { 1; −2} C m = −2 Lời giải Chọn B f ' ( x ) = −3 ( m + 5m ) x + 12mx + f ′′ ( x ) = −6 ( m + 5m ) x + 12m đạt cực đại D x0 ⇒ f ' ( x0 ) = x = m ∈φ ⇔m=0 BÀI TẬP LUYỆN DẠNG Câu [2D1-2.4-2] (Ba Đình Lần2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 − x + 2mx + m có cực đại cực tiểu? A Câu m< C m≤ D m> [2D1-2.7-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần - 2017 - 2018 ) Với giá trị tham số xCĐ + xCT = A y = x3 + ( m − 1) x + ( m − ) x − đồ thị hàm số m Câu 3 m 8.D 9.B 10.B nên đồ thị hàm số ln có hai x1 x2 y′ điểm cực trị với Gọi , hai nghiệm 2  x 1 y =  − ÷ y ′ − m + x + m +  3 3 Ta có: 2 2     A  x1 ; − m + x1 + m + ÷ C  x2 ; − m + x + m + ÷     3 3 Vậy hai điểm cực trị U ( 1; 0) y ′′ = x − y ′′ = ⇒ x = ⇒ y = Điểm uốn: , Vậy điểm uốn U Ta có, hai điểm cực trị ln nhận điểm uốn trung điểm ∀m ∈¡ ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) x3 − x − m2 − x + m = ( 1) Xét phương trình ⇔ ( x − 1) x − x − m = ( ) x = ⇔ 2  x − x − m = ( 2) x3 x4 ( 2) U ∈ Ox Phương trình ln có hai nghiệm thực phân biệt Do nên điểm B ( x3 ;0 ) D ( x4 ;0) U ⇒ ABCD ln đối xứng qua ln hình bình hành ABCD AC = BD Để hình chữ nhật 2 2  AC = ( x1 − x2 ) + m + ( x1 − x2 ) = 1 + m +  ( x1 − x2 )   Ta có − m2   2 2  = 1 + m +   −  = 1 + m +  m +       ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) BD = ( x3 − x4 ) = + 4m 2 Và 2 4 + m +  m2 + = m2 +  3  ( Vậy ta có phương trình: ⇔ 1+ ) ( ( ⇔ m2 = Câu Đồ thị hàm số m>3 11 −3 2 nên ( ) m +1 = ( ) ) ⇔ m2 + = ⇒ m14 = m24 = ) −1 T = 11 − f ( x ) = x3 − mx + cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ a b c , , Theo định lý vi-et ta có: a + b + c =   ab + bc + ca = − m  abc = −2 (1)  f ′ ( a ) = 3a − m  ⇒  f ′ ( b ) = 3b − m  f ′ c = 3c − m f ′ ( x ) = 3x2 − m  ( ) Ta có , f ′( a ) f ′( b) + f ′( b) f ′( c ) + f ′( c ) f ′( a ) 1 P= + + f ′( a ) f ′( b) f ′( c ) = f ′( a ) f ′( b) f ′( c ) ( ) ( ( 3a − m) ( 3b − m ) ( 3c ) a 2b + b 2c + c a − 6m a + b + c + 3m = Mặt khác ta có: 2 −m ) (2)  a 2b + b 2c + c a = ( ab + bc + ca ) + 2abc ( a + b + c )  2 2  a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) ( −m ) − 6m ( −2m ) + 3m (3) P= Từ (1), (2), (3) ta có: ( 3a )( )( − m 3b − m 3c − m ) =0 Câu Ta có tam giác ABC vuông C nên gọi M điểm uốn đồ thị hám số đồng thời trung điểm AB Khi tam giác vng có đường trung tuyến nửa cạnh huyền ta có MC = phương trình sau: 1 AB = + p2 2 ( x2 + x1 ) − x1 x2 (*) Thay số: p= ( m − 1) Hệ số góc đường thẳng qua hai cực trị: x + x = y ' = x2 − x + m ⇒   x1 x2 = m Ta có: 2  b M 1, − ÷ x=−   3a Tọa độ điểm uốn (Chú ý điểm uốn ) ⇔ = + ( m − 1) − 4m ⇔ m = Vậy ta có: (*) x = m +1 ⇔ ( x − m ) − 1 = y′ = x − 6mx + 3m −   y′ =  x = m −1 Ta có ; m Do đó, hàm số ln có hai cực trị với A ( m + 1; −4m − ) B ( m − 1; −4m + ) AB = ∀m ∈ R Giả sử ; Ta có , Câu Mặt khác, sin ·AIB = Gọi M ∆IAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp AB =1 · ⇒ AIB = 90o 2R trung điểm AB ⇔ ( m − ) + ( −4m + ) Tổng tất số Câu m hay , ta có ∆AIB vng M ( m; −4m ) I R= AB 2 =5 IM = AB ⇔ IM = m = ⇔ m = = ⇔ 17 m − 20m + = 17  1+ 20 = 17 17 Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là:  2b 2a   ab  AB : y =  − ÷x +  c − ÷     Vì AB qua gốc tọa độ O ( 0;0 ) nên: nên từ AB = 2R sin ·AIB suy  2b 2a  ab    − ÷.0 +  c − ÷ = ⇔ ab = 9c ( *)     Ta có P = abc + ab + c = 9c + 9c + c = 9c + 10c f ( t ) = 9t + 10t ⇒ f ′ ( t ) = 18t + 10 Đặt f ′( t ) = ⇔ t = − , Lập bảng biến thiên: MinP = − Vậy 25 y′ = x − 2ax − 3a y′ = ⇔ x − ax − 3a = ( 1) Câu 10 Đạo hàm : , x1 x2 y′ = ⇔ ∆ ′ > ⇔ a < −3 ∪ a > Hàm số có hai cực trị , có hai nghiệm phân biệt ( 1) x1 x2 Khi , nghiệm pt , theo định lý Viet : Do : 4a + 12 a 4a + 12 + =2⇔ = ⇔ a = −4 a 4a + 12 a DẠNG 4: Cực trị hàm số trùng phương o  x12 + 2ax2 + 9a = x12 + ( x1 + x2 ) x2 − 3x1 x2 = ( x1 − x2 ) = 4a + 12a  2 2  x2 + 2ax1 + 9a = x2 + ( x1 + x2 ) x1 − 3x1 x2 = ( x1 − x2 ) = 4a + 12a Theo đề bài, ta có : Hàm số  x1 + x2 = 2a   x1.x2 = −3a y = f ( x ) = ax + bx + c Tìm tập xác định: D=¡ y′ = f ′ ( x ) = 4ax3 + 2bx Tính Từ ta nhận xét f ( x) ab ≥ Để hàm số có điểm cực trị f ( x) ab < Để hàm số có ba điểm cực trị o Chú ý: Giả sử hàm số Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác y = ax4 + bx2 + c ABC ABC ABC ABC ABC Tam giác có cực trị:  b ∆ A(0;c), B  − − ; − ÷,C  2a 4a ÷   MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH Dữ kiện Cơng thức ab < thỏa mãn A b3 = −8a vuông cân b3 = −24a S∆ABC = S0 32a3(S0)2 + b5 = có diện tích max(S0) b5 S = − có diện tích 32a3 có bán kính đường tròn nội tiếp r∆ABC = r0 Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R∆ABC = R Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác ABC ABC ABC ABC ABC  b ∆  − ;− ÷  2a 4a ÷   BC = m0 có độ dài cạnh AB = AC = n0 có độ dài B,C ∈ Ox có cực trị có góc nhọn O có trọng tâm r = b2  b3  ÷ a 1+ 1−  8a ÷   R= b3 − 8a 8a b am02 + 2b = 16a2n02 − b4 + 8ab = b2 = 4ac b(8a + b3) > b2 = 6ac O có trực tâm ABC O Tam giác điểm tạo thành hình thoi ABC O Tam giác có tâm đường trịn nội tiếp ABC O Tam giác có tâm đường trịn ngoại tiếp ABC BC = kAB = kAC Tam giác có cạnh ABC Trục hồnh chia tam giác thành hai phần có diện tích ABC Tam giác có điểm cực trị cách trục hoành Tam giác ABC ( C ) : y = ax b3 + 8a − 4ac = b2 = 2ac b3 − 8a − 4abc = b3 − 8a − 8abc = b3.k2 − 8a(k2 − 4) = b2 = ac b2 = 8ac + bx2 + c Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị b2 = 100 ac ( C ) : y = ax b2 = 36 ac + bx2 + c trục hoành có diện tích phần phần ∆ABC Phương trình đường trịn ngoại tiếp là: 2 ∆  2 ∆  x2 + y2 −  − + c ÷y + c  − ÷=  b 4a   b 4a  Ví dụ : Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 8m x + có điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân A m = B m= C m=− Lời giải Chọn A Cách 1: Trình bày tự luận TXĐ: D=¡ D  1 m = − ;   2 Ta có: y ' = x ( x − 4m ) Hàm số có ba điểm cực trị phương trình Lúc đó, gọi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: Theo yêu cầu toán suy so lại điều kiện, ta nhận y' = có nghiệm phân biệt A ( 2m; −16m + 3) , B ( 0;3) , C ( −2m; −16m + )  m =  ⇔ m =   uuu r uuur m = −  BA.BC = ⇔ 4m − 256m =  1 m = − ;   2 ⇔m≠0 Cách 2: Dùng công thức nhanh Để điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vng cân b3 = −8a ⇔ ( −8m ) = −8 ⇔ m = ± BÀI TẬP LUYỆN DẠNG Câu Câu Câu [2D1-2.7-3] Tìm tất giá trị thực tham số y = x − 2mx m để đồ thị hàm số điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ m