2 2 cuc tri

Dạng 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp Tiến hành theo bước sau: Bước Tìm tập xác định hàm số f Bước Tính f '(x) Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục (a,b) x0  (a; b) Thế điểm x0 điểm cực trị hàm số f đạo hàm f '(x) đổi dấu x qua x0 ” Bước 4.Giải yêu cầu cực trị (nếu có) Chú ý: * Nếu ta gặp biểu thức đối xứng hoành độ điểm cực trị hoành độ điểm cực trị nghiệm tam thức bậc hai ta sử dụng định lí Viét * Khi tính giá trị cực trị hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng kết sau: Định lí 1: Cho hàm đa thức y P  x  , giả sử y  ax  b  P'  x   h  x  x0 điểm cực trị hàm số giá trị cực trị hàm số là: y  x0  h  x0  y h  x  gọi phương trình quỹ tích điểm cực trị Chứng minh: Giả sử x0 điểm cực trị hàm số, P  x  hàm đa thức nên P'  x0  0  y  x   ax0  b  P'  x   h  x0  h  x  (đpcm) Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ y  u  x v  x x0 điểm cực trị hàm số giá trị cực trị hàm số: y  x0   Và y  u'  x  v'  x  u'  x0  v'  x0  phương trình quỹ tích điểm cực trị Chứng minh: Ta có y'  u'  x  v  x   v '  x  u  x  v2  x   y' 0  u'  x  v  x   v'  x  u  x  0 x0   Giả sử x0 điểm cực trị hàm số u'  x0  u  x0   y  x  nghiệm phương trình    v '  x0  v  x  Bài tốn 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ CÙNG DẤU, TRÁI DẤU Phương pháp Giả sử y' ax  bx  c 70 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  Hàm số có hai điểm cực trị dương  y' 0 có hai nghiệm dương phân biệt :  x1  x  a 0,   0, x1  x  0, x1 x   Hàm số có hai điểm cực trị âm  y' 0 có hai nghiệm âm phân biệt x1  x2   a 0,   0, x1  x  0, x1 x   Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  y' 0 có hai nghiệm trái dấu x1   x2  a 0, x1 x   Hàm số có hai cực trị có giá trị cực trị dấu  y1 y  Ví dụ : Định m để hàm số y x3  3mx  3(m  1)x  m có cực trị trái dấu Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2  6mx  3(m  1) Hàm số có cực trị trái dấu y' 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1   x2  9(m  1)     m  Vậy, với   m  hàm số có cực trị trái dấu CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số : y  mx  mx2  x  có hai điểm cực trị hai giá trị cực trị dấu 3 2 y x  6x   m   x  m  đạt cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị dấu y x3  3mx  3(m  1)x  6m  có hai cực trị trái dấu Bài 2: Tìm m để hàm số : y  x3  (m  1)x  (6  2m)x  m đạt cực trị hai điểm trái dấu y (m  1)x  3(m  1)x  2mx  m có điểm cực đại, cực tiểu Chứng minh hai điểm cực trị cách đường thẳng d : x 1 y x3  (2m  1)x  3mx  m có cực đại cực tiểu đồng thời giá trị cực đại cực tiểu hàm số trái dấu Bài tốn 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Phương pháp Giả sử y' ax  bx  c  Hàm số có hai cực trị nằm phía tung  y1 y   Hàm số có hai cực trị nằm phía trục tung  x1 x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 71  Hàm số có hai cực trị nằm trục hồnh  y1  y  0, y1 y   Hàm số có hai cực trị nằm trục hoành  y1  y  0, y1 y   Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành  y1 y 0 Các ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y x3  3x2  mx  m – ( m tham số) có đồ thị  Cm  Xác định m để  Cm  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Phương trình hoành độ giao điểm  Cm  trục hoành: x3  3x2  mx  m – 0  1  x  g(x) x  2x  m  0    Cm  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh  1 có nghiệm phân biệt tức phương trình   có nghiệm phân biệt khác   3  m    m3 g(  1) m  0 Vậy, với m  hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh Ví dụ : Cho hàm số y  x3  mx  (2m  1)x  ( m tham số) có đồ thị m C C  m  Xác định để  m  có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' x2  2mx  2m  Đồ thị  Cm  có điểm cực đại cực tiểu nằm phía trục tung   m  2m    y 0 có nghiệm phân biệt dấu   2m   m 1   m    m 1 hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung Vậy, với Ví dụ : Cho hàm số y  x  (2m  1)x  (m  3m  2)x  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Xác định m để  Cm  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung 72 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ 2 Ta có: y'  x   2m  1 x  (m  3m  2) Đồ thị  Cm  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung  y 0 có nghiệm trái dấu  3(m  3m  2)    m  Vậy, với  m  có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y  x  2mx  Tìm giá trị m để tất điểm cực trị đồ thị nằm trục toạ độ Bài 2: Tìm m để hàm số : y 2x  mx  12x  13 có điểm cực đại cực tiểu điểm cách trục tung mx  3mx  2m  có hai điểm cực đại, cực tiểu hai điểm nằm hai x phía với trục Ox Bài Với giá trị m  ¡ đồ thị hàm số y    mx  m  x  4m  m y tương ứng có điểm cực trị thuộc góc phần tư xm thứ  II  điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  IV  mặt phẳng tọa độ Bài tốn 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Phương pháp Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng  qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB   d – Giải điều kiện:  I  d Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: d(A,d) d(B,d) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khoảng cách hai điểm A, B lớn (nhỏ nhất) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 73 – Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) AB Cực trị hàm đa thức bậc 3: Hàm số: y ax3  bx2  cx  d  a 0  Đạo hàm: y' 3ax  2bx  c Điều kiện tồn cực trị Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y 0 có nghiệm phân biệt Hồnh độ x1 , x2 điểm cực trị nghiệm phương trình y 0 Kỹ tính nhanh cực trị Giả sử  ' b2  3ac  y' 0 có nghiệm phân biệt x1 , x2 với x1,2   b  b  3ac hàm số đạt cực trị x1 , x2 3a Theo định nghĩa ta có cực trị hàm số là:     2 y1 y  x1  y   b  b  3ac  ; y y  x  y   b  b  3ac  3a 3a     Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm 2  Bước 1: Thực phép chia y cho y' ta có: y  x  b y'  c  b  x  d  bc 9a 3 3a  9a hay y y'.q(x)  r(x) với bậc r  x  1  b2  x  d  bc 2   y1 y  x1  r  x1    c   y'  x1  0 3 3a  9a nên Bước 2: Do    y'  x2  0  y y  x  r  x    c  b  x  d  bc   2 3 3a  9a  Hệ quả: Đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y r  x          Đối với hàm số tổng quát : y ax3  bx  cx  d (a 0) đường thẳng qua cực 2  đại, cực tiểu có phương trình: y   c  b  x  d  bc 3 3a  9a Chú ý: Gọi  góc hai đường thẳng d1 : y k1x  b1 , d : y k x  b2  tan    k1  k  k1 k Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vng góc) với đường thẳng d : y px  q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu 74 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word – Giải điều kiện: k p (hoặc k  ) p Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y px  q góc  – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu k p tan  (Đặc biệt d  Ox, giải điều kiện: k tan  ) – Giải điều kiện:  kp Các ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y  x  3mx  3m  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d : x  8y  74 0 Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y'  3x  6mx Đồ thị  Cm  có điểm cực đại cực tiểu  y' 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2  m 0 uuu r Khi điểm cực trị là: A(0;  3m  1), B(2m; 4m  3m  1)  AB(2m; 4m ) Trung điểm I AB có toạ độ: I(m; 2m  3m  1) u r Đường thẳng d : x  8y  74 0 có VTCP u (8;  1) m  8(2m  3m  1)  74 0 I  d   uuu ru r A B đối xứng với qua d   AB  d AB.u 0  m 2 Vậy, với m 2 đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d : x  8y  74 0 Chú ý: Bài tốn yêu cầu sau: ‘’ Cho hàm số y  x  3mx  3m  có đồ thị  Cm  Tìm đồ thị hàm số điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d : x  y  74 0 ’’ Ví dụ : Cho hàm số y x3  3x2  mx  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Xác định m để  Cm  có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y x  Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2  6x  m Đồ thị  Cm  có điểm cực đại cực tiểu  y' 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2   ' 9  3m   m   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 75 Gọi hai điểm cực trị A  x1 ; y1  ; B  x ; y  1 1  2m   m  2 x   Thực phép chia y cho y' ta được: y  x   y'   3 3 3     2m   m  2m   m  y1 y  x1      x1      x2     ; y y  x2     3 3        2m   m  2 x    Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị  : y    3    Các điểm cực trị cách đường thẳng y x   xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng  2m  y x       1  m  (thỏa mãn)   TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y x  y  y x1  x  2m   m  yI xI     1      x1  x       x1  x2   2 3     2m  2m    6   m 0   , m 0 đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y x  Vậy, giá trị cần tìm m là: m  Ví dụ : Cho hàm số y x3  3x2  mx  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Tìm m để  Cm  có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d: y  4x  Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x  6x  m Đồ thị  Cm  có điểm cực đại cực tiểu  y' 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2  y' 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2   ' 9  3m   m   Gọi hai điểm cực trị A  x1 ; y1  ; B  x ; y  1 1  2m   m  2 x   Thực phép chia y cho y' ta được: y  x   y'   3 3 3     2m   m  2m   m y1 y  x1      x1      x2     ; y y  x2     3 3         Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị d :  2m   m y    2 x     3     76 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đường thẳng qua điểm cực trị song song với d : y  4x    2m            m 3 (thỏa mãn)   m  3   3 Vậy, m 3 thỏa mãn tốn Ví dụ : Cho hàm số y x3  3x2  mx  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Tìm m để  Cm  có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x  4y – 0 góc 450 Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2  6x  m Đồ thị  Cm  có điểm cực đại cực tiểu  y' 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2  y' 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2   ' 9  3m   m   Gọi hai điểm cực trị A  x1 ; y1  ; B  x ; y  1 1  2m   m  2 x   Thực phép chia y cho y' ta được: y  x   y'   3 3 3     2m   m  2m   m y1 y  x1      x1      x2     ; y y  x2     3 3        Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị  :  2m   m y    2 x     3      2m    Đường thẳng d : x  4y – 0 có hệ số góc  Đặt k       k 5    k   Đối chiếu điều kiện , suy giá trị m cần tìm là: m  Vậy, với m  thỏa mãn toán  1  k  1  k   Ta có: tan 45   k    k 1 k  4 o k   m    m   39 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 77 Ví dụ : Cho hàm số y x3  6mx  9x  2m ( m tham số) có đồ thị  Cm  Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2  12mx  Hàm số có điểm cực trị  phương trình y 0 có nghiệm phân biệt , tức phải có:  m  (*) 2  x 2m  Khi ta có: y    y  (6  8m )x  4m  đường thẳng qua điểm cực  3 trị  ' 4m    m  đồ thị hàm số (1) có PT là:  : y (6  8m )x  4m Theo toán d(O,  )   4m  2 (6  8m )   64m  101m  37 0 37 Đối chiếu điều kiện, ta thấy m 1 thỏa Vậy, với m 1 thỏa mãn toán  m 1 m  Ví dụ Giả sử đồ thị y = mx3 - 3mx2 +( 2m +1) x +3 - m , có đồ thị  Cm  có 1  ;4  đến đường thẳng qua cực trị 2  cực trị Tìm m để khoảng cách từ I   Cm  lớn Lời giải TXĐ: D ¡ Ta có: y ' 3mx2  6mx  2m  Để  Cm  có cực trị y ' 0 có nghiệm phân biệt đồng thời đổi dấu m 0  m  m  lần qua nghiệm , tức ta ln có:  3m  3m  Với m  m   Cm  ln có cực trị, đồng thời hoành độ cực trị thỏa   mãn phương trình 3mx  6mx  2m  0 78 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1  x  1 3mx2  6mx  2m      2m  x  10  m  , suy 3  Và y   y     2m  x  10  m    đường thẳng qua cực trị Đặt  : y     2m  x  10  m    :   2m  x  3y  10  m 0 2m  1 d  I;     18 Cách 1:   2m    1 2m  2m    d  I;           2m    Hay , đẳng thức xảy m  max d  I;    Vậy, với m    ;3  với m     Gọi N hình chiếu vng góc I lên  , d  I;   IN IM , khoảng cách từ I đến  IM IM   tức k IM k    2m    m  Cách 2: Dễ thấy  qua điểm cố định M   CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x3  3x2  mx Với giá trị m đồ thị hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x  2y  0 Bài 2: Cho hàm số y x3  3(m  1)x  9x  m  Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x  2y 0 Bài 3: Cho hàm số y x3  mx  x  Tìm m để đồ thị điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y 3x  2 Tìm m để hàm số: y  x  mx   5m   x  có cực đại , cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường thẳng  d  : 8x  3y  0 Bài 4: Tìm m để hàm số : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 79  ' 4m  m    x  x2  0    Th1: (1)    x    x     x1x2  4m  m      2m    10   m1  4(2m  1)  m  0 4  3   m     ' 4m  m    g   2  m 0  Th2: (2)    x1     x2      x1    x2    4m  m    m 2  2m   m 2  2    m  2m  1   4 0   ' 4m  m    g    10  6m 0  Th3: (3)   x1  x2  x x   4m  m    3m  0    m    2m    2  m  0    Vậy, m    ;     2;   giá trị cần tìm   CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y 4x  mx  3x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x thỏa x1  4x m3 m  1 x  x    m  x  m  có  2 cực trị số nằm hai điểm cực trị hàm số Tìm giá trị m để hàm số: y    2 Tìm giá trị m để hàm số: y  x   m  1 x  3m  7m  x  m  có điểm cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ Tìm giá trị m để hàm số: y mx3  (2m  1)x  mx  có điểm cực đại điểm cực tiểu ,đồng thời điểm cực đại đồ thị hàm số có hồnh độ lớn 1 Cho hàm số y  x3  mx2  mx  , với m tham số thực Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1  x 8 84 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 Cho hàm số y  x  mx  (m  3)x Tìm giá trị m để hàm số cho có 2 điểm cực trị x1 , x2 với x1  0, x2  x1  x2  Cho hàm số y  x  m  x  1 x2 có hai cực trị x1 ;x2 thỏa mãn  1  x12  x 22     x   x2  x2  m x  2m  5m  Tìm tham số m để hàm số: y  đạt cực tiểu x x   0; 2m  , m  Tìm m để hàm số : y (x  m)(x  3x  m  1) có cực đại cực tiểu x1 , x thoả x1 x 1 2x2  3x  m có điểm cực đại cực tiểu điểm x m thỏa mãn y(x1 )  y(x )  10 Tìm m để đồ thị hàm số: y  có hồnh độ x1 , x2 Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số: y  mx2  x  m có cực đại cực tiểu có hồnh độ x1 ,x y  x2   y  x1  4 xm y  2x  3x  m  có điểm cực đại cực tiểu điểm có hồnh độ x1 ,x x2 thỏa mãn y  x2   y  x1  8 y  mx3  3mx   3m  1 x  có cực đại x    3;  y  x3  mx   2m  1 x  có điểm cực trị dương y x3  3x2  mx  có điểm cực đại cực tiểu điểm có hồnh độ x1 ,x thỏa mãn: x13  4x1 x2 Bài 3: Cho hàm số y x3  (1 – 2m)x  (2 – m)x  m  ( m tham số) có đồ thị  Cm  Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ m Cho hàm số y  x3  (m  2)x  (m  1)x  Tìm m để hàm số có cực đại x1 x , cực tiểu thỏa mãn x1  x2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 85 x3  mx  2(5m  8)x  Xác định tham số m để hàm số đạt cực trị hai điểm có hồnh độ bé Cho hàm số y    2 Tìm m để đồ thị hàm số: y  x   m  1 x  3m  7m  x  m  đạt cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ Tìm m để đồ thị hàm số: y x – 3x   6m   x – 3m đạt cực trị hai điểm có hồnh độ lớn  Tìm m để đồ thị hàm số: y x3  6x  3mx   m số có điểm cực đại M( x1 ; y1 ) điểm cực tiểu M (x2 ; y ) thỏa mãn điều kiện y1  y 0 (x1  x2 )(x1x  2) Có hai cực trị lớn - ; Có cực trị lớn - ; ( m + 4) x2 +( 2m +5) x +1 Có hai cực trị nhỏ ; Có cực trị khoảng ( 3;5) ; Có cực trị lớn Khơng có cực trị Bài : Tìm giá trị m để hàm số y = x - ; x  mx  (m  m  1)x  Tìm m để hàm số có cực trị : Trong khoảng (  ;1) Trong khoảng (1; ) x1 , x2 thoả mãn x1   x2 x1 , x2 thoả mãn  x1  x2 Bài 5: Cho hàm số : y = Bài 6: Cho hàm số y  x3  ax2  3ax  Tìm a để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 phân biệt thoả mãn điều kiện: x12  2ax  9a a2  a2 x 2  2ax1  9a 2 Bài 7: Cho hàm số y x3  3x2  Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y 3x  tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Cho hàm số y  x  (m  1)x  2(m  2)x  Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho biểu thức: P  x1  x2  đạt giá trị nhỏ x1x2 mx  4x  m   1 x2 1.Với giá trị m hàm số  1 có hai cực trị dấu; Bài 8: Cho hàm số: y  86 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tìm giá trị m để đường thẳng d : y   x  10  cắt đồ thị hàm số  1 hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  , B  x ; y  Trong trường hợp này, tìm hệ thức y1 y độc lập m Bài 9: Tìm tham số m để hàm số: y  2x  mx  2m  có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn   x1    x2  x 1 2 y x   m  1 x  3m  m   x  12m  có hai điểm cực trị A B cho AM  BM nhỏ nhất, với M  3;  3 y x    2m  x    m  x  m  có hai điểm cực trị, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ y  x2  m x  2m  5m  đạt cực tiểu x   0; 2m  , m  x Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Bài tốn 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CÙNG ĐIỂM K TẠO THÀNH TAM GIÁC THỎA MÃN TÍNH CHẤT NÀO ĐĨ Phương pháp Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng  qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B  với trục Ox, Oy – Giải điều kiện S IAB S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng  qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện S IAB S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân tam giác – Tìm điều kiện để phương trình y 0 có nghiệm phân biệt – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B, C Lập luận ABC cân A uuu r uuur – Giải điều kiện: ABC vuông A  AB.AC 0 ; ABC  AB BC Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S cho trước – Tìm điều kiện để phương trình y 0 có nghiệm phân biệt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 87 – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B, C Lập luận ABC cân A – Kẻ đường cao AH – Giải điều kiện: S S ABC  AH.BC Ví dụ 1 Tìm tham số thực m để hàm số: y x4   m  1 x2  m  1 có cực trị A, B,C cho: OA BC , O gốc tọa độ , A cực trị thuộc trục tung, B,C điểm cực trị lại Đề thi Đại học khối B – năm 2011 Cho hàm số y x4  2(m  1)x  m  1 ,với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Đề thi Đại học khối A,A1 – năm 2012 3 Cho hàm số y x  3mx  3m  1 , m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số  1 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Đề thi Đại học khối B– năm 2012 Lời giải TXĐ: D ¡ y' 4x3   m  1 x  y' 0  x 0 hay x2 m  Hàm số có cực trị y' 0 đổi dấu lần qua nghiệm x hay x2 m  có nghiệm phân biệt khác  m   tức m   Khi đồ thị hàm số có cực trị    A  0; m  , B  m  1;  m  m  , C m  1;  m  m   Theo tốn, ta có: OA BC  m 4  m  1  m 2 2 thỏa m   TXĐ: D ¡ Đạo hàm y' 4 x –  m  1 x y' 0  4x –  m  1 x 0  x 0,x  m  1 Hàm số có cực trị điều kiện cần y' 0 có nghiệm phân biệt Điều xảy m    m    Khi y' 4x x    m  x  m  đổi dấu qua điểm x 0, x  m  1,x  m  nên hàm số có cực trị điểm Với m   đồ thị hàm số có điểm cực trị :    A 0; m , B   m  1; –2m – , C  m  1; –2m –  Cách 1: Nhận xét: A  Oy , B C đối xứng qua Oy nên tam ABC cân A tức AB AC nên tam giác vng cân A 88 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Gọi M trung điểm BC  M  0;  2m – 1 Do để tam giác ABC vuông cân  BC 2AM (đường trung tuyến nửa cạnh huyền)  m  2 m  2m  2  m  1   m  1 m   m  1     m  1  m 0  m   1 Cách 2: ABC vuông cân Ta có: AB2 AC2  m  1   m  1 BC 4  m  1 Theo định lý pitago ta có:  m  0  m  2AB2 BC2  (m  1)4 m      m  1  m 0 So với điều kiện m   , m cần tìm m 0  Cách 3: ABC vuông cân  AB.AC 0    m  1   2m   m  0  m 4m 6m 3m 0  m 0 m  (loại) Cách 4: r uuu r · uuu Sử dụng góc ABC vng cân  cos AB, BC 450 , từ tìm m 0   Cách 1: Ta có: y' 3x2 – 6mx Hàm số có cực trị y' 0 có nghiệm phân biệt  m 0  đổi dấu qua nghiệm x 0 x 2m    3 Khi hàm số có hai điểm cực trị A 0; 3m ,B 2m;  m  Nhận xét: A thuộc Oy nên OA  y A  3m ,d  B,OA  2 m S ABC 48 3m 2m 48  m 16  m 2 thỏa điều kiện toán Cách 2: Để hàm số có hai cực trị y' 0 có nghiệm phân biệt đổi  dấu qua nghiệm, nghĩa phải có:   y '   36m   m 0 Với m 0 hàm số có cực đại A  x1 ; y1  B  x ; y  Trong đó: y'  x1  y'  x  0 y1 2m x1  3m , y 2m x1  3m S OAB 48    x2  x1   x2  x1    4m  2   y  y1   3m  3m 96 4m  4m  96   x2  x1   4x1x2  3m 96 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 89