Đang tải... (xem toàn văn)
1) Để chứng minh phương trình có nghiệm không phụ thuộc giá trị của k có hai cách giải. Cách 1 (Đã nói ở lời bình sau câu 2(1) Đề 24) Xem k(x2 4x 3) + 2(x 1) = 0 (*) là phương trình đối với ẩn k . Thế thì (*) có nghiệm không phụ thuộc k khi và chỉ khi x2 4x 3 = 2(x 1) = 0 x = 1. Cách 2 (Phương pháp cần và đủ) + Phương trình (*) có nghiệm với mọi x ắt phải có nghiệm với k = 0. + Với k = 0 ta có k(x2 4x 3) + 2(x 1) x = 1. Thay x = 1 vào (*) có 0k + 0 = 0 nghĩa là x = 1 là nghiệm của (*) với mọi k. Ta có điều phải chứng minh. 2) Kết quả một bài toán đâu phải chỉ có là đáp số. Cái quan trọng hơn là cách nghĩ ra lời giải chúng như thế nào, có bao nhiêu con đường (cách giải) để đi đến kết quả đó : Câu V : 1) Mấu chốt của bài toán là chuyển hoá hình thức bài toán. Cụ thể ở đây là biết thay thế việc chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm bằng cách chứng minh 1 + 2 0. Sự chuyển hoá này đã giúp kết nối thành công với giả thiết a1 + a2 2(b1 + b2). 2) Một cách hiểu khác của bài toán là : Chứng minh cả hai phương trình không thể cùng vô nghiệm. Với cách hiểu này ta chuyển hoá thành chứng minh khả năng 1 + 2 < 0 không thể xảy ra. Thật vậy: Nếu 1 < 0 và 2 < 0 suy ra 1 + 2 < 0. Điều này sẽ dẫn tới mâu thuẫn với a1 + a2 2(b1 + b2). Bài toán được chứng minh. 3) Các cách chứng minh bài toán trên cũng là cách chứng minh trong nhiều phương trình bậc hai, ít nhất có một phương trình có nghiệm. 4) Cùng một kiểu tư duy ấy bạn dễ dàng chứng minh : Với mọi giá trị của m, phương trình x2 mx + m = 0 không thể có hai nghiệm cùng dương. Thật vậy : + Nếu m = 0, phương trình có nghiệm x = 0. + Nếu m < 0, phương trình có nghiệm hai nghiệm trái dấu (do ac < 0). + Nếu m > 0, nếu cả hai nghiệm x1, x2 đều âm thì x1+ x2 < 0 suy ra (!). Mâu thuẫn với m > 0. Vậy là bài toán được chứng minh.
ĐỀ SỐ 30 Câu 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình 3x + 75 = 3x − y = 2 x + y = −4 x − ( m + 3) x + m = Câu Cho phương trình 1) Giải phương trình m=2 (1) với m tham số 2) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với giá trị m Gọi x1 , x x1 − x nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = a − 25a + 4a a + 2a a>0 Câu 1) Rút gọn biểu thức P = với 2) Khoảng cách hai bến sông A B 48 km Một canơ xi dòng từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian (khơng tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc canơ nước n lặng, biết vận tốc dòng nước km/h Câu Cho tam giác vuông ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AC 1) Chứng minh tam giác ABD cân ≠ 2) Đường thẳng vng góc với AC A cắt đường tròn (O) E (E A) Tên tia đối tia EA lấy điểm F cho EF = AE Chứng minh ba điểm D, B, F nằm đường thẳng 3) Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) a , b, c Câu Cho số dương Chứng minh bất đẳng thức: a b c + + >2 b+c c+a a+b ĐÁP ÁN Câu 3 x = − 75 ⇔ 1) Phương trình tương đương với 2) Hệ phương trình Câu 1) Với m=2 3 x − y = 7 x = −7 4 x + y = −8 ⇔ 3 x − y = ⇔ phương trình trở thành ∆ = − 4.2.2 = x − 5x + = nên phương trình có hai nghiệm 2) Phương trình có biệt thức x = −1 y = −2 x1 = x2 = , ∆ = ( m + 3) − 4.2.m = m − 2m + = ( m − 1) + > m x = −5 ⇔ x = −5 2 với Do phương trình ln có hai nghiệm m+3 x1 + x = x x = m 2 x1 , x Khi theo định lý Viet ( x1 − x2 ) x1 − x Biểu thức A = = 1 m − 2m + = 2 Do ( m − 1) ≥0 nên Dấu xảy = ( x1 + x2 ) − x1 x2 m m + 3 −4 = ( m − 1) + ( m − 1) ⇔ m =1 +8 ≥ = 2 , suy A ≥ Vậy giá trị nhỏ A , đạt m =1 a − 25a + 4a = a − a + 2a a = a ( a + 2) Câu 1) Ta có nên P = = a ( a + 2) = a ( a + 2) a 2) Gọi vận tốc canô nước yên lặng x (km/h, x > 4) a + 2a = a(a + 2) Vận tốc ca nô nước xi dòng x+4 x−4 Vận tốc ca nơ nước ngược dòng Theo giả thiết ta có phương trình thời gian ca nơ chạy ngược dòng 48 48 + =5 x+4 x−4 48 x−4 (*) ⇔ 48( x − + x + 4) = 5( x − 16) ⇔ x − 96 x − 80 = (*) thời gian ca nơ chạy xi dòng 48 x+4 x = −0,8 x = 20 Giải phương trình ta (loại), (thỏa mãn) Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 20 km/h Câu 1) Chứng minh ∆ ∆ D ABD cân ⊥ Xét ABD có BC DA CA = CD nên BC vừa đường cao vừa trung tuyến C A O B ∆ Vậy ABD cân B 2) Chứng minh ba điểm D, B, F nằm đường thẳng E F · CAE Vì = 900, nên CE đường kính (O) Ta có CO đường trung bình tam giác ABD Suy BD // CO hay BD // CE (1) Tương tự CE đường trung bình tam giác ADF Suy DF // CE (2) Từ (1) (2) suy D, B, F nằm đường thẳng 3) Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) Tam giác ADF vng A theo tính chất đường trung bình DB = CE = BF ⇒ B trung điểm DF Do đường tròn qua ba điểm A,D,F nhận B làm tâm AB làm bán kính Hơn nữa, OB = AB - OA nên đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) A a , b, c Câu Vì số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có: a( b + c ) ≤ a + (b + c ) a = b+c ⇒ a a( b + c ) ≥ 2a a+b+c Tương tự ta có: b 2b ≥ c+a a+b+c c 2c ≥ a+b a+b+c , Cộng bất đẳng thức chiều ta có a b c 2a + 2b + 2c + + ≥ =2 b+c c+a a+b a+b+c Dấu xảy a = b + c ⇔ b = c + a c = a + b ⇔a=b=c=0 , không thoả mãn a b c + + >2 b+c c+a a+b Vậy Lời bình: Câu II.2 • Các bạn tham khảo thêm lời giải sau Gọi x1, x2 nghiệm có phương trình Từ cơng thức −b ± ∆ x1,2 = 2a suy : , với m | x1 − x2 |= (*) (m − 1) + ∆ = ≥ |a| 2 Kết (*) cho thấy ∆ > ,∀ m đồng thời có min|x1− x2| = , đạt m = • Lời giải giảm bớt tối đa phép toán, điều đồng hành giảm bớt nguy sơ sai sót Câu IV.2 Việc chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng thường thực cách chứng minh ba điều tương đương sau : • AB + BC = AC (khi B thuộc đoạn thẳng AC) • Một ba điểm đỉnh góc 1800 (chẳng hạn ·ABC = 1800 ) • Một ba điểm điểm chung hai đoạn thẳng song song (chẳng hạnAB // BC) • Một ba điểm điểm chung hai đoạn thẳng tạo với đường thẳng (∆ ) có sẵn góc (chẳng hạn ) (·AB, ∆) = (·AC , ∆) ... tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) A a , b, c Câu Vì số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số ta có: a( b + c ) ≤ a + (b + c ) a = b+c ⇒ a a( b + c ) ≥ 2a a+b+c Tương