TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán - Khối A, D - Lớp: 12 Câu (2.0 điểm) Cho hàm số y = x (C) 2x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Câu (1.0 điểm) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + 3x − 12 x + [– 1; 5] Câu (1.0 điểm) a) Tính: A = 81log + 27 log + 33log b) Giải phương trình: cos3x.cos x = Câu (1.0 điểm) Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi môn có môn bắt buộc Toán, Văn, Ngoại ngữ môn thí sinh tự chọn số môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử Địa lí Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, 10 học sinh chọn môn Vật lí 20 học sinh chọn môn Hóa học Lấy ngẫu nhiên học sinh trường X Tính xác suất để học sinh có học sinh chọn môn Vật lí học sinh chọn môn Hóa học Câu (1.0 điểm) Giải bất phương trình: x − x3 + x − x≥ (x ∈ ¡ ) x − 2x2 + x Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với cạnh AB=2a, AD=a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD) Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B, AB=2BC, D trung điểm AB, E thuộc đoạn AC cho AC=3EC, biết phương 16 xy ( x + 1) = x + y + x − y , ( x, y ∈ ¡ ) Câu (1.0 điểm) Giải hệ PT 2 3 y + x + + ( y + ) + x + x + = Câu (1.0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm GTLN trình đường thẳng CD: x-3y+1=0 , E ( ;1) Tìm tọa độ điểm A, B, C ( ) ( ) biểu thức S= ab bc ca + + ab + 2c bc + 2a ca + 2b -Hết Thí sinh không dùng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD:………………… TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO Câu ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán - Khối A, D - Lớp: 12 Nội dung Điểm x Cho hàm số y = (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2x −1 1 • TXĐ D = ¡ \ lim y = +∞; lim − y = −∞ 1 y = , đồ thị có TCN y = ; x → + 1 • xlim , đồ thị hàm số có x → ÷ ÷ →±∞ 2 2 2 TCĐ x = • y ' = − ( x − 1) ⇒ y ' < 0, ∀x ∈ D • BBT x y' - 1a −∞ 1.0 0.25 0.25 +∞ 1/2 y 0.25 +∞ −∞ 1 1 Hàm số nghịch biến khoảng −∞; ÷, ; +∞ ÷ 2 2 • Đồ thị 0.25 1 1 Đồ thị nhận I ; ÷ tâm đối xứng 2 2 1b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ 1.0 Với y0 = x0 ⇒ = ⇒ x0 − = x0 ⇒ x0 = x0 − Ta có: f '( x) = − ( x − 1) ⇒ f '(2) = − 0.25 2 Vậy PT tiếp tuyến điểm 2; ÷ là: y = − x + 9 3 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + 3x − 12 x + [–1; 5] y ' = x + x − 12 x = 1( ∈ [ −1;5] ) y' = ⇔ x = −2 ( ∉ [ −1;5] ) Ta có: y (−1) = 14, y (1) = −6, y (5) = 266 Vậy max y = 266 x = 5, y = −6 x = [ −1;5] [ −1;5] a) Tính: A = 81log + 27log + 33log 3log 32 A=3 +3 +3 2log =5 +6 +3 = 54 + 63 + 22 = 845 b) Giải phương trình: cos3x.cos x = PT ⇔ cos x + cos x = ⇔ 2cos 2 x + cos x − = cos x = ⇔ ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) cos x = − ( L) Tính xác suất để học sinh có học sinh chọn môn Vật lí học sinh chọn môn Hóa học Số phần tử không gian mẫu nΩ = C40 Gọi A biến cố “3 học sinh chọn có học sinh chọn môn Vật lý học sinh chọn môn Hóa học” 1 1 + C20 C10 C10 Số phần tử biến cố A n A = C101 C202 + C102 C20 3log3 3 Vậy xác suất để xảy biến cố A PA = Giải bất phương trình: x≥ 0.5 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 4log3 0.25 n A 120 = nΩ 247 x − x3 + x − (x ∈ ¡ ) x3 − x + x 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 1.0 0.25 0.5 0.25 1.0 ĐK: x > 0, BPT tương đương: ( ) x ( x + 1)( x − 1)3 ( x − 1)3 x≥ ⇔ ≥ (1) x + ( x − 1) + x ( x − 1)2 + 1 t3 Xét hàm số f (t ) = ¡ t +1 Ta có: f '(t ) = t + 3t (t + 1) ≥ ∀t ∈ ¡ Mà f(t) liên tục ¡ nên f(t) đồng biến ¡ 0.25 0.25 0.25 3+ Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD) (1) có dạng: f ( x ) ≥ f ( x − 1) ⇔ x ≥ x −1 ⇔ < x ≤ 0.25 1.0 S P A D 0.25 H M B C Ta có HC hình chiếu vuông góc SC lên mặt phẳng (ABCD) suy (SC;(ABCD))=(SC;AC)=¼ SCH =45 HC=a suy SH=a 1 2 a3 VSABCD = SH S ABCD = SH AB.AD = 3 Gọi M trung điểm CD, P hình chiếu H lên SM HM ⊥ CD; CD ⊥ SH suy CD ⊥ HP mà HP ⊥ SM suy HP ⊥ (SCD) Lại có AB//CD suy AB// (SCD) suy d(A;(SCD))=d(H;(SCD))=HP 1 a a = + Ta có suy HP= d(A;(SCD))= 2 HP HM HS 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B, AB=2BC, D trung điểm AB, E thuộc đoạn AC cho AC=3EC, biết phương trình đường thẳng CD: x-3y+1=0 , E ( 16 ;1) Tìm tọa độ điểm A, B, C 0.25 0.25 0.25 1.0 A D E I B C Gọi I = BE ∩ CD BA EA = = ⇒ E chân đường phân giác góc ABC BC EC BD = BC ⇒ BE ⊥ CD ⇒ BE : 3x + y − 17 = I = BE ∩ CD ⇒ Tọa độ I (5; 2) 0.25 0.25 x Đặt BC = x > ⇒ AB = x; AC = x 5; EC = ∠CEB = 450 ⇒ IC = IB = BC.cos 450 = IE = CE − CI ⇒ IE = x C ∈ CD ⇒ C (3a − 1; a) x uur uur ⇒ IB = − IE ⇒ B(4;5) 0.25 a = BC = BI ⇒ BC = ⇔ a − 4a + = ⇔ a = Với a=1 C (2;1), A(12;1) 0.25 Với a=3 C (8;3), A(0; −3) xy ( x + 1) = x + y + x − y , ( x, y ∈ ¡ ) Giải hệ PT 2 y + x + + y + + x + x + = ( ) ĐKXĐ ∀x ∈ ¡ 3 2 Ta có xy ( x + 1) = x + y + x − y ⇔ x − x y + y − xy + x − y = ) ( ) ( 1.0 y = x ⇔ ( x − y ) ( x − y + 1) = ⇔ y = x +1 0.25 Với y = x + thay vào PT thứ ta ) ( ( x + 1) + x + + ( x + ) ( ) + x + x + = Dễ thấy PT vô nghiệm ( ) Với y = x thay vào PT thứ ta x + x + + ( x + ) ) ( + ( 2x + 1) + 2) x + ) = ( −2 x − 1) ( + ( −2 x − 1) + ) Xét hàm số f (t ) = t ( t + + ) ta có f '(t ) = t + + + ( ⇔ 3x ( + ⇔ x + x + = − ( x + 1) ( ) + x + x2 +1 = 0.25 2 2 0.25 t t +2 > suy hàm số đồng biến 1 Từ suy x = −2 x − ⇔ x = − Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = − ; − ÷ 5 Cho ba số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm GTLN biểu thức S = ab bc ca + + ab + 2c bc + 2a ca + 2b ab 1 a b ≤ + ( a + c ) ( b + c ) a + c b + c ÷ a b = Đẳng thức xảy a+c b+c bc 1 b c ca 1 c a ≤ + ≤ + Tương tự ta có ÷, ÷ bc + 2a b + a c + a ca + 2b c + b a + b Ta có ab ab = = ab + 2c ab + ( a + b + c ) c 0.25 1.0 0.25 0.25 1 a+b b+c c+a + + Cộng vế ta S ≤ ÷= 2 a+b b+c c+a 2 Đẳng thức xảy a = b = c = 3 Vậy S max = ⇔ x = y = z = 0.25 0.25