PHẦN MỞ ĐẦU Bối cảnh của sáng kiến Là học sinh khi tiếp cận với môn toán thì tất yếu phải hình thành một kỹ năng giải toán đối với một kiến thức nhất định. Có được kỹ năng giải toán nghĩa là đã khẳng định được mình vận dụng lý thuyết vào bài tập một cách có tư duy, sáng tạo. Đối với chương trình toán 6 được viết trong SGK thì lượng kiến thức không nhiều nhưng bài tập áp dụng đối với mỗi kiến thức thì khá phong phú và đa dạng trong đó có dạng toán chia hết. Thực tế cho thấy, dạng toán chia hết được bắt gặp xuyên suốt chương trình toán THCS. Chính vì thế là một giáo viên chúng ta cần rèn cho các em kỹ năng giải dạng toán này khi kiến thức còn là nền tảng đó là dạng toán chia hết trong chương trình toán 6. Lý do chọn sáng kiến.Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh mình còn rất yếu dạng toán này thậm chí không biết giải và nếu biết giải thì sự lập luận chưa chặt chẽ. Nếu ở lớp 6 các em không làm quen với lập luận chặt chẽ thì lên lớp trên các em cảm thấy kiến thức chỉ là áp đặt,từ đó không tạo ra sự tò mò, hứng thú đối với môn học. Vì vậy chúng ta cần có giải pháp lâu dài rèn các em biết giải toán từ những phép biến đổi cơ bản. Có như thế toán học mới thực sự lôi cuốn các em vào dòng say mê chiếm lĩnh tri thức, hơn nữa toán lại là môn chủ đạo. Chính vì vậy tôi đã nghiên cứu đề tài “ Biện pháp nhằm rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6 ...................................................................................................................................” Phạm vi và đối tượng của sáng kiến Sáng kiến nghiên cứu nhằm đưa ra “Biện pháp nhằm rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6 Trường THCS ..................................................................................................................................” Sáng kiến áp dụng cho học sịnh lớp 6 Trường THCS ......................... Mục đích của sáng kiến Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải toán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất. Vì vậy để nâng cao kỹ năng giải toán “chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, các phương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từng chương. Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này.Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi được lồng vào các tiết luyện tập. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều.PHẦN NỘI DUNGI. Thực trạng của giải pháp Chúng ta đang dạy học theo sự đổi mới là dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ năng , vì thế những gì gọi là chuẩn – là cơ bản nhất cần phải nắm vững. Rèn kỹ năng giải toán chia hết cũng là chuẩn mà học sinh cần phải nắm. Hệ thống bài tập thể hiện dạng toán chia hết có vai trò quan trọng là nó giúp cho học sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vân dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và logic. Đó cũng là những kỹ năng cần thiết của học sinh khi còn ngôi trên ghế nhà trường. Có như thế mới phù hợp với sự cải tiến dạy học là phát huy hết tính tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh trong trường học.Hiện tại, học sinh lớp 6A3, 6A5 tôi đang dạy năm nay còn rất chậm khi làm bài tập đối với dạng toán chia hết, các em cảm thấy lạ và rất ngại làm dạng toán này vì nghĩ nó rất khó. Vì thế, thiết yếu phải rèn kỹ năng giải toán chia hết ở lớp 6 để làm hành trang kiến thức vững chắc cho các em gặp lại dạng toán này ở các lớp trên.
PHẦN MỞ ĐẦU * Bối cảnh sáng kiến Là học sinh tiếp cận với mơn tốn tất yếu phải hình thành kỹ giải tốn kiến thức định Có kỹ giải tốn nghĩa khẳng định vận dụng lý thuyết vào tập cách có tư duy, sáng tạo Đối với chương trình tốn viết SGK lượng kiến thức khơng nhiều tập áp dụng kiến thức phong phú đa dạng có dạng toán chia hết Thực tế cho thấy, dạng toán chia hết bắt gặp xun suốt chương trình tốn THCS Chính giáo viên cần rèn cho em kỹ giải dạng toán kiến thức tảng dạng tốn chia hết chương trình tốn * Lý chọn sáng kiến Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh yếu dạng tốn chí khơng biết giải biết giải lập luận chưa chặt chẽ Nếu lớp em không làm quen với lập luận chặt chẽ lên lớp em cảm thấy kiến thức áp đặt,từ khơng tạo tò mò, hứng thú mơn học Vì cần có giải pháp lâu dài rèn em biết giải toán từ phép biến đổi Có tốn học thực lơi em vào dòng say mê chiếm lĩnh tri thức, tốn lại mơn chủ đạo Chính tơi nghiên cứu đề tài “ Biện pháp nhằm rèn kỹ giải toán chia hết cho học sinh lớp .” * Phạm vi đối tượng sáng kiến - Sáng kiến nghiên cứu nhằm đưa “Biện pháp nhằm rèn kỹ giải toán chia hết cho học sinh lớp Trường THCS ” - Sáng kiến áp dụng cho học sịnh lớp Trường THCS * Mục đích sáng kiến Trong q trình giảng dạy tơi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ giải tốn “chia hết” em chưa biết tốn cần áp dụng phương pháp để giải cho kết nhất, nhanh đơn giản Vì để nâng cao kỹ giải tốn “chia hết” em phải nắm dạng toán, phương pháp gỉải, kiến thức cụ thể hố bài, chương Có thể nói dạng tốn “chia hết” ln dạng tốn khó học sinh khơng học sinh cảm thấy sợ học dạng toán Là giáo viên dạy tốn tơi mong em chinh phục khơng chút ngần ngại gặp dạng toán nhằm giúp em phát triển tư suy luận óc phán đốn, kỹ trình bày linh hoạt Hệ thống tập đưa từ dễ đến khó, bên cạnh có tập nâng cao dành cho học sinh giỏi lồng vào tiết luyện tập Lượng tập tương đối nhiều nên em tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống tập áp dụng này, điều giúp em hứng thú học tập nhiều PHẦN NỘI DUNG I Thực trạng giải pháp Chúng ta dạy học theo đổi dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ , gọi chuẩn – cần phải nắm vững Rèn kỹ giải toán chia hết chuẩn mà học sinh cần phải nắm Hệ thống tập thể dạng tốn chia hết có vai trò quan trọng giúp cho học sinh phát triển khả tư duy, khả vân dụng kiến thức cách linh hoạt vào giải tốn, trình bày lời giải xác logic Đó kỹ cần thiết học sinh ngơi ghế nhà trường Có phù hợp với cải tiến dạy học phát huy hết tính tích cực, tư sáng tạo học sinh trường học Hiện tại, học sinh lớp 6A 3, 6A5 dạy năm chậm làm tập dạng toán chia hết, em cảm thấy lạ ngại làm dạng tốn nghĩ khó Vì thế, thiết yếu phải rèn kỹ giải toán chia hết lớp để làm hành trang kiến thức vững cho em gặp lại dạng toán lớp II Nội dung sáng kiến 2.1 Hệ thống hóa lý thuyết Lý thuyết chia hết tập vận dụng tương ứng, từ dạng đến tương đối khó Trong q trình giải nhiều dạng tập hình thành khắc sâu cho em kỹ giải dạng toán chia hết.Giáo viên nêu dấu hiệu chia hết phương pháp chứng minh chia hết SGK ,ngoài bổ sung thêm số phương pháp cần thiết để vận dụng vào nhiều dạng tập khác a) Tính chất chia hết tổng, hiệu, mơt tích - Nếu a Mm bMm a + b Mm , a – b Mm , a.bMm - Nếu a Mm a n Mm(n ∈ N ) - Nếu a Mm bMn a.bMm.n đặc biệt a Mb a n Mb n b) SKG toán giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, giáo viên cần bổ sung thêm dấu hiệu chia hết cho 4, 6, 8, 25 125 Mục đích đưa thêm dấu hiệu để vận dụng vào tập học sinh không bị lúng túng lên lớp (7, 8, 9) Chia hết cho 4(hoặc 25) Dấu hiệu Số có chữ số tận chữ số chẵn Số có tổng chữ số chia hết cho Số chia hết cho 4(hoặc 25) hai chữ số tận lập thành số chia hết cho 4(hoặc 25) Số có chữ số tận Là số đồng thời chia hết cho 8(hoặc 125) Số chia hết cho 8(hoặc 125) ba chữ số tận lập thành số chia hết cho 8(hoặc 125) Số có tổng chữ số chia hết cho 10 Số có chữ số tận 11 Số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số đứng vị trí lẻ tổng chữ số đứng vị trí chẵn(kể từ trái sang phải) chia hết cho 11 c) Nguyên tắc Đirichlê: Ngay từ lớp giáo viên giới thiệu sơ lược nguyên tắc Đirichlê có nội dung phát biểu dạng toán: “Nếu nhốt n thỏ vào m lồng (m> n) có lồng nhốt khơng hai thỏ” d) Phương pháp chứng minh quy nạp: Muốn khẳng định An với n= 1,2,3,… ta chứng minh sau: - khẳng định A1 - Giả sử Ak với k>=1 ta suy khẳng định Ak+1 - Kết luận An với n=1,2,3… Thực ra, dạy tập áp dụng phương pháp giáo viên khơng cần phải nói cầu kỳ, trừu tượng khó hiểu, mà cần xét trường hợp cho học sinh dễ hiểu không thiết phải dùng từ ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp e) Phương pháp chứng minh phản chứng: Muốn chứng minh khẳng định P có bước: - Giả sử P sai - Nhờ tính chất biết từ giả sử sai suy điều vơ lí - Vậy điều giả sử sai , chứng tỏ P f) Để chứng minh a chia hết cho b ta biểu diễn b = m.n Nếu (m,n) = tìm cách chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n a chia hết cho m.n hay a chia hết cho b Nếu (m,n) khác ta biểu diễn a = a 1.a2 chứng minh a1 chia hết cho m, a2 chia hết cho n ngược lại a1.a2 chia hết cho m.n hay a chia hết cho b 2.2 Các dạng tốn: Trong phần tơi đưa dạng toán từ đến mở rộng hơn, Có rèn hình thàng kỹ giải tốn chia hết cho em cách có tảng a) Dạng 1: Dạng toán điền vào * để số chia hết cho số Bài toán 1: Điền vào * để số 35* a) chia hết cho b) chia hết cho c) chia hết cho Đây dạng toán gặp dạng tốn đương nhiên giáo viên phải cho học sinh tái lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho số chia hết cho a) 35*M2 * ∈ {0; 2; 4;6;8} b) 35*M2 ⇒ * ∈ { 0;5} c) 35*M2 ⇔ * ∈ { 0} Bài toán 2: Điền vào * để a) 3*5M3 b) * 2M9 Tương tự tốn học sinh vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết cho cho để làm a) 3*5M3 ⇔ + *M3 ⇔ * ∈ { 1; 4;7} b) * 2M9 ⇔ + * + 2M9 ⇔ + *M9 ⇔ * ∈ { 0;9} b) Dạng 2: Tìm chữ số chưa biết số: Bài tốn 3: Tìm chữ số a, b cho a63b chia hết cho đồng thời 2,3,5,9 Lập luận: Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho liên quan đến chữ số tận Sau đó, có chữ số tận cùng, ta xét tổng chữ số liên quan đến chia hết cho Ở ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, số chia hết cho đương nhiên chia hết cho a 63b M2,5 ⇔ b = a 630M3,9 ⇔ a + + + 0M9 ⇔ + a M9 ⇔ a M9 ⇔ a ∈ { 0;9} ⇔a=9 (Vì a chữ số hàng nghìn nên số khơng có nghĩa) Vậy a= 9; b= a63b chia hết cho đồng thời 2,3,5,9 Bài tốn 4: Tìm chữ số a, b cho 87abM9 a – b = Lập luận 87 ab M9 ⇔ + + a + b M9 ⇔ 15 + a + b ⇔ a + b ∈ { 3;12} Mà điều kiện a – b = nên ta loại a + b = Từ a –b = a + b = 12 ta tìm a = 8; b = Bài tốn 5: cho số 76a 23 a) Tìm a để 76a 23M9 b) Trong số vừa tìm a có giá trị làm cho số 76a 23M11 khơng ? Hướng dẫn a) Tính tổng chữ số 76a 23 ta a + 18M9 a ∈ { 0;9} b) với a = số 76023 có (7 + + 3) – (6 + ) = M11 Tương tự với a = ta có (7 + + 3) – ( + 2) = 11 M11 Vậy a= 76a 23M11 Bài tốn 6: Tìm a, b cho b851a chia hết Hướng dẫn Lập luận chia hết cho trước ta a = a = + Thay a = vào b851a ta b8512 Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho cách tính tổng chữ số b851a M3 ⇔ b + + + + 2M3 ⇔ b + 16M3 ⇔ b ∈ { 2;5;8} Lập luận tương tự với a = ta b ∈ { 1; 4;7} Bài toán 7: Thay chữ số x, y chữ số thích hợp a) Số 275x chia hết cho 5, cho 25, cho 125 b) Số xy chia hết cho 2, cho 4, cho Hướng dẫn b) xy 4M2 ⇔ x, y ∈ { 0;1; 2;3; ;9} chữ số tận số chẵn x ∈ { 0;1; ;9} xy 4M4 ⇔ y ∈ { 0; 2; 4;6;8} x ∈ { 0; 2; 4;6;8} xy 4M 8⇔ y ∈ { 2;6} Hoặc x ∈ { 1;3;5;7;9} ⇔ y ∈ { 0; 4;8} Bài tốn 8: Tìm chữ số a b cho 19ab chia hết cho Để tìm a b ta phải thấy hai dấu hiệu số chia hết cho Vì 19ab chia hết b=0 b=5 19ab chia hết suy b=0 Mặt khác , 19a0 chia hết 19a0 chia hết cho a0 chia hết cho suy a ∈ {0;2;4;6;8} Ta có 19a0 chia hết cho 9a0 chia hết a=2 a=6 Vậy a=2 b=0 a=6 b=0 nên số cần tìm 1920 1960 Bái toán 9: Chữ số a để aaaaa96 chia hết cho aaaaa96 8 ↔ a96 8 ↔ 100a + 96 8 suy 100a 8 a số chẵn → a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1) aaaaa96 3 ↔ (a + a + a + a + a + + ) 3 ↔ 5a + 15 3 mà 15 3 → 5a 3 mà (5, 3) = Suy a a ∈{ 3, ,9} (2) Từ (1) (2 ) suy a = KL: Vậy số phải tìm 6666696 Bài tốn 10: Tìm chữ số a để 1aaa1 11 HD: tổng chữ số hàng lẻ + a Tổng chữ số hàng chữ 2a * Nếu 2a ≥ a + ⇔ a ≥ 2a – (a + 2) = a -2 ≤ – = mà (a - 2) 11 nên a - = ⇔ a = * Nếu 2a ≤ a + ⇔ a < (a + 2) - 2a = - a mà khơng chia hết cho 11.Vậy a=2 Bài tốn 11:Tìm x để x1994M3 chia hết cho không chia hết cho Hướng dẫn x1994M3 ⇔ x + 23M3 Vì ≤ x ≤ nên 24 ≤ x + 23 ≤ 32 Từ ta x = 24; x = 30 c) Dạng 3: Chứng minh chia hết biểu thức số Bài toán 12: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho khơng? a) 1251+5316 b) 5436-1234 c) 1.2.3.4.5.6 + 27 Hướng dẫn: dựa vào dấu hiệu chia hết cho để lập luận Bài toán 13: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7 N = 16 354 + 675 41 Chứng tỏ rằng: M chia hết cho N chia hết cho Ta có: 7.9.11.13 M3( 9M3 ) 2.3.4.7 M3 (vì M3) 7.9.11.13 + 2.3.4.7 M Vậy M chia hết cho Ta có giá trị tổng 16 354 + 67 541 có chữ sơ tận nên chia hết cho Vậy N chia hết cho Bài toán 14: Cho A= 2.4.6.8.10 + 40 Chứng tỏ rằng: a) A chia hết cho b) A chia hết cho Hướng dẫn a) Dựa vào tính chất chia hết tổng ta lập luận 2.4.6.8.10 M8 (vì tích có chứa thừa số 8) 40M ⇒ 2.4.6.8.10 + 40M8 Vậy A chia hết cho b) Tương tự 2.4.6.8.10M5 (vì 10 chia hết cho 5) 40M5 ⇒ 2.4.6.8.10 + 40M5 Bài toán 15: Chứng minh 995 − 984 + 973 − 962 M2 Hướng dẫn: Theo đề ta suy chữ số tận (CSTC) lũy thừa 995 – 984 + 973 – 962 =…9 - …6 +…3 – …6 =… Biểu thức cho có giá trị chứa CSTC nên chia hết cho Vậy 995 − 984 + 973 − 962 M2 d) Dạng 4: Chứng minh tổng, tích số liên tự nhiên liên tiếp chia hết cho số Để làm dạng toán ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp Tuy nhiên, dạy lớp ta khơng cần phải nói khó hiểu mà dạy cho em xét trường hợp bẳng mệnh đề: “ Nếu…thì …” Mặt khác lớp em làm dạng tập thuận tiện để em làm dạng tốn chia hết lớp Nếu không, em cảm thấy kiến thức chia hết lạ, xa vời lên lớp 7,8,9 gặp toán mà sử dụng kiến thức phải chứng minh lớp Bài toán 16: Chứng tỏ tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Gv cần gợi mở rằng: ta chứng minh toán với cặp giá trị liên tiếp N, cần hai cặp giá trị đủ mà phải chứng minh dạng tổng quát Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1 • Nếu a M2 tốn giải • Nếu a M2 a chia dư Ta có a= 2k + a + = 2k + + = 2k + M2 Vậy hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Cho nên tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài tốn 17: Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2 + Nếu a M3 tốn giải + Nếu a = 3k+1(nghĩa a chia dư 1) lúc Ta có a+2= 3k+1+2 = 3k+3 M3 + Nếu a= 3k+2 (nghĩa a chia dư 2) lúc Ta có a+1= 3k+2+1 = 3k+3 M3 Vậy ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Cho nên tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài toán 18: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2 Tống chúng là: n + n+1 + n+2 = 3n +3 M3 Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho Tương tự tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là: 4n + M4(vì M4) Vậy tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho Bài tốn 19: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Gọi hai số chẵn liên tiếp 2n, 2n+2 (n ∈ N) Tích 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+1) = 4.n.(n+1) Ta có n.(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo tốn 16) Vì 4.n.(n+1) M8 Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Bài toán 20: Chứng minh tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Gọi ba số chẵn liên tiếp 2n, 2n +2, 2n +4 ((n∈ N) Tích 2n.(2n+2).(2n+4) = 2.n.2(n+1).2(n+2) = 8.n.(n+1).(n+2) Ta có n.(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo toán 16) Ta có n.(n+1).(n+2) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3(theo toán 17) 10 Mà (2,3) = nên n.(n+1).(n+2) chia hết cho Vì 8.n.(n+1).(n+2) M48 Vậy tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 e) Dạng 5: Dạng toán vận dụng ngun lí Đirichlê Đối với dạng tốn vận dụng ngun lí Đirichlê giáo viên khơng sâu mà giới thiêu cho học sinh biết tập áp dụng dạng suy luận dễ hiểu Bài toán 21: Cho ba số lẻ chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho - Một số lẻ chia cho số dư bốn số sau: 1; 3; 5; ta chia số dư (4 thỏ) thành nhóm (2 lồng) Nhóm 1: dư dư Nhóm 2: dư dư Có số lẻ (3 thỏ) mà có hai nhóm số dư nên tồn hai số thuộc nhóm - Nếu số dư hiệu chúng chia hết cho - Nếu số dư khác tổng chúng chi hết cho + Bài tập tương tự: Cho ba số nguyên tố lớn 3.Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 12 Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn chia cho 12 số dư số 1; 5; 7; 11 Chia làm hai nhóm: Nhóm 1: dư dư 11 Nhóm 2: dư dư Giải tiếp toán 18 f) Dạng 6: Tìm điều kiện để biểu thức chia hết cho số, chia hết cho biểu thức Bài toán 22: Chứng minh Nếu a Mm, b Mm, a+b+c Mm c Mm Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng Giả sử c Mm 11 Ta có a Mm, bMm nên a + b + c Mm (tính chất sgk tốn tr 35) Điều trái với đề a + b + c Mm Vậy điều giả sử sai Suy c Mm Đối với này, dạy giáo viên không thiết khắc sâu phần chứng minh Yêu cầu học sinh cần vận dụng kiến thức chứng minh vào tập cụ thể Bài tốn 23: Tìm n ∈ N để: a) n+4 Mn b) 3n + Mn c) 27- 5n Mn Giải: n + 4Mn nMn ⇒ Mn ( theo toán 22) 3n + Mn 3nMn ⇒ Mn 27 − 5nMn 5nMn ⇒ 27 Mn a) Vậy n ∈ { 1; 2; 4} b) Vậy n ∈ { 1;7} c) Vậy n ∈ { 1;3;9; 27} 5n < 27 hay n