Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ NGHĨA PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ NGHĨA PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN – 2015 i Mục lục Mở đầu Chương Bài toán tối ưu 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Phát biểu toán tối ưu 1.3 Một số ví dụ điển hình tốn tối ưu 1.3.1 Bài toán thể tích lớn 1.3.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 1.3.3 Bài toán định vị 1.3.4 Bài toán phân việc 6 8 1.4 Sự tồn nghiệm tối ưu 1.5 Điều kiện tối ưu 1.5.1 Tối ưu không ràng buộc 1.5.2 Tối ưu có ràng buộc 1.5.3 Điều kiện tối ưu Kuhn - Tucker 14 15 18 20 Chương Phương pháp chiếu giải toán tối ưu 23 2.1 Tốn tử chiếu lên tập lồi đóng 23 2.2 Một thuật toán chiếu giải toán tối ưu lồi 2.2.1 Thuật toán chiếu đạo hàm 2.2.2 Thuật toán hàm phạt điểm 27 27 32 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Toán học nảy sinh từ thực tiễn ứng dụng rộng rãi thực tế Lí thuyết tối ưu ngành toán học ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên, xã hội, công nghệ, kinh tế Bài tốn tối ưu đóng vai trị quan trọng lý thuyết tối ưu, có hai yếu tố quan trọng toán tối ưu tập chấp nhận (tập ràng buộc) hàm mục tiêu xác định tập Để chứng minh tồn nghiệm xây dựng phương pháp giải, người ta thường phân loại toán theo cấu trúc tập chấp nhận tính chất hàm mục tiêu Mục đích luận văn tổng hợp lại kiến thức toán tối ưu Đặc biệt luận văn sâu trình bày thuật tốn chiếu giải tốn tối ưu khơng địi hỏi tính khả vi hàm mục tiêu Luận văn chia làm chương Chương 1: Bài toán tối ưu Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi, phát biểu tốn tối ưu, số ví dụ điển hình tốn tối ưu, tồn nghiệm điều kiên tối ưu Chương 2: Phương pháp chiếu giải toán tối ưu Chương trình bày chi tiết tốn tử chiếu lên tập lồi đóng tính chất tốn tử chiếu Thuật toán chiếu để giải toán tối ưu lồi đợc giới thiệu thuật toán chiếu đạo hàm Cuối chương thuật toán hàm phạt điểm kỹ thuật cho phép đưa việc giải tốn tối ưu có ràng buộc việc giải tốn khơng có ràng buộc qua cho phép tránh phải tính hình chiếu nhiều trường hợp tính hình chiếu khó, trí khơng thực Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy tận tâm, nhiệt tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu, truyền đạt cho kiến thức trình học tập ln giúp đỡ, động viên tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu, phịng Đào Tạo, Khoa Tốn Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên thầy, cô giáo tham gia giảng dạy cao học khóa 2013 - 2015 quan tâm giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Tơi xin cảm ơn trường THPT Hùng An, Bắc Quang, Hà Giang gia đình tạo điều kiện tốt cho việc học tập Cảm ơn bạn bè đồng nghiệp hỗ trợ tơi việc hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Học viên Bùi Thị Nghĩa Chương Bài toán tối ưu Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi, giới thiệu tốn tối ưu số ví dụ điển hình tốn tối ưu Tiếp đến trình bày tồn nghiệm tối ưu, điều kiện tối ưu tối ưu khơng ràng buộc, tối ưu có ràng buộc điều kiện tối ưu Kuhn - Tucker Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [1]; [2]; [3] [4] 1.1 Kiến thức chuẩn bị Để thuận tiện cho người đọc, phần ta xét số khái niệm kết sử dụng phần Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm: x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ 1, gọi đoạn thẳng nối a b, kí hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1 Tập C ⊂ Rn gọi tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó, nói cách khác (1 − λ)a + λb, ∀a, b ∈ C, ≤ λ ≤ Định nghĩa 1.2 Cho f : Rd → R ∪ {+∞} hàm lồi Một véc tơ v gọi đạo hàm hàm f x với y ∈ Rd ta có v, y − x ≤ f (x) − f (y) Tập đạo hàm hàm f gọi khả vi phân hàm f x, kí hiệu ∂f (x) Hàm f gọi khả vi phân x ∂f (x) = Hàm f gọi khả vi phân khả vi phân x ∈ domf , domf = {x ∈ Rd : f (x) < +∞} Định lí 1.1 (Moreau - Rockafellar) Cho f1 , f2 , , fn : X → R ∪ {∞} hàm lồi, C = Domfi , i = 1, n thì: ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + + ∂f1 (x) ⊂ ∂(f1 + f2 + + fn )(x), ∀x ∈ X Giả sử C họ tập lồi X , X chứa điểm hàm fi , giả sử x∗ liên tục C thì: ∂(f1 + f2 + + fn )(x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + + ∂f1 (x), ∀x ∈ X Định nghĩa 1.3 Cho f : Rn −→ R ∪ +∞ ta nói hàm f lồi tập C ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1]: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)(bất đẳng thức Jensen) Định nghĩa 1.4 Hàm f : C → R gọi hàm nửa liên tục điểm x ∈ C với ε > có δ > cho f (x) − ε ≤ f (x) với x thuộc C, x − x ≤ δ Hàm f gọi nửa liên tục C f nửa liên tục điểm x ∈ C Định nghĩa tương đương với limx∈C,x→x f (x) ≥ f (x) Định nghĩa 1.5 Hàm f : C → R gọi hàm nửa liên tục điểm x ∈ C với ε > có δ > cho f (x) ≤ f (x) + ε với x thuộc C, x − x ≤ δ Hàm f gọi nửa liên tục trên C f nửa liên tục điểm x ∈ C Định nghĩa tương đương với limx∈C,x→x f (x) ≤ f (x) Định nghĩa 1.6 Hàm f gọi liên tục vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục Bổ đề 1.1 Giả sử {ξk } dãy số dương thỏa mãn ξk+1 ≤ ξk + βk ∀k ∈ N, βk ≥ ∞ k=0 βk < +∞ Thì dãy {ξk } chuỗi hội tụ 1.2 Phát biểu tốn tối ưu Trong khơng gian véc tơ Rn , cho C ⊆ Rn tập khác rỗng hàm số thực f : C → R tùy ý Bài tốn tối ưu có dạng min{f (x) : x ∈ C} (P) toán tìm véc tơ (điểm) x∗ ∈ C cho f (x∗ ) ≤ f (x) với x ∈ C Hàm f gọi hàm mục tiêu hay hàm chi phí, tập C gọi tập ràng buộc hay miền chấp nhận Một véc tơ (điểm) x ∈ C gọi phương án (lời giải hay nghiệm) chấp nhận Véc tơ x∗ ∈ C cho f (x∗ ) ≤ f (x) với x ∈ C gọi phương án (lời giải hay nghiệm) tối ưu toán f (x∗ ) gọi giá trị cực tiểu hay giá trị tối ưu f C , thường kí hiệu fmin Trường hợp C = Rn ta có tốn tối ưu không ràng buộc: min{f (x) : x ∈ Rn } hay minn f (x) x∈R Trái lại (P ) tốn tối ưu có ràng buộc Thơng thường tập C cho C = {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0, i = 1, , m, hj (x) = 0, j = 1, 2, , p}, (1.1) với gi , hj : Rn → R hàm số cho trước, gọi hàm ràng buộc, tốn (P ) viết dạng (gọi toán dạng chuẩn): f (x) → với điều kiện: gi (x) ≤ 0, i = 1, , m, (1.2) hj (x) = 0, j = 1, 2, , p (1.3) Các hệ thức gi ≤ gọi ràng buộc bất đẳng thức, hệ thức hi = gọi ràng buộc đẳng thức Ràng buộc bất đẳng thức dạng xj ≥ (−xj ≤ 0) gọi ràng buộc không âm hay ràng buộc dấu Nhận xét 1.1 Ràng buộc bất đẳng thức biến đổi thành ràng buộc đẳng thức ngược lại Thật vậy, ràng buộc (1.2) biểu diễn nhờ hệ thức gi (x) + yi = 0, i = 1, , m, với yi số thực, gọi biến bù Ngược lại ràng buộc đẳng thức (1.3) tương đương với hai ràng buộc bất đẳng thức: hj (x) ≤ 0, −hj (x) ≤ 0, j = 1, 2, , p Với nhận xét vừa nêu khơng giảm tính tổng qt đơi ta xét toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức với ràng buộc bất đẳng thức Nhận xét 1.2 Do min{f (x) : x ∈ C} = −max{−f (x) : x ∈ C} nên toán cực tiểu đưa toán cực đại ngược lại Nếu f (x∗ ) ≥ f (x) với x ∈ C f (x∗ ) giá trị cực đại hàm f C thường kí hiệu fmax 1.3 Một số ví dụ điển hình toán tối ưu Trước hết ta nêu số ví dụ quen thuộc nhiều giáo trình tốn tối ưu 1.3.1 Bài tốn thể tích lớn Tìm cách dựng hộp bìa tơng tích lớn với điều kiện diện tích tồn phần hộp số c (cho trước)? Kí hiệu kích thước hộp x, y, z Bài tốn diễn đạt thành V (x, y, z) = xyz → max với điều kiện 2(xy + yz + zx) = c, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 1.3.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất Ví dụ 1.1 Có loại sản phẩm chế tạo từ m loại vật liệu khác Hàm sản xuất f (x1 , x2 , , xm ) cho biết số lượng sản phẩm sản xuất sử dụng kết hợp xj đơn vị vật liệu j, j = 1, 2, , m Giá đơn vị sản phẩm q giá trị đơn vị loại vật liệu p1 , p2 , , pm Để đạt lợi nhuận tối đa, nhà sản xuất cần giải tốn tối ưu khơng ràng buộc: qf (x1 , x2 , , xm ) − (p1 x1 + p2 x2 + + pm xm ) → max Ví dụ 1.2 Một sở sản xuất dự định sản xuất hai loại sản phẩm A B Các sản phẩm chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III Số lượng đơn vị dự trữ loại nguyên liệu số lượng đơn vị từ loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm loại cho bảng đây: Hãy lập kế hoạch sản xuất, tức tính xem cần sản xuất bao Loại nguyên liệu I II III Nguyên liệu dự trữ 18 30 25 Số lượng đơn vị nguyên liệu cần dùng cho việc sản xuất đơn vị sản phẩm A B nhiêu đơn vị sản phẩm loại để tiền lãi thu lớn nhất, biết bán đơn vị sản phẩm A thu lãi trăm ngàn đồng, bán đơn vị sản phẩm B thu lãi trăm ngàn đồng Ta xây dựng mơ hình toán học cho toán trên: Gọi x y theo thứ tự số lượng đơn vị sản phẩm A B cần sản xuất theo kế hoạch Khi tiền lãi thu là: z = 3x + 2y Do nguyên liệu dự trữ có hạn nên x y phải chịu ràng buộc đó, cụ thể là: 2x + 3y ≤ 18 (ràng buộc nguyên liệu I); 5x + 4y ≤ 30 (ràng buộc nguyên liệu II); x + 6y ≤ 25 (ràng buộc ngun liệu III) Ngồi cịn ràng buộc tự nhiên x ≥ 0, y ≥ số đơn vị sản phẩm khơng thể âm Bằng ngơn ngữ tốn học, tốn phát biểu sau: Tìm x y cho biểu thức z = 3x + 2y đạt giá trị lớn với ràng buộc:  2x + 3y ≤ 18;    5x + 4y ≤ 30; x + 6y ≤ 25;    x ≥ 0, y ≥ ... tối ưu, tồn nghiệm điều kiên tối ưu Chương 2: Phương pháp chiếu giải toán tối ưu Chương trình bày chi tiết tốn tử chiếu lên tập lồi đóng tính chất tốn tử chiếu Thuật toán chiếu để giải toán tối. .. 15 18 20 Chương Phương pháp chiếu giải toán tối ưu 23 2.1 Tốn tử chiếu lên tập lồi đóng 23 2.2 Một thuật toán chiếu giải toán tối ưu lồi ... HỌC BÙI THỊ NGHĨA PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN – 2015